229 вариант Алекса Ларина. Разбор ЕГЭ математика 2018.
Решаем ЕГЭ 229 вариант Ларина. Подробное решение 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15 заданий тренировочного варианта ЕГЭ Ларина №229 (alexlarin.com)
Решаем ЕГЭ 229 вариант Ларина. Подробное решение 16,17,18,19 заданий тренировочного варианта ЕГЭ Ларина №229 (alexlarin.com)
Задание 1
Оптовая цена учебника 140 рублей. Розничная цена на 50% выше оптовой. Какое наибольшее число таких учебников можно купить по розничной цене на 5000 рублей?
Так как розничная цена выше на 50%, то прибавим 0,5*1400. Розничная: $$140+0,5\cdot140=210$$. Тогда, чтобы получить коичество учебников, надо сумму поделить на цену и округлить до меньшего: $$n=\frac{5000}{210}\approx23,8$$ $$\Rightarrow$$ $$23$$
Задание 2
На рисунке показано, как изменялась температура воздуха с 3 по 5 апреля. По горизонтали указано время суток, по вертикали — значение температуры в градусах Цельсия. В течение скольких часов температура 5 апреля была больше −3 градусов Цельсия?
Данному условию удовлетворяет время с 9 до 24(полночь), что соответствует 15 часам.
Задание 3
Как видим дуга, на которую опирается вписанный угол, составляет четвертую часть от окружности. С учетом того, что окружность составляет 360 градусов, то дуга равна 90 градусов. А так как величина вписанного угла равна половине дуги, на которую он опирается, то получаем 45 градусов.
Задание 4
На рисунке изображен лабиринт. Жук вползает в лабиринт в точке «Вход». Развернуться или ползти назад жук не может, поэтому на каждом разветвлении жук выбирает один из путей, по которым он еще не полз. Считая, что выбор чисто случайный, определите, с какой вероятностью жук придет к одному из выходов. Результат округлите до сотых.
Задание 5
В треугольнике ABC проведена биссектриса AL. Известно, что $$\angle ALC=130^{\circ}$$, а $$\angle ABC=103^{\circ}$$. Найдите $$\angle ACB$$. Ответ дайте в градусах.
$$\angle ALB=180^{\circ}-\angle ALC=50^{\circ}$$; $$\angle BAL=180^{\circ}-\angle ABL-\angle ALB=180^{\circ}-103^{\circ}-50^{\circ}=27^{\circ}$$; $$\angle BAC=2\cdot27=54$$; $$\angle ACB=180^{\circ}-\angle BAC-\angle ABC=23^{\circ}$$
Задание 6
На рисунке изображен график производной функции $$y=f'(x)$$, определенной на интервале (−3; 9). В какой точке отрезка [−2; 3] $$f(x)$$ принимает наибольшее значение?
В данном задании необходимо помнит следующее: производная отрицательна, значит функция убывает. В нашем случае график произвольной находится под осью Ох на всем отрезке [-2;3] (то, что он "скачет" никак не убывание функции не влияет: она просто убывает где-то быстрее, где-то медленнее). Раз функция на всем отрезке убывает, то ее наибольшее значение будет в начале отрезка.
Задание 7
Для решения данных заданий надо помнить, что периметры подобных фигур относятся как коэффициент подобия, площади - как квадрат коэффициента подобия, а объемы - как куб коэффициента подобия. То есть, если уменьшить ребро в два раза, объем изменится в 8 раз
Задание 8
Найдите значение выражения $$\frac{\sqrt[4]{a}\cdot\sqrt[12]{a}}{a\cdot\sqrt[3]{a}}$$ при $$a=0,1$$.
$$\frac{\sqrt[4]{a}\cdot\sqrt[12]{a}}{a\cdot\sqrt[3]{a}}=$$ $$\frac{a^{\frac{1}{4}}\cdot a^{\frac{1}{12}}}{a\cdot a^{\frac{1}{3}}}=$$ $$a^{\frac{1}{4}+\frac{1}{12}-1-\frac{1}{3}}=$$ $$a^{-1}=\frac{1}{0,1}=10$$
Задание 9
Находящийся в воде водолазный колокол, содержащий $$v=4$$ моля воздуха при давлении $$p_{1}=1,2$$ атмосферы, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха. Работа (в джоулях), совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением $$A=\alpha vT\log_{2}\frac{p_{2}}{p_{1}}$$, где α=5,75— постоянная, T =300 К—температура воздуха, $$p_{1}$$ (атм)—начальное давление, а $$p_{2}$$ (атм)—конечное давление воздуха в колоколе. До какого наибольшего давления $$p_{2}$$ (в атм) можно сжать воздух в колоколе, если при сжатии воздуха совершается работа не более чем 20 700 Дж?
$$20700=5,75\cdot4\cdot300\log_{2}\frac{p_{2}}{1,2}\Leftrightarrow $$$$\log_{2}\frac{p_{2}}{1,2}=\frac{20700}{23\cdot300}=3\Leftrightarrow $$$$\frac{p_{2}}{1,2}=2^{3}=8\Leftrightarrow $$$$p_{2}=1,2\cdot8=9,6$$
Задание 10
Теплоход, скорость которого в неподвижной воде равна 24 км/ч, проходит по течению реки и после стоянки возвращается в исходный пункт. Скорость течения равна 2 км/ч, стоянка длится 4 часа, а в исходный пункт теплоход возвращается через 16 ч после отплытия из него. Сколько километров прошел теплоход за весь рейс?
Пусть х - расстояние в один конец. Скорость по течению составляет 24+2=26, против течения 24-2=22. Стоянка длилась 4 часа, следовательно само плавание составило 16-4=12. Данное время получается суммирование времени по течени и против течения:
$$\frac{x}{26}+\frac{x}{22}=12\Leftrightarrow$$$$\frac{24x}{11\cdot13\cdot2}=12\Leftrightarrow $$$$x=\frac{11\cdot12\cdot13\cdot2}{24}=143$$
Тогда расстояние туда/обратно составило 143-143=286 км.
Задание 11
Найдите точку минимума функции $$y=x\sin x+\cos x-\frac{3}{4}\sin x$$, принадлежащую промежутку $$(0;\frac{\pi}{2})$$
$$y'=\sin x+x\cos x-\sin x-\frac{3}{4}\cos x=0 \Leftrightarrow $$$$\cos x(x-\frac{3}{4})=0\Leftrightarrow $$$$x=0,75 ; x=\frac{\pi}{2}+\pi*n, n \in Z$$
отметим полученные точки на координатной прямой и расставим знаки производной (сначала будет рассматривать каждый из множителей, входящих в производную, затем только знак самой производной, как произведение множителей):
Как видим по рисунку (F=0 - начало отрезка, на котором ищем) точка минимума x=0,75.
Задание 12
А) Решите уравнение $$\cos2(x+\frac{\pi}{3})+4\sin(x+\frac{\pi}{3})=\frac{5}{2}$$
Б) Найдите корни, принадлежащие отрезку $$[-\frac{\pi}{2};\pi]$$
Задание 13
Основанием четырехугольной пирамиды SABCD является квадрат ABCD со стороной АВ=4. Боковое ребро SC, равное 4, перпендикулярно основанию пирамиды. Плоскость $$\alpha$$, проходящая через вершину С параллельно прямой BD, пересекает ребро SA в точке М, причем SM:MA=1:2
a) 1) $$AS=\sqrt{16+32}=4\sqrt{3}$$; $$AM=\frac{4\sqrt{3}\cdot2}{3}$$; $$MS=\frac{4\sqrt{3}}{3}$$; $$MC=\frac{4\cdot4\sqrt{2}}{4\sqrt{3}}=\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{4\sqrt{6}}{3}$$; $$4^{2}=(\frac{4\sqrt{6}}{3})^{2}+(\frac{4\sqrt{3}}{3})^{2}=\frac{16\cdot6+16\cdot3}{9}=16$$
2) $$AC\perp DB$$ $$\Rightarrow$$ $$SA\perp DB$$ $$\Rightarrow$$ $$SA\perp KN$$
б) 1) $$\frac{CE}{EM}\cdot\frac{MS}{SA}\cdot\frac{AO}{OC}=1$$; $$\frac{CE}{EM}\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{1}=1$$; $$\frac{CE}{EM}=\frac{3}{1}$$ $$\Rightarrow$$ $$CE=\frac{3}{4}\cdot CM=\frac{3}{4}\cdot\frac{4\sqrt{6}}{3}=\sqrt{6}$$
2) $$\cos ACM=\frac{CM}{AC}=\frac{\frac{4\sqrt{6}}{3}}{4\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$$; $$OE=\sqrt{OC^{2}+CE^{2}-2OC\cdot CE\cdot\cos ACM}=$$ $$\sqrt{(2\sqrt{2})^{2}+(\sqrt{6})^{2}-2\cdot2\sqrt{2}\cdot\sqrt{6}\cdot\frac{\sqrt{3}}{3}}=$$ $$\sqrt{8+6-\frac{4\cdot6}{3}}=\sqrt{6}$$
3) $$SO=\sqrt{OC^{2}+SC^{2}}=\sqrt{(2\sqrt{2})^{2}+4^{2}}=\sqrt{24}$$ $$\Rightarrow$$ $$SE=SO-OE=2\sqrt{6}-\sqrt{6}=\sqrt{6}$$ $$\Rightarrow$$ $$NK$$ - средняя линия $$\bigtriangleup SDB$$ $$\Rightarrow$$ $$NK=\frac{1}{2}DB=\frac{1}{2}\cdot4\sqrt{2}=2\sqrt{2}$$;
4) $$S_{CKMN}=\frac{1}{2}\cdot CM\cdot NK=\frac{1}{2}\cdot\frac{4\sqrt{6}}{3}\cdot2\sqrt{2}=\frac{4\cdot\sqrt{12}}{3}=\frac{8\sqrt{3}}{3}$$
Задание 14
Решите неравенство $$\log_{x-2}\frac{1}{5}\geq\log_{\frac{x-3}{x-5}}\frac{1}{5}$$
Задание 15
АК ‐ биссектриса треугольника АВС, причем ВК:КС=2:7. Из точек В и К проведены параллельные прямые, которые пересекают сторону АС в точках D и F соответственно, причем AD:FC=3:14
Задание 16
Имеется три пакета акций. Общее суммарное количество акций первых двух пакетов совпадает с общим количеством акций в третьем пакете. Первый пакет в 4 раза дешевле второго, а суммарная стоимость первого и второго пакетов совпадает со стоимостью третьего пакета. Одна акция из второго пакета дороже одной акции из первого пакета на величину, заключенную в пределах от 16 тысяч рублей до 20 тысяч рублей, а цена акции из третьего пакета не меньше 42 тысяч рублей и не больше 60 тысяч рублей. Определите, какой наименьший и наибольший процент от общего количества акций может содержаться в первом пакете.
№ полета | 1 | 2 | 3 |
Цена одной, тыс. руб. | x | $$\frac{4x}{l}$$ | $$\frac{5x}{l+1}$$ |
Кол-во акций, шт. | y | $$ly$$ | $$y(l+1)$$ |
Цена пакета, тыс. руб. | xy | $$4xy$$ | $$5xy$$ |
Цена второй: $$\frac{4xy}{ly}=\frac{4x}{l}$$
Кол-во акций в третьем: $$y+ly=y(l+1)$$
Цена третьей: $$\frac{5xy}{y(l+1)}=\frac{5x}{l+1}$$
Всего акций: $$y+ly+y(l+1)=2y(l+1)$$
Найти: $$\frac{y}{2y(l+1)}=\frac{1}{2(l+1)}$$
Имеем условия: $$\left\{\begin{matrix}16\leq\frac{4x}{l}-x\leq20\\42\leq\frac{5x}{l+1}\leq60\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}16\leq\frac{x(4-l}{l}\leq20\\42\leq\frac{5x}{l+1}\leq60\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\frac{16l}{4-l}\leq x\leq \frac{10l}{4-l}\\\frac{42}{5}(l+1)\leq x\leq12(l+1)\end{matrix}\right.$$
$$\left\{\begin{matrix}a_{1}\leq x\leq b_{1}\\a_{2}\leq x\leq b_{2}\end{matrix}\right.$$ Пересения будут, если: $$\left\{\begin{matrix}a_{1}\leq b_{2}\\a_{2}\leq b_{1}\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\frac{16l}{4-l}\leq 12(l+1)\\\frac{42}{5}(l+1)\leq\frac{10l}{4-l}\end{matrix}\right.$$
Задание 17
Найдите все значения параметра , при каждом из которых уравнение $$x^{2}-4x-12=2|x-a+2|-16$$ имеет ровно три различных решения.
Перенесем -16 влево: $$x^{2}-4x-12+16=2|x-(a-2)|\Leftrightarrow $$ $$(x-2)^{2}=2|x-(a-2)|$$ Рассмотрим графики функций: $$f(x)=(x-2)^{2}$$ и $$g(x)=2|x-(a-2)|$$. В первом случае представлена парабола с вершиной в точке (2;0), во втором случае график модуля (галочка) с вершиной в точке (a-2 ; 0). Данные фукциии имеют в зависимости от параметра а от двух до четырех пересечений. Нам необходимо три. Рассмотрим все возможные случаи:
Задание 18
Пусть девочки фотографировали k дней. Разность между числом Наташиных и Машиных фотографий равна:
$$S_{k}^{n}-S_{k}^{m}=$$$$\frac{(n+n+k-1)k}{2}-\frac{(m+m+k-1)k}{2}=$$$$k(n-m)=1615$$
А) Ответ: да. Из формулы (1) при k = 5 будет n – m = 323 $$\Rightarrow$$ равенство (1) выполняется, например, при m = 1, n = 324.
Б) Ответ: нет. При k = 6 в левой части равенства (1) четное число, а в правой – нечетное, что невозможно.
В) Ответ: 1995. Из формулы (1): k(n-m)= 5*17*19. (2). По условию k > 1, и Маша в последний день сделала m+k-1<30 фотографий. Поэтому k<31-m, и в равенстве (2) k может быть равно 5, 17 или 19.
1. k = 5. Наибольшее значение m, удовлетворяющее неравенству m+k-1<30 равно $$m_{max}=25\Rightarrow$$$$S_{max}^{m}=\frac{(25+29)5}{2}=135\Rightarrow$$$$S_{max}^{n}=135+1615=1750$$
2. k = 17 $$\Rightarrow$$$$m_{max}=13\Rightarrow$$$$S_{max}^{m}=\frac{(13+29)17}{2}=357\Rightarrow$$$$S_{max}^{n}=357+1615=1972$$
3. k = 19 $$\Rightarrow$$$$m_{max}=11\Rightarrow$$$$S_{max}^{m}=\frac{(11+29)19}{2}=380\Rightarrow$$$$S_{max}^{n}=380+1615=1995$$