241 вариант Алекса Ларина. Разбор ЕГЭ математика 2019.
Решаем ЕГЭ 241 вариант Ларина. Подробное решение 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15 заданий тренировочного варианта ЕГЭ Ларина №241 (alexlarin.com)
Решаем ЕГЭ 241 вариант Ларина. Подробное решение 16,17,18,19 заданий тренировочного варианта ЕГЭ Ларина №241 (alexlarin.com)
Задание 1
Больному прописано лекарство, которое нужно пить по 0,5 г 2 раза в день в течение 19 дней. Лекарство выпускается в упаковках по 10 таблеток по 0,5 г. Какого наименьшего количества упаковок хватит на весь курс лечения?
В день 0,5*2=1 гр. За 19 дней 1*19=19 гр. В пачке 10*0,5=5 гр. Кол-во упаковок : $$\frac{19}{5}=3,8\Rightarrow 4$$ пачки.
Задание 2
На рисунке жирными точками показана цена цинка на момент закрытия биржевых торгов во все рабочие дни с 5 по 18 февраля 2008 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали – цена тонны цинка в долларах США. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку наименьшую цену цинка на момент закрытия торгов в период с 6 по 15 февраля (в долларах США за тонну).
Задание 4
Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,04. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,95. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,01. Найти вероятность того, что случайно выбранная изготовленная батарейка будет забракована системой контроля.
Вероятность быть исправленной 1-0,04=0,96. Вероятность быть при этом быть заблокированной 0,96*0,01=0,0096. Вероятность заблокировать неисправную 0,04*0,95=0,038. Общая вероятность :0,038+0,0096=0,0476
Задание 5
Острые углы прямоугольного треугольника равны 84 и 6. Найдите угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.
$$\angle MCB=\frac{90}{2}=45.$$ $$\Delta CHB: \angle HCB=90-\angle HBC=6$$ $$\angle MCH=\angle MCB-\angle HCB=39$$
Задание 6
На рисунке изображены график функции y=f(x) и касательная к этому графику, проведенная в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.
Значение производной есть тангенс угла между касательной, проведенной в заданную точку и осью Ох. Достроим $$\Delta ABC$$ : $$tg\angle ABC=\frac{AC}{CB}=\frac{2}{1}=2$$. Так как функция убывает, то значение производной будет отрицательное, то есть -2
Задание 7
Площадь боковой поверхности конуса равна 16 см2. Радиус основания конуса уменьшили в 4 раза, а образующую увеличили в 2 раза. Найдите площадь боковой поверхности получившегося конуса. Ответ дайте в см2
$$S=\pi *R*l$$- площадь боковой поверхности конуса. Пусть $$R_{1}$$ и $$l_{1}$$ - радиус и образующая начального конуса , тогда $$S_{1} =\pi*R_{1}*L_{1}$$, и $$R_{2}=\frac{R_{1}}{4}$$; $$L_{2}=2L_{1}$$, где $$R_{2}$$ и $$L_{2}$$ –нового. $$S_{2}=\pi *R_{2}*l_{2}=\pi *\frac{R_{1}}{4}*2*L_{1}=$$$$\frac{1}{2}*\pi *R_{1}*L_{1}=\frac{1}{2}*S_{1}=\frac{1}{2}*16=8$$
Задание 8
Найдите значение выражения $$\log_{4} 11 \cdot \log_{11} 16$$
$$\log_{4}11*\log_{11}16= \log_{4}11*\log_{11}4^{2}=$$$$\log_{4}11*2*\log_{11}4=\frac{2*\log_{4}11}{\log_{4}11}=2$$
Задание 9
Небольшой мячик бросают под острым углом $$\alpha$$ к плоской горизонтальной поверхности земли. Максимальная высота полета мячика, выраженная в метрах, определяется формулой $$H=\frac{v_{0} ^{2}}{4g}(1-\cos 2\alpha)$$, где $$v_{0}=26$$ м/с ‐ начальная скорость мячика, а g ‐ускорение свободного падения (считайте g =10 ). При каком наименьшем значении угла $$\alpha$$ (в градусах) мячик пролетит над стеной высотой 15,9 м на расстоянии 1 м?
$$H=\frac{v_{o}^{2}}{4*g}*(1-\cos2\alpha )\Rightarrow$$ $$1-\cos2\alpha =\frac{4 *H*g}{v_{o}^{2}}\Rightarrow$$ $$\cos2\alpha =1-\frac{4*H*g}{v_{o}^{2}}$$. $$\cos2\alpha =1-\frac{4*16,9*10}{26^{2}}=1-1=0$$ $$2\alpha =90\Rightarrow \alpha =45$$.
Задание 10
Брюки дороже рубашки на 30% и дешевле пиджака на 22%. На сколько процентов рубашка дешевле пиджака?
Пусть x-стоимость брюк ,y - рубашки ,z - пиджака: Выразим стоимость рубашки через стоимость брюк: 1)y-100% x-130% $$y=\frac{100x}{130}$$. Выразим стоимость пиджака через стоимость брюк: 2) z-100% x-78% $$z=\frac{100x}{78}$$ Выразим стоимость рубашки через стоимость пиджака: 3) $$\frac{100x}{78}-100$$% $$\frac{100x}{130}-a$$% $$A=\frac{\frac{100x}{130}*100}{\frac{100x}{78}}=$$$$\frac{100x*78}{130x}=60$$% Следовательно, так как стоимость рубашки составляет 60% от стоимость пиджака, то рубашка дешевле на 40%.
Задание 11
Найдите наименьшее значение функции $$y=\frac{2}{3}x\sqrt{x}-12x+11$$ на отрезке [137;156]
Задание 12
а) Решите уравнение $$(1+tg^{2} x)\cos(\frac{\pi}{2}+2x)=\frac{2}{\sqrt{3}}$$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[-\frac{3\pi}{2};\pi]$$
а)$$(1+tg^{2}x)*\cos(\frac{\pi }{2}+2x)=\frac{2}{\sqrt{3}}$$
Найдем ограничения по х:
$$\cos x\neq 0\Leftrightarrow x+\frac{\pi }{2}+\pi *n, n\in Z$$
Учтем, что $$1+tg^{2}x=\frac{1}{\cos^{2}x}$$ и $$\cos(\frac{\pi }{2}+2x)=-\sin 2x$$
$$\frac{1}{\cos^{2}x}*(-\sin 2x)=\frac{2}{\sqrt{3}}$$
Воспользуемся формулой синуса двойного угла:
$$\frac{-2*\sin x*\cos x}{cos^{2}x}=\frac{2}{\sqrt{3}}$$ $$-tgx=\frac{1}{3}$$
$$tg x=-\frac{\sqrt{3}}{3}$$ $$x=-\frac{\pi }{6}+\pi *n, n\in Z$$
б)Отметим полученные корни в общем виде на окружности, а так же интервал, данный по условию (он включает в себя полностью всю окружность (синий цвет) и сектор во второй четверти (красный цвет))
Найдем корни, которые попадут в данный промежуток:
$$-\pi -\frac{\pi }{6}=-\frac{7\pi }{6}$$
$$0-\frac{\pi }{6}=-\frac{\pi }{6}$$
$$\pi -\frac{\pi }{6}=\frac{5\pi }{6}.$$
Задание 13
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 сторона основания $$AB=6\sqrt{3}$$ . На ребре BC отмечена точка М так, что BC:MC=3:1, а на ребре AC отмечена точка N так, что AN:NC=2:1. Точка К середина ребра АВ.
А) 1) $$\Delta A_{1}B_{1}C_{1}\Rightarrow C_{1}O:OL=2:1$$
2) $$BC:MC=3:1\Rightarrow BM :MC= 2:1$$, и $$AN: NC= 2: 1 \Rightarrow \Delta CNM\sim \Delta ABC$$ и $$NM\left | \right |AB$$ и $$CH:HK=1:2$$
3) $$C_{1}L=CK, C_{1}L\left | \right | CK$$ и $$KH=\frac{2}{3}CK$$ и $$OC_{1}=\frac{2}{3}C_{1}L \Rightarrow$$
$$C_{2}O=KH$$ и $$KOC_{1}H$$- параллелограмм $$\Rightarrow KO \left | \right | C_{1}H \Rightarrow KO \left | \right | NMC_{1}$$
Б) 1) $$KO \left | \right | C_{1}H \Rightarrow$$ угол между KO и $$(C_{1}NM)$$ равен углу между $$C_{1}H$$ и $$(C_{1}NM)$$
2) из $$\Delta ABC: CK=CB*\sin60=6\sqrt{3}*\frac{\sqrt{3}}{2}=9$$.
$$CH=\frac{1}{3}CK=3$$.
3) $$NM=\frac{1}{3}AB=2\sqrt{3}; C_{1}H\perp HM\Rightarrow C_{1}H=\frac{2S_{C_{1}MN}}{NM}=\frac{2*6\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}=6$$.
4) $$\cos \angle C_{1}HC=\frac{HC}{HC_{1}}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$$. Тогда $$\angle C_{1}HC=60^{\circ}$$
Задание 14
Решите неравенство: $$\frac{\log_{9} x-\log_{18} x}{\log_{18} (2-x)-\log_{36} (2-x)}=\log_{36} 9$$
$$\frac{\log_{9}x-\log_{18}x}{\log_{18}(2-x)-\log_{36}(2-x)}\leq \log_{36} 9$$
$$\left\{\begin{matrix}x> 0 & \\2-x> 0 \\ \log_{18} (2-x)-\log_{36}(2-x)\neq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x> 0 \\x< 2 \\2-x\neq 1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x> 0 & \\x< 2\\x\neq 1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x\in ( 0; 1)\cup (1;2)$$
Рассмотрим промежутки по отдельности и воспользуемся свойствами логарифмических функций:
При $$x\in (0; 1) : (a)\log_{9}x-\log_{18}x< 0$$, $$(b)\log_{18}(2-x)-\log_{36}(2-x)> 0\Rightarrow$$ $$(f)\frac{\log_{9}x-\log_{18}x}{\log_{18}(2-x)-\log_{36}(2-x)}< 0$$.
Аналогично $$x\in (1;2) (a) > 0; (b) < 0\Rightarrow f< 0$$, но $$\log_{36}9 >0$$ при всех х из полученных промежутков, следовательно, неравенство выполняется в обоих случаях и $$\Rightarrow x\in (0;1)\cup (1;2)$$.
Задание 15
В четырехугольнике ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке K. Точки L и M являются соответственно серединами сторон BC и AD . Отрезок LM содержит точку K . Четырехугольник ABCD таков, что в него можно вписать окружность.
А) 1)Пусть BC не параллельна AD. Построим $$a \left | \right |AD ;a\cap AD=P$$; $$MK\cap BP=L_{1}$$ и $$BL_{1}=L_{1}P$$ (свойство трапеции)
2) $$BL=LC; BL_{1}=L_{1}P\Rightarrow LL_{1}$$-средняя линия. $$\Delta BCP$$ и $$LL_{1}\left | \right |PC$$ и $$LM\left | \right |AC$$, но $$LM\cap AC=K\Rightarrow BC\left | \right |AP ABCD$$-трапеция.
б) 1) $$\Delta BCK\sim \Delta AKD\Rightarrow \frac{LK}{KM}=\frac{BC}{AD}=\frac{1}{3}$$ Пусть BC=x; AD=3x.
2)Т.к. окружность можно вписать ,то $$AD+BC=AB+CD\Rightarrow CD=4x-3$$
3) Из C проведем $$CQ\left | \right |AB(CQ\cap AD=Q)$$, $$CQ=AB=3 BC=AQ=x\Rightarrow QD=2x$$.
4)Из $$\Delta ADC$$: $$\cos\angle D=\frac{3x^{2}+(4x-3)^{2}-13}{2*3x(4x-3)}$$
Из $$\Delta QDC$$: $$\cos\angle D=\frac{(2x)^{2}+(4x-3)^{2}-9}{2*2x*(4x-3)}$$
$$\frac{9x^{2}+(4x-3)^{2}-13}{2*3x(4x-3)}=$$$$\frac{4x^{2}+(4x-3)-9}{2*2x(4x-3)}\Leftrightarrow$$$$\frac{25x^{2}-24x-4}{3}=\frac{20x^{2}-24x}{2}\Leftrightarrow$$$$25x^{2}-24x-4=30x^{2}-36x\Leftrightarrow$$$$5x^{2}-12x+4=0\Leftrightarrow$$$$\left [\begin{matrix}x_{1}=2 & & \\x_{2}=0,4 & &\end{matrix}\right.$$
Т. К. 4x-3> 0, то $$x_{2}$$ не подходит $$\Rightarrow x=2$$, тогда BC=2 QD=4 CD=5.
5 ) Из $$\Delta QCD: QC^{2}+QD^{2}=3^{2}+4^{2}=25=CD^{2}\Rightarrow \Delta QCD$$- прямоугольный $$QC\perp AP\Rightarrow r=\frac{1}{2}*QC=1,5$$.
Задание 16
Алексей решил взять кредит в банке 100 тысяч рублей на 4 месяца под 5% в месяц. Существуют две схемы выплаты кредита. По первой схеме банк в конце каждого месяца начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 5%), затем Алексей переводит в банк фиксированную сумму и в результате выплачивает весь долг четырьмя равными платежами. По второй схеме тоже сумма долга в конце каждого месяца увеличивается на 5%, а затем уменьшается на сумму, уплаченную Алексеем. Суммы, выплачиваемые в конце каждого месяца, подбираются так, чтобы в результате сумма долга каждый месяц уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину. Какую схему выгоднее выбрать Алексею? Сколько рублей будет составлять эта выгода?
Для равных платежей:
Все преобразования с суммами долга занесём в таблицу:
| n | Долг после начисления процентов | Сумма долга после очередной выплаты |
| 1 | $$Sk$$ | $$Sk-x$$ |
| 2 | $$(Sk-x)k$$ | $$(Sk-x)k-x$$ |
| 3 | $$((Sk-x)k-x)k$$ | $$((Sk-x)k-x)k-x$$ |
| 4 | $$(((Sk-x)k-x)k-x)k$$ | $$(((Sk-x)k-x)k-x)k-x$$ |
По условию задачи через 4 месяца долг выплачен полностью, то есть:
$$(((Sk-x)k-x)k-x)k-x=0\Leftrightarrow$$$$Sk^{4}-x(k^{3}+k^{2}+k+1)=0$$
Учтем, что $$k^{n-1}+k^{n-2}+...+k+1=\frac{k^{n}-1}{k-1}$$. Получим;
$$Sk^{4}-x*\frac{k^{4}-1}{k-1}=0\Rightarrow$$$$x=\frac{Sk^{4}(k-1)}{k^{4}-1}=$$$$\frac{10^{5}*(\frac{21}{20})^{4}*(\frac{21}{20}-1)}{(\frac{21}{20})^{4}-1}=$$$$\frac{10^{5}*21^{4}}{20(21^{4}-20^{4})}$$
Вся сумма равна 4 платежам, то есть $$4*\frac{10^{5}*21^{4}}{20(21^{4}-20^{4})}\approx 112805$$ рублей
Для равномерного погашения долга:
По условию задачи каждый месяц долг уменьшается на одну и ту же сумму, равную 1000000:4 = 25000 (тыс. рублей), тогда оставшиеся суммы долга равны: 1000000; 75000; 50000 и 25000 (руб.) на начало каждого месяца кредитования соответственно. Каждый месяц Алексей выплачивает четверть суммы, взятой в кредит (фиксированная часть выплаты) + проценты, начисленные на оставшуюся на этот месяц сумму долга. Вся выплаченная банку сумма в этом случае составит: S2 = 100000 + 0,05 ∙ (100000 + 75000 + 50000 + 25000) = 100000 + 0,05 ∙ 250000 = = 100000 + 12500 = 112500 (руб. )
Так как 112805>112500, то выгоднее вторая схема, на 112805-112500=305 рублей (приближенное значение с учетом расчетов)
Задание 17
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение $$a^{2}+8|x-5|+2\sqrt{x^{2}-10x+29}=2a+|x-2a-5|$$ имеет хотя бы один корень.
$$a ^{2}+8\left | x-5 \right |+2\sqrt{x^{2}-10x+29}=2a +\left | x-2a -5 \right |$$
Пусть x-5=y
$$a ^{2}+8\left | y \right |+2\sqrt{y^{2}+4}=2a +\left | y-2a \right |$$
$$2\sqrt{y^{2}+4}= 2a -a ^{2}-8\left | y \right |+\left | y-2a \right |$$
Рассмотрим обе части уравнения как отдельные функции g(y) и f(y):
$$g(y)=2\sqrt{y^{2}+4}$$ - график данной функции - ветви параболы
При этом минимальное значение будет: $$g_{min}=g(0)=2\sqrt{0+4}=4$$
Рассмотрим функцию f(y): так как там есть модуль и параметр, то будет несколько вариантов раскрытия:
$$f(g)=2a -a ^{2}-8\left | y \right |+\left | y-2a \right |$$ - кусочно-линейная функция
а)Пусть $$2a \geq 0$$, тогда
1)$$y\leq 0$$ $$f(y)=2a -a ^{2}+8y-y+2a =7y+4a -a ^{2}$$ - синий цвет
2)$$y\in (0 ; 2a )$$ $$f(y)=2a -a ^{2}-8y-y+2a =-9y+4a -a ^{2}$$ - зеленый цвет
3) $$y> 2a$$ $$f(y)=2a -a ^{2}-8y+y-2a =-7y-a ^{2}$$ - красный цвет
Схематичное изображение графика:
Как видим максимальное значение в координате $$y=0$$: $$f_{max}=f(0)=2a =a ^{2}+\left | -2a \right |$$
б)Пусть $$2a < 0$$
1)$$y\leq 2a$$ $$f(y)=2a -a ^{2}+8y-y+2a =7y+4a -a ^{2}$$
2)$$y\in (2a; 0)$$ $$f(y)=2a -a ^{2}+8y+y-2a =9y-a ^{2}$$
3)$$y\geq 2a$$ $$f(y)=2a -a ^{2}-8y+y-2a =-7y-a ^{2}$$
Схематичное изображение графика:
И тут максимальное значение в координате $$y=0$$: $$f_{max}=f(0)$$. То есть, независимо от значения $$a$$ максимальное значение при $$y=0$$.
Тогда , чтобы были решения $$g_{min}\leq f_{max}$$ (графическая интерпритация):
Тогда:
$$4\leq 2a -a ^{2}+\left | -2a \right |\Leftrightarrow$$$$a ^{2}-2a -\left |- 2a \right | +4\leq 0$$
Расскроем модуль:
1)$$-2a \geq 0\Rightarrow a \leq 0$$. Тогда $$a ^{2}-2a +2a +4\leq 0\Rightarrow a ^{2}+4\leq 0\Rightarrow$$ решений нет
2) $$-2a < 0\Rightarrow a > 0$$. Тогда $$a ^{2}-2a -2a +4\leq 0\Rightarrow (a -2)^{2}\leq 0\Rightarrow a =2$$
Задание 18
У каждого учащегося в классе дома живет кошка или собака, а у некоторых, возможно, живет и кошка, собака. Известно, что мальчиков, имеющих собак, не более $$\frac{1}{4}$$ от общего числа учащихся, имеющих собак, а мальчиков, имеющих кошек, не более $$\frac{5}{11}$$ от общего числа учащихся, имеющих кошек.
Пусть x–число мальчиков собакой, y- с кошкой, z-с кошкой и собакой. Тогда общее кол-во мальчиков: $$S_{1}=x+y-z$$ Тогда общее количество девочек: $$S_{2}=21-x-y+z$$ Пусть у всех девочек есть кошка и собака, тогда общее количество детей с собаками : $$x+21-x-y+z$$ и согласно условию : $$x\leq \frac{1}{4}(x+21-x-y+z)=\frac{21}{4}-\frac{1}{4}y+\frac{1}{4}$$ детей с кошками $$y+21-x-y+z$$, и согласно условию: $$y\leq \frac{5}{11}(y+21-x-y+z)=\frac{5*21}{11}-\frac{5}{11}x+\frac{5}{11}z$$ Сложим оба неравенства: $$x+y\leq \frac{21}{4}+\frac{105}{11}+\frac{1}{4}z+\frac{5}{11}z-\frac{1}{4}y-\frac{5}{11}x|*44$$ $$44x+44y\leq 21*11+105*4+11z+20z-11y-20x$$ $$64x+55y\leq 651+31z$$ $$y\leq \frac{651+31z-64x}{55}(1).$$ Чем больше z, тем меньше x+y-z , тогда пусть z=0 , следовательно, $$y\leq \frac{651-64x}{55} , x,y \in N$$ пусть x=3 , тогда $$y\leq \frac{651-3*64}{55}\Rightarrow y\leq 8,34(54)$$,пусть y=8 Проверим полученные значения: Всего собак: $$a=x+21-x-y=21-y=13$$ Всего кошек: $$b=y+21-x-y=21-x=21-3=18$$ Проверяем условие: $$x\leq \frac{1}{4}a=\frac{1}{4}*13=\frac{13}{4}$$ $$3\leq \frac{13}{4}$$- верно $$y\leq \frac{5}{11}b=\frac{5}{11}*18=\frac{90}{11};$$ $$9\leq \frac{90}{11}$$-верно Из неравенства 1: $$x\in \left [ 0; 10 \right ]; y\in (0 ;11]$$ Можно проверить все $$x\in N$$ при $$x\in [0; 10]$$ и найти y с учетом выполнения(1), но $$max(x+y)=11.$$ b) Пусть d –всего девочек,$$m_{1}$$ -число мальчиков с собаками,$$m_{2}$$ - с кошками, тогда доля девочек $$\frac{d}{m_{1}+m_{2}+d}\rightarrow min (2)$$ C учетом условия задания: $$\left\{\begin{matrix}m_{1}\leq \frac{1}{4}(m_{2}+d) & & \\ m_{2}\leq \frac{5}{11}(m_{2}+d)& & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$ \left\{\begin{matrix}\frac{3}{4}*m_{1}\leq \frac{1}{4}*d & & \\ \frac{6}{11}*m_{2}\leq \frac{5}{11}*d& & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$ \left\{\begin{matrix}3m_{1}\leq d & & \\6m_{2}\leq 5d & & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$ \left\{\begin{matrix}\frac{m_{1}}{d}=\frac{1}{3} & & \\ \frac{m_{2}}{d}=\frac{5}{6}& & \end{matrix}\right.$$ Сложим оба неравенства: $$\frac{m_{1}}{d}+\frac{m_{2}}{d}\leq \frac{7}{6}\Leftrightarrow$$$$ \frac{m_{1}+m_{2}}{d}\leq \frac{7}{6}$$ Рассмотрим выражение(2) $$\frac{d}{m_{1}+m_{2}+d}=(\frac{1}{m_{1}+\frac{m_{2}}{2}+d})=(\frac{1}{\frac{m_{1}+m_{2}}{d}+1});$$ Чем больше $$\frac{m_{1}+m_{2}}{d}$$, тем меньше доля : $$\frac{1}{\frac{7}{6}+1}=\frac{6}{13}$$ Ответ: да; 11; $$\frac{6}{13}$$.