Перейти к основному содержанию

338 вариант Алекса Ларина. Разбор ЕГЭ математика 2021.



Решаем ЕГЭ 338 вариант Ларина ЕГЭ 2021 по математике. Подробное решение 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12, 13,14,15,16,17,18,19 заданий тренировочного варианта ЕГЭ Ларина №338 (alexlarin.com)

Больше разборов на моем ютуб-канале

Аналоги к этому заданию:

Задание 1

Зарплата жены составляет 40% дохода семьи из двух человек. На сколько процентов изменился доход семьи после того, как зарплату мужа увеличили на 10%?
Ответ: 6
Скрыть

Пусть ​$$x$$​ – доход мужа, а ​$$y$$​ – доход жены

Общий доход семьи $$​x+y=100​\%$$ (1)

Тогда составим уравнения исходя из условия:

​$$y=0,4(x+y)​$$

$$​y=\frac{2}{3}x$$​ и подставим в первое уравнение

$$\frac{5}{3}x=100​\%$$

Тогда после увеличение дохода мужа, получаем общий доход ​$$y+1,1x=\frac{2}{3}x+\frac{11}{10}x=\frac{53}{30}x=z\%$$

Тут легко составить пропорцию и найти $$z\%$$

$$​z=\frac{53\cdot3\cdot100}{30\cdot5}=106​\%$$

Значит доход изменился на $$6\%$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 2

На рисунке показано изменение температуры воздуха на протяжении трех суток. По горизонтали указываются дата и время, по вертикали - значение температуры (в градусах Цельсия). Определите по рисунку разность между наибольшей температурой в первые сутки и наименьшей температурой в третьи сутки. Ответ запишите в градусах Цельсия.

Ответ: 5
Скрыть

$$1-(-4)=5$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 3

На клетчатой бумаге с размером клетки 1 х 1 отмечен треугольник АВС с вершинами в узлах сетки. Найдите длину его медианы СМ.

Ответ: 12,5
Скрыть

Как видим, нахождение точки M трудно определить по рисунку. Но все стороны треугольника можно легко найти по теореме Пифагора. И зная все стороны можно вычислить длину медианы.

​$$MC=0,5\cdot\sqrt{2(AC^2+BC^2)-AB^2}$$

Подставляя все значения ​$$MC=12,5$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 4

В классе 26 учащихся, среди них три подружки - Оля, Аня и Юля. Класс случайным образом разбивают на две равные группы. Найдите вероятность того, что все три девочки окажутся в другой группе.
Ответ: 0,22
Скрыть

В каждой группе будет по 13 учащихся

Пусть Оля попала в какую-нибудь из 2-х групп.

Вероятность того, что Аня попадет в ту же группу $$​P(B)=\frac{12}{25}$$​ (Олю не считаем)

Вероятность того, что Юля попадет в ту же группу $$​P(C)=\frac{11}{24}$$​ (Олю, Аню в счет не берем, т.к. они уже попали)

Искомая вероятность $$​P(BC)=\frac{12}{25}\cdot\frac{11}{24}=0,22$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 5

Решите уравнение: $$\log_4(x^2)-\log_2(x+5)=2$$
Если уравнение имеет несколько корней, то в ответе укажите наименьший корень.

Ответ: -4
Скрыть

ОДЗ:

​$$x^2>0​$$

$$​x+5>0​$$

Получаем ​$$x∈(−5;0)\cup(0;+∞)​$$

Приводим все к одному основанию

​$$0,5\log_2(x^2)+\log_2(x+5)=\log_2 4​$$

$$\log_2|x|+\log_2(x+5)=\log_24​$$

$$​|x|(x+5)=4​$$

Решаем стандартное уравнение, разбиваем на два случая

1. $$x\geq0$$

$$​x^2+5x−4=0​$$

$$​x=\frac{-5\pm\sqrt{41}}{2}$$

т.к. $$x\geq0$$, то остается один корень ​$$x=\frac{-5+\sqrt{41}}{2}$$

2. $$x<0$$

$$​x=-1​$$

$$​x=-4​$$

Итак, под ОДЗ все корни подходят, наименьший из них ​$$x=-4​$$

$$x=\frac{-5+\sqrt{41}}{2}>0$$​, т.к. $$​\sqrt{41}>5$$​, значит он точно “отлетает”

Аналоги к этому заданию:

Задание 6

Прямая, проведенная параллельно боковой стороне трапеции через конец меньшего основания, делит большее основание пополам и отсекает от трапеции треугольник, площадь которого равна 16. Найдите площадь трапеции.

Ответ: 48
Скрыть

Т.к. $$​BCEL​$$ – параллелограмм, то ​$$EL=BC​$$

$$​S_{ABCD}=\frac{x+2x}{2}h=1,5xh​$$

$$​S_{ABE}=16​$$ – это по условию

$$​S_{ABE}=\frac{x}{2}\cdot h=16$$​, откуда можно выразить ​$$xh=32$$

$$​S_{ABCD}=1,5\cdot32=48​$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 7

Функция $$y=f(x)$$ определена на промежутке $$(-3; 6)$$. На рисунке изображен ее график и касательная к этому графику в точке с абсциссой $$x_0=1$$. Вычислите значение производной функции $$y=\frac{x}{2}\cdot f(x)+3x$$ в точке с абсциссой $$x_0=1$$.

Ответ: 2,1
Скрыть

$$y'(x)=0,5f(x)+0,5f'(x)+3​$$

$$​y'(x_0)=0,5f(1)+0,5f'(1)+3​$$

$$​f(1)$$​ и $$​f'(1)​$$ можно найти из рисунка $$​f(1)=-2​$$

И по геометрическому смыслу производной $$​f'(1)=\tg α=\frac{1}{5}=0,2​$$

$$​y'(x_0)=0,5\cdot(-2)+0,5\cdot0,2+3​=2,1$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 8

В правильной четырехугольной призме ABCDA1B1C1D1 сторона основания равна 3, а высота - 4. Найдите косинус угла между секущей плоскостью AB1C1 и плоскостью АВС основания призмы.

Ответ: 0,6
Скрыть

Замечаем, что треугольник ​$$DCC_1$$​ – прямоугольный, по обратной теореме Пифагора.

Очевидно, что искомый угол $$​\angle C_1DC$$​ (нам нужно опустить перпендикуляр к линии пересечения плоскостей ($$AD$$), $$CC_1\perp ABC$$, значит и $$CC_1\perp AD$$)

$$\cos\angle C_1DC=\frac{3}{5}=0,6$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 9

Найдите значение выражения:

$$\frac{\cos\varphi-2\sin\varphi}{3\sin\varphi+\cos\varphi}$$, если $$\tg\varphi=8$$

Ответ: -0,6
Скрыть

$$\tg\varphi=8​$$

$$​\frac{\sin\varphi}{\cos\varphi}=8$$​

​$$\sin\varphi=8\cos\varphi$$​ и подставляем это в нашу дробь

$$\frac{\cos\varphi-16\cos\varphi}{24\cos\varphi+\cos\varphi}=-0,6$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 10

При температуре 0° С рельс имеет длину $$l_0 = 20$$ м. При возрастании температуры происходит тепловое расширение рельса, и его длина (в метрах) меняется по закону $$l(T)=l_0(1+\alpha\cdot T)$$, где $$\alpha=1,2\cdot10^{-5}$$ (°C)-1 - коэффициент теплового расширения, $$Т$$ - температура (в градусах Цельсия). На сколько миллиметров увеличится длина рельса в сравнении с $$l_0$$ при температуре 20°С?

Ответ: 4,8
Скрыть

Задача на применение формулы

$$​l(20)=20(1+1,2\cdot10^{-5}\cdot20)​$$

Нам нужно найти ​$$d_l=l(20)-l(0)=l(20)-l_0=l_0αT=4,8$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 11

Автоматическая линия выпускает за 600 операций три партии шин для легковых автомобилей и 11 партий шин для грузовых автомобилей. Если бы эта автоматическая линия изготовляла только шины для грузовых автомобилей и изготовила столько партий таких шин, сколько операций она тратит на изготовление партии шин для легковых автомобилей, то этой линии потребовалось бы не менее 2727 операций. Сколько операций требуется ей для изготовления одной партии шин для грузовых автомобилей?
Ответ: 27
Скрыть

Пусть ​$$x$$​ операций требуется для изготовления 1 партии легковых машины и ​$$y$$​ операций для грузовых

Составим два уравнения исходя из условия

$$\left\{\begin{matrix} 3x+11y=600\quad (1)\\ xy\geq2727\quad (2) \end{matrix}\right.$$

Осталось решить данную систему

Выражаем $$(2)$$ через $$(1)$$

$$x\frac{600-3x}{11}\geq2727$$​

$$x^2-200x+99\cdot101\leq0$$

​$$x_1=99​$$

$$​x_2=101​$$

Не забываем, что количество операций - целое число.

Подставляем это в $$(2)$$ и получаем, что только при ​$$x=101$$​ будет целое число операций

$$​y=27$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 12

Найдите наименьшее значение функции:

$$y=6\cdot|x-3|+3\cdot|3x-2|$$

Ответ: 14
Скрыть

Функция - прямая, в зависимости от x, модуль будет раскрываться по разному и прямая будет или убывать или возрастать.

Обозначим $$k$$​-угловой коэффициент этой прямой

1) ​$$x>3​$$

$$​y=6(x-3)+3(3x-2)​$$

​$$k>0​$$

2) $$​\frac{2}{3}<x\leq3​$$

$$​k>0​$$

3) ​$$x\leq\frac{2}{3}​$$

​$$k<0​$$

Т.е. при переходе через точку ​$$x=\frac{2}{3}​$$ производная меняет знак, а это свидетельствует о точке экстремума, в нашем случае – это точка минимума.

$$​y(\frac{2}{3})=14$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 13

А) Решите уравнение $$2\log_3^2(8\sin x-\sqrt{3})-7\log_3(8\sin x-\sqrt{3})+6=0$$

Б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[-3\pi;-\frac{3\pi}{2}]$$

Ответ: А)$$\frac{\pi}{3}+2\pi n;\frac{2\pi}{3}+2\pi n,n\in Z $$ Б)$$-\frac{5\pi}{3}$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 14

Две боковые грани пирамиды, в основании которой лежит ромб, перпендикулярны к плоскости основания.

а) Докажите, что две другие боковые грани образуют равные двугранные углы с плоскостью основания.

б) Найдите объем пирамиды, если боковые грани, перпендикулярные к плоскости основания, образуют двугранный угол 120o, а боковая грань, составляющая с плоскостью основания угол в 30o, имеет площадь 36 см2.

Ответ: $$36\sqrt{6}$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 15

Решите неравенство: $$\frac{9^x-5\cdot12^x+4^{2x+1}}{\log_2(6x^2-11x+4)}\leq0$$
Ответ: $$[\log_{\frac{3}{4}}4;0]\cup(\frac{1}{3};\frac{1}{2})\cup(\frac{4}{3};\frac{3}{2})$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 16

В выпуклом четырехугольнике KLMN точки Р и Q - середины сторон NK и LM соответственно. Диагональ КМ делит точкой пересечения отрезок PQ пополам.

а) Докажите, что площадь четырехугольника KLMN в 4 раза больше площади треугольника PMN.

б) Найдите синус угла между диагоналями четырехугольника, вершинами которого служат середины сторон четырехугольника KLMN, если площадь PMN равна $$6\sqrt{3}$$, КМ = 12, NL = 8.

Ответ: $$\frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{133}}$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 17

В каждом из двух комбинатов работает по 1000 человек. На первом комбинате один рабочий изготавливает за смену 3 детали А или одну деталь В. На втором комбинате для изготовления 101 деталей (как А, так и В) требуется t2 человеко-смен. Оба комбината поставляют детали на завод, где из деталей собирают изделие, для изготовления которого нужны одна деталь А и 3 детали В. При этом комбинаты договариваются между собой изготавливать детали так, чтобы можно было собрать наибольшее число изделий. Сколько изделий при таких условиях может собрать завод за смену?

Ответ: 400
Аналоги к этому заданию:

Задание 18

Найдите все значения параметра $$a$$, при каждом из которых система уравнений

$$\left\{\begin{matrix} \frac{(|y|-x-2)(x^2-4x+y^2+2)}{x+2}=0\\ y=\sqrt{a-3}\cdot x \end{matrix}\right.$$

имеет ровно два различных решения.

Ответ: $$\left\{3\right\}\cup[4;+\infty)$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 19

а) Существует ли такое натуральное число n, что числа n2 и (n + 17)2 имеют одинаковые остатки при делении на 69?

б) Существует ли такое натуральное число n, что числа n2 и (n + 17)2 имеют одинаковые остатки при делении на 68?

в) Пусть k(m) - количество трехзначных натуральных чисел n, таких, что числа n2 и (n + m)2 имеют одинаковые остатки при делении на 68, причем m - двузначное натуральное число. Определите наименьшее значение k, отличное от нуля.

Ответ: А) да, Б) нет, В) 52, например m = 40 и m = 74