Перейти к основному содержанию

266 вариант Алекса Ларина. Разбор ЕГЭ математика 2019.

Решаем ЕГЭ 266 вариант Ларина. Подробное решение 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15 заданий тренировочного варианта ЕГЭ Ларина №266 (alexlarin.com)

Решаем ЕГЭ 266 вариант Ларина. Подробное решение 16,17,18,19 заданий тренировочного варианта ЕГЭ Ларина №266 (alexlarin.com)

Аналоги к этому заданию:

Задание 1

Из одного листа бумаги формата А4 при печати получается четыре книжные страницы. Сколько пачек бумаги по 500 листов формата А4 нужно заказать, чтобы напечатать брошюру, состоящую из 24 страниц, тиражом 1000 экземпляров?

Ответ: 12
Скрыть

Всего страниц: $$24*1000=24000$$

Всего листов А4: $$\frac{24000}{4}=600$$

Всего пачек бумаги: $$\frac{6000}{500}=12$$ пачек.

Аналоги к этому заданию:

Задание 2

На рисунке показано изменение биржевой стоимости акций нефтедобывающей компании в первой половине мая. 3 мая бизнесмен приобрёл 2000 акций этой компании. 1000 акций он продал 7 мая, а остальные акции продал 12 мая. Сколько рублей потерял бизнесмен в результате этих операций?

Ответ: 40000
Скрыть
Стоимость покупки 3 мая: $$2000*350=700000$$ рублей
Стоимость продажи 7 мая: $$1000*340=340000$$ рублей
Стоимость продажи 12 мая: $$1000*320=320000$$ рублей
Потери: $$7*10^{5}-(3,4+3,2)*10^{5}=40000$$ рублей
Аналоги к этому заданию:

Задание 3

Площадь закрашенной части круга, изображенного на клетчатой бумаге, равна 48. Найдите площадь не закрашенной части круга.

Ответ: 80
Скрыть

Центральный угол закрашенного сектора 135 градусов $$\Rightarrow$$ незакрашенного 360-135=225 градусов. Пусть S – площадь незакрашенного сектора, тогда:

S - 225 градусов
48 - 135 градусов

Тогда $$S=\frac{48*225}{135}=80$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 4

В ветеринарной лаборатории проводятся анализы на пироплазмоз. Если анализ не выявляет заболевания, говорят, что результат анализа отрицательный, в противном случае—что результат положительный. Если анализ отрицательный, врач назначает повторный анализ. Третий анализ не назначается. Вероятность ложного отрицательного анализа у больной пироплазмозом собаки равна 0,3. Найдите вероятность того, что с помощью такой процедуры у больной пироплазмозом собаки удастся выявить это заболевание.

Ответ: 0,91
Скрыть

Если вероятность ошибки составляет 0,3, то вероятность выявления 1-0,3=0,7. Выявить заболевание можно либо первым анализом (0,7), либо вторым (тогда первый отрицательный, и вероятность: $$0,3*0,7-0,21$$). Тогда итоговая вероятность выявления за 2 анализа: $$0,7+0,21=0,91$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 5

Найдите корень уравнения $$\log_{16} 4^{3x+4}=5$$

Ответ: 2
Скрыть

$$\log_{16}4^{3x+4}=5\Leftrightarrow$$ $$(3x+4)\log_{4^{2}}4=5\frac{3x+4}{2}=5\Leftrightarrow$$ $$3x+4=10\Leftrightarrow$$ $$3x=6\Leftrightarrow$$ $$x=2$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 6

В правильном шестиугольнике АВСDEF $$AD=2\sqrt{3}$$ . Найдите АЕ.

Ответ: 3
Скрыть

По свойству правильного шестиугольника: $$\angle D=120$$ ; $$\angle CDA=\angle ADE=\frac{\angle D}{2}=60$$;
$$AE\perp DE\Rightarrow$$ из $$\Delta ADE$$: $$AE=AD*\cos DAE=2\sqrt{3}\cos 30=$$$$2\sqrt{3}*\frac{\sqrt{3}}{2}=3$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 7

Функция $$f(x)$$ определена на отрезке [‐4; 5]. На рисунке приведен график ее производной $$f'(x)$$. По графику определите количество критических точек функции $$y=f(x)$$.

Ответ: 4
Скрыть

Необходимо определить точки , где производная равна 0 или не существует : $$-3;-1; \approx 0,4 ; 2$$ - 4 штуки (т.к. дан график производной, то смотрим , где он пересекает ось Ox или значение по х, где $$f^{'}(x)$$ не существует – пустая точка)

Аналоги к этому заданию:

Задание 8

Найдите расстояние между точками А и В указанного на рисунке многогранника (все двугранные углы многогранника прямые).

Ответ: 13
Скрыть

1) Опустим $$AA_{1}\perp MN$$; $$A_{1}N=AK=2\Rightarrow$$ $$MA_{1}=MN-A_{1}N=5-2=3$$; $$MB=NH=4\Rightarrow$$ из $$\Delta MBA_{1}$$: $$BA_{1}=\sqrt{MB^{2}+MA_{1}^{2}}=5$$
2) $$AA_{1}=ML-ZQ=15-3=12$$. Из $$\Delta BAA_{1}$$: $$BA=\sqrt{BA_{1}^{2}+AA^{2}_{1}}=$$$$\sqrt{5^{2}+12^{2}}=13$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 9

Найдите значение выражения $$\frac{(4^{\frac{2}{7}}*9^{\frac{2}{3}})^{21}}{(-18)^{13}}$$

Ответ: -4,5
Скрыть

$$\frac{(2^{\frac{4}{7}}*9^{\frac{2}{3}})^{21}}{(-18)^{13}}=$$$$\frac{2^{\frac{4}{7}*21}*9^{\frac{2}{3}*21}}{-2^{13}*9^{13}}=$$$$\frac{2^{12}*9^{14}}{-2^{13}*9^{13}}=$$$$-\frac{9}{2}=-4,5$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 10

Кинетическая энергия тела, имеющего массу m (кг) и скорость v (м/с) равна $$E=\frac{mv^{2}}{2}$$ (Дж). Какую наименьшую начальную скорость должна иметь пуля массой 10 грамм, чтобы при прохождении через неподвижную мишень передать ей энергию не меньше 600 Дж, уменьшив при этом свою скорость не более, чем в два раза? (Считать, что в процессе полёта пули потери энергии не происходит). Ответ дайте в м/с.

Ответ: 400
Скрыть

   Начальная кинетическая энергия равна сумме переданной и конечной кинетической: $$\frac{mv^{2}}{2}=600+\frac{mv_{1}^{2}}{2}$$, при этом m=10 гр.= 0,01 кг., $$v_{1}=\frac{v}{2}\Rightarrow$$ $$\frac{mv^{2}}{2}-\frac{m \frac{v^{2}}{4}}{2}=600\Leftrightarrow$$ $$\frac{3 mv^{2}}{4*2}=600\Leftrightarrow$$ $$v=\sqrt{\frac{600*8}{3*m}}=\sqrt{\frac{200*8}{0,01}}=$$$$\sqrt{2^{4}*100^{2}}=2^{2}*100=400$$ м\c

Аналоги к этому заданию:

Задание 11

От пристани одновременно отправились катер и плот. Через 9 км катер развернулся и, пройдя еще 13 км, догнал плот. Найдите скорость течения реки, если собственная скорость катера равна 22 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Ответ: 4
Скрыть

   Сначала катер поплыл вниз по течению. Пусть скорость течения составляет х км\ч , тогда катер до момента разворота потратил $$\frac{9}{22+x}$$ часов, затем $$\frac{13}{22+x}$$ часов. При этом плот уплыл на 13-9=4 км от пристани и потратил $$\frac{4}{x}$$ часа $$\Rightarrow$$ $$\frac{9}{22-x}+\frac{13}{22+x}=\frac{4}{x}\Leftrightarrow$$ $$x(9(22+x)+13(22-x))=4(484-x^{2})\Leftrightarrow$$ $$x(484-4x)=4(484-x^{2})|:4\Leftrightarrow$$ $$121x-x^{2}=484-x^{2}\Leftrightarrow$$ $$121x=484\Leftrightarrow$$ $$x=4$$ км\ч

Аналоги к этому заданию:

Задание 12

Найдите наибольшее значение функции $$f(x)=2-\sqrt[4]{x^{2}-10x+41}$$

Ответ: 0
Скрыть

   Наибольшее значение f(x) будет при наименьшем $$g(x)=\sqrt{x^{2}-10x+41}$$. При этом $$m(x)=x^{2}-10x+41$$ принимает наименьшее значение (а, следовательно, и $$g(x)$$ ) в вершине параболы: $$x_{0}=-\frac{-10}{2}=5\Rightarrow$$$$m(x_{0})=5^{2}-10*5+41=16 \Rightarrow$$ $$g(x_{0})=\sqrt[4]{16}=2\Rightarrow$$ $$f(x)_{min}=2-2=0$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 13

а) Решите уравнение $$\sin(2x+\frac{5\pi}{2})-3\cos(x-\frac{7\pi}{2})=1+2\sin x$$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[-\frac{3\pi}{2};\pi]$$

Ответ: А) $$\pi n; \frac{\pi}{6}+2 \pi k; \frac{5 \pi}{6}+ 2 \pi k, n,k \in Z$$ Б) $$-\frac{7 \pi}{6}; -\pi ;0;\frac{\pi}{6};\frac{5\pi}{6}; \pi$$
Скрыть

     A) Воспользуемся формулами приведения: $$\sin (2x+\frac{5 \pi}{2})=\sin (\frac{5 \pi}{2}+2x)=$$$$\sin (\frac{\pi}{2}+2x)=\cos 2x$$; $$\cos (x-\frac{7 \pi}{2})=\cos (\frac{7 \pi}{2}-x)=$$$$\cos (\frac{3 \pi}{2}-x)=-\sin x$$

   Тогда получим: $$\cos 2x+3 \sin x-1-2 \sin x=0\Leftrightarrow$$ $$1-2 \sin ^{2}x+\sin x-1=0\Leftrightarrow$$ $$\sin x-2 \sin ^{2}x=0\Leftrightarrow$$ $$\sin x(1-2 \sin x)=0\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}\sin x=0\\\sin x=\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left[\begin{matrix}x=\pi n, n \in Z\\x=\frac{\pi}{6}+2 \pi k\\x=\frac{5 \pi}{6}+ 2 \pi k\end{matrix}\right.$$

     Б) Найдем корни, принадлежащие $$[-\frac{3 \pi}{2}; \pi]$$:

$$\frac{5 \pi}{6}+2 \pi k$$:$$ -\pi-\frac{\pi}{6}=-\frac{7 \pi}{6}$$; $$\pi-\frac{\pi}{6}=\frac{5 \pi}{6}$$

$$\pi n$$: $$-\pi ;0; \pi$$.

$$\frac{\pi}{6}+\pi k$$: $$0+\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{6}$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 14

Длина ребра куба ABCDA1B1C1D1 равна 1. На ребре АА1 взята точка Е так, что длина отрезка АЕ равна 1/3. На ребре ВС взята точка F так, что длина отрезка BF равна 1/4. Через центр куба и точки Е и F проведена плоскость $$\alpha$$.

А) Найдите угол между плоскостью АВС и $$\alpha$$
Б) Найдите расстояние от вершины В1 до плоскости $$\alpha$$.
Ответ: А) $$\arccos \frac{9}{\sqrt{170}}$$ Б) $$\frac{11}{\sqrt{170}}$$
Скрыть

     A) 1) Пусть $$A_{1}C\cap B_{1}D=M\Rightarrow$$ M –центр куба; через E и M проведем прямую (они лежат в плоскости ($$AA_{1}C$$) )$$\cap CC_{1}=I$$

     2) $$I$$ и $$F \in (BB_{1}C_{1})\Rightarrow$$ проведем прямую; $$IF\cap BB_{1}=K$$; $$E$$ и $$K \in (BB_{1}A_{1})\Rightarrow$$ соединяем , $$EK\cap AB=J$$; $$F$$ и $$J \in (ABC)\Rightarrow$$ соединяем .

    3) $$(BB_{1}C_{1}) \left | \right |(AA_{1}D_{1})\Rightarrow$$ из E прямую, параллельную IF; она $$\cap A_{1}D_{1} =G$$. Аналогично из G прямую параллельную $$JF\Rightarrow \cap C_{1}D_{1}=H$$; соединим H и I $$\Rightarrow$$ (EGHIFJ)-искомое сечение ($$\alpha$$)

     4) Введем отртогональную систему координат как показано на рисунке и зададим уравнение $$(\alpha )$$: $$E(0;0;\frac{1}{3})$$;

$$F(1; \frac{1}{4} ;0)$$; $$M(\frac{1}{2}; \frac{1}{2}; \frac{1}{2})$$. Пусть $$ax+by+cz+d=0$$ уравнение ($$\alpha$$), тогда:

$$\left\{\begin{matrix}a*0+b*0+c*\frac{1}{3}+d=0 & & & \\a*1+b*\frac{1}{4}+c*0+d=0\\a*\frac{1}{2}+\frac{1}{2}b+\frac{1}{2}c+d=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{matrix}c=-3d\\4a+b+4d=0\\a+b+c+2d=0\end{matrix}\right.$$

   Подставим из первого в третье: $$a+b-3d+2d=0\Rightarrow$$ $$a+b-d=0\Rightarrow$$ $$a=d-b$$

   Подставим во второе: $$4d-4b+b+4d=0\Rightarrow$$ $$-3b=-8d\Rightarrow$$ $$b=\frac{8d}{3}\Rightarrow$$ $$a=-\frac{5d}{3}$$

   Тогда уравнение плоскости $$(\alpha)$$: $$\frac{-5d}{3}x+\frac{8d}{3}y-3dz+d=0$$ $$\Rightarrow$$ $$-5x+8y-9z+3=0\Rightarrow$$ нормаль вектора для (EGH): $$\bar{n}(-5 ;8; -9)$$. Для (ABC): $$\bar{AA_{1}}(0; 0; 1)$$ (ось Oz)

   Тогда $$\cos (\alpha ; (ABC))=\cos (\bar{n}$$; $$\bar{AA_{1}})=\frac{\left | -5*0+8*0-9*1 \right |}{\sqrt{(-5)^{2}+8^{2}+(-9)^{2}}*\sqrt{0^{2}+0^{2}+1^{1}}}=$$$$\frac{9}{\sqrt{170}}\Rightarrow$$ угол между $$\alpha$$ и (ABC) : $$\arccos \frac{9}{\sqrt{170}}$$

     Б) Найдем расстояние от $$B_{1}(1; 0; 1)$$ до $$\alpha$$: $$r=\frac{\left | -5*1+8*0+(-9)*1+3 \right |}{\sqrt{(-5)^{2}+8^{2}+(-9)^{2}}}=\frac{11}{\sqrt{170}}$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 15

Решите неравенство $$\log_{\frac{1}{\sqrt{5}}} (6^{x+1}-36^{x})\geq -2$$

Ответ: $$(-\infty ; 0]\cup [\log_{6}5; 1)$$
Скрыть

     ОДЗ: $$6^{x+1}-36^{x}>0\Leftrightarrow$$ $$6*6^{x}-6^{2x}>0\Leftrightarrow$$ $$6^{x}(6-6^{x})>0\Leftrightarrow$$ $$6>6^{x}\Leftrightarrow$$ $$x<1$$

     Решение: $$\log_{\frac{1}{\sqrt{5}}}(6^{x+2}-36^{x})\geq -2\Leftrightarrow$$ $$\log_{\frac{1}{\sqrt{5}}}(6*6^{x}-6^{2x})\geq \log_{\frac{1}{\sqrt{5}}}5\Leftrightarrow$$ $$(6*6^{x}-6^{2x}-5)(\frac{1}{\sqrt{5}}-1)\geq 0\Leftrightarrow$$ $$(6^{2x}-6*6^{x}+5)\geq 0\Leftrightarrow$$ $$(6^{x}-5)(6^{x}-1)\geq 0\Leftrightarrow$$ $$(x-\log_{6}5)(x-0)\geq 0\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}x\geq \log_{6} 5\\x\leq 0\end{matrix}\right.$$

   С учетом ОДЗ: $$x \in (-\infty ; 0]\cup [\log_{6}5; 1)$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 16

В окружность с центром О вписан треугольник АВС ($$\angle A>\frac{\pi}{2}$$). Продолжение биссектрисы AF угла А этого треугольника пересекает окружность в точке L, а радиус АО пересекает сторону ВС в точке Е. Пусть АН – высота треугольника АВС. Известно, что $$AL=4\sqrt{2}$$, $$AH=\sqrt{2\sqrt{3}}$$, $$\angle AEH=\frac{\pi}{3}$$.

А) Докажите, что AF – биссектриса угла ЕАН
Б) Найдите отношение площади треугольника OAL к площади четырехугольника OEFL.
Ответ: $$\frac{4}{3}$$
Скрыть

     A) 1) Пусть $$AC<AB$$; т.к. AL –биссектриса $$\angle CAB$$, то $$\smile CL=\smile BL$$ (вписанные углы, опирающиеся на эти дуги равны ) $$\Rightarrow$$ $$\angle COL=\angle LOB$$(центральные ), $$OB=OC=OL$$ - радиусы $$\Rightarrow$$ $$\Delta BOL=\Delta OLC$$. Пусть $$OL\cap BC=D$$ $$\Rightarrow$$ т.к. $$\Delta BOL=\Delta OLC$$, то $$\angle BLO=\angle OLC$$ и $$BL=LC\Rightarrow$$ LD-биссектриса и высота $$\Rightarrow$$ $$LD\perp BC\Rightarrow$$ $$LD\left | \right |AH$$

     2) $$\angle OLA=\angle HAF$$ (накрест лежащие ); Из $$\Delta OAL$$: $$\angle OAL=\angle OLA$$ ($$OA=OL$$-радиусы ) $$\Rightarrow$$ $$\angle OAF=\angle LAH\Rightarrow$$ AF - биссектриса $$\angle EAH$$

     Б) 1) $$\angle AEH=60\Rightarrow$$ $$\Delta EAH \angle EAH=90-60=30\Rightarrow$$ $$\angle EAF=\angle FAH=\frac{30}{2}=15$$

     2) Пусть $$OG\perp AL\Rightarrow$$ из $$\Delta OAG$$: $$AO=\frac{AG}{\cos OAL}=\frac{\frac{1}{2}AL}{\cos OAL}$$; $$S_{OAL}=\frac{1}{2} AL*AO*\sin OAL=$$$$\frac{1}{2} AL*\frac{\frac{1}{2}AL}{\cos OAL}*\sin OAL=$$$$\frac{AL^{2}tg 15}{4}=8 tg 15$$

     3) из $$\Delta FAH$$: $$AF=\frac{AH}{\cos FAH}=\frac{AH}{\cos 15}$$. Из $$\Delta EAH$$: $$AE=\frac{AH}{\cos EAH}=\frac{AH}{\cos 30}$$; $$S_{\Delta FAE}=\frac{1}{2} AF*AE\sin 15=$$$$\frac{1}{2} *\frac{AH}{\cos 15}*\frac{AH}{\frac{\sqrt{3}}{2}}\sin 15=$$$$\frac{AH^{2}}{\sqrt{3}}tg15=2 tg15$$

     4) $$S_{OELF}=S_{OAL}-S_{FAE}=6 tg 15$$; $$\frac{S_{OAL}}{S_{OEFL}}=$$$$\frac{8 tg16}{6 tg15}=\frac{4}{3}$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 17

В два различных сосуда налиты растворы соли, причем в 1‐й сосуд налито 5 кг, а во второй ‐ 20 кг. При испарении воды процентное содержание соли в 1‐м сосуде увеличилось в p раз, а во втором – в раз. О числах qp и q известно, что 9=pq. Какое наибольшее количество воды могло при этом испариться из обоих сосудов вместе?

Ответ: $$\frac{55}{3}$$
Скрыть

     Пусть начальная концентрация в первом сосуде a% , тогда масса соли в нем: $$\frac{5a}{100}=\frac{a}{20}$$ кг. Во втором – b% , масса соли в нем : $$\frac{2ab}{100}=\frac{b}{5}$$ кг. Новая концентрация в первом сосуде p% .Докажем , что тогда масса раствора $$\frac{5}{p}$$. Пусть новая масса m кг. , тогда имеем:

m-100 %
$$\frac{a}{20}$$ - pa%

     Отсюда $$m=\frac{\frac{a}{20}*100}{pa}=\frac{5}{p}$$. То есть, если концентрация увеличилась в р раз, то масса раствора в р раз уменьшилась. Т.к. pq=9, то $$q=\frac{9}{p}$$. Тогда масса второго раствора: $$2-\frac{9}{p}=\frac{20p}{9}$$.

     Тогда из первого выпарилось: $$5-\frac{5}{p}=\frac{5p-5}{p}$$ кг. Из второго: $$20-\frac{20p}{9}=\frac{180-20p}{9}$$ кг. Составим функцию испарившейся массы: $$f(p)=\frac{5p-5}{p}+\frac{180-20p}{9}$$ и найдем ее максимум :

$$f^{'}(p)=\frac{5p-5p+5}{p^{2}}-\frac{20}{9}=0\Leftrightarrow$$ $$\frac{5}{p^{2}}=\frac{20}{9}\Rightarrow$$ $$p=\pm \frac{3}{2}$$. При этом p=1,5-точка максимума, следовательно, наибольшая масса: $$f(1,5)=\frac{5*1,5-5}{1,5}+\frac{180-20*1,5}{9}=\frac{55}{3}$$ кг.

Аналоги к этому заданию:

Задание 18

При каких значениях параметра a неравенство $$(a^{3}+(1-\sqrt{2})a^{2}-(3+\sqrt{2})a+3\sqrt{2})x^{2}+2(a^{2}-2)x+a>-\sqrt{2}$$ выполнено для любого x>0

Ответ: $$[-\sqrt{2}; 1)\cup [\sqrt{2} ;+\infty)$$
Скрыть

     Пусть $$f(x) =(a^{3}+(1-\sqrt{2})a^{2}-(3+\sqrt{2})a+3\sqrt{2})*x^{2}+2(a^{2}-2)x+(a+\sqrt{2})$$

     Получим , что $$f(x)>0$$. При этом график f(x)-парабола вида $$y=m x^{2}+nx+p$$, где $$m=(a^{3}+(1-\sqrt{2})a^{2}-(3+\sqrt{2})a+3\sqrt{2})$$, $$n=2(a^{2}-2)$$, $$p=a+\sqrt{2}$$

     При m<0 ветви параболы направлены вниз, но тогда f(x)>0 не выполнится для любого x>0. Следовательно, m>0. Решим данное неравенство: $$a^{3}+(1-\sqrt{2})a^{2}-(3+\sqrt{2})a+3\sqrt{2}>0\Leftrightarrow$$ $$a^{3}+a^{2}-3a-\sqrt{2}a^{2}-\sqrt{2}a+3\sqrt{2}>0\Leftrightarrow$$ $$a(a^{2}+a-3)-\sqrt{2}(a+a-3)>0\Leftrightarrow$$ $$(a-\sqrt{2})(a^{2}+a-3)>0\Leftrightarrow$$ $$(a-\sqrt{2})(a-\frac{-1+\sqrt{13}}{2})(a-\frac{-1-\sqrt{13}}{2})$$

     Получим, что $$a \in (\frac{-1-\sqrt{13}}{2}; \frac{-1+\sqrt{13}}{2})\cup (\sqrt{2} ;+\infty )$$. Следует рассмотреть отдельно значения, когда $$m=0$$:

   1) При $$a=\frac{-1-\sqrt{13}}{2}$$ получим : $$2((\frac{-1-\sqrt{13}}{2})^{2}-2)x+\frac{-1-\sqrt{13}}{2}+\sqrt{2}>0\Leftrightarrow$$ $$2(\frac{1+13+2\sqrt{13}-8}{4})x>\frac{1+\sqrt{13}-2\sqrt{2}}{2}\Leftrightarrow$$ $$x>\frac{1+\sqrt{13}-2\sqrt{2}}{6+2\sqrt{13}}>0\Rightarrow$$ не выполняется для любого x>0

   2) При $$a=\frac{-1+\sqrt{13}}{2}$$: $$2(\frac{13+1-2\sqrt{13}-8}{4})x+\frac{\sqrt{13}-1}{2}+\sqrt{2}>0\Leftrightarrow$$ $$\frac{6-2\sqrt{13}}{2}x> \frac{1-\sqrt{13}-2\sqrt{2}}{2}\Leftrightarrow$$ $$x<\frac{1-\sqrt{13}-2\sqrt{2}}{6-2\sqrt{13}}\Rightarrow$$ не выполняется для любого x>0

   3) $$a=\sqrt{2}$$: $$2((\sqrt{2})^{2}-2)x+\sqrt{2}+\sqrt{2}>0\Rightarrow$$ $$2\sqrt{2}>0\Rightarrow$$ $$a=\sqrt{2}$$ является решением.

     При m>0 ветви направлены вверх и существует 3 возможных расположения параболы, при которых f(x)>0:

$$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}x_{0}>0\\D<0\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}x_{0}<0\\f(0)>0\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}x_{0}=0\\f(0)=0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.$$ , где $$x_{0}$$ – абсцисса вершины параболы; D-дискриминант f(x); f(0)-значение функции в x=0.

    При этом $$x_{0}=-\frac{n}{m}$$, а так как m>0 , то $$x_{0}>0\Leftrightarrow$$ $$-n>0\Leftrightarrow n<0$$. Получим :

$$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}n<0\\D<0\end{matrix}\right.(1)\\\left\{\begin{matrix}n>0\\f(0)>0\end{matrix}\right. (2)\\\left\{\begin{matrix}n=0\\f(0)=0\end{matrix}\right. (3)\end{matrix}\right.$$. Рассмотрим системы по отдельности:

   (1): $$\left\{\begin{matrix}2(a^{2}-2)<0\\(2(a^{2}-2))^{2}-4(a-\sqrt{2})(a^{2}+a-3)(a+\sqrt{2})<0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}a^{2}-2<0\\4(a^{2}-2)(a^{2}-2-a^{2}-a+3)<0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}a^{2}-2<0\\(1-a)(a^{2}-2)<0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$a \in (-\sqrt{2};1)$$

   (2): $$\left\{\begin{matrix}a^{2}-2>0\\a+\sqrt{2}>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$a \in (\sqrt{2} +\infty )$$

   (3): $$\left\{\begin{matrix}a^{2}-2=0\\a+\sqrt{2}=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$a=-\sqrt{2}$$

     Объединяем все полученные значения : $$a \in [-\sqrt{2}; 1)\cup [\sqrt{2} ;+\infty)$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 19

А) Чему равно максимальное значение разности трёхзначного числа и суммы кубов его цифр?
Б) Для какого числа оно достигается?
В) Чему равно минимальное значение этой разности?
Ответ: 396; 620 и 621; -1260
Скрыть

     Пусть дано число $$100a+10b+c$$ ,где $$a \in [1; 9] \in N$$ ; $$b,c \in [0;9] \in Z$$. Тогда мы получим разность $$f=100a-a^{3}+10b-b^{3}+c-c^{3}=$$$$g(a)+g(b)+g(c)$$

     A) Рассмотрим п отдельности части f:

   1) $$g(a)=100a-a^{3}\Rightarrow$$ $$g^{'}(a)=100-3a^{2}\Rightarrow$$ $$a=\sqrt{\frac{100}{3}}\approx 5,7$$ (с учетом , что $$a\geq 1$$)$$\Rightarrow$$ $$g_{max}(a)=g(5)$$ или $$g_{max}=g(6)$$

$$g(5)=500-125=375$$
$$g(6)=600-216=384\Rightarrow a=6$$

   2) Аналогично, $$g^{'}(b)=10-3b^{2}\Rightarrow$$ $$b=\sqrt{\frac{10}{3}}\approx 1,8$$ - точка максимума $$\Rightarrow$$ $$g_{max}(b)=g(1)$$ или $$g_{max}(b)=2$$

$$g(1)=10-1=9$$
$$g(2)=20-8=12\Rightarrow b=2$$

   3) $$g^{'}(c)=1-3c^{2}\Rightarrow$$ $$c=\sqrt{\frac{1}{3}}\Rightarrow$$ $$g_{max}(c)=g(0)$$ или $$g_{max}(c)=g(1)$$

$$g(0)=0-0=0$$
$$g(1)=1-1=0$$

   Когда число 620 или 621 и $$f=396$$

     Б) Для чисел 620 и 621.

     B) С учетом п.А получим, что $$g_{min }(a)=g(1)$$ или $$g(9)$$ (т.к. точка максимума на промежутке [1 ; 9], следовательно, минимальное значение на концах:

$$g(1)=100-1=99$$
$$g(9)=900-9^{3}=171\Rightarrow g_{min}(a)=99$$

   Аналогично, $$g_{min}(b)=g(0)$$ или $$g(9)$$:

$$g(0)=0-0=0$$;
$$g(9)=90-9^{3}=-639$$

   Аналогично, $$g_{min}(c)=g(0)$$или $$g(9)$$:

$$g(0)=0$$ ;
$$g(9)=9-9^{3}=-720$$

   Тогда $$f_{min}=99-639-720=-1260$$