410 вариант Алекса Ларина. Разбор ЕГЭ математика 2023.

Вокруг любого правильного многоугольника можно описать окружность.

Центральный угол EOB равен $$\frac{360^{\circ}}{10}\cdot3=108^{\circ}$$.

Тогда большая дуга EB равна $$360^{\circ}-108^{\circ}=252^{\circ}$$.

Угол BCE опирается на ту же дугу EB, но является вписанным, поэтому равен половине дуги EB, т. е. $$126^{\circ}$$.

Для удобства введем буквенные обозначения: О – центр основания цилиндра, DA и СВ – образующие цилиндра, ОН – расстояние от оси до сечения.

Сечение представляет собой прямоугольник, площадь которого равна произведению двух его смежных сторон, а именно:

S = АВ · DA

DA – образующая цилиндра, следовательно DA = 18,

Найдем АВ. Для этого рассмотрим треугольник ОНА. Данный треугольник прямоугольный (с прямым углом Н). Так же в треугольнике известны катет ОН = 8 и гипотенуза OA = 10 (ОА – радиус основания).

По теореме Пифагора найдем катет, АН:

АН² = ОА² — ОН² = 10² – 8² = 36

АН = 6

АВ = АН + ВН, так как АН = ВН = 6, то

АВ = 6 + 6 = 12

Осталось найти площадь сечения:

S = АВ · DA = 12 · 18 = 216 – площадь сечения

$$P(A)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{4}=0,25$$

Пусть $$n$$ - число участников.

Всего возможных пар игроков:

$$\binom{2}{n}=\frac{n!}{2!\cdot(n-1)!}=\frac{n(n-1)}{2}$$.

Значит, вероятность, что в какой-то одной любой игре будет нужная нам пара игроков:

$$(\frac{n(n-1)}{2})^{-1}=\frac{2}{n(n-1)}$$.

Так как изначально было $$n$$ игроков и ровно один после каждой игры выбывает, то всего игр будет:

$$n-1$$.

Так как во всех играх вероятность выпадения нужной нам пары игроков одинакова, то искомая вероятность:

$$\frac{2}{n(n-1)}\cdot(n-1)=\frac{2}{n}$$.

$$P(A)=\frac{2}{25}=0,08$$

$$\tg\frac{\pi(x+1)}{3}=-\sqrt{3}\Rightarrow\frac{\pi(x+1)}{3}=-\frac{\pi}{3}+\pi n\Rightarrow x+1=-1+3n\Rightarrow x=-2+3n$$

$$\left\{\begin{matrix} -2+3n>0\\ n\to min \\ n\in Z \end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{\begin{matrix} n>\frac{2}{3}\\ n\to min\\ n\in Z \end{matrix}\right.\Rightarrow n=1:\quad x=-2+3\cdot1=1$$

$$7\cos(\pi+\beta)-2\sin(\frac{\pi}{2}+\beta)=-7\cos\beta-2\cos\beta=-9\cos\beta=-9\cdot(-\frac{1}{3})=3$$

На графике производной точка минимума - точка пересечения оси Ox при возрастании графика.

$$-16; -10; -6\Rightarrow 3$$ точки

$$5\sin\pi t\geq2,5$$

$$\sin\pi t\geq0,5$$

$$​\frac{\pi}{6}+2\pi n\leq\pi t\leq\frac{5\pi}{6}+2\pi n$$​

Так как просят в течении первой секунды, то $$​n=0​$$

$$​\frac{1}{6}\leq t\leq\frac{5}{6}​$$

$$\tau=\frac{\frac{5}{6}-\frac{1}{6}}{1}=\frac{2}{3}\approx0,67$$

Решение сводится к составлению линейного уравнения. Если принять за $$x$$ расстояние полета с начальной скоростью, тогда:

$$\frac{x+x+90}{850}=\frac{x}{800}+\frac{x+90}{900}$$, т.е. мы уравняли время полета всего расстояния.

Решение (без вычислений НОЗ) приводит нас к такому "упрощенному" виду уравнения:

$$1440000x + 64800000 = 1445000x + 61200000$$ или

$$3600000 = 5000x$$ откуда

имеем $$x = 720, x + 90 = 810$$, а весь путь самолета $$= 1530$$ км.

Верхний проходит через $$(-1;4)$$ и $$(-3;3)$$. Тогда:

$$\left\{\begin{matrix} 4=-1k+b\\ 3=-3k+b \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} 1=2k\\ 4=-0,5+b \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} k=0,5\\ b=4,5 \end{matrix}\right.$$

$$y=0,5x+4,5$$

Нижний через $$(1;-4)$$ и $$(3;-1)$$. Тогда:

$$\left\{\begin{matrix} -4=k+b\\ -1=3k+b \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} 3=2k\\ -4=1,5+b \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} k=1,5\\ b=-5,5 \end{matrix}\right.$$

$$y=1,5x-5,5$$

Тогда:

$$0,5x+4,5=1,5x-5,5\Rightarrow x=10$$

$$y'=5x^4-80$$

$$5x^4-80=0$$

$$5x^4=80$$

$$x^4=16$$

$$x=\pm2$$

$$x=2$$ - точка минимума по методу интервалов, но она не попадает в отрезок, проверяем значения концов отрезка.

$$y(-1)=79$$

$$y(-4)=-1024+320=-704$$