Перейти к основному содержанию

326 вариант Алекса Ларина. Разбор ЕГЭ математика 2021.

Решаем ЕГЭ 326 вариант Ларина ЕГЭ 2021 по математике. Подробное решение 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12, 13,14,15,16,17,18,19 заданий тренировочного варианта ЕГЭ Ларина №326 (alexlarin.com)
Аналоги к этому заданию:

Задание 1

Тимофей на день рождения Ангелине купил флеш карту объемом 64 Гб за 850 рублей, после чего увидел флеш карту объемом 128 Гб. И хотя она стоила на 90% дороже уже купленной, Тимофей взял в подарок ее, решив флеш карту меньшей емкости оставить себе. Не меньше какой суммы в рублях было у Тимофея с собой изначально?

Ответ: 2465
Скрыть Стоимость на 128 Гб: $$850\cdot 1,9=1615$$ рублей. Соответственно, было не менее: $$850+1615=2465$$ рублей.
Аналоги к этому заданию:

Задание 2

На графике жирными точками показана цена барреля нефти в течение восьми дней 2011 года на международных рынках. По оси абсцисс отмечена дата, по оси ординат - цена барреля нефти в долларах на данный период. Для наглядности жирные точки соединены линиями. Определите по графику разницу (в долларах) между наибольшей и наименьшей ценами барреля нефти за указанный период.
Ответ: 12
Скрыть Наибольшая: 115. Наименьшая: 102. $$max-min=115-102=13$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 3

Найдите (в см$${}^{2}$$) площадь S закрашенной фигуры, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки 1см х 1см (см. рис.). В ответе запишите $$\frac{S}{\pi }.$$

Ответ: 31,5
Скрыть Центральный угол $$\left(\alpha \right)=360-45=315{}^\circ .$$ Площадь сектора: $$S=\frac{\pi R^2\alpha }{360}=\frac{\pi \cdot 6^2\cdot 315}{360}=31,5\pi \to 31,5$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 4

Вероятность того, что Гриша сдаст первый экзамен, равна 0,9; второй - 0,9; третий - 0,8. Найдите вероятность того, что Гришей будут сданы по крайней мере два экзамена.

Ответ: 0,954
Скрыть

Сдаст по крайней мере 2: сдаст два или три. Распишем таблицу ("+" - сдал, "-" - не сдал)

событие 1 2 3 вероятность
+ + - 0,9 0,9 0,2 $$0,9\times 0,9\times 0,2=0,162$$
+ - + 0,9 0,1 0,8 $$0,9\times 0,1\times 0,8=0,072$$
- + + 0,1 0,9 0,8 $$0,1\times 0,9\times 0,8=0,072$$
+ + + 0,9 0,9 0,8 $$0,9\times 0,9\times 0,8=0,648$$

Тогда вероятность не менее 2-х сдать: $$P(A)=0,162+0,072+0,072+0,648=0,954$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 5

Решить уравнение $$3\sqrt{2x-3}-\sqrt{48x-272}=5$$

Ответ: 6
Скрыть

$$3\sqrt{2x-3}-\sqrt{48x-272}=5$$

$$3\sqrt{2x-3}-4\sqrt{3x-17}=5$$

$$3\sqrt{2x-3}=5+4\sqrt{3x-17}$$

$$9\left(2x-3\right)=25+\left(48x-272\right)+8\sqrt{3x-17}$$

$$-30x+220=40\sqrt{3x-17}$$ $$22-3x=4\sqrt{3x-17}$$

$$484-132x+9x^2-16\left(3x-17\right)=0$$

$$x^2-20+84=0\to \left[ \begin{array}{c} x_1=14 \\ x_2=6 \end{array} \right.$$

Подставим в первоначальное: 14 - посторонний корень.

Аналоги к этому заданию:

Задание 6

Точки $$A\left(-3;1\right),\ B\left(2;-1\right),\ C(4;4)$$ являются вершинами треугольника АВС с биссектрисой ВК. Найдите $$16AK^2.$$

Ответ: 232
Скрыть

$$AB=\sqrt{{\left(2-\left(-3\right)\right)}^2+{\left(1-\left(-1\right)\right)}^2}=\sqrt{29}$$

$$BC=\sqrt{{\left(4-2\right)}^2+{\left(4-\left(-1\right)\right)}^2}=\sqrt{29}$$

$$AC=\sqrt{{\left(4-\left(-3\right)\right)}^2+{\left(4-1\right)}^2}=\sqrt{58}$$

$$AB=BC\to BK$$ - биссектриса и медиана $$\to AK=\frac{AC}{2}=\frac{\sqrt{58}}{2}\to 16AK^2=\frac{16\cdot 58}{4}=232$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 7

В точке А графика функции $$y=x^3+4x+2$$ проведена касательная к нему, параллельная прямой $$y=4x+5.$$ Найдите сумму координат точки А.

Ответ: 2
Скрыть $${\left(x^3+4x+2\right)}'={\left(4x+5\right)}'\leftrightarrow 3x^2+4=4\to x=0.$$ $$y\left(0\right)=0^3+4\cdot 0+2=2\to x+y=0+2=2.$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 8

Цилиндрическая кастрюля, диаметр дна которой равен 36 см, наполнена водой. Какое минимальное число кастрюль той же высоты и с диаметром дна, равным 12 см, потребуется для того, чтобы перелить в них эту воду?

Ответ: 9
Скрыть $$\frac{V_1}{V_2}=\frac{S_1\cdot h}{S_2\cdot h}=\frac{\pi R^2_1h}{\pi R^2_2h}={\left(\frac{R_1}{R_2}\right)}^2={\left(\frac{18}{6}\right)}^2=9$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 9

Вычислите $${\sin \alpha \ },$$ если $${\sin \frac{\alpha }{2}\ }-{\cos \frac{\alpha }{2}=1,4\ }$$

Ответ: -0,96
Скрыть

$${\sin \frac{\alpha }{2}\ }-{\cos \frac{\alpha }{2}=1,4\ }\to {\cos \frac{\alpha }{2}\ }={\sin \frac{\alpha }{2}\ }-1,4.$$

$${{\sin }^{{\rm 2}} \frac{\alpha }{2}\ }-{{\cos }^{{\rm 2}} \frac{\alpha }{2}\ }=1\to {{\sin }^{{\rm 2}} \frac{\alpha }{2}\ }+{{\sin }^{{\rm 2}} \frac{\alpha }{2}\ }-2,8{\sin \frac{\alpha }{2}\ }+1,96=1.$$

$${{{\rm 2sin}}^{{\rm 2}} \frac{\alpha }{2}\ }-2,8{\sin \frac{\alpha }{2}\ }+0,96=0\to {{\sin }^{{\rm 2}} \frac{\alpha }{2}\ }-1,4{\sin \frac{\alpha }{2}\ }+0,48=0.$$

$$D=1,96-1,92=0,04$$

$$\left[ \begin{array}{c} {\sin \frac{\alpha }{2}\ }=\frac{1,4+0,2}{2}=0,8 \\ {\sin \frac{\alpha }{2}\ }=\frac{1,4-0,2}{2}=0,6 \end{array} \leftrightarrow \right.\left[ \begin{array}{c} {\cos \frac{\alpha }{2}\ }=0,6 \\ {\cos \frac{\alpha }{2}\ }=-0,8 \end{array} \right.$$ $${\sin \alpha \ }=2{\sin \frac{\alpha }{2}\ }{\cos \frac{\alpha }{2}\ }=2\cdot 0,8\cdot \left(-0,6\right)=-0,96$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 10

Деталью некоторого прибора является вращающаяся катушка. Она состоит из трех однородных соосных цилиндров: центрального массой $$m=5$$ кг и радиуса $$R=8$$ см и двух боковых с массами $$M=2$$ кг и с радиусами $$R+h.$$ При этом момент инерции катушки относительно оси вращения, выражаемый в кг•см$${}^{2}$$, дается формулой $$I=\frac{\left(m+2M\right)R^2}{2}+M\left(2Rh+h^2\right).$$ При каком максимальном значении момент инерции катушки не превышает предельного значения 402 кг•см$${}^{2}$$? Ответ выразите в сантиметрах.

Ответ: 3
Скрыть $$402\ge \frac{\left(5+2\cdot 2\right)8^2}{2}+2\left(2\cdot 8h+h^2\right)\leftrightarrow 2h^2+32h+288-402\le 0.$$ $$h^2+16h-57\le 0\leftrightarrow \left(h+19\right)\left(h-3\right)\le 0\leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c} h\in \left[-19;3\right] \\ h>0 \end{array} \right.\leftrightarrow h=3$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 11

Два садовника вместе стригут кусты за 5 часов. Если бы первый садовник подстригал кусты один 3 часа, то второму понадобилось бы 7,5 часов, чтобы доделать работу до конца. За сколько часов второй садовник может один подстричь все кусты?

Ответ: 11,25
Скрыть Пусть $$x$$ частей работы в час - производительность первого, $$y$$ - второго; 1 - объем всей работы: $$\left\{ \begin{array}{c} 5\left(x+y\right)=1 \\ 3x+7,5y=1 \end{array} \leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c} 7,5x+7,5y=1,5 \\ 3x+7,5y=1 \end{array} \right.\right..$$ $$4,5x=1,5-1=0,5\to x=\frac{0,5}{4,5}=\frac{1}{9}.$$ $$\frac{1}{9}+y=\frac{1}{5}\to y=\frac{9-5}{45}=\frac{4}{45}\to t_2=\frac{\frac{1}{4}}{45}=\frac{45}{4}=11,25.$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 12

Найдите наибольшее значение функции $$y={{\log }_{\frac{1}{3}} \sqrt{x^3}\ }$$ на отрезке $$[\frac{1}{3};3]$$

Ответ: 1,5
Скрыть $$y={{\log }_{\frac{1}{3}} \sqrt{x^3}\ }$$ т.к. $$f\left(x\right)=x^3$$ - возрастает, то $$y={{\log }_{\frac{1}{3}} f(x)\ }$$ - убывает на $$\left[\frac{1}{3};3\right]\to y_{max}=y\left(\frac{1}{3}\right)={{\log }_{\frac{1}{3}} \sqrt{{\left(\frac{1}{3}\right)}^3}\ }=\frac{3}{2}{{\log }_{\frac{1}{3}} \frac{1}{3}\ }=1,5.$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 13

а) Решите уравнение $$2{{\sin }^{{\rm 3}} x\ }-{{\sin }^{{\rm 2}} x\ }\cdot {\cos x\ }-13{\sin x\ }\cdot {{\cos }^{{\rm 2}} x\ }-6{{\cos }^{{\rm 3}} x\ }={\sin \left(\frac{\pi }{3}+x\right)\ }-{\cos (\frac{\pi }{6}-x)\ }$$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}]$$

Ответ: а) $$x=arctg3+\pi n; x=-arctg\frac{1}{2}+\pi k; x=-arctg2+\pi m,n,k,m\in Z$$; б) $$1)-arctg2;2)-arctg\frac{1}{2};3)\ arctg3$$
Скрыть

а) $$2{{\sin }^{{\rm 3}} x\ }-{{\sin }^{{\rm 2}} x\ }\cdot {\cos x\ }-13{\sin x\ }\cdot {{\cos }^{{\rm 2}} x\ }-6{{\cos }^{{\rm 3}} x\ }={\sin \left(\frac{\pi }{3}+x\right)\ }-{\cos \left(\frac{\pi }{6}-x\right)\ }.$$ Учтем, что $${\sin (\frac{\pi }{3}+x)\ }=\left({\sin \frac{\pi }{2}\ }-\left(\frac{\pi }{6}-x\right)\right)={\cos (\frac{\pi }{6}-x)\ }.$$ Получим: $$2{{\sin }^{{\rm 3}} x\ }-{{\sin }^{{\rm 2}} x\ }\cdot {\cos x\ }-13{\sin x\ }\cdot {{\cos }^{{\rm 2}} x\ }-6{{\cos }^{{\rm 3}} x\ }=0|:{{\cos }^{{\rm 3}} x\ }\ne 0.$$

$$2{{\tan }^{{\rm 3}} x\ }-{{\tan }^{{\rm 2}} x\ }-13{\tan x\ }-6=0.$$ Пусть $${\tan x\ }=y:$$ $$2y^3-y^2-13y-6=0\leftrightarrow \left(y-3\right)\left(2y^2+5y+2\right)=0\leftrightarrow$$ $$\leftrightarrow \left[ \begin{array}{c} y=3 \\ y=-\frac{1}{2} \\ y=-2 \end{array} \right.\leftrightarrow \left[ \begin{array}{c} {\tan x\ }=3 \\ {\tan x\ }=-\frac{1}{2} \\ {\tan x\ }=-2 \end{array} \right.\leftrightarrow \left[ \begin{array}{c} x=arctg3+\pi n \\ x=-arctg\frac{1}{2}+\pi k \\ x=-arctg2+\pi m,n,k,m\in Z \end{array} \right.$$

б) с помощью единичной окружности отберем корни: $$1)-arctg2;2)-arctg\frac{1}{2};3)\ arctg3$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 14

В основании прямой призмы $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ лежит равнобедренная трапеция АВСD c основаниями AD и ВС. Известно, что $$AD:BC\ =\ 2:1$$ и $$АВ\ =\ ВС.$$

а) Докажите, что $$DB_1\bot A_1B_1$$.

б) Найдите угол между прямыми $$CD_1$$ и $$DB_1$$, если боковая грань $$AA_1D_1D$$ - квадрат.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 15

Решите неравенство: $$x^2{{\log }_{4096} (3-x)\ }\ge {{\log }_8 (x^2-6x+9)\ }$$

Ответ: $$x\in (-\infty ;-\sqrt{8}][2;\sqrt{8}]$$
Скрыть $$x^2{{\log }_{4096} (3-x)\ }\ge {{\log }_8 \left(x^2-6x+9\right)\ }\leftrightarrow \frac{x^2}{12}{{\log }_2 \left(3-x\right)\ }-\frac{1}{3}{{\log }_2 {\left(3-x\right)}^2\ }\ge 0\leftrightarrow$$ $$\leftrightarrow x^2{{\log }_2 \left(3-x\right)\ }-8{{\log }_2 \left|3-x\right|\ }\ge 0\leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c} (x^2-8)(3-x-1)(2-1)\ge 0 \\ 3-x>0 \end{array} \right.\leftrightarrow$$ $$\leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c} (x-2)(x+\sqrt{8})(x-\sqrt{8})\le 0 \\ x<3 \end{array} \right.$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 16

Окружность с центром О, вписанная в треугольник АВС, касается его сторон ВС, АВ и АС в точках K, L и М соответственно. Прямая КМ вторично пересекает в точке Р окружность радиуса АМ с центром А.

а) Докажите, что прямая АР параллельна прямой ВС

б) Пусть $$\angle ABC=90{}^\circ ,\ AM=3,\ CM=2,\ Q$$ - точка пересечения прямых КМ и АВ, а Т - такая точка на отрезке РQ, что $$\angle OAT=45{}^\circ .$$ Найдите QT.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 17

В распоряжении прораба имеется бригада рабочих в составе 35 человек. Их нужно распределить на строительство двух частных домов, находящихся в разных городах. Если на строительстве первого дома работает $$t$$ человек, то их суточная зарплата составляет $$7t^2$$ д.е. Если на строительстве второго дома работает $$t$$ человек, то их суточная зарплата составляет $$3t^2$$ д.е. Какое минимальное количество денежных единиц придётся выплатить рабочим за сутки?

Ответ: 2575
Скрыть Пусть на 1-ом объекте $$x$$ рабочих, тогда из з/п $$7x^2$$, на втором $$35-x$$ рабочих, их з/п $$3{\left(35-x\right)}^2.$$ Получим функцию з/п: $$f\left(x\right)=7x^2+3{\left(35-x\right)}^2\to min.$$ $$f'\left(x\right)=14x+6\left(35-x\right)\left(-1\right)=0\to 14x+6x=6\cdot 35\to x=\frac{210}{20}=10,5.$$ Тогда: $$f\left(10\right)=7\cdot {10}^2+3{\left(35-10\right)}^2=700+1875=2575;$$ $$f\left(11\right)=7\cdot {11}^2+3{\left(35-11\right)}^2=847+1728=2575.$$ Минимальная з/п: 2575 д.е.
Аналоги к этому заданию:

Задание 18

Найдите все значения параметра $$a$$ при каждом из которых множество решений неравенства $$2+\sqrt{x^2+ax}>x$$ содержит отрезок $$[4;7]$$

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 19

Последовательность $$a_1,a_2,a_3,\dots $$ состоит из натуральных чисел, причем $$a_{n+2}=a_{n+1}+a_n$$ при всех натуральных $$n$$.

а) Может ли выполняться равенство $$\frac{a_5}{a_4}=\frac{9}{5}$$

б) Может ли выполняться равенство $$\frac{a_5}{a_4}=\frac{7}{5}$$

в) При каком наибольшем натуральном $$n$$ может выполняться равенство $$6na_{n+1}=(2n^2-2)a_n$$?

Ответ: