Перейти к основному содержанию

224 вариант Алекса Ларина. Разбор ЕГЭ математика 2018.

Решаем ЕГЭ 224 вариант Ларина. Подробное решение 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15 заданий тренировочного варианта ЕГЭ Ларина №224 (alexlarin.com)

Решаем ЕГЭ 224 вариант Ларина. Подробное решение 16,17,18,19 заданий тренировочного варианта ЕГЭ Ларина №224 (alexlarin.com)

Аналоги к этому заданию:

Задание 1

В сентябре 1 кг винограда стоил 60 рублей, в октябре виноград подорожал на 25%, а в ноябре еще на 20%. Сколько рублей стоил 1 кг винограда после подорожания в ноябре?

Ответ: 90
Скрыть

Подораж на 25 и 20%, значит стал стоить 125% и 120% от первоночальной цены $$60\cdot1,25\cdot1,20=90$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 2

На рисунке примерно изображена «демографическая пирамида», отображающая половозрастной состав населения Объединенных Арабских Эмиратов в 2000 году. По вертикали указывается возраст, по горизонтали—количество мужчин и женщин данного возраста.

Пользуясь диаграммой, определите, сколько человек в возрасте 50—54 лет проживало в Объединенных Арабских Эмиратах в 2000 году.

Ответ: 100000
Скрыть

Мужчин 80000, женщин 20000. Всего: 100000

Аналоги к этому заданию:

Задание 3

На клетчатой бумаге с размером клетки 1 × 1 изображён равносторонний треугольник ABC. Найдите радиус вписанной в него окружности.

Ответ: 1
Аналоги к этому заданию:

Задание 4

В избирательный список внесены имена трех кандидатов: П., Н. и С. Порядок их в списке определяется случайно с помощью компьютера. Найдите вероятность того, что их имена будут расположены в списке в алфавитном порядке. Результат округлите до сотых.

Ответ: 0,17
Скрыть

Всего вариантов расположения шесть: ПНС; ПСН; СНП; СПН; НСП; НПС. В алфавитном - один: НПС. $$P=\frac{1}{6}\approx0,17$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 5

Решите уравнение $$\log_{3}(x^{2}-12)=\log_{3}(-x)$$. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите больший из них.

Ответ: -4
Скрыть

$$\log_{3}(x^{2}-12)=\log_{3}(-x)$$

ОДЗ: $$\left\{\begin{matrix}x^{2}-12>0\\-x>0\end{matrix}\right.$$; $$x^{2}-12=-x$$; $$x^{2}+x-12=0$$; $$\left\{\begin{matrix}x_{1}+x_{2}=-1\\x_{1}\cdot x_{2}=-12\end{matrix}\right.$$; $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x_{1}=-4\\x_{2}=3\end{matrix}\right.$$; $$x=3$$ - не подходит

Аналоги к этому заданию:

Задание 6

В треугольнике ABC известно, что $$\angle A=30^{\circ}$$ и $$\angle B=86^{\circ}$$. CD—биссектриса внешнего угла при вершине C, причём D лежит на прямой AB. На продолжении стороны AC за точку C выбрана точка E так, что CB = CE. Найдите $$\angle ADE$$. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 56
Скрыть

из $$\bigtriangleup ABC$$: $$\angle C=180-\angle A-\angle B=180-30-86=64^{\circ}$$; $$\angle BCE=180-\angle C=180-64=116^{\circ}$$; $$\angle BCD=\frac{1}{2}\angle BCE=116\div2=58^{\circ}$$ (CD - биссектриса); $$\angle ADC=180-\angle A-\angle ADC=180-\angle A-\angle ACB-\angle BCD=180-30-64-58=28^{\circ}$$; $$BC=CE$$; $$\angle BCD=\angle ECD$$; CD - общая $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup BCD=\bigtriangleup CED$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle CDE=28^{\circ}$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle ADE=2\cdot28=56^{\circ}$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 7

На рисунке изображен график движения точки по прямой. По горизонтали отложено время, по вертикали—расстояние до точки отсчета. Сколько раз за наблюдаемый период точка останавливалась?

Ответ: 7
Скрыть

Точка останавливалась там, где на графике точки максимума и минимума

Аналоги к этому заданию:

Задание 8

В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF площадь основания равна 18, боковые ребра равны 9. Проведите сечение через точки боковых ребер, отстоящих от вершины S на расстояние 3. Найдите его площадь.

Ответ: 2
Скрыть

$$SC_{1}=3$$ $$\Rightarrow$$ т.к. $$\bigtriangleup SC_{1}O_{1}\sim\bigtriangleup SCO$$: $$\frac{SC_{1}}{SC}=\frac{O_{1}C_{1}}{OC}$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{O_{1}C_{1}}{OC}=\frac{1}{3}=k$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{S_{A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}E_{1}F_{1}}}{S_{ABCDEF}}=k^{2}=\frac{1}{9}$$ $$\Rightarrow$$ $$S=2$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 9

Найдите значение выражения: $$\sqrt{(a-2)^{2}}+\sqrt{(a-4)^{2}}$$ при $$2\leq a\leq4$$

Ответ: 2
Скрыть

$$\sqrt{(a-2)^{2}}+\sqrt{(a-4)^{2}}=|a-2|+|a-4|$$ при $$a\in[2;4]$$: $$a-2-a+4=2$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 10

Автомобиль, движущийся в начальный момент времени со скоростью $$v_{0}=30$$ м/с, начал торможение с постоянным ускорением $$a=4$$ м/с2. За t секунд после начала торможения он прошёл путь $$S=v_{0}t-\frac{at^{2}}{2}$$ (м). Определите время, прошедшее от момента начала торможения, если известно, что за это время автомобиль проехал 112 метров. Ответ выразите в секундах.

Ответ: 7
Скрыть

$$112=30t-\frac{4t^{2}}{2}$$; $$2t^{2}-30t+112=0$$; $$t^{2}-15t+56=0$$; $$\left\{\begin{matrix}t_{1}+t_{2}=15\\t_{1}\cdot t_{2}=56\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}t_{1}=7\\t_{2}=8\end{matrix}\right.$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 11

Имеются два сосуда с растворами кислоты различной концентрации. Первый содержит 5 кг раствора, а второй— 10 кг раствора. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий 40% кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 35%кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом сосуде?

Ответ: 1
Скрыть

Пусть х - концентрация 1го , у - 2го, тогда: $$5x+10y=0,4\cdot15$$. Пусть взяли по 10 кг оба раствора, тогда: $$10x+10y=0,35\cdot20$$.

$$\left\{\begin{matrix}5x+10y=6\\10x+10y=7\end{matrix}\right.$$ $$\Rightarrow$$ $$5x=1$$; $$x=0,2$$. Кислоты в 1ом: $$5\cdot0,2=1$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 12

Найдите точку максимума функции $$y=\sin x-4\cos x-4x\sin x+5$$ принадлежащую промежутку $$(0;\frac{\pi}{2})$$

Ответ: 0,25
Скрыть

$$y'=\cos x+4\sin x-4\sin x-4x\cos x=0$$; $$\cos x(1-4x)=0$$; $$\left\{\begin{matrix}\cos x=0\\1-4x=0\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x=\frac{\pi}{2}+\pi n\\x=0,25\end{matrix}\right.$$

$$x_{max}=0,25$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 13

а) Решите уравнение: $$4\cdot(\sin4x-\sin2x)=\sin x\cdot(4\cos^{2}3x+3)$$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[0;\frac{3\pi}{2}]$$

Ответ: а) $$\pi n$$;$$\pm\frac{\pi}{9}+\frac{2\pi k}{3},n,k\in Z$$ б) $$0;\frac{\pi}{9}$$; $$\frac{5\pi}{9}$$; $$\frac{7\pi}{9}$$; $$\pi$$; $$\frac{11\pi}{9}$$; $$\frac{13\pi}{9}$$
Скрыть

a) $$4\cdot(\sin4x-\sin2x)=\sin x\cdot(4\cos^{2}3x+3)$$; $$8\sin\frac{4x-2x}{2}\cdot\cos\frac{4x+2x}{2}-\sin x(4\cos^{2}3x+3)=0$$; $$8\sin x\cdot\cos3x-\sin x(4\cos^{2}3x+3)=0$$; $$\sin x(8\cos3x-4\cos^{2}3x-3)=0$$; $$\left\{\begin{matrix}\sin x=0(1)\\4\cos^{2}3x-8\cos3x+3=0(2)\end{matrix}\right.$$

1) $$\sin x=0$$; $$x=\pi n,n\in Z$$

2) $$\cos3x=t$$; $$4t^{2}-8t+3=0$$; $$D=64-48=16$$; $$t_{1}=\frac{8+4}{4}=\frac{3}{2}$$; $$t_{2}=\frac{8-4}{4}=\frac{1}{2}$$;

$$\cos x=\frac{3}{2}$$ - решений нет ($$|\cos3x\leq1|)$$; $$\cos3x=\frac{1}{2}$$; $$3x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi k,k\in Z$$; $$x=\pm\frac{\pi}{9}+\frac{2\pi k}{3},k\in Z$$;

б) $$0\leq\pi n\leq\frac{3\pi}{2}$$; $$0\leq n\leq\frac{3}{2}$$ $$\Rightarrow$$ $$n=0;1$$

2) $$x=\pm\frac{\pi}{9}+\frac{2\pi k}{3},k\in Z$$; $$0\leq\frac{\pi}{9}+\frac{2\pi k}{3}\leq\frac{3\pi}{2}$$; $$-\frac{\pi}{9}\leq\frac{2\pi k}{3}\leq\frac{25\pi}{18}$$; $$-\frac{1}{6}\leq k\leq\frac{75}{36}$$; $$\Rightarrow$$ $$k=0;1;2$$

$$x=\frac{\pi}{9}+\frac{2\pi}{3}\cdot0=\frac{\pi}{9}$$; $$x=\frac{\pi}{9}+\frac{2\pi}{3}\cdot2=\frac{13\pi}{9}$$; $$x=\frac{\pi}{9}+\frac{2\pi}{3}\cdot1=\frac{7\pi}{9}$$; $$0\leq-\frac{\pi}{9}+\frac{2\pi k}{3}\leq\frac{3\pi}{2}$$; $$\frac{\pi}{9}\leq\frac{2\pi k}{3}\leq\frac{29\pi}{18}$$; $$\frac{1}{9}\leq k\leq\frac{87}{36}$$; $$\Rightarrow$$ $$k=1;2$$ $$\Rightarrow$$ $$x=-\frac{\pi}{9}+\frac{2\pi}{3}\cdot1=\frac{5\pi}{9}$$; $$x=-\frac{\pi}{9}+\frac{2\pi}{3}\cdot2=\frac{11\pi}{9}$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 14

В основании пирамиды TABCD лежит трапеция ABCD , в которой $$BC\parallel AD$$ и AD:BC=2. Через вершину Т пирамиды проведена плоскость, параллельная прямой ВС и пересекающая отрезок АВ в точке М такой, что АМ:MB=2. Площадь получившегося сечения равна 10, а расстояние от ребра ВС до плоскости сечения равно 4.
А) Докажите, что плоскость сечения делит объем пирамиды в отношении 7:20
Б) Найдите объем пирамиды.

Ответ: 90
Скрыть

а) 1) Построим через М прямую $$\parallel BC$$ $$\Rightarrow$$ $$MN\parallel BC$$ $$\Rightarrow$$ $$(TMN)$$ - сечение

2) Опустим высоту ВН в трапеции ABCD: $$BH\cap MN=O$$ $$\Rightarrow$$ $$BO=h$$; $$\bigtriangleup MBO\sim\bigtriangleup ABH$$ (по острому углу и прямому) $$\Rightarrow$$ $$\frac{BO}{OH}=\frac{BM}{AM}=\frac{1}{3}$$ $$\Rightarrow$$ $$OH-2BO=2h$$

3) Опустим $$CK\perp CD$$; $$CK\cap MN=R$$: $$BC=OR=HK=x$$ $$\Rightarrow$$ Пусть $$CH=a$$ $$\Rightarrow$$ $$KD=x-a$$. Тогда из подобия $$\bigtriangleup MBO\sim\bigtriangleup ABH$$: $$MO=\frac{1}{3}CH=\frac{1}{3}a$$; аналогично $$RN=\frac{1}{3}KD=\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}a$$. Tогда $$MN=MO+OR+RN=\frac{1}{3}a+x+\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}a=\frac{4}{3}x$$

4) $$S_{MBCN}=\frac{BC+MN}{2}\cdot BO=$$ $$\frac{x+\frac{4}{3}x}{2}\cdot h=\frac{7xh}{6}$$; $$S_{AMND}=\frac{AD+MN}{2}\cdot OH=$$ $$\frac{2x+\frac{4}{3}x}{2}\cdot2h=\frac{20xh}{6}$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{V_{MBCNT}}{V_{AMNDT}}=\frac{S_{MBCN}}{S_{AMND}}=$$ $$\frac{7xh}{6}\div\frac{20xh}{6}=\frac{7}{20}$$

б) 1) Пусть расстояние от ВС до $$MTN=d$$  (т.к. у них общая вершина): $$V_{BMNT}=\frac{1}{3}S_{MTN}\cdot d=\frac{1}{3}\cdot10\cdot4=\frac{40}{3}$$

2) $$\frac{V_{BNMT}}{V_{BCNMT}}=\frac{S_{BNM}}{S_{BCNM}}=$$ $$\frac{\frac{1}{2}\cdot MN\cdot BO}{\frac{MN+BC}{2}\cdot BO}=$$ $$\frac{\frac{1}{2}\cdot\frac{4x}{3}}{\frac{x+\frac{4x}{3}}{2}}=\frac{4}{7}$$ $$\Rightarrow$$ $$V_{BCNMT}=\frac{7}{4}V_{BNMT}=\frac{70}{3}$$

3) $$V_{AMNDT}=\frac{20}{7}V_{BCNMT}=\frac{70}{3}\cdot\frac{20}{7}=\frac{200}{3}$$

4) $$V_{ABCDT}=V_{AMNDT}+V_{BCNMT}=\frac{70}{3}+\frac{200}{3}=90$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 15

Решите неравенство: $$-3\log_{(x-1)}\frac{1}{3}+\log_{\frac{1}{3}}(x-1)>2|\log_{\frac{1}{3}}(x-1)|$$

Ответ: (2;4)
Скрыть

ОДЗ: $$\left\{\begin{matrix}x-1>0\\x-1\neq1\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$x\in(1;2)\cup(2;+\infty)$$

$$\frac{-3}{\log_{\frac{1}{3}}(x-1)}+\log_{\frac{1}{3}}(x-1)-2|\log_{\frac{1}{3}}(x-1)|>0$$. Пусть $$\log_{\frac{1}{3}}(x-1)=y$$;

$$-\frac{3}{y}+y-2|y|>0$$ $$\left\{\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}y\geq0\\-\frac{3}{y}-y>0\end{matrix}\right.(1)\\\left\{\begin{matrix}y<0\\-\frac{3}{y}+3y>0\end{matrix}\right.(2)\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$

1) $$\left\{\begin{matrix}y\geq0\\\frac{-3-y^{2}}{y}>0\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}y\geq0\\-y^{2}>3\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ нет решений

2) $$\left\{\begin{matrix}y<0\\\frac{-1+y^{2}}{y}>0\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}y<0\\y^{2}<1\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}y<0\\y\in(-1;0)\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\log_{\frac{1}{3}}(x-1)>-1\\\log_{\frac{1}{3}}(x-1)<0\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x-1<3\\x-1>1\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x<4\\x>2\end{matrix}\right.$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 16

Радиус вписанной в треугольник АВС окружности равен $$\frac{\sqrt{15}}{3}$$. Окружность радиуса $$\frac{5\sqrt{5}}{3\sqrt{3}}$$ касается вписанной в треугольник АВС окружности в точке Т, а также касается лучей, образующих угол АСВ. Окружности касаются прямой АС в точках К и М.
А) Докажите, что треугольник КТМ прямоугольный
Б) Найдите тангенс угла АВС, если площадь треугольника АВС равна $$3\sqrt{15}$$, а наибольшей из его сторон является сторона АС.

Ответ: б) $$-\sqrt{15}$$
Скрыть

а) Через Т строим общую касательную $$TL\cap MK=L$$; $$ML=LT$$; $$TL=LK$$ (по свойству касательных) $$\Rightarrow$$ $$ML=TL=LK$$ $$\Rightarrow$$ т.к. TL - медиана, то $$\bigtriangleup MTK$$ - прямоугольный

б) 1) Пусть $$O_{2}H\perp O_{1}M$$ $$\Rightarrow$$ $$HO_{2}=MK$$; $$O_{1}H=O_{1}M-O_{2}K=\frac{5\sqrt{5}}{3\sqrt{3}}-\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{5}}{3\sqrt{3}}$$

2) $$O_{1}O_{2}=O_{1}T+TO_{2}=\frac{8\sqrt{5}}{3\sqrt{3}}$$

3) из $$\bigtriangleup O_{1}O_{2}H$$: $$O_{2}H=\sqrt{O_{1}O_{2}^{2}-O_{1}H^{2}}=\frac{10}{3}$$

4) Пусть $$KC=a$$; $$\bigtriangleup O_{1}CM\sim\bigtriangleup O_{2}CK$$: $$\frac{O_{1}M}{O_{2}K}=\frac{MC}{KC}$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\frac{5\sqrt{5}}{3\sqrt{3}}\div\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}}=\frac{\frac{10}{3}+x}{x}$$; $$5x=10+3x$$ $$\Leftrightarrow$$ $$x=5$$

5) $$\tan\angle O_{1}CM=\frac{O_{2}K}{KC}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}\cdot5}=\frac{1}{\sqrt{15}}$$ $$\Rightarrow$$ т.к. $$CO_{2}$$ - биссектриса, то $$\angle ACB=\frac{2\cdot\frac{1}{\sqrt{15}}}{1-(\frac{1}{\sqrt{15}})^{2}}=\frac{\sqrt{15}}{7}$$ $$\Rightarrow$$ т.к. $$1+\tan^{2}\alpha=\frac{1}{\cos^{2}\alpha}$$, то $$\cos\angle ACB=\sqrt{\frac{1}{1+\frac{\sqrt{15}}{7}}}=\frac{7}{8}$$

6) Пусть $$AT=AK=x$$; $$TB=BR=y$$, тогда: $$S_{ABC}=\sqrt{p\cdot(p-a)(p-b)(p-c)}=3\sqrt{15}$$; $$p=\frac{2x+2y+10}{2}=(x+y+5)$$; $$a=x+5$$; $$b=y+5$$; $$c=x+y$$; $$\sqrt{(x+y+5)5xy}=3\sqrt{15}$$; $$(x+y+5)xy=27(1)$$

7) По т. косинусов: $$AB^{2}=AC^{2}+BC^{2}-2AC\cdot BC\cos ACB$$; $$(x+y)^{2}=(5+x)^{2}+(5+y)^{2}-2(5+x)(5+y)\cdot\frac{7}{8}$$; $$x^{2}+2xy+y^{2}=25+10x+x^{2}+25+10y+y^{2}-\frac{7}{4}(25+5x+5y+xy)$$; $$50+10(x+y)-\frac{7}{4}(25+5(x+y)+xy)-2xy=0(2)$$

Решим систему уравнений 1 и 2: замена $$x+y=a$$; $$xy=b$$:

$$\left\{\begin{matrix}b(a+5)=27\\50+10a-\frac{7}{4}(25+5a+b)-2b=0\end{matrix}\right.$$.

Рассмотрим 2ое: умножим на 4: $$200+40a-175-35a-7b-8b=0$$; $$5a+25=15b$$; $$a+5=3b$$

Подставим в 1ое, умноженное на 3: $$3b(a+5)=81$$; $$(a+5)(a+5)=81$$ $$\Leftrightarrow$$ $$a+5=9$$ $$\Leftrightarrow$$ $$a=4$$; $$b=\frac{4+5}{3}=3$$. Получаем: $$\left\{\begin{matrix}x+y=4\\xy=3\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x=1\\y=3\end{matrix}\right.$$ или $$\left\{\begin{matrix}x=3\\y=1\end{matrix}\right.$$

Т.к. по условию АС самая большая, то $$x=1$$; $$y=3$$ не подходит; $$\Rightarrow$$ $$x=3$$; $$y=1$$

8) из $$\bigtriangleup BRO_{2}$$: $$\tan O_{2}BR=\frac{O_{2}R}{BR}=\frac{\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}}}{1}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}}$$; $$\tan ABC=\frac{\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{3}}}{1-(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}})^{2}}=\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{3}}\cdot\frac{-3}{2}=-\sqrt{15}$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 17

Фермер получил кредит в банке под определенный процент годовых. Через год фермер в счет погашения кредита вернул в банк 3/4 от всей суммы, которую он был должен банку к этому времени, а еще через год в счет полного погашения кредита он внес в банк сумму, на 21% превышающую величину полученного кредита. Каков процент годовых по кредиту в банке?

Ответ: 120
Скрыть

Пусть S - начальная сумма, n-% тогда через год: $$S+S\cdot\frac{n}{100}=S(1+\frac{n}{100}$$ - сумма долга через 2 года с учетом оплаты $$\frac{3}{4}$$: $$\frac{1}{4}S(1+\frac{n}{100})\cdot S(1+\frac{n}{100})$$ - сумма долга и она же конечная выплата: $$\frac{1}{4}S(1+\frac{n}{100})^{2}=1,21S$$; $$(1+\frac{n}{100})^{2}=4,84$$; $$1+\frac{n}{100}=2,2$$; $$\frac{n}{100}=1,2$$ $$\Rightarrow$$ $$n=120$$ %

Аналоги к этому заданию:

Задание 18

Найти все значения параметра a, при каждом из которых существует хотя бы одно x, удовлетворяющее системе уравнений:

$$\left\{\begin{matrix}|x^{2}-5x+4|-9x^{2}-5x+4+10x|x|=0\\x^{2}-2(a-1)x+a(a-2)=0\end{matrix}\right.$$

Ответ: $$a\in{-1}\cup[1;6]$$
Скрыть

1) $$|x^{2}-5x+4|-9x^{2}-5x+4+10x|x|=0$$

a) $$x<0$$

$$x^{2}-5x+4-9x^{2}-5x+4-10x^{2}=0$$; $$-18x^{2}-10x+8=0$$; $$9x^{2}+5x-4=0$$; $$D=25+144=169=13^{2}$$; $$x_{1}=\frac{-5+13}{18}=\frac{4}{9}$$ $$\notin$$ $$x<0$$; $$x_{2}=\frac{-5-13}{18}=-1$$

б) $$x\in[0;1]\cup[4;+\infty)$$

$$x^{2}-5x+4-9x^{2}-5x+4+10x^{2}=0$$; $$2x^{2}-10x+8=0$$; $$x^{2}-5x+4=0$$; $$x=1$$; $$x=4$$

в) $$x\in(1;4)$$

$$-x^{2}+5x-4-9x^{2}-5x+4+10x^{2}=0$$; $$0=0$$ $$\Rightarrow$$ $$x\in(1;4)$$

Результат: $$x\in{-1}\cup[1;4]$$

2) $$x^{2}-2(a-1)x+a(a-2)=0$$; $$D=4(a^{2}-2a+1)-4a(a-2)=$$ $$4a^{2}-8a+4-4a^{2}+8a=4$$; $$x_{1}=\frac{2(a-1)+2}{2}=\frac{2a}{2}=a$$; $$x_{2}=\frac{2(a-1)-2}{2}=\frac{2a-4}{2}=a-2$$

1. $$\left\{\begin{matrix}x_{1}=-1\\x_{2}=-1\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}a=-1\\a-2=-1\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}a=-1\\a=1\end{matrix}\right.$$

2. $$\left\{\begin{matrix}1\leq x_{1}\leq4\\1\leq x_{2}\leq4\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}1\leq a\leq4\\1\leq a-2\leq4\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}1\leq a\leq4\\3\leq a\leq6\end{matrix}\right.$$

Общим решением будет объединение: $$a\in{-1}\cup[1;6]$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 19

А) Можно ли записать точный квадрат, использовав по 10 раз цифры 1, 2, 3?
Б) Можно ли записать точный квадрат, использовав по 10 раз цифры 2, 3, 6?
В) Может ли сумма цифр точного квадрата равняться 1970?

Ответ: а) нет; б) нет; в) нет.
Скрыть

а) Квадрат натурального числа либо делится на 9, либо при делении на 3 дает остаток 1. Пусть а кратно 3 $$\Rightarrow$$ $$a=3k$$ $$\Rightarrow$$ $$a^{2}=9k$$ делится на 9. Пусть не кратно $$\Rightarrow$$ $$a=3k+1$$ $$\Rightarrow$$ $$a^{2}=(3k+1)^{2}=9k^{2}+6k+1=3(3k^{2}+2k)+1$$ $$\Rightarrow$$ остаток 1.

$$a=3k+2$$ $$\Rightarrow$$ $$a^{2}=9k^{2}+12k+4=3(3k^{2}+4k+1)+1$$ $$\Rightarrow$$ остаток 1.

Аналогично тогда и сумма цифт делится на 9 или при делении на 3 дает в остатке 1.

Сумма цифт числа в таком случае: $$1\cdot10+2\cdot10+3\cdot10=60$$ - это число не делится на 9 и при делении на 3 не дает остаток 1 $$\Rightarrow$$ нет.

б) Аналогично сумма цифр $$2\cdot10+3\cdot10+6\cdot10=110$$ $$\Rightarrow$$ нет.

в) 1970 на 9 не делится. При делении на 3 дает остаток 2 $$\Rightarrow$$ нет.