Перейти к основному содержанию

342 вариант Алекса Ларина. Разбор ЕГЭ математика 2021.



Решаем ЕГЭ 342 вариант Ларина ЕГЭ 2021 по математике. Подробное решение 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12, 13,14,15,16,17,18,19 заданий тренировочного варианта ЕГЭ Ларина №342 (alexlarin.com)

Больше разборов на моем ютуб-канале

Аналоги к этому заданию:

Задание 1

Про натуральные числа p, q, t известно, что каждое из них больше 8, но меньше 12. Загадали натуральное число, умножили его на р, затем к полученному произведению прибавили q и вычли из результата t. Получили 997. Найдите загаданное число.
Ответ: 111
Скрыть

Пусть ​$$n$$​ – загаданное число. Тогда

$$​n=\frac{997+t−q}{p}$$​

Тут нужно немного порассуждать и поперебирать числа, хотя догадаться до ответа совсем не сложно.

Числитель не меньше ​$$995$$​ (t=9,q=11) и не больше ​$$999$$​ (t=11,q=9). Чтобы ​$$n$$​ – было натурально, и так как $$​p=9,10,11$$​, то тут только один возможный вариант – это числитель $$999$$ и $$​p=9​$$

$$​n=\frac{999}{9}=111$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 2

На диаграмме показано распределение выплавки алюминия в 10 странах мира (в тысячах тонн) за 2009 г. Сколько стран, из представленных на диаграмме, выплавляло алюминия в указанном году больше, чем Германия?

Ответ: 6
Скрыть

Проводим прямую по границе прямоугольника Германии. Выше этой прямой будет 6 прямоугольников.

Аналоги к этому заданию:

Задание 3

Найдите площадь четырехугольника, вершины которого имеют координаты (0;2), (4;6), (8;5), (10;0).

Ответ: 33
Скрыть

Задачу можно легко решить из площади квадрата вычесть площади остальных фигур (4-х прямоугольных треугольников и одного квадрата).

$$​S=60-0,5\cdot2\cdot10-0,5\cdot5\cdot2-0,5\cdot4\cdot4-0,5\cdot4\cdot1-2\cdot1=33$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 4

У Кати в копилке лежит 7 однорублёвых, 6 двухрублевых и 3 пятирублевых монеты. Катя наугад достает из копилки одну монету. Найдите вероятность того, что оставшаяся после этого в копилке сумма составит более 30 рублей.
Ответ: 0,8125
Скрыть

Всего в копилке у Кати ​$$34$$​ рубля

Нас устраивает, если она достанет или однорублевую монету или двухрублевую монету - $$​7+6=13​$$ положительные исходы

Всего монеток $$16$$

$$​P=\frac{13}{16}=0,8125$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 5

Решите уравнение: $$5\cdot x^{\log_3 2}+2^{\log_3 x}=24$$
Ответ: 9
Скрыть

Тут нужно помнить замечательное свойство:

$$a^{\log_c b}=b^{\log_c a}$$​ (попробуйте его доказать (1-ым действием прологарифмируйте))

$$​5\cdot x^{\log_3 2}+x^{\log_3 2}=24​$$

$$​x^{\log_3 2}=4​$$

Воспользуемся еще раз нашим свойством:)

$$2\log_3x=2^2$$

$$\log_3x=2​$$

$$​x=9​$$ – проверяем его подставляя в уравнение

Аналоги к этому заданию:

Задание 6

Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник АВС, касается его боковых сторон АВ и АС в точках Т и М соответственно. Найдите ТМ, если АВ = 25, ВС = 14.
Ответ: 10,08
Скрыть

Отрезки касательных проведенных к окружности из одной точки равны. Значит, $$​BT=BH=7​$$ и ​$$CM=CH=7​$$

$$​AT=25−7=18$$​ и ​$$AM=25−7=18​$$

Треугольник $$ATM​$$ подобен $$ABC$$​ по углу и пропорциональным сторонам из этого ​$$\frac{TM}{BC}=\frac{18}{25}$$​, (BC=14), отсюда

​$$TM=10,08$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 7

Функция $$F(x)$$ является первообразной функции $$f(x)=\sin^2(x-\frac{\pi}{3})+1$$. Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции $$y=F(x)$$ в точке с абсциссой $$x_0=\pi$$
Ответ: 1,75
Скрыть

Вспоминаем, что ​$$F'(x)=f(x)​$$, значит, чтобы найти угловой коэффициент касательной в точке ​$$x=\pi$$​, нам нужно посчитать $$f'(\pi)$$​

$$f(\pi)=\sin^2(\pi-\frac{\pi}{3})+1=\sin^2\frac{\pi}{3}+1=1,75$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 8

Куб вписан в цилиндр, площадь основания которого равна $$72\pi$$. Найдите площадь поверхности куба.
Ответ: 864
Скрыть

$$​2r=a\sqrt{2}$$​ (диаметр окружности равен диагонали квадрата в основании)

​$$S_{окр}=π\cdot R^2=72π​$$

$$S_{пов.куба}=6\cdot a^2$$​

$$R^2=72\Rightarrow R=6\sqrt{2}$$

$$a=\frac{2\cdot6\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=12$$

$$S_{пов.куба}=6\cdot12^2=864$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 9

Найдите значение выражения

$$((1-\log_2^2 7)\log_{14}2+\log_2 7)\cdot5^{\log_5 24}$$

Ответ: 24
Скрыть

Сразу заметим ​$$5^{\log_5 24}=24​$$

$$\log_{14}2=\frac{1}{\log_2 14}=\frac{1}{1+\log_2 7}$$​

Пусть ​$$\log_7 2=t$$​

$$​24\cdot((1-t^2)\cdot\frac{1}{t+1}+t)=24\cdot(1-t+t)=24$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 10

Мяч бросили вверх так, что пока он не упал на землю, его высота над землей менялась по закону: $$h(t)=1,2+1,9t-t^2$$, где $$h$$ - высота в метрах, $$t$$ - время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько процентов от всего времени полета мяча составляет время, в течении которого находится на высоте не более 1,54 метра?
Ответ: 37,5
Скрыть

Найдем время полета

​$$1,2+1,9t-t^2=0$$​

$$​t=-0,5$$​ – не может быть отрицательно

$$​t=\frac{12}{5}=2,4​$$

Теперь

​$$1,2+1,9t-t^2\leq1,54​$$

​$$0<t\leq0,2​$$

$$​t\geq1,7​$$

$$0,2-0=0,2$$ и $$2,4-1,7=0,7$$

Время полета на высоте не более 1,54 м равно $$​0,2+0,7=0,9​$$

$$​\frac{0,9}{2,4}\cdot100=37,5​\%$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 11

Моторная лодка плыла сначала 6 минут по озеру, в стоячей воде, а затем 10 минут по реке, против течения. Обратный путь, двигаясь с той же собственной скоростью, лодка прошла за 11 минут. Найдите отношение длины пути, пройденного лодкой по озеру, к длине пути, пройденного ею по реке.
Ответ: 0,9
Скрыть

$$V_0$$ – собственная скорость

$$V_т$$​ – скорость течения

​$$S_1$$ – путь по озеру, ​$$S_2$$ ​– путь по реке

​$$6V_0=S_1​$$

​$$10\cdot(V_0-V_т)=S_2$$ (против течения)

Обратно:

​$$\frac{S_2}{V_0+V_т}+\frac{S_1}{V_0}=11​$$

$$​\frac{S1}{S2}$$​- это можно легко выразить через неизвестные нам величины, допустим через скорость течения, которые потом сокращаются

Аналоги к этому заданию:

Задание 12

Найдите наименьшее значение функции: $$y=e^{4x}-4e^x+8$$ на отрезке $$[-2;2]$$
Ответ: 5
Скрыть

Найдем критические точки:

$$​y'=4e^{4x}-4^x=0​$$

​$$e^x(4e^{3x}−4)=0​$$

​$$e^x>0$$​, поэтому

​$$e^{3x}=1​$$

$$​x=0​$$ – это точка минимума

$$​y(0)=5$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 13

А) Решите уравнение $$\sqrt{2}\cos(x+\frac{\pi}{4})-\sin x=|\cos x|$$

Б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку $$[19\pi;\frac{41\pi}{2}]$$

Ответ: А)$$2\pi n;\frac{5\pi}{4}+2\pi n,n\in Z$$ Б)$$\frac{77\pi}{4};20\pi$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 14

Основанием четырехугольной пирамиды SABCD является прямоугольник ABCD, причем АВ = $$3\sqrt{2}$$, ВС = 6. Высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей прямоугольника. Из вершин А и С опущены перпендикуляры АР и CQ на ребро SB.

а) Докажите, что Р - середина BQ.

б) Найдите угол между плоскостями SBA и SBC, если SD = 9.

Ответ: $$\arccos\frac{1}{2\sqrt{34}}$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 15

Решите неравенство:

$$\log_{2-5x}3+\frac{1}{\log_2(2-5x)}\leq\frac{1}{\log_6(6x^2-6x+1)}$$

Ответ: $$[-\frac{1}{3};0)\cup(\frac{1}{5};\frac{3-\sqrt{3}}{6})$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 16

В трапеции KLMN основания LM и KN равны 2 и 8 соответственно. Из точки Е, лежащей на стороне MN, опущен перпендикуляр EF на сторону KL. Известно, что F -середина стороны KL, FM = 3 и что площадь четырехугольника KFEN в четыре раза больше площади четырехугольника LFEM

а) Докажите, что FN || LE.

б) Найдите длину отрезка FN.

Ответ: 12
Аналоги к этому заданию:

Задание 17

Имеются три пакета акций. Суммарное количество акций первых двух пакетов совпадает с количеством акций в третьем пакете. Первый пакет в 4 раза дешевле второго, а суммарная стоимость первого и второго пакетов совпадает со стоимостью третьего пакета. Одна акция из второго пакета дороже одной акции из первого пакета на величину, заключенную в пределах от 16 тысяч рублей до 20 тысяч рублей, а цена одной акции из третьего пакета не меньше 42 тысяч рублей и не больше 60 тысяч рублей. Определить, какой наименьший и наибольший процент от общего количества акций может содержаться в первом пакете.
Ответ: 12,5% и 15%
Аналоги к этому заданию:

Задание 18

Найдите все значения параметра $$a$$, при каждом из которых имеет единственное решение система уравнений

$$\left\{\begin{matrix} 3\cdot2^{|x|}+5|x|+4=3y+5x^2+3a\\ x^2+y^2=1 \end{matrix}\right.$$

Ответ: $$\frac{4}{3}$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 19

Маша задумала 6 различных натуральных чисел и проделывает с ними такую операцию: сначала находит среднее арифметическое первых двух чисел, затем - среднее арифметическое полученного результата и третьего числа, после - среднее арифметическое полученного результата и четвертого числа, затем - среднее арифметическое полученного числа и пятого числа, и наконец - среднее арифметическое полученного результата и шестого числа. Полученный результат она обозначает через М. Далее Маша находит число А - среднее арифметическое исходных чисел.

а) Возможно ли, что А = М?
б) Возможно ли, что М = 6А?
в) Найдите наибольшее натуральное значение n, для которого возможно, что М = nА.

Ответ: А) да, Б) нет, В) 2