Перейти к основному содержанию

278 вариант Алекса Ларина. Разбор ЕГЭ математика 2020.

Решаем ЕГЭ 278 вариант Ларина. Подробное решение 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12 заданий тренировочного варианта ЕГЭ Ларина №278 (alexlarin.com)

Решаем ЕГЭ 278 вариант Ларина. Подробное решение 13,14,15,16,17,18,19 заданий тренировочного варианта ЕГЭ Ларина №278 (alexlarin.com)

Аналоги к этому заданию:

Задание 1

Для приготовления вишнёвого варенья на 1 кг вишни нужно 1,5 кг сахара.  Какое наименьшее количество килограммовых упаковок сахара нужно, чтобы сварить  варенье из 23 кг вишни?

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 2

На рисунке жирными точками показана среднесуточная температура воздуха в Бресте каждый день с 6 по 19 июля 1981 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали ‐ температура в градусах Цельсия. Для наглядности жирные точки соединены линией.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 3

Найдите площадь круга, считая стороны квадратных клеток равными 1. В ответе укажите $$\frac{S}{\pi}$$ .

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 4

Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в какой‐то момент сломались и перестали идти. Найдите вероятность того, что часовая стрелка остановилась, достигнув отметки 7, но не дойдя до отметки 1.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 5

Решите уравнение $$\sqrt{x^{3}-4x^{2}+x}=1$$ . В ответе укажите рациональный корень.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 6

Основания равнобедренной трапеции равны 14 и 26, а ее периметр равен 60. Найдите площадь трапеции.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 7

На рисунке изображен график $$y=f'(x)$$‐ производной функции $$f(x)$$, определенной на интервале $$(-6;5)$$ . Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции $$f(x)$$ параллельна прямой $$y=-3x+7$$ или совпадает с ней.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 8

Шар, объем которого равен 72, вписан в цилиндр. Найдите объем цилиндра.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 9

Найдите значение выражения $$\sqrt{32}-\sqrt{128}\sin^{2}\frac{7\pi}{8}$$

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 10

В сейсмоопасных районах действуют специальные правила монтажа оборудования. В больнице устанавливают медицинский прибор. Корпус прибора имеет форму цилиндра радиусом R см и высотой h см. Прибор стоит на полу и может перевернуться во время землетрясения, если $$\mu>\frac{2R}{h}$$, где $$\mu$$ ‐ коэффициент трения между корпусом прибора и полом. Если прибор может перевернуться, его нужно дополнительно прикрепить к стене. Какая наибольшая высота корпуса прибора допустима, чтобы можно было обойтись без дополнительного крепления? Радиус корпуса равен 34 см, а коэффициент трения $$\mu$$ равен 0,8. Ответ дайте в сантиметрах.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 11

Пароход, отчалив от пристани A, спустился вниз по течению реки на 60 км до устья впадающего в реку притока и поднялся вверх по притоку (против течения) на 20 км до пристани B. Весь путь от A до B пароход прошёл за 7 часов. Скорость течения реки и скорость течения притока равны 1 км/ч. Найти собственную скорость парохода в км/ч. (Собственная скорость – скорость в неподвижной воде.)

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 12

а) Решите уравнение: $$\sin(\frac{\pi}{3}-2x)=-2\cos^{2}(\frac{\pi}{12}+x)-1$$;

б) Укажите корни этого уранения, принадлежащие отрезку $$\begin{bmatrix}\frac{\pi}{2}&;\frac{7\pi}{2}\end{bmatrix}$$

Ответ:
Скрыть

a) $$\sin(\frac{\pi}{3}-2x)=-2\cos^{2}(\frac{\pi}{12}+x)-1$$

$$\sin(\frac{\pi}{3}-2x)=-(2\cos^{2}(\frac{\pi}{12}+x)-1)-2$$

$$\sin(\frac{\pi}{3}-2x)=-\cos(\frac{\pi}{6}+2x)-2$$

Заметим, что : $$\cos(\frac{\pi}{6}+2x)=\cos(\frac{\pi}{2}-(\frac{\pi}{3}-2x))=\sin(\frac{\pi}{3}-2x)$$

$$\sin(\frac{\pi}{3}-2x)=-\sin(\frac{\pi}{3}-2x)-2$$

$$\sin(\frac{\pi}{3}-2x)=-2$$ $$\Rightarrow$$ $$\sin(\frac{\pi}{3}-2x)=-1$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{\pi}{3}-2x=-\frac{\pi}{2}+2\pi k$$ $$\Rightarrow$$ $$-2x=-\frac{5\pi}{6}+2\pi k$$ $$\Rightarrow$$ $$x=\frac{5\pi}{12}+\pi k$$, $$k\in Z$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 13

В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 6, а  боковое ребро SA равно 4. Точки M и N – середины рёбер SA и SB соответственно.  Плоскость α содержит прямую MN и перпендикулярна плоскости основания  пирамиды.  

а) Докажите, что плоскость α делит медиану CE основания в отношении 5:1,  считая от точки C.

б) Найдите периметр многоугольника, являющегося сечением пирамиды SABC  плоскостью α.

Ответ: а) $$\frac{5}{1}$$; б) $$8+2\sqrt{2}$$
Скрыть

a) 1) Пусть $$SO$$ - высота пирамиды, $$\bigtriangleup SOB$$ - прямоугольный. Пусть $$NH\parallel SO$$ $$\Rightarrow$$ $$NH\cap OB=H$$ и $$OH=HB$$ (т.к. $$NH$$ - средняя линия)

2) Проведем через $$H$$ прямую,параллельную $$MN$$ (т.к. плоскость пересекает двугранный угол). Пусть прямая пересекает $$CB$$ и $$CA$$ в $$L$$ и $$K$$ соответственно $$\Rightarrow$$ $$(MNLK)$$ - искомое сечение.

3) $$MN\parallel AB$$; $$MN\parallel LK$$ $$\Rightarrow$$ $$LK\parallel AB$$. Пусть $$LK\cap OE=R$$, тогда $$\frac{OR}{RE}=\frac{OH}{HB}=\frac{1}{1}$$. Но $$\frac{CO}{OE}=\frac{2}{1}$$ ($$CE$$ - середина) $$\Rightarrow$$ $$\frac{CR}{RE}=\frac{2OE+\frac{1}{2}OE}{\frac{1}{2}OE}=\frac{5}{1}$$

б) 1) $$MN=\frac{1}{2}AB=3$$; $$KL=\frac{5}{6}AB=5$$; 

2) из $$\bigtriangleup SBC$$: $$\cos B=\frac{SB^{2}+CB^{2}-SC^{2}}{2SB\cdot CB}=\frac{4^{2}+6^{2}-4^{2}}{2\cdot6\cdot4}=\frac{3}{4}$$

3) $$HB=\frac{1}{6}CB=1$$ $$\Rightarrow$$ из $$\bigtriangleup NBL$$: $$NH=\sqrt{NB^{2}+BL^{2}-2NB\cdot BL\cdot\cos B}=\sqrt{2^{2}+1^{2}-2\cdot2\cdot1\cdot\frac{3}{4}}=\sqrt{4+1-3}=\sqrt{2}$$ $$\bigtriangleup AMK=\bigtriangleup NLB$$ по двум сторонам и углу между ними $$\Rightarrow$$ $$MK=NL$$

4) $$P=MN+KL+MK+NL=5+3+2\sqrt{2}=8+2\sqrt{2}$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 14

Решите неравенство $$3^{2x^{2}}+3^{x^{2}+2x+5}\geq10\cdot3^{4x+6}$$

Ответ: $$x\in(-\infty;-1]\cup[3;+\infty)$$
Скрыть

$$3^{2x^{2}}+3^{x^{2}+2x+5}\geq10\cdot3^{4x+6}$$ $$\div3^{4x+6}$$

$$3^{2x^{2}-4x-6}+3^{x^{2}-2x-1}\geq10$$

$$3^{2(x^{2}-2x-3)}+3^{x^{2}-2x-3}-10\geq0$$

Замена: $$3^{x^{2}-2x-3}=y>0$$

$$y^{2}+3^{2}\cdot y-10\geq0$$ $$\Rightarrow$$ $$(y+10)(y-1)\geq0$$

$$\left\{\begin{matrix}y_{1}+y_{2}=-9&\\y_{1}\cdot y_{2}=-10&\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}y_{1}=-10&\\y_{2}=1&\end{matrix}\right.$$

Получим: $$\left\{\begin{matrix}y\geq1&\\y\leq-10&\end{matrix}\right.$$ $$\Rightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}3^{x^{2}2x-3}\geq3^{0}&\\3^{x^{2}-2x-3}\leq-10&\end{matrix}\right.$$ $$\Rightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x^{2}-2x-3\geq0&\\\varnothing&\end{matrix}\right.$$ $$\Rightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x\geq3&\\x\leq-1&\end{matrix}\right.$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 15

В четырехугольнике АВСD через каждую его вершину проведена прямая, проходящая через центр вписанной в него окружности. Три из этих прямых обладают тем свойством, что каждая из них делит площадь четырехугольника на две равновеликие части.

   а) Докажите, что и четвертая прямая обладает тем же свойством.
   б) Какие значения могут принимать углы этого четырехугольника, если один из них равен 1080?
Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 16

В июле 2019 года планируется взять кредит в банке на 6 лет в размере 880 000 рублей. Условия его возврата таковы:

   ‐ каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с долгом на конец предыдущего года;
   ‐ с февраля по июнь ежегодно необходимо выплатить по 250 000 рублей;
   ‐ в 2024 и 2025 годах дополнительно производятся выплаты по S рублей;
   ‐ к июлю 2025 года долг будет выплачен полностью

Найдите S.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 17

Найдите все значения параметра , при каждом из которых уравнение $$a^{2}\cot^{2}x-9a+a^{2}=4a\sin x$$ имеет хотя бы один корень.

Ответ: $$a\in[0;13]$$
Скрыть

$$a^{2}\cot^{2}x-9a+a^{2}=4a\sin x$$

$$a(a\cdot\cot^{2}x-9+a-4\sin x)=0$$

1) При $$a=0$$ корни есть

2) При $$a\neq0$$: $$a(cot^{2}x+1)-9-4\sin x=0$$

$$a(\frac{\cos^{2}x}{\sin^{2}x}+1)-9-4\sin x=0$$

$$a\cdot(\frac{1}{sin^{2}x})-9-4\sin x=0$$

Пусть $$sin x=y$$

$$\left\{\begin{matrix}\frac{a}{y^{2}}-9-4y=0&\\y\neq0&\\y\in[-1;1]&\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\frac{a}{y^{2}}=4y+9&\\y\neq0&\\-1\leq y\leq1&\end{matrix}\right.$$

Пусть $$f(y)=\frac{a}{y^{2}}$$; $$g(y)=4y+9$$

При $$f(1)\leq g(1)$$ получим наличие корней. При этом $$a$$ должно быть меньше $$0$$, иначе ветви $$f(y)$$ вниз и $$f(y)<0$$ при всех $$y$$. Т.к. $$f(y)$$ симметричен от оси ординат, то $$f(1)\leq g(1)$$ достаточно $$\frac{a}{1}\leq4\cdot1+9$$ $$\Rightarrow$$ $$a\leq13$$ $$\Rightarrow$$ $$a\in(0;13]$$. С учетом (1) получим $$a\in[0;13]$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 18

Учащиеся 11 классов сдавали тесты по различным предметам. Каждый тест оценивается от 0 до 100 баллов. После получения результатов пятеро друзей решили сравнить полученные баллы. Каждый сдавал русский язык и профильную математику, четверо сдавали физику, трое сдавали информатику, и двое сдавали обществознание. Общая сумма баллов по физике не больше 300, а по информатике – не меньше 220. Сумма баллов по обществознанию оказалась равна сумме двух лучших результатов по физике и информатике.

   а) Мог ли один из друзей не сдать хотя бы один экзамен?
   б) Могли ли двое не сдать какой‐то экзамен, если два участника написали обществознание на 87 и 78 баллов?
   в) Какое наибольшее количество участников могли не сдать хотя бы один экзамен, если лучшая работа по физике оценена не более чем в 80 баллов, по информатике – не более 75 баллов, по обществознанию – не менее 90 баллов?

(*) тест считается не сданным, если за него получено 0 баллов

Ответ: