Перейти к основному содержанию

233 вариант Алекса Ларина. Разбор ЕГЭ математика 2018.

Решаем ЕГЭ 233 вариант Ларина. Подробное решение 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15 заданий тренировочного варианта ЕГЭ Ларина №233 (alexlarin.com)

Решаем ЕГЭ 233 вариант Ларина. Подробное решение 16,17,18,19 заданий тренировочного варианта ЕГЭ Ларина №233 (alexlarin.com)

Аналоги к этому заданию:

Задание 1

Выпускники 11 «A» класса покупают букеты цветов для последнего звонка: из 3 роз  каждому учителю и из 7 роз классному руководителю и директору. Они собираются  подарить цветы 15 учителям (включая директора и классного руководителя), розы  покупаются по оптовой цене 35 рублей за штуку. Сколько рублей стоят все розы?  

Ответ: 1855
Скрыть

учителям: 13*3=39 роз
Директору и классному : 2*7=14 роз
Всего: 39+14=53 розы
Стоимость : 53*35=1855 рублей

Аналоги к этому заданию:

Задание 2

На рисунке примерно показано изменение температуры воздуха в Москве с 14 по 21 января. По горизонтали указываются числа января, по вертикали – температура в градусах Цельсия.

Пользуясь рисунком, найдите разность между наибольшей и наименьшей температурой за те сутки, когда произошло резкое похолодание.

Ответ: 19
Скрыть

Резкое похолодание 16 числа :
$$t_{max}=-1 , t_{min}=-20$$
$$t_{max}-t_{min}=-1-(-20)=19$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 3

Площадь параллелограмма ABCD равна  20. Точка Е – середина стороны CD.  Найдите площадь трапеции ABCE.  

Ответ: 15
Скрыть

$$S_{ADE}=\frac{1}{2}*DE*h$$ , где h-высота из A к DE .
$$S_{ABCD}=DC*h=2 *DE*h=4S_{ADE}=20\Rightarrow$$ $$S_{ADE}=\frac{20}{4}=5$$
$$S_{ABCE}=S_{ABCD}-S_{ADE}=3 S_{ADE}=15$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 4

В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к  концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе  закончится в обоих автоматах, равна 0,12. Найдите вероятность того, что к концу дня  кофе останется в обоих автоматах.  

Ответ: 0,52
Скрыть

Найдем вероятность противоположного события –закончится хотя бы в одном: $$\bar{p}=0,3+0,3-0,12=0,48$$
Тогда вероятность , что остается в обоих: $$p=1-\bar{p}=0,52$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 5

 Решите уравнение $$\cos\frac{\pi x}{6}=-0,5$$. В ответе запишите наибольший отрицательный корень уравнения.

Ответ: -4
Скрыть

$$\cos \frac{\pi x}{6}=-0,5\Leftrightarrow$$ $$\frac{\pi x}{6}=\pm \frac{2 \pi}{3}+2 \pi n, n \in Z\Leftrightarrow$$ $$x=\pm 4+12n, n \in Z$$

Найдем наибольший отрицательный :

$$\left\{\begin{matrix}4+12n<0\\-4+12n<0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}12n<-4\\12<4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}n<-\frac{1}{3}\\n<\frac{1}{3}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left{\begin{matrix}n=-1\\n=0 & &\end{matrix}\right.$$

$$x_{1}=4+12(-1)=-8$$, $$x_{2}=-4+12*0=-4$$

Наибольший отрицательный: -4.

Аналоги к этому заданию:

Задание 6

На стороне BC прямоугольника ABCD (AB=15, AD=23)  отмечена точка K так, что треугольник AKB  равнобедренный. Найдите DK. 

Ответ: 17
Скрыть

KC=BC-BK=AD-AB=23-15=8
Из $$\Delta KDC$$: $$KD=\sqrt{KC^{2}+CD^{2}}=$$$$\sqrt{15^{2}+8^{2}}=17$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 7

На рисунке изображен график  функции $$y=f(x)$$, определенной на  интервале$$(-1;13)$$. Определите  количество целых чисел $$x_{1}$$, для  которых $$f'(x_{1})$$ отрицательно.

Ответ: 4
Скрыть

{f}'x (0;15)-одно целое
(5;9)- три целых
(12;13)-ноль целых
Всего 4 целых

Аналоги к этому заданию:

Задание 8

Для каждой грани куба с ребром 6 проделали сквозное  квадратное отверстие со стороной квадрата 2. Найдите объем  оставшейся части. 

Ответ: 160
Скрыть

Внутри будет пространственный крест , состоящий из 7 кубов со стороной 2. Тогда его объем : $$V_{1}=2^{3}*7=56$$
Объем изначального куба: $$V=6^{3}=216$$
Объем оставшейся части: 216-56=160

Аналоги к этому заданию:

Задание 9

Найдите значение выражения $$8\tan\frac{7\pi}{3}\cdot\tan\frac{11\pi}{6}$$

Ответ: -8
Скрыть

$$8 tg \frac{7 \pi}{3}* tg\frac{11 \pi}{6}=$$$$8 tg(2 \pi+\frac{\pi}{3})tg(2 \pi -\frac{\pi}{6})=$$$$-8tg\frac{\pi}{3}tg\frac{\pi}{6}=$$$$-8*\sqrt{3}*\frac{\sqrt{3}}{3}=-8$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 10

В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплён кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нём, выраженная в метрах, меняется по закону $$H(t)=H_{0}-\sqrt{2gH_{0}}\cdot kt+\frac{g}{2}k^{2}t^{2}$$,где t - время (в секундах), прошедшее с момента открытия крана,$$H_{0}=20$$м - начальная высота столба воды, $$k=\frac{1}{500}$$ - отношение площадей поперечных сечений крана и бака,а g -ускорение свободного падения (считайте g =10 м\с2). Через сколько секунд после открытия крана в баке останется четверть первоначального объёма?

Ответ: 500
Скрыть

Раз осталась четверть объема , то : $$H(t)=\frac{H_{0}}{4}=5$$. Получим :

$$5=20-\sqrt{2*10*20}*\frac{1}{500}*t+\frac{10}{2}(\frac{1}{500})^{2}*t^{2}$$

$$\frac{t^{2}}{50000}-\frac{2}{50}t+15=0|*50000$$

$$t^{2}-2000t+750000=0$$

$$\left\{\begin{matrix}t_{1}+t_{2}=2000\\t_{1}*t_{2}=750000\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}t_{1}=500\\t_{2}=1500\end{matrix}\right.$$.

С учетом свойств квадратичной функции в ответ берем меньшее положительное значение : 500

Аналоги к этому заданию:

Задание 11

Двое рабочих выполняют некоторую работу. Если ко времени, за которое  выполнит всю работу первый рабочий, прибавить время, за которое выполнит всю  работу второй рабочий, получится 12 часов. За сколько часов выполнит работу первый  рабочий, если разность времени первого и второго рабочих в полтора раза больше  времени, за которую выполнят всю работу оба рабочих, работая совместно?  

Ответ: 8
Скрыть

Пусть x-производительность первого, y-второго , объем работы 1. Тогда :

$$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=12$$ - к времени первого прибавим время второго,

$$(\frac{1}{x}-\frac{1}{y})=1,5*\frac{1}{x+y}$$ - разность времени больше в 1,5 раза. Тогда :

$$\left\{\begin{matrix}\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=12\\\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=\frac{3}{2(x+y)}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\frac{y+x}{xy}=12\\\frac{y-x}{xy}=\frac{3}{2(x+y)}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}xy=\frac{y+x}{12} (1)\\\frac{2(y-x)}{2xy}=\frac{3}{2(x+y)}(2)\end{matrix}\right.$$

Подставим из (1) в (2):

$$\frac{2(y-x)*12}{2(x+y)}=\frac{3}{2(x+y)}\Leftrightarrow$$ $$24(y-x)=3\Leftrightarrow$$ $$y-x=\frac{1}{8}\Leftrightarrow$$ $$y=\frac{8x+1}{8}$$

Подставим в (1) : $$\frac{8x+1}{8}*x=\frac{\frac{8x+1}{8}+x}{12}\Leftrightarrow$$ $$\frac{8x^{2}+x}{8}=\frac{8x+8x+1}{8*12}|*(8*12)\Leftrightarrow$$ $$12(8x^{2}+x)=16x+1\Leftrightarrow$$$$96x^{2}+12x-16x-1=0\Leftrightarrow$$ $$96x^{2}-4x-1=0$$

$$D=16+384=400$$

$$x_{1}=\frac{4+20}{2*96}=\frac{1}{8}\Rightarrow$$ $$t_{x}=1:\frac{1}{8}=8$$

$$x_{2}=\frac{4-20}{2*96}<0$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 12

Найдите наименьшее значение функции $$f(x)=2x^{3}-15x^{2}+24x+200$$ на  отрезке [-3;2].

Ответ: -61
Скрыть

Найдем $${f}'(x)=0$$: $${f}'(x)=6x^{2}-30x+24=0|:6$$

$$x^{2}-5x+4=0$$

$$\left\{\begin{matrix}x_{1}+x_{2}=5 & & \\x_{1}x_{2}=4 & &\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x_{1}=1 & & \\x_{2}=4 & &\end{matrix}\right.$$

$$x=1\rightarrow$$ $$max$$ . Тогда $$f_{min}=f(-3)$$ или $$f(12)$$

$$f(-3)=2(-3)^{3}-15*(-3)^{2}+24(-3)+200=-61$$

$$f(2)=2*2^{3}-15*2^{2}+24*2+200=204$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 13

А) Решите уравнение $$\frac{\cos 2x -\cos 4x -4\sin 3x -2\sin x+4}{2\sin x -1}=0$$

Б) Найдите корни, принадлежащие промежутку $$[-\pi; \frac{3\pi}{2})$$

Ответ: А) $${-\frac{\pi}{2}+2\pi k | k\in Z}$$ Б) $${-\frac{\pi}{2}}$$
Скрыть

   А) $$\frac{\cos 2x-\cos 4x-4\sin 3x-2\sin x+4}{2\sin x-1}=0\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\cos 2x-\cos 4x-4\sin 3x-2\sin x+4=0\\2\sin x\neq 1\end{matrix}\right.$$

     Рассмотрим первое условие полученной системы. $$2\sin x \sin 3x-4 \sin 3x-2 \sin x+4=0\Leftrightarrow$$ $$\sin 3x(\sin x-2)-(\sin x-2)=0\Leftrightarrow$$ $$(\sin 3x-1)(\sin x-2)=0$$

     Поскольку $$\left | \sin x \right |\leq 1$$, остаётся только уравнение : $$\sin 3x-1=0$$, откуда $$x=\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi}{3}n$$.

     Сравним решения второго условия системы с полученными решениями: $$\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi}{3}n\neq \frac{\pi}{6}+2\pi k\Rightarrow$$ $$n\neq 3k,k \in Z$$ и $$\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi}{3}n\neq \frac{5\pi}{6}+2\pi k\Rightarrow$$ $$n\neq 1+3k,k\in Z$$

     Таким образом ,остаются только те решения первого уравнения , для которых $$n=3k-1$$: $$x=\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi*(3k-1)}{3}=-\frac{\pi}{6}+2\pi k$$

   Б) $$-\pi\leq -\frac{\pi}{2}+2\pi k<\frac{3\pi}{2}\Leftrightarrow$$ $$-\frac{1}{4}\leq k<1\Leftrightarrow$$ $$k=0\Rightarrow$$ $$x=-\frac{\pi}{2}$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 14

На ребрах NN1 и KN куба KLMNK1L1M1N1 отмечены такие точки P и  Q, что $$\frac{KQ}{QN}=\frac{1}{4}$$, $$\frac{NP}{PN_{1}}=4$$ . Через точки M1,P,Q проведена плоскость. 1

     А) Докажите, что плоскость делит объем куба в отношении 61:89

     Б) Найдите расстояние от точки K до плоскости сечения, если ребро куба равно 3.

Ответ: $$\frac{3}{\sqrt{51}}$$
Скрыть

   А) Пусть KQ=t и QN=4t . Поскольку $$NN_{1}=KN$$, то $$PN=QN=4t$$ и $$N_{1}P=KQ=t$$.

     Построим сечение плоскостью $$M_{1}PQ$$. Соединим отрезки $$QP, PM_{1}$$. Через точку $$M_{1}$$ проводим прямую $$M_{1}R\left |\right |PQ$$. Поскольку $$\Delta QPN\sim \Delta M_{1}RM$$, $$\frac{QN}{MR}=\frac{PN}{M_{1}M}=\frac{4}{5}\Rightarrow$$ $$MR=ML=5t$$, тогда точки R и L совпадают . Соединим точки L,Q и получаем сечение плоскостью - четырехугольник $$M_{1}LQP$$. Проведём $$M_{1}P LQ\cap M_{1}P=T$$. $$\Delta MTL\sim \Delta NQT$$, откуда $$\frac{ML}{QN}=\frac{MT}{NT}\Rightarrow$$ $$\frac{MN}{NT}=\frac{1}{4}$$ и $$NT=20t$$.

     $$V_{LQNPM_{1}M}=V_{M_{1}LMT}-V_{PNQT}=$$$$\frac{1}{3}S_{MLT}*MM_{1}*PN=$$$$\frac{1}{3}*\frac{1}{2}*5t*25t*5t-\frac{1}{3}*\frac{1}{2}*4t*20t*4t=$$$$\frac{1}{6}(625t^{3}-320t^{3})=$$$$\frac{305}{6}t^{3}$$

     $$V_{ost}=V_{KLMNK_{1}L_{1}M_{1}N_{1}}-V_{LQNPM_{1}M}=$$$$125t^{3}-\frac{305}{6}t^{3}=$$$$\frac{750t^{3}-305t^{3}}{6}=$$$$\frac{445}{6}t^{3}$$ и $$\frac{V_{LQNPM_{1}M}}{V_{ost}}=$$$$\frac{305}{405}=\frac{61}{89}$$

   Б) Введем систему координат XYZ с центром в точке K(0;0;0), тогда соответственно Q(t;0;0),L(0;5t;0),P(5t;0;4t).

     Составляем уравнение плоскости: $$ax+by+cz+d=0$$

     $$\left\{\begin{matrix}at+d=0\\5bt+d=0\\5at+4ct+d=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}a=-\frac{d}{t}\\b=-\frac{d}{5t}\\4ct=-5at-d\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}a=-\frac{d}{t}\\b=-\frac{d}{5t}\\c=\frac{d}{t}\end{matrix}\right.$$ , тогда уравнение плоскости примет вид :

     $$-\frac{d}{t}x-\frac{d}{5t}y+\frac{d}{t}z+d=0\Leftrightarrow$$ $$5x+y-5z=0$$ , вектор нормали $$\bar{n}(5,1,-5)$$. Применяем формулу расстояния от точки $$(x_{0}, y_{0},z_{0})$$ до плоскости $$ax+by+cz+d=0$$

     $$p=\frac{\left | ax_{0}+by_{0}+cz_{0}+d \right |}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+C^{2}}}$$, откуда $$p=\frac{\left | 5*0-1*0-5*0-5r \right |}{\sqrt{5^{2}+1^{2}+5^{2}}}=\frac{5t}{\sqrt{51}}$$. Поскольку ребро куба равно 3,т.е. 5t=3, тогда искомое расстояние $$p=\frac{3}{\sqrt{51}}$$

Ответ: $$p=\frac{3}{\sqrt{51}}$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 15

Решите неравенство: $$\log_{10} |2x+3|^{3}+2\log_{(2x+3)^{3}} 10<3$$

Ответ: $$(-\frac{3}{2};-1) \cup(\frac{\sqrt[3]{10}-3}{2};\frac{\sqrt[3]{100}-3}{2})$$
Скрыть

     Обозначим $$y=(2x+3)^{3}>0$$. Тогда исходное неравенство примет вид: $$\lg y +\frac{2}{\lg y}<3$$

     Снова заменим переменную: $$\lg y=t$$. Тогда $$y+\frac{2}{5}-3<0\Leftrightarrow$$ $$\frac{(t-1)(y-2)}{t}<0$$

     Отберем решения последнего неравенства с помощью метода интервалов. Получаем: $$\left\{\begin{matrix}t<0\\1<t<2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}lg y<0\\1<lg y <2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}0<y<1\\10<y<100\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}0<(2x+3)^{3}<1\\10<(2x+3)^{3}<100\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}0<2x+3<1\\\sqrt[3]{10}<2x+3<\sqrt[3]{100}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}-\frac{3}{2}<x<-1\\\frac{\sqrt[3]{10}-3}{2}<x<\frac{\sqrt[3]{100}-3}{2}\end{matrix}\right.$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 16

Сторона АВ треугольника АВС равна 3, ВС=2АС, Е – точка пересечения продолжения биссектрисы CD данного треугольника с описанной около него окружностью, причем DE=1.

А) Докажите, что AE || BC
Б) Найдите длину стороны АС
Ответ: $$\sqrt{3}$$
Скрыть

   А) 1) Пусть $$\angle ACE=a$$. Так как дуги AE и BE равны, $$\angle BAE=\angle ABE=a$$.

     2) По свойству биссектрисы $$\frac{BD}{AD}=\frac{BC}{AC}=2$$, поэтому $$BD=2, AD=1$$.

     3) Треугольник ADE - равнобедренный , поэтому $$\angle AED=a$$, $$AE\left |\right |BC$$, поскольку равны накрест лежащие углы AEC и BCE

   Б) 1) Треугольники  ACE и ABE - равнобедренный. Пусть $$AC=AE=BE=x\Rightarrow$$$$BC=2x$$

     2) ABCD-равнобедренная трапеция , проведем $$AS\perp BC\Rightarrow$$$$CS=\frac{2x-x}{2}=\frac{x}{2}=\frac{AC}{2}$$.Значит, $$\angle CAS=30,\angle ACS=2a=60\Rightarrow$$ $$\angle ABC=\angle BAE=a=30$$

     3) Из прямоугольного $$\Delta ABC$$: $$AC=AB*tg 30=\frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 17

Два банка начисляют проценты по вкладам (свои в каждом банке). Причем первый из них начисляет проценты ежеквартально на всю лежащую на счете сумму, второй – начисляет проценты по вкладу в конце года. Если клиент положит на два года четверть имеющейся у него суммы денег в первый банк, а оставшуюся часть – во второй, то его прибыли составит 40,08% от первоначальной суммы. Если же наоборот три четверти исходной суммы – в первый, а оставшуюся часть – во второй, то через два года прибыль составит 70%. Какова будет его прибыль в процентах от первоначальной суммы, если он положит все деньги на один год в первый банк?

Ответ: 36%
Скрыть

Обозначим сумму вклада как S, а процентные ставки по кредиту в первом и втором банках соответственно $$k_{1}$$ и $$k_{2}$$.

     1) Если клиент положит на два года четверть суммы в первый банк, то сумма вклада составит $$\frac{S}{4}k_{1}^{8}$$, а если во второй банк три четверти суммы, то сумма вклада составит $$\frac{3S}{4}k_{2}^{2}$$. Прибыль составит 40,08% от первоначальной суммы, тогда получаем уравнение $$\frac{S}{4}k_{1}^{8}+\frac{3S}{4}k_{2}^{2}=1,4008S\Leftrightarrow$$ $$\frac{1}{4}k_{1}^{3}=1,4008$$

     2) Если клиент наоборот положит на два года три четверти суммы в первый банк, то сумма вклада составит $$\frac{3S}{4}k_{1}^{8}$$, а если во второй банк четверть суммы, то сумма вклада составит $$\frac{S}{4}k_{2}^{2}$$. Прибыль составит 70% от первоначальной суммы, отсюда получаем еще одно уравнение $$\frac{3S}{4}k_{1}^{8}+\frac{S}{4}k-{2}^{2}=1,7S\Leftrightarrow$$ $$\frac{3}{4}k_{1}^{8}+\frac{1}{4}k_{2}^{2}=1,7$$

     3) Получаем систему: $$\left\{\begin{matrix}\frac{1}{4}k_{1}^{8}+\frac{3}{4}k_{2}^{2}=1,4008\\\frac{3}{4}k_{1}^{8}+\frac{1}{4}_{2}^{2}=1,7\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}k_{1}^{8}+3k_{2}^{2}=5,6032\\k_{2}^{2}=6,8-3k_{1}^{8}\end{matrix}\right.\Rightarrow$$ $$k_{1}^{8}+3(6,8-3k_{1}^{8})=5,6032\Leftrightarrow$$ $$k_{1}^{8}+20,49k_{1}^{8}=5,6032\Leftrightarrow$$ $$8k_{1}^{8}=14,7968\Leftrightarrow$$ $$k_{1}^{8}=1,8496\Leftrightarrow$$ $$k_{1}^{4}=1,36$$

     4) Если клиент положит всю сумму в первый банк, то прибыль в процентах от первоначальной суммы составит $$\frac{Sk_{1}^{4}-S}{S}=k_{1}^{4}-1=1,36-1=0,36$$ - 36%

Аналоги к этому заданию:

Задание 18

Найдите все значения параметра a, при которых неравенство $$x^{2}+4x+6a|x+2|+9a^{2} \leq 0$$ имеет не более одного решения.

Ответ: $$[\frac{2}{3};+\infty )$$
Скрыть

Прибавим к обеим частям неравенства 4, получим: $$(|x+2|+3a)^{2}\leq 4\Rightarrow -2\leq \left | x+2 \right |+3a\leq 2\Rightarrow -2-3a\leq \left | x+2 \right |\leq 2-3a$$ (1)

     1. Если $$2-3a<0$$ , то есть  $$a>\frac{2}{3}$$, неравенство (1) не имеет решений (подходит под решение).

     2. Если $$2-3a=0$$, $$a=\frac{2}{3}$$ и неравенство (1) имеет одно рещение  x=-2 (подходит под решение)

     3. Если $$2-3a>0$$, неравенство (1) имеет множество рещений; в частности, этому множеству заведомо принадлежат значения $$x=-2\pm (2-3a)$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 19

Бесконечная геометрическая прогрессия $$b_{1},b_{2},...,b_{n},...$$ состоит из различных натуральных чисел. Пусть $$S_{1}=b_{1}$$ и $$S_{n}=b_{1}+b_{2}+...+b_{n}$$ при всех натуральных $$n\geq 2$$.

А) Приведите пример такой прогрессии, для которой среди чисел ровно два числа $$S_{1},S_{2},S_{3},S_{4}$$ делятся на 24.
Б) Существует ли такая прогрессия, для которой среди чисел $$S_{1},S_{2},S_{3},S_{4}$$ ровно три числа делятся на 24.
В) Какое наибольшее количество чисел среди $$S_{1},S_{2},...,S_{8}$$ может делиться на 24, если известно, что $$S_{1}$$ на 24 не делится?
Ответ: да,нет,4
Скрыть

Обозначим первый член прогрессии через b, а знаменатель прогрессии- через q (b,q- натуральные числа) . Докажем два вспомогательных утверждения

     1.Если b не делится на  24, то на  24 не могут делиться никакие две подряд идущие суммы. Доказательство следует из равенства  : $$b=S_{n+1}-qS_{n}$$

Действительно , если предположить , что $$S_{n}$$ и $$S_{n+1}$$ делятся на 24, то  b тоже будет делиться на 24.Противоречие .

     2. Если $$S_{2}$$ делиться на 24, то на  24 делятся все четные суммы $$S_{2n}$$. Доказательство следует по индукции из равенства : $$S_{2n+2}=q^{2}S_{2n}+S_{n}, n \in Z$$

     A) Ответ: да, например, прогрессия : 8,16,32,64….(b=8 ,q=2)

     Б)Ответ : нет. Если b делится на 24 , то на 24 делятся все четыре суммы. Если b  не делится на 24 , то $$S_{2},S_{3}$$ и $$S_{4}$$ не могут одновременно делиться на 24 в силу утверждения 1

     В)Ответ: 4. Из утверждения 1 следует , что количество сумм, которые делятся на 24, не больше четырех . В примере из пункта А) на 24 делятся $$S_{2},S_{4},S_{6}$$ и $$S_{8}$$( утверждение 2)