Перейти к основному содержанию

229 вариант Алекса Ларина. Разбор ЕГЭ математика 2018.

Решаем ЕГЭ 229 вариант Ларина. Подробное решение 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15 заданий тренировочного варианта ЕГЭ Ларина №229 (alexlarin.com)

Решаем ЕГЭ 229 вариант Ларина. Подробное решение 16,17,18,19 заданий тренировочного варианта ЕГЭ Ларина №229 (alexlarin.com)

Аналоги к этому заданию:

Задание 1

Оптовая цена учебника 140 рублей. Розничная цена на 50% выше оптовой. Какое  наибольшее число таких учебников можно купить по розничной цене на 5000 рублей?  

Ответ: 23
Скрыть

Так как розничная цена выше на 50%, то прибавим 0,5*1400. Розничная: $$140+0,5\cdot140=210$$. Тогда, чтобы получить коичество учебников, надо сумму поделить на цену и округлить до меньшего: $$n=\frac{5000}{210}\approx23,8$$ $$\Rightarrow$$ $$23$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 2

На рисунке показано, как изменялась температура воздуха с 3 по 5 апреля. По  горизонтали указано время суток, по вертикали — значение температуры в градусах  Цельсия. В течение скольких часов температура 5 апреля была больше −3 градусов  Цельсия?

Ответ: 15
Скрыть

Данному условию удовлетворяет время с 9 до 24(полночь), что соответствует 15 часам.

Аналоги к этому заданию:

Задание 3

На клетчатой бумаге изображён угол. Найдите его  величину. Ответ выразите в градусах.

Ответ: 45
Скрыть

Как видим дуга, на которую опирается вписанный угол, составляет четвертую часть от окружности. С учетом того, что окружность составляет 360 градусов, то дуга равна 90 градусов. А так как величина вписанного угла равна половине дуги, на которую он опирается, то получаем 45 градусов.

Аналоги к этому заданию:

Задание 4

На рисунке изображен лабиринт.  Жук вползает в лабиринт в точке  «Вход». Развернуться или ползти назад  жук не может, поэтому на каждом  разветвлении жук выбирает один из  путей, по которым он еще не полз.  Считая, что выбор чисто случайный,  определите, с какой вероятностью жук  придет к одному из выходов. Результат  округлите до сотых.  

Ответ: 0,17
Скрыть
С учетом того, что вероятность пойти в различных направлениях на перекрестках одинакова, мы получаем следующие значения (задача просто расписать дорожку к каждому из выходов, учитывая, что, например, если два пути, то вероятность пойти в одном направлении 0,5, если три, то 1/3 и тд. Обратный путь считать не надо): 
Г: $$0,5\cdot0,5\cdot\frac{1}{3}$$
В: $$0,5\cdot0,5\cdot\frac{1}{3}\cdot0,5$$
Б: $$0,5\cdot0,5\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3}$$
А: $$0,5\cdot0,5\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3}\cdot0,5$$
$$\frac{1}{3}\cdot0,25(1+0,5+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\cdot0,5)=$$ $$\frac{1}{12}(\frac{6}{6}+\frac{3}{6}+\frac{2}{6}+\frac{1}{6})=$$ $$\frac{2}{12}=\frac{1}{6}\approx0,17$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 5

Решите уравнение $$5^{x}\cdot2^{-x}=0,4$$

Ответ: -1
Скрыть

$$\frac{5^{x}}{2^{x}}=\frac{2}{5}\Leftrightarrow $$$$(\frac{5}{2})^{x}=(\frac{5}{2})^{-1}\Leftrightarrow $$$$x=-1$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 6

В треугольнике ABC проведена биссектриса AL.  Известно, что $$\angle ALC=130^{\circ}$$, а $$\angle ABC=103^{\circ}$$. Найдите  $$\angle ACB$$. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 23
Скрыть

$$\angle ALB=180^{\circ}-\angle ALC=50^{\circ}$$; $$\angle BAL=180^{\circ}-\angle ABL-\angle ALB=180^{\circ}-103^{\circ}-50^{\circ}=27^{\circ}$$; $$\angle BAC=2\cdot27=54$$; $$\angle ACB=180^{\circ}-\angle BAC-\angle ABC=23^{\circ}$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 7

На рисунке изображен график  производной функции $$y=f'(x)$$,  определенной на интервале (−3; 9). В  какой точке отрезка [−2; 3] $$f(x)$$  принимает наибольшее значение?  

Ответ: -2
Скрыть

В данном задании необходимо помнит следующее: производная отрицательна, значит функция убывает. В нашем случае график произвольной находится под осью Ох на всем отрезке [-2;3] (то, что он "скачет" никак не убывание функции не влияет: она просто убывает где-то быстрее, где-то медленнее). Раз функция на всем отрезке убывает, то ее наибольшее значение будет в начале отрезка.

Аналоги к этому заданию:

Задание 8

Во сколько раз уменьшится объем октаэдра, если все его  ребра уменьшить в два раза?  

Ответ: 8
Скрыть

Для решения данных заданий надо помнить, что периметры подобных фигур относятся как коэффициент подобия, площади - как квадрат коэффициента подобия, а объемы - как куб коэффициента подобия. То есть, если уменьшить ребро в два раза, объем изменится в 8 раз

Аналоги к этому заданию:

Задание 9

Найдите значение выражения $$\frac{\sqrt[4]{a}\cdot\sqrt[12]{a}}{a\cdot\sqrt[3]{a}}$$ при $$a=0,1$$.

Ответ: 10
Скрыть

$$\frac{\sqrt[4]{a}\cdot\sqrt[12]{a}}{a\cdot\sqrt[3]{a}}=$$ $$\frac{a^{\frac{1}{4}}\cdot a^{\frac{1}{12}}}{a\cdot a^{\frac{1}{3}}}=$$ $$a^{\frac{1}{4}+\frac{1}{12}-1-\frac{1}{3}}=$$ $$a^{-1}=\frac{1}{0,1}=10$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 10

Находящийся в воде водолазный колокол, содержащий $$v=4$$ моля воздуха при  давлении $$p_{1}=1,2$$ атмосферы, медленно опускают на дно водоёма. При этом  происходит изотермическое сжатие воздуха. Работа (в джоулях), совершаемая водой  при сжатии воздуха, определяется выражением  $$A=\alpha vT\log_{2}\frac{p_{2}}{p_{1}}$$, где α=5,75— постоянная, T =300 К—температура воздуха, $$p_{1}$$ (атм)—начальное давление, а $$p_{2}$$ (атм)—конечное давление воздуха в колоколе. До какого наибольшего давления  $$p_{2}$$ (в атм) можно сжать воздух в колоколе, если при сжатии воздуха совершается работа  не более чем 20 700 Дж?  

Ответ: 9,6
Скрыть

$$20700=5,75\cdot4\cdot300\log_{2}\frac{p_{2}}{1,2}\Leftrightarrow $$$$\log_{2}\frac{p_{2}}{1,2}=\frac{20700}{23\cdot300}=3\Leftrightarrow $$$$\frac{p_{2}}{1,2}=2^{3}=8\Leftrightarrow $$$$p_{2}=1,2\cdot8=9,6$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 11

Теплоход, скорость которого в неподвижной воде равна 24 км/ч, проходит по  течению реки и после стоянки возвращается в исходный пункт. Скорость течения  равна 2 км/ч, стоянка длится 4 часа, а в исходный пункт теплоход возвращается через  16 ч после отплытия из него. Сколько километров прошел теплоход за весь рейс?  

Ответ: 286
Скрыть

Пусть х - расстояние в один конец. Скорость по течению составляет 24+2=26, против течения 24-2=22. Стоянка длилась 4 часа, следовательно само плавание составило 16-4=12. Данное время получается суммирование времени по течени и против течения:

$$\frac{x}{26}+\frac{x}{22}=12\Leftrightarrow$$$$\frac{24x}{11\cdot13\cdot2}=12\Leftrightarrow $$$$x=\frac{11\cdot12\cdot13\cdot2}{24}=143$$

Тогда расстояние туда/обратно составило 143-143=286 км.

Аналоги к этому заданию:

Задание 12

Найдите точку минимума функции $$y=x\sin x+\cos x-\frac{3}{4}\sin x$$,  принадлежащую промежутку $$(0;\frac{\pi}{2})$$

Ответ: 0,75
Скрыть

$$y'=\sin x+x\cos x-\sin x-\frac{3}{4}\cos x=0 \Leftrightarrow $$$$\cos x(x-\frac{3}{4})=0\Leftrightarrow $$$$x=0,75 ; x=\frac{\pi}{2}+\pi*n, n \in Z$$

отметим полученные точки на координатной прямой и расставим знаки производной (сначала будет рассматривать каждый из множителей, входящих в производную, затем только знак самой производной, как произведение множителей):

Как видим по рисунку (F=0 - начало отрезка, на котором ищем) точка минимума x=0,75.

Аналоги к этому заданию:

Задание 13

А) Решите уравнение $$\cos2(x+\frac{\pi}{3})+4\sin(x+\frac{\pi}{3})=\frac{5}{2}$$

Б) Найдите корни, принадлежащие отрезку $$[-\frac{\pi}{2};\pi]$$

Ответ: $$-\frac{\pi}{6};\frac{\pi}{2}$$
Скрыть
Пусть $$x+\frac{\pi}{3}=y$$;
$$\cos2y+4\sin y=\frac{5}{2}\Leftrightarrow $$$$1-2\sin^{2}y+4\sin y-\frac{5}{2}=0\Leftrightarrow $$$$-2\sin^{2}y+4\sin y-\frac{3}{2}=0\Leftrightarrow $$$$4\sin^{2}y-8\sin y+3=0$$;
$$D=64-48=16$$
$$\sin y=\frac{8+4}{8}=\frac{3}{2}$$ - решений нет;
$$\sin y=\frac{8-4}{8}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow $$$$\left\{\begin{matrix}y=\frac{\pi}{6}+2\pi n,n\in Z\\y=\frac{5\pi}{6}+2\pi n,n\in Z\end{matrix}\right.\Leftrightarrow $$$$\left\{\begin{matrix}x+\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{6}+2\pi n,n\in Z\\x+\frac{\pi}{3}=\frac{5\pi}{6}+2\pi n,n\in Z\end{matrix}\right.\Leftrightarrow $$$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{\pi}{6}+2\pi n,n\in Z\\x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,n\in Z\end{matrix}\right.$$
Построим единичную окружность, отметим корни в общем виде и промежутке и найдем частные случаи корней:
Очевидно, что корни, попадающие в данные отрезки это $$-\frac{\pi}{6};\frac{\pi}{2}$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 14

Основанием четырехугольной пирамиды SABCD является квадрат ABCD со  стороной АВ=4. Боковое ребро SC, равное 4, перпендикулярно основанию пирамиды.  Плоскость $$\alpha$$, проходящая через вершину С параллельно прямой BD, пересекает  ребро SA в точке М, причем SM:MA=1:2  

А) Докажите, что $$SA\perp\alpha$$

Б) Найдите площадь сечения пирамиды SABCD плоскостью $$\alpha$$ 

Ответ: $$\frac{8\sqrt{3}}{3}$$
Скрыть

a) 1) $$AS=\sqrt{16+32}=4\sqrt{3}$$; $$AM=\frac{4\sqrt{3}\cdot2}{3}$$; $$MS=\frac{4\sqrt{3}}{3}$$; $$MC=\frac{4\cdot4\sqrt{2}}{4\sqrt{3}}=\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{4\sqrt{6}}{3}$$; $$4^{2}=(\frac{4\sqrt{6}}{3})^{2}+(\frac{4\sqrt{3}}{3})^{2}=\frac{16\cdot6+16\cdot3}{9}=16$$

2) $$AC\perp DB$$ $$\Rightarrow$$ $$SA\perp DB$$ $$\Rightarrow$$ $$SA\perp KN$$

б) 1) $$\frac{CE}{EM}\cdot\frac{MS}{SA}\cdot\frac{AO}{OC}=1$$; $$\frac{CE}{EM}\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{1}=1$$; $$\frac{CE}{EM}=\frac{3}{1}$$ $$\Rightarrow$$ $$CE=\frac{3}{4}\cdot CM=\frac{3}{4}\cdot\frac{4\sqrt{6}}{3}=\sqrt{6}$$

2) $$\cos ACM=\frac{CM}{AC}=\frac{\frac{4\sqrt{6}}{3}}{4\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$$; $$OE=\sqrt{OC^{2}+CE^{2}-2OC\cdot CE\cdot\cos ACM}=$$ $$\sqrt{(2\sqrt{2})^{2}+(\sqrt{6})^{2}-2\cdot2\sqrt{2}\cdot\sqrt{6}\cdot\frac{\sqrt{3}}{3}}=$$ $$\sqrt{8+6-\frac{4\cdot6}{3}}=\sqrt{6}$$

3) $$SO=\sqrt{OC^{2}+SC^{2}}=\sqrt{(2\sqrt{2})^{2}+4^{2}}=\sqrt{24}$$ $$\Rightarrow$$ $$SE=SO-OE=2\sqrt{6}-\sqrt{6}=\sqrt{6}$$ $$\Rightarrow$$ $$NK$$ - средняя линия $$\bigtriangleup SDB$$ $$\Rightarrow$$ $$NK=\frac{1}{2}DB=\frac{1}{2}\cdot4\sqrt{2}=2\sqrt{2}$$;

4) $$S_{CKMN}=\frac{1}{2}\cdot CM\cdot NK=\frac{1}{2}\cdot\frac{4\sqrt{6}}{3}\cdot2\sqrt{2}=\frac{4\cdot\sqrt{12}}{3}=\frac{8\sqrt{3}}{3}$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 15

 Решите неравенство $$\log_{x-2}\frac{1}{5}\geq\log_{\frac{x-3}{x-5}}\frac{1}{5}$$

Ответ: $$x\in[4-\sqrt{3};3)\cup[4+\sqrt{3};+\infty)$$
Скрыть
ОДЗ: $$\left\{\begin{matrix}x-2>0\\x-2\neq1\\\frac{x-3}{x-5}>0\\\frac{x-3}{x-5}\neq1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow $$ $$\left\{\begin{matrix}x>2\\x\neq3\\x\in(-\infty;3)\cup(5;+\infty)\end{matrix}\right.\Leftrightarrow $$$$x\in(2;3)\cup(5;+\infty)$$
$$\frac{1}{\log_{0,2}(x-2)}\geq\frac{1}{\log_{0,2}\frac{x-3}{x-5}}\Leftrightarrow $$$$\frac{\log_{0,2}\frac{x-3}{x-5}-\log_{0,2}(x-2)}{\log_{0,2}(x-2)\cdot\log_{0,2}\frac{x-3}{x-5}}\geq0\Leftrightarrow $$$$\frac{\log_{0,2}\frac{x-3}{(x-5)(x-2)}}{\log_{0,2}(x-2)\log_{0,2}\frac{x-3}{x-5}}\geq0\Leftrightarrow $$$$\frac{(0,2-1)(\frac{x-3}{(x-5)(x-2)}-1)}{(0,2-1)(x-2-1)(0,2-1)(\frac{x-3}{x-5}-1)}\geq0\Leftrightarrow $$$$\frac{\frac{x-3-(x-5)(x-2)}{(x-5)(x-2)}}{(x-3)\cdot\frac{x-3-x+5}{x-5}}\leq0\Leftrightarrow $$$$\frac{\frac{x-3-x^{2}+2x+5x-10}{x-2}}{x-3}\leq0\Leftrightarrow $$$$\frac{-x^{2}+8x-13}{(x-2)(x-3)}\leq0\Leftrightarrow $$$$\frac{x^{2}-8x+13}{(x-2)(x-3)}\geq 0$$
$$x^{2}-8x+13=0$$
$$D=64-52=12\Leftrightarrow $$$$x_{1,2}=\frac{8\pm\sqrt{12}}{2}=4\pm\sqrt{3}$$
Начертим координатную прямую, отметим полученные точки, расставим знаки и сравним результаты с ОДЗ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 16

АК ‐ биссектриса треугольника АВС, причем ВК:КС=2:7. Из точек В и К проведены  параллельные прямые, которые пересекают сторону АС в точках D и F соответственно,  причем AD:FC=3:14  

А) Докажите, что АВ в 2 раза больше AD  

Б) Найдите площадь четырехугольника DBKF, если Р – точка пересечения BD и AK и  площадь треугольника АВР равна 27  

Ответ: 96
Скрыть
A)Пусть BK=2x, тогда KC=7x ; AD = 3z, тогда АС = 14z
1) $$\frac{CK}{KB}=\frac{CF}{FD}$$ (т.к. $$KF\parallel BD$$); $$FD=\frac{2x\cdot14z}{7x}=4z$$
2) По свойству биссектрис: $$\frac{AB}{AC}=\frac{BK}{KC}$$. Пусть AB=2y, тогда AC = 7y. Но $$AC=3z+4z+1z=21z=7y$$; $$y=3z$$ $$\Rightarrow$$ $$AD=y$$ $$\Rightarrow$$ $$AD=0,5AB$$
Б)1) По теореме Менелая из треугольника AKC: $$\frac{BP}{PD}\cdot\frac{AD}{AC}\cdot\frac{CK}{KB}=1$$; $$\frac{BP}{PD}\cdot\frac{3}{81}\cdot\frac{7}{2}=1$$; $$\frac{BP}{PD}=\frac{2}{1}$$ $$\Rightarrow$$ $$S_{APD}=\frac{1}{2}S_{ABP}=13,5$$ $$\Rightarrow$$ $$S_{ABD}=40,5$$
2) $$\frac{S_{ABD}}{S_{ABC}}=\frac{AB\cdot AD}{AB\cdot AC}=\frac{3}{21}=\frac{1}{7}$$ $$\Rightarrow$$ $$S_{ABC}=S_{ABD}\cdot7=283,5$$
3) $$\frac{S_{CKF}}{S_{ABC}}=\frac{CK\cdot CF}{CB\cdot AC}=\frac{7}{3}\cdot\frac{14}{21}=\frac{14}{27}$$; $$S_{CKF}=\frac{14}{27}\cdot S_{ABC}=\frac{14}{27}\cdot283,5=147$$
4) $$S_{BKFD}=S_{ABC}-S_{ABD}-S_{CKF}=283,5-147-40,5=96$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 17

Имеется три пакета акций. Общее суммарное количество акций первых двух  пакетов совпадает с общим количеством акций в третьем пакете. Первый пакет в 4 раза  дешевле второго, а суммарная стоимость первого и второго пакетов совпадает со  стоимостью третьего пакета. Одна акция из второго пакета дороже одной акции из  первого пакета на величину, заключенную в пределах от 16 тысяч рублей до 20 тысяч  рублей, а цена акции из третьего пакета не меньше 42 тысяч рублей и не больше 60  тысяч рублей. Определите, какой наименьший и наибольший процент от общего  количества акций может содержаться в первом пакете.  

Ответ:
Скрыть
№ полета 1 2 3
Цена одной, тыс. руб. x $$\frac{4x}{l}$$ $$\frac{5x}{l+1}$$
Кол-во акций, шт. y $$ly$$ $$y(l+1)$$
Цена пакета, тыс. руб. xy $$4xy$$ $$5xy$$

Цена второй: $$\frac{4xy}{ly}=\frac{4x}{l}$$

Кол-во акций в третьем: $$y+ly=y(l+1)$$

Цена третьей: $$\frac{5xy}{y(l+1)}=\frac{5x}{l+1}$$

Всего акций: $$y+ly+y(l+1)=2y(l+1)$$

Найти: $$\frac{y}{2y(l+1)}=\frac{1}{2(l+1)}$$

Имеем условия: $$\left\{\begin{matrix}16\leq\frac{4x}{l}-x\leq20\\42\leq\frac{5x}{l+1}\leq60\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}16\leq\frac{x(4-l}{l}\leq20\\42\leq\frac{5x}{l+1}\leq60\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\frac{16l}{4-l}\leq x\leq \frac{10l}{4-l}\\\frac{42}{5}(l+1)\leq x\leq12(l+1)\end{matrix}\right.$$

$$\left\{\begin{matrix}a_{1}\leq x\leq b_{1}\\a_{2}\leq x\leq b_{2}\end{matrix}\right.$$ Пересения будут, если: $$\left\{\begin{matrix}a_{1}\leq b_{2}\\a_{2}\leq b_{1}\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\frac{16l}{4-l}\leq 12(l+1)\\\frac{42}{5}(l+1)\leq\frac{10l}{4-l}\end{matrix}\right.$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 18

Найдите все значения параметра , при каждом из которых уравнение 

$$x^{2}-4x-12=2|x-a+2|-16$$

имеет ровно три различных решения.  

Ответ:
Скрыть

Перенесем -16 влево: $$x^{2}-4x-12+16=2|x-(a-2)|\Leftrightarrow $$ $$(x-2)^{2}=2|x-(a-2)|$$ Рассмотрим графики функций: $$f(x)=(x-2)^{2}$$ и $$g(x)=2|x-(a-2)|$$. В первом случае представлена парабола с вершиной в точке (2;0), во втором случае график модуля (галочка) с вершиной в точке (a-2 ; 0). Данные фукциии имеют в зависимости от параметра а от двух до четырех пересечений. Нам необходимо три. Рассмотрим все возможные случаи:

Аналоги к этому заданию:

Задание 19

Маша и Наташа делали фотографии в течение некоторого количества подряд идущих дней. В первый день Маша сделала m фотографий, а Наташа ‐ n фотографий. В каждый следующий день каждая из девочек делала на одну фотографию больше, чем в предыдущий день. Известно, что Наташа за все время сделала суммарно на 1615 фотографий больше, чем Маша, и что фотографировали они больше одного дня.
А) Могли ли они фотографировать в течение 5 дней?
Б) Могли ли они фотографировать в течение 6 дней?
В) Какое наибольшее суммарное количество фотографий могла сделать Наташа за все дни фотографирования, если известно, что в последний день Маша сделала меньше 30 фотографий?
Ответ:
Скрыть

Пусть девочки фотографировали k дней. Разность между числом Наташиных и Машиных фотографий равна:

$$S_{k}^{n}-S_{k}^{m}=$$$$\frac{(n+n+k-1)k}{2}-\frac{(m+m+k-1)k}{2}=$$$$k(n-m)=1615$$   

     А) Ответ: да. Из формулы (1) при k = 5 будет n – m = 323 $$\Rightarrow$$ равенство (1) выполняется, например, при m = 1, n = 324.
     Б) Ответ: нет. При k = 6 в левой части равенства (1) четное число, а в правой – нечетное, что невозможно.
     В) Ответ: 1995. Из формулы (1): k(n-m)= 5*17*19. (2). По условию k > 1, и Маша в последний день сделала m+k-1<30 фотографий. Поэтому k<31-m, и в равенстве (2) k может быть равно 5, 17 или 19.
   1. k = 5. Наибольшее значение m, удовлетворяющее неравенству m+k-1<30 равно $$m_{max}=25\Rightarrow$$$$S_{max}^{m}=\frac{(25+29)5}{2}=135\Rightarrow$$$$S_{max}^{n}=135+1615=1750$$ 
   2. k = 17 $$\Rightarrow$$$$m_{max}=13\Rightarrow$$$$S_{max}^{m}=\frac{(13+29)17}{2}=357\Rightarrow$$$$S_{max}^{n}=357+1615=1972$$ 
   3. k = 19 $$\Rightarrow$$$$m_{max}=11\Rightarrow$$$$S_{max}^{m}=\frac{(11+29)19}{2}=380\Rightarrow$$$$S_{max}^{n}=380+1615=1995$$