Перейти к основному содержанию

222 вариант Алекса Ларина. Разбор ЕГЭ математика 2018.

Решаем ЕГЭ 222 вариант Ларина. Подробное решение 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15 заданий тренировочного варианта ЕГЭ Ларина №222 (alexlarin.com)

Решаем ЕГЭ 222 вариант Ларина. Подробное решение 16,17,18,19 заданий тренировочного варианта ЕГЭ Ларина №222 (alexlarin.com)

Аналоги к этому заданию:

Задание 1

Тетрадь стоит 24 рубля. Сколько рублей заплатил покупатель за 60 тетрадей, если при покупке больше 50 тетрадей магазин делает скидку 10% от стоимости всей покупки?

Ответ: 1296
Скрыть

$$24\cdot60=1440$$ без скидки

$$1440\cdot0,9=1296$$ со скидкой

Аналоги к этому заданию:

Задание 2

На рисунке показано, как изменялась температура воздуха на протяжении одних суток. По горизонтали указано время суток, по вертикали — значение температуры в градусах Цельсия.

Найдите наименьшее значение температуры с 6 до 9 часов вечера. Ответ дайте в градусах Цельсия.

Ответ: 26
Аналоги к этому заданию:

Задание 3

Найдите периметр четырёхугольника ABCD с вершинами A(-7; -2), B(-7; 2), C(5; -3), D(5; -7).

Ответ: 34
Скрыть

$$AB=\sqrt{(-7-(-7))^{2}+(2-(-2))^{2}}=4$$

$$BC=\sqrt{(5-(-7))^{2}+(-3-2)^{2}}=13$$

$$CD=\sqrt{(5-5)^{2}+(-7-(-3))^{2}}=4$$

$$AD=\sqrt{(5-(-7))^{2}+(-7-(-2))^{2}}=13$$

$$P=13+4+13+4=34$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 4

В одной корзине имеется 5 шаров, из которых 3 белых, 2 черных, а во второй 6 шаров – 1 белый и 5 черных. Из каждой корзины вынимают по одному шару. Найдите вероятность того, что вынутые шары будут разного цвета. Ответ округлите до сотых.

Ответ: 0,57
Скрыть

$$P_{1}=\frac{3}{5}$$ - вероятност вытащить белый из первой

$$P_{2}=\frac{2}{5}$$ - вероятност вытащить черный из первой

$$P_{3}=\frac{1}{6}$$ - вероятност вытащить белый из второй

$$P_{4}=\frac{5}{6}$$ - вероятност вытащить черый из второй

$$P=P_{1}\cdot P_{4}+P_{2}\cdot P_{3}=\frac{3}{5}\cdot\frac{5}{6}+\frac{2}{5}\cdot\frac{1}{6}=\frac{1}{2}+\frac{1}{15}=\frac{17}{30}\approx0,57$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 5

Решите уравнение: $$\frac{x+6}{5x+9}=\frac{x+6}{9x+5}$$. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

Ответ: -6
Скрыть

$$\frac{x+6}{5x+9}=\frac{x+6}{9x+5}$$

$$(x+6)(9x+5)=(5x+9)(x+6)$$

$$\left\{\begin{matrix}x+6=0\\9x+5=5x+9\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$

$$\left\{\begin{matrix}x=-6\\4x=14\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$

$$\left\{\begin{matrix}x=-6\\x=\frac{7}{2}\end{matrix}\right.$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 6

AB—диаметр окружности, TB и TC — касательные к ней. Найдите угол CTB, если $$\angle CAB=66^{\circ}$$. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 48
Скрыть

ПРоведем BC:

$$\bigtriangleup ABC$$ - прямоугольный (т.к. АВ - диагональ)

$$\angle ABT=90^{\circ}$$; $$\angle BAC=66^{\circ}$$ $$\Rightarrow$$

$$\angle ABC=90-66=24^{\circ}$$ $$\Rightarrow$$

$$\angle TBC=\angle BCT=90-24=66^{\circ}$$ $$\Rightarrow$$

$$\angle BTC=180-2\cdot66=48^{\circ}$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 7

На рисунке изображен график функции f (x). Касательная к этому графику, проведенная в точке с абсциссой 4, проходит через начало координат. Найдите f ′(4).

Ответ: 1,5
Скрыть

$$f'(4)=\frac{6}{4}=1,5$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 8

Радиусы трех шаров равны 3, 4 и 5. Найдите радиус шара, объем которого равен сумме их объемов.

Ответ: 6
Скрыть

$$V=V_{1}+V_{2}+V_{3}$$

$$\frac{4}{3}\pi R^{3}=\frac{4}{3}\pi R_{1}^{3}+\frac{4}{3}\pi R_{2}^{3}+\frac{4}{3}\pi R_{3}^{3}$$

$$R^{3}=R_{1}^{3}+R_{3}^{3}+R_{3}^{3}$$

$$R^{3}=3^{3}+4^{3}+5^{3}=216$$

$$R=6$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 9

Найдите значение выражения $$x\div5^{2x+1}\cdot25^{x-1}$$ при $$x=25$$

Ответ: 0,2
Скрыть

$$x\div5^{2x+1}\cdot25^{x-1}=$$

$$=\frac{x\cdot(5^{2})^{x-1}}{5^{2x+1}}=$$

$$=x\cdot5^{2x-2-2x-1}=x\cdot5^{-3}=$$

$$=\frac{25}{125}=0,2$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 10

На рельсах стоит платформа. Скейтбордист прыгает на неё со скоростью м/с под острым углом α к рельсам. От толчка платформа начинает ехать со скоростью

$$u=\frac{m}{m+M}\cdot v\cdot\cos \alpha$$

где m = 80 кг—масса скейтбордиста со скейтом, а M =400 кг—масса платформы. Под каким наибольшим углом α (в градусах) нужно прыгать, чтобы разогнать платформу до скорости не менее чем 0,25 м/с?

Ответ: 60
Скрыть

$$u=\frac{m}{m+M}\cdot v\cdot\cos \alpha$$ $$\Rightarrow$$

$$\cos\alpha=\frac{u\cdot(m+M)}{m\cdot v}=$$

$$=\frac{0,25\cdot480}{80\cdot3}=\frac{1}{2}$$ $$\Rightarrow$$

$$\alpha=60^{\circ}$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 11

Из города A в город B одновременно выехали два автомобиля: первый со скоростью 65 км/ч, а второй—со скоростью 60 км/ч. Через 4 минуты следом за ними выехал третий автомобиль. Найдите скорость третьего автомобиля, если известно, что с момента, когда он догнал второй автомобиль, до момента, когда он догнал первый автомобиль, прошло 40 минут. Ответ дайте в км/ч.

Ответ: 78
Скрыть

Пусть х - скорость 3го. К моменту выезда 3го первый прошел $$S_{1}=65\cdot\frac{24}{60}=26$$ км

Второй : $$S_{2}=65\cdot\frac{24}{60}=24$$

Время за которое догнал второго $$t_{2}=\frac{24}{x-60}$$

Первого: $$t_{1}=\frac{26}{x-65}$$

$$\frac{26}{x-65}-\frac{24}{x-60}=\frac{40}{60}=\frac{2}{3}$$

$$\frac{26(x-60)-20(x-65)}{(x-65)(x-60)}=\frac{2}{3}$$

$$3(26x-1560-24x+1560)=2x^{2}-250x+7800$$

$$2x^{2}-256x+7800=0$$

$$x^{2}-128x+3900=0$$

$$D=16384-15600=784=28^{2}$$

$$x_{1}=\frac{128+28}{2}=78$$

$$x_{2}=\frac{128-28}{50}=50$$ - не может быть

Аналоги к этому заданию:

Задание 12

Найдите точку макcимума функции $$y=11+6\sqrt{x}+2x\sqrt{x}$$

Ответ: 1
Скрыть

$$y=11+6\sqrt{x}+2x\sqrt{x}=$$

$$=11+6x^{\frac{1}{2}}-2x^{\frac{3}{2}}$$

$$y'=3x^{\frac{1}{2}}-3x^{\frac{1}{2}}=$$

$$=3(\frac{1}{\sqrt{x}}-\sqrt{x})=0$$

$$\frac{1-x}{\sqrt{x}}=0$$ $$\Leftrightarrow$$

$$x=1$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 13

а) Решите уравнение: $$\frac{2-3\sin x-\cos2x}{6x^{2}-\pi x-\pi^{2}}=0$$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[-\frac{\pi}{2};\frac{2\pi}{3}]$$

Ответ: a) $$(-1)^{n}\frac{\pi}{6}+\pi n,n\in Z$$; $$\frac{\pi}{2}+2\pi k,k\in Z(k\neq0)$$; б) $$\frac{\pi}{6}$$
Скрыть

$$\frac{2-3\sin x-\cos2x}{6x^{2}-\pi x-\pi^{2}}=0$$

ОДЗ: $$6x^{2}-\pi x-\pi^{2}\neq0$$

$$D=\pi^{2}+24\pi^{2}=25\pi^{2}$$

$$x_{1}\neq\frac{\pi+5\pi}{12}=\frac{\pi}{2}$$

$$x_{2}\neq\frac{\pi-5\pi}{12}=-\frac{\pi}{3}$$

$$2-3\sin x-\cos2x=0$$

$$2-3\sin x-1+2\sin^{2}x=0$$

$$D=9-8=1$$

$$\left\{\begin{matrix}\sin x=\frac{3+1}{4}=1\\\sin x=\frac{3-1}{4}=\frac{1}{2}\end{matrix}\right.$$

$$\sin x=1$$

$$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,n\in Z,n\neq0$$

$$sin x=\frac{1}{2}$$

$$x=\frac{\pi}{6}+2\pi n$$

$$x=\frac{5\pi}{6}+2\pi n$$

 

Аналоги к этому заданию:

Задание 14

Куб целиком находится в правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S так, что одна грань куба принадлежит основанию, одно ребро целиком принадлежит грани SBC, а грани SAB и SAC содержат по одной вершине куба. Известно, что ребро АВ в 2 раза больше высоты пирамиды.
А) Докажите, что плоскость, проходящая через вершины куба, принадлежащие граням SAB и SAC, и вершину пирамиды, перпендикулярна плоскости ASD, где D – середина стороны ВС.
Б) Найдите отношение объемов пирамиды и куба.

Ответ: $$\frac{(2+3\sqrt{3})^{3}}{72}$$
Скрыть

1) Пусть h - высота пирамиды, тогда $$AB=CB=AC=2h$$ $$\Rightarrow$$

$$S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot2h\cdot2h\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}h^{2}$$ $$\Rightarrow$$

$$V_{ABCD}=\frac{1}{3}\cdot h\cdot\sqrt{3}h^{2}=\frac{\sqrt{3}}{3}h^{3}$$

2) Пусть KL - ребро куба; $$KL\in(SBC)$$;

$$(NMLK)\parallel(N_{1}M_{1}L_{1}K_{1})\cap SBC\Rightarrow KL\parallel CB$$;

аналогично: $$C_{1}B_{1}\parallel CB$$; $$A_{1}B_{1}\parallel B$$;$$A_{1}C_{1}\parallel AC$$

3) Пусть ребро куба - x $$\Rightarrow$$

$$d((ABC);(A_{1}B_{1}C_{1}))=x$$ - расстояние $$\Rightarrow$$

высота $$SA_{1}B_{1}C_{1}=h-x$$

4) Пусть $$SO_{1}$$- высота $$SABC$$, $$SO_{2}$$ - высота $$SA_{1}B_{1}C_{1}$$

$$\bigtriangleup SO_{2}B_{1}\sim\bigtriangleup SO_{1}B\Rightarrow\frac{SB_{1}}{SB}=\frac{SO_{2}}{SO_{1}}=\frac{h-x}{h}$$

$$\bigtriangleup SB_{1}A_{1}\sim\bigtriangleup SBA\Rightarrow\frac{A_{1}B_{1}}{AB}=\frac{SB_{1}}{SB}=\frac{h-x}{h}$$ $$\Rightarrow$$

$$A_{1}B_{1}=AB\cdot\frac{h-x}{h}=2h\cdot\frac{h-x}{h}=2(h-x)$$

5) $$\bigtriangleup NMA_{1}$$ - правильный; $$NA_{1}=NM=x$$ $$\Rightarrow$$

из $$C_{1}NK$$: $$C_{1}N=\frac{NK}{\sin 60}=\frac{2x}{\sqrt{3}}$$ $$\Rightarrow$$

$$C_{1}A_{1}=C_{1}N+NA_{1}=x(1+\frac{2}{\sqrt{3}})$$

6) $$\bigtriangleup A_{1}B_{1}C_{1}$$ - правильный  $$\Rightarrow$$

$$2(h-x)=x(1+\frac{2}{\sqrt{3}})$$

$$2h-2x=x(1+\frac{2}{\sqrt{3}}$$ $$\Rightarrow$$

$$x(3+\frac{2}{\sqrt{3}})=2h$$ $$\Rightarrow$$

$$x=\frac{2h\sqrt{3}}{3\sqrt{3}+2}$$ $$\Rightarrow$$

$$V_{KLMNK_{1}L_{1}N_{1}M_{1}}=x^{3}=(\frac{2h\sqrt{3}}{3\sqrt{3}+2})^{3}$$

7) $$\frac{V_{ABCD}}{V_{KLMNK_{1}L_{1}N_{1}M_{1}}}=\frac{\sqrt{3}h^{3}}{3}\cdot\frac{(2+3\sqrt{3})^{3}}{2^{3}h^{3}\sqrt{3}^{3}}=$$

$$=\frac{(2+3\sqrt{3})^{3}}{9\cdot8}=\frac{(2+3\sqrt{3})^{3}}{72}$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 15

Решите неравенство $$(2^{2}+3\cdot2^{-x})^{2\log_{2}x-\log_{2}(x+6)}>1$$

Ответ: $$x\in(3;+\infty)$$
Скрыть

$$(2^{2}+3\cdot2^{-x})^{2\log_{2}x-\log_{2}(x+6)}>1$$

$$(2^{2}+3\cdot2^{-x})^{2\log_{2}x-\log_{2}(x+6)}>(2^{2}+3\cdot2^{-x})^{0}$$

ОДЗ: $$\left\{\begin{matrix}x>0\\x+6>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x>0$$

$$2^{x}+3\cdot2^{-x}>1$$ $$\Leftrightarrow$$

$$2^{x}+3\cdot2^{-x}-1>0$$ $$\Leftrightarrow$$

$$\frac{2^{2x}-2^{x}+3}{2^{x}}>0$$

Пусть $$2^{x}=y>0$$

$$\frac{y^{2}-y+3}{y}>0$$

$$D=1-12<0$$ $$\Rightarrow$$ всегда больше нуля

$$\left\{\begin{matrix}2^{x}+3\cdot2^{-x}>1\\2\log_{2}x-\log_{2}(x+6)>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$

$$\left\{\begin{matrix}\frac{2^{2x}-2^{x}+3}{2^{x}}>0\\2\log_{2}x>\log_{2}(x+6)\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$

$$\log_{2}x^{2}>\log_{2}(x+6)$$

$$(x^{2}-x-6)(2-1)>0$$

$$x^{2}-x-6>0$$

$$D=1+24=25$$

$$x_{1}=\frac{1+5}{2}=3$$

$$x_{2}=\frac{1-5}{2}=-2$$

С учетом ОДЗ: $$x>3$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 16

Из середины D гипотенузы АВ прямоугольного треугольника АВС проведен луч, перпендикулярный к гипотенузе и пересекающий один из катетов. На нем отложен отрезок DE, длина которого равна половине отрезка АВ. Длина отрезка СЕ равна 1 и совпадает с длиной одного из катетов.
А) Докажите, что угол АСЕ равен 45 градусов
Б) Найдите площадь треугольника АВС

Ответ: $$\frac{1+\sqrt{2}}{2}$$
Скрыть

а) 1) Строим окружность с диаметром $$AB\Rightarrow\angle C=90^{\circ}$$

$$AD=DE=R\Rightarrow E$$ лежит на окружности

2) По условию $$BC=CE\Rightarrow$$

$$\angle ACE=\frac{1}{2}\angle ADE=45^{\circ}$$(вписанный угол равен половине центрального, опирающегося на ту же дугу)

б) 1) Т.к. $$\angle СDB=45^{\circ}\Rightarrow \angle CAB=22,5=\frac{45}{2}$$

$$\tan A=\frac{BC}{AC}\Leftrightarrow\tan\frac{45}{2}=\frac{1}{AC}$$

$$\tan 45=\tan2\cdot\frac{45}{2}=\frac{2\tan\frac{45}{2}}{1-\tan^{2}\frac{45}{2}}$$

2) Пусть $$\tan\frac{45}{2}=x$$

$$1=\frac{2x}{1-x^{2}}\Leftrightarrow$$

$$1-x^{2}=2x\Leftrightarrow$$

$$x^{2}+2x-1=0$$

$$D=4+4=8$$

$$x_{1}=\frac{-2+\sqrt{8}}{2}=\sqrt{2}-1$$

$$x_{2}=\frac{-2-\sqrt{8}}{2}=-\sqrt{2}-1$$

$$AC=1\div\tan\frac{45}{2}=\frac{1}{\sqrt{2}-1}$$

3) $$S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{2}-1}=\frac{\sqrt{2}+1}{2(\sqrt{2}^{2}-1^{2})}=\frac{1+\sqrt{2}}{2}$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 17

В январе 2014 года Аристарх Луков‐Арбалетов взял в кредит 1 млн. рублей под 12% годовых на четыре года. Часть денег Аристарх закопал в огороде, чтобы ежегодно гасить проценты по кредиту. На оставшиеся деньги Аристарх купил доллары США по курсу 33 рубля за один доллар, а на половину этих долларов ‐ биткоины (BTC) по курсу 750 долларов за 1 BTC. 1 января 2018 года Аристарх продал биткоины по цене 13800 долларов США за один BTC и доллары по курсу 69 рублей за один доллар. Найдите доход, полученный Аристархом, округлив его до целого числа млн. рублей.

Ответ: 9
Скрыть

Пусть $$S=10^{6}$$ руб, тогда каждый год %: $$10^{6}\cdot0,12=120000$$ $$v$$

$$4\cdot120000=480000$$ закопал.

Осталось $$520000$$ $$\Rightarrow$$

$$\frac{120000}{33}=15757$$ долларов и 19 рублей.

На половину суммы биткоины: $$\frac{15757}{2}=7878,5$$ $$\Rightarrow$$

$$\frac{7878,5}{750}=10$$ биткоинов и $$7878,5+378,5$$ долларов $$\Rightarrow$$ 10 биткоинов и 8257 долларов.

После продажи: $$(10\cdot13800+8257)\cdot69=10091733$$ рублей

$$10091733-1000000\approx9$$ млн

Аналоги к этому заданию:

Задание 18

Найдите все значения параметра a , при каждом из которых система уравнений

$$\left\{\begin{matrix}x^{2}-2xy-3y^{2}=8\\2x^{2}+4xy+5y^{2}=a^{4}-4a^{3}+4a^{2}-12+\sqrt{105}\end{matrix}\right.$$

имеет хотя бы одно решение.

Ответ: $$a\in(-\infty;-1]\cup[3;+\infty)$$
Скрыть

$$\left\{\begin{matrix}x^{2}-2xy-3y^{2}=8\\2x^{2}+4xy+5y^{2}=a^{4}-4a^{3}+4a^{2}-12+\sqrt{105}\end{matrix}\right.$$

$$a^{4}-4a^{3}+4a^{2}-12+\sqrt{105}=b$$

$$\left\{\begin{matrix}-bx^{2}+2bxy+3by^{2}=-8b\\16x^{2}+32xy+40y^{2}=8b\end{matrix}\right.$$

$$x^{2}(16-b)+xy(2b+32)+y^{2}(40+3b)=0$$ $$\div y^{2}$$

$$\frac{x^{2}}{y^{2}}(16-b)+\frac{x}{y}(2b+32)+(40+3b)=0$$

$$D=(2b+32)^{2}-(16-b)(3b+40)\cdot4\geq0$$

$$4b^{2}+128b+1024-4(48b+640-3b^{2}-40b)\geq0$$

$$4b^{2}+128b+1024-32b-2560+12b^{2}\geq0$$

$$16b^{2}+96b-1536\geq0$$

$$b^{2}+6b-96\geq0$$

$$D=36+384=420$$

$$b_{1,2}=\frac{-6\pm2\sqrt{105}}{2}=-3\pm\sqrt{105}$$

$$\left\{\begin{matrix}b\leq-3-\sqrt{105}\\b\geq-3+\sqrt{105}\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$

$$\left\{\begin{matrix}a^{4}-4a^{3}+4a^{2}-12+\sqrt{105}\leq-3-\sqrt{105}\\a^{4}-4a^{3}+4a^{2}-12+\sqrt{105}\geq-3+\sqrt{105}\end{matrix}\right.$$

2) $$a^{4}-4a^{3}+4a^{2}-19\geq0$$

$$81-4\cdot27+4\cdot9-19\geq0$$

$$(a-3)(a+1)(a^{2}-2a+3)\geq0$$

$$a^{2}-2a+3=0$$

$$D=4-12<0$$

$$(a-3)(a+1)\geq0$$

$$\left\{\begin{matrix}a\geq3\\a\leq-1\end{matrix}\right.$$

1) $$a^{4}-4a^{3}+4a^{2}-12+\sqrt{105}\leq-3-\sqrt{105}$$

$$a^{4}-4a^{3}+4a^{2}-9+2\sqrt{105}\leq0$$

$$f'(a)=4a^{3}-12a^{2}+8a=0$$

$$a^{3}-3a^{2}+2a=0$$

$$a(a^{2}-3a+2)=0$$

$$a=0;a=2;a=1$$

$$f(0)=2\sqrt{105}-9>0$$

$$f(2)=16-32+16-9+2\sqrt{105}>0$$

Так как обы минимальных значения больше нуля, то сама функция меньше нуля быть не может, отсюда (1) не имеет решений, и ответом будет только промежутки с (2)

$$a\in(-\infty;-1]\cup[3;+\infty)$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 19

По кругу посажены 19 кустов ландышей.
а) Докажите, что обязательно найдутся два соседних куста, общее количество колокольчиков на которых чётно.
б) Всегда ли можно найти два соседних куста, общее количество колокольчиков на которых кратно 3?

Ответ:
Скрыть

а) четные в сумме дают 2 четных или 2 нечетных; чтобы получалось нечетное надо, чтобы чередовались четные и нечетные, но, пусть 1ый куст нечетный, тогда 19ый будет тоже нчеетный $$\Rightarrow$$ т.к. дан круг, то они окажутся рядом и в сумме получим четное

б) Нет, пусть на на четных по номеру по 2, на нечетных по 3, тогда всегда сумма $$2+3$$, а у первого и 19го $$2+2=4$$, ни там, на там не делится на 3