Перейти к основному содержанию

ЕГЭ математика 2018. Разбор варианта Алекса Ларина № 206

Решаем ЕГЭ вариант Ларина № 209. Подробное решение 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,13,14,15 заданий тренировочного варианта ЕГЭ Ларина № 206 (alexlarin.com)

Решаем ЕГЭ вариант Ларина № 209. Подробное решение 16,17,18,19 заданий тренировочного варианта ЕГЭ Ларина № 206 (alexlarin.com)

Аналоги к этому заданию:

Задание 1

По результатам приемной кампании 2017 года, в вузы на бюджетные места поступили 6202 победителя и призера олимпиад. В 2016 году этот показатель составлял 5950 человек. На сколько процентов был превышен показатель поступивших в вузы на бюджетные места победителей и призеров олимпиад в 2017 году по сравнению с 2016 годом? (Ответ округлите до целого числа процентов). 

Ответ: 4
Скрыть

5950 - 100 %
6202 - x
$$x=\frac{6202\cdot100}{5950}=104,235254\approx104$$ %
$$104-100=4$$ %

Аналоги к этому заданию:

Задание 2

В период с 12 июня по 13 июля 2017 года тест шансов на портале Поступи Онлайн
прошло более миллиона абитуриентов. На рисунке показано распределение
количества результатов теста шансов поступления на технические специальности вузов. Определите по рисунку количество абитуриентов, принявших участие в тестировании, имеющих шансы поступить на специальности «Геология, горное,
нефтегазовое дело и геодезия».

 

Ответ: 6000
Аналоги к этому заданию:

Задание 3

Найдите площадь трапеции, изображённой на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

 

Ответ: 14
Скрыть

$$S=\frac{2+5}{2}\cdot4=14$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 4

При артиллерийской стрельбе автоматическая система делает выстрел по цели. Если цель не уничтожена, то система делает повторный выстрел. Выстрелы повторяются до тех пор, пока цель не будет уничтожена. Вероятность уничтожения некоторой цели при первом выстреле равна 0,1, а при каждом последующем – 0,9. Сколько выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0,95?

Ответ: 3
Скрыть
Выстрел Попал Промахнулся
1 0,1 0,9
2 0,9 0,1
3 0,9 0,1
n 0.9 0.1

Чтобы решить задание, мы будем рассматривать противоположное событие - мишень ниразу не поражена. То есть, если нам надо получить вероятность поражения больше, чем 0,95, то вероятность промаха будет меньше, чем 1-0,95=0,05. Первый выстрел промахивается с вероятностью 0,9, второй - 0,1. Значит, вероятность того, что два раза подряд промахнется 0,9*0,1, три раза = 0,9*0,1*0,1 и тд. А n раз $$= 0,9*0,1^{n-1}$$

$$0,9\cdot 0,1^{n-1}\leq 0,05$$

$$0,1^{n-1}\leq 0,0(5)$$

$$\Rightarrow n-1\leq 2$$

$$\Rightarrow n\leq 3$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 5

Найдите корень уравнения $$\sqrt{31-2x}=3$$

Ответ: 11
Скрыть

$$\sqrt{31-2x}=3$$
$$31-2x=9$$ $$\Leftrightarrow -2x=-22\Leftrightarrow x=11$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 6

В треугольнике ABC AC=BC=4, угол C равен 30°. Найдите высоту AH.

 

Ответ: 2
Скрыть

из $$\bigtriangleup ACH:$$ $$AH=\frac{AC}{2}=\frac{4}{2}=2$$
(катет напротив угла в $$30^{\circ}$$)

Аналоги к этому заданию:

Задание 7

На рисунке изображён график y=f′(x) — производной функции f(x), определенной на интервале (-8;4). В какой точке отрезка [-7;-3] функция f(x) принимает наименьшее значение?

 

Ответ: -7
Скрыть

На всем отрезке [-7; -3] f'(x) $$\Rightarrow$$ функция возрастает минимальное значение в начале отрезка $$\Rightarrow$$ -7

Аналоги к этому заданию:

Задание 8

Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 3 и 4. Площадь поверхности этого параллелепипеда равна 94. Найдите третье ребро, выходящее из той же вершины.

 

Ответ: 5
Скрыть

Пусть х - третье ребро
$$2\cdot3x+2\cdot4x+2\cdot3\cdot4=94$$
$$6x+8x+24=94$$ $$\Leftrightarrow$$
$$14x=70$$ $$\Leftrightarrow$$ $$x=5$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 9

Найдите значение выражения $$-18\sqrt{2}\sin (-135^{\circ})$$

Ответ: 18
Скрыть

$$-18\sqrt{2}\sin (-135^{\circ})=18\sqrt{2}\sin 135^{\circ}=$$
$$18\sqrt{2}\sin (90^{\circ}+45^{\circ})=18\sqrt{2}\cos 45^{\circ}=18\sqrt{2}\frac{\sqrt{2}}{2}=18$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 10

Высота над землeй подброшенного вверх мяча меняется по закону $$h(t)=1,6+8t-5t^{2}$$, где h — высота в метрах, t — время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее трeх метров?

Ответ: 1,2
Скрыть

$$h(t)=1,6+8t-5t^{2}\geq3$$
$$-5t^{2}+8t-1,4\geq0$$
$$5t^{2}-8t+1,4\leq0$$
$$D=64-28=36$$
$$t_{1}=\frac{8+6}{10}=1,4$$
$$t_{1}=\frac{8-6}{10}=0,2$$
$$1,4-0,2=1,2$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 11

На направление «Фундаментальная и прикладная лингвистика» от выпускников лицеев подано на 600 заявлений больше, чем от выпускников гимназий. Девушек среди выпускников лицеев в 5 раз больше, чем девушек среди выпускников гимназий. А юношей среди выпускников лицеев больше, чем юношей среди выпускников гимназий в n раз, причем 6 < n < 12 (n ‐ целое число). Определить общее количество заявлений, если среди выпускников гимназий юношей на 20 больше, чем девушек.

Ответ: 832
Скрыть
  Всего Девушки Юноши
Лицеи: х+600 n(x-y)
Гимназии: x y x-y

$$6< n< 12$$

$$x-y-y=20$$ $$\Rightarrow x-2y=20\Rightarrow x=20+2y$$

$$5y+n(x-y)=x+600$$

$$5y+n(20+2y-y=20+2y+600$$

$$5y+20n+ny-20-2y-600=0$$

$$3y+ny=620-20n$$

$$y=\frac{620-20n}{3+n}$$

n принадлежит промежутку от 6 до 12 и является натуральными числом, при этом у тоже число натуральное. Подставим все числа из промежутка от 6 до 12 (без 6 и 12) в полученное выражение и проверим, где у получается натуральным. А получается при n=7, y=48. Тогда x=20+2*48=116 и всего учеников: x+x+600=116+116+600=832

 

Аналоги к этому заданию:

Задание 12

Найдите наименьшее значение функции $$y=\sqrt{x^{2}+8x+25}$$

Ответ: 3
Скрыть

$$y=\sqrt{x^{2}+8x+25}$$
$$x_{0}=-\frac{8}{2}=-4$$ - вершина
$$y_{min}=\sqrt{(-4)^{2}+8(-4)+25}=\sqrt{16-32+25}=\sqrt{9}=3$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 13

а) Решите уравнение $$\sin (2x+\frac{\pi}{2})=\cos(x+\frac{\pi}{2})+\sin(x+\frac{\pi}{2})$$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [$$-\frac{3\pi}{2}; 0$$]

Ответ: а) $$\frac{\pi}{4}+\pi n$$; $$\frac{\pi}{2}+2\pi n$$; $$2\pi n(n\in Z)$$; б) $$-3\frac{\pi}{2}$$; $$-3\frac{\pi}{4}$$; $$0$$
Скрыть

$$\sin (2x+\frac{\pi}{2})=\cos(x+\frac{\pi}{2})+\sin(x+\frac{\pi}{2})$$ [$$-\frac{3\pi}{2}; 0$$]
$$\cos 2x=-\sin x+\cos x$$
$$\cos ^{2}x-\sin^{2} x+\sin x-\cos x=0$$
$$(\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x)-(\cos x-\sin x)=0$$
$$(\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x-1)=0$$
$$\left\{\begin{matrix}\cos x=\sin x\\\cos x+\sin x-1=0\end{matrix}\right.$$
$$\cos x=1-2\sin ^{2}\frac{x}{2}$$
$$\left\{\begin{matrix}1=\tan x\\1-2\sin^{2}\frac{x}{2}+2\sin\frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}-1=0\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$
$$\left\{\begin{matrix}x=\frac{\pi}{4}+\pi n (n\in Z)\\2\sin\frac{x}{2}(\cos\frac{x}{2}-\sin\frac{x}{2})=0\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$
$$\left\{\begin{matrix}x=\frac{\pi}{4}+\pi n(n\in Z)\\\sin\frac{x}{2}=0\\\cos\frac{x}{2}-\sin\frac{x}{2}=0\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x=\frac{\pi}{4}+\pi n(n\in Z)\\\frac{x}{2}=\pi n\\\tan\frac{x}{2}=1\end{matrix}\right.$$
$$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x=\frac{\pi}{4}+\pi n(n\in Z)\\x=2\pi n(n\in Z)\\\frac{x}{2}=\frac{\pi}{4}+\pi n\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$
$$\left\{\begin{matrix}x=\frac{\pi}{4}+\pi n(n\in Z)\\x=2\pi n(n\in Z)\\x=\frac{\pi}{2}+2\pi n(n\in Z)\end{matrix}\right.$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 14

Точки М, N и К принадлежат соответственно ребрам АD, AB и BC тетраэдра ABCD, причем АМ : МD = 2 :3, ВN : АN = 1 : 2, ВК = КС.
а) Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки М, N, K.
б) Найдите отношение, в котором секущая плоскость делит ребро CD.

Ответ: $$3:1$$
Скрыть
а) В и М $$\in$$ (ABD) - соединяем В и K $$\in$$ (ABC) - соединяем $$BK\cap AC=P$$ M и P $$\in$$ (ADC) - соединяем $$\Rightarrow$$ $$MP\cap DC=Q$$ $$\Rightarrow$$ MQKN - искомая плоскость.  

б) 1. Проведем  $$CO\parallel AB\Rightarrow \bigtriangleup BKN\sim \bigtriangleup COK$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{BN}{CO}=\frac{BK}{CK}=\frac{NK}{KO}$$ $$\bigtriangleup POK\sim \bigtriangleup PNA$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{PC}{CA}=\frac{CO}{AN}=\frac{PO}{PN}$$

2. Возьмем $$\frac{BN}{CO}=\frac{BK}{CK}$$ и $$\frac{PC}{PA}=\frac{CO}{AN}$$ и умножим $$\frac{BN}{CO}\cdot\frac{CO}{AN}=\frac{BK}{CK}\cdot\frac{PC}{AP}$$ $$\Rightarrow$$ $$frac{BN}{AN}=\frac{BK}{CK}\cdot\frac{PC}{AP}$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{y}{2y}=\frac{z}{z}\cdot\frac{PC}{AP}$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{PC}{AP}=\frac{1}{2}$$

3. Аналогично $$\frac{DM}{AM}=\frac{CP}{AP}\cdot\frac{DQ}{QC}$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{3x}{2x}=\frac{1}{2}\cdot\frac{DQ}{QC}$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{DQ}{QC}=\frac{3}{1}$$

 
Аналоги к этому заданию:

Задание 15

Решите неравенство $$\sqrt{9-\frac{9}{x}}< x-\sqrt{x-\frac{9}{x}}$$

Ответ:
Скрыть $$\sqrt{9-\frac{9}{x}}< x-\sqrt{x-\frac{9}{x}}$$ $$\left\{\begin{matrix}9-\frac{9}{x}\geq0\\x-\frac{9}{x}\geq0\\x\neq0\\x>0\end{matrix}\right.$$ $$\left\{\begin{matrix}\frac{9x-9}{x}\geq0\\\frac{x^{2}-9}{x}\geq0\\x>0\end{matrix}\right.$$ $$x\in [3; +\infty)$$ $$\sqrt{9-\frac{9}{x}}< x-\sqrt{x-\frac{9}{x}}$$ $$\Leftrightarrow$$ $$9-\frac{9}{x}\geq02x\sqrt{x-\frac{9}{x}}$$ При $$x\geq3$$ выполняется $$x^{2}+x-9>0$$ $$ (x^{2}+x-9)(x^{2}+x-9)>4x^{2}(x-\frac{9}{x})$$ $$x^{4}-x^{3}-9x^{2}-x^{3}+x^{2}-9x-9x^{2}-9x+81>4x^{3}-36x$$ $$x^{4}-2x^{3}-17x^{2}+18x-81\leq0$$ |:$$x^{2}$$ $$x^{2}-2x-17+\frac{18}{x}+\frac{81}{x^{2}}>0$$