346 вариант Алекса Ларина. Разбор ЕГЭ математика 2021.

Из условия составим систему:

$$\left\{\begin{matrix} С+Н=92\\ С+К=95\\ Н+К=97 \end{matrix}\right.$$

Нам нужно найти $$С+Н+К$$.

Сложим все уравнения и разделим на 2:

$$2С+2Н+2К=284$$

$$С+Н+К=142$$

Минимально было 3 кПа, значит, ищем на графике 9 кПа, таких 8.

Пусть длина маленького отрезка ​$$x​$$

Из прямоугольных треугольников

$$\tg a=\frac{6}{2+x}$$​

$$\tg a=\frac{5}{2-x}$$​

$$\frac{6}{2+x}=\frac{5}{2-x}$$​

​$$x=0,18​$$

$$​AO=2+0,18=2,18$$

Рассмотрим противоположное событие: что абонент позвонил в более чем 4 места.

$$P(B)=\frac{9}{10}\cdot\frac{8}{9}\cdot\frac{7}{8}\cdot\frac{6}{7}=0,6$$

(всего цифр 10, одна правильная цифра, 9 неправильных цифры – изначально).

Соответственно, когда абонент один раз набрал неправильный номер, то эту цифру исключаем, поэтому количество событий будет уменьшаться на 1.

$$P_{иск}=1-P(B)=0,4$$

ОДЗ рассматривать не надо, т.к. уже по условию корень равен положительному числу.

Возведем все в квадрат:

$$​x^4-10x|x|+25=16​$$

Тут стандартно рассматриваем два случая

1) $$​x\geq0$$​

$$​x^4-10x^2+9=0​$$ – решается стандартно, заменой ​$$x^2=t​$$

$$​x=-3,-1,1,3​$$

2) $$​x<0​$$

​$$x^4+10x^2+9=0$$ – тут $$D<0$$ нет корней

$$S=\frac{LM+KT}{2}\cdot MH_2$$​

$$KH_1=TH_2=\frac{KT-LM}{2}$$​ – по свойству р\б трапеции

$$​KH_2=KT-TH_2=KT-\frac{KT-LM}{2}=\frac{LM+KT}{2}$$​

Из $$KMH_2$$:

$$​MH_2=\sin75°​\cdot KM=8sin75°​$$

$$​KH_2=8\cos75°​​$$

$$​S=KH_2\cdot MH_2=64\sin75°\cdot\cos75°=32\sin150°​=32\sin(180°-30°)=$$

$$=32\sin30°=16$$

Точка минимума там, где производная меняет свой знак с – на +.

Таких точке на отрезке [2;-7] –  2 штуки (x=4, x=7). Но так как нас просят указать на интервале (-2;7), то x=7 отпадает.

Радиус шара совпадает с радиусом основания окружности в цилиндре.

$$​V_ш=\frac{4}{3}πR^3=2021​$$

$$​V_ц=S_{осн}\cdot h=πR^2\cdot2R​=2\pi R^3$$

Исходя из этого можно легко получить объем цилиндра (можно выразить ​πR3​ из 1-го)

$$2\pi R^3=2021:\frac{2}{3}=3031,5$$

Так как тангенс и котагенс –  взаимообратные функции, то

$$​\tg^272°\cdot\ctg^254°=\tg^272\tg^254=\frac{​\sin^272\cdot\cos^254}{\cos^272\cdot\sin^254​}$$

Разберемся с $$\sin(54)=\sin(90−54)=\cos(36)​$$

Аналогично $$\cos(54)=\sin(36)​$$

$$\frac{sin^272\cdot\sin^236}{\cos^272\cdot\cos^236}$$​

Заметим, что ​$$72=2\cdot36​$$

Сделаем замену ​$$36=t​$$ для удобства

$$\frac{\sin^22t\cdot\sin^2t}{\cos^22t\cdot\cos^2t}$$​

Рассматривать будем выражение

$$\frac{\sin2t\cdot\sin t}{\cos2t\cdot\cos t}$$​ – так как его потом можно легко возвести в квадрат и получить нужный нам ответ

Тут воспользуемся формулой двойных углов и получим

$$\frac{​2(1−cos^2t)}{2cos^2t−1}$$, дальше упрощать бессмысленно

Если мы найдем ​$$\cos36​$$, то можно смело подставлять, если вы помните чему он равен, то это замечательно.

​$$\cos36=\frac{1+\sqrt{5}}{4}​$$

Давайте попробуем вывести это

Рассмотрим $$\cos(180−α)=−\cosα​$$

Пусть ​$$α=2t​$$

$$​180=5t​$$

$$\cos(5t−2t)=−\cos2t​$$

​$$\cos(5t−t)=\cos(180−36)=−\cos2t​$$

$$\cos3t=−\cos2t​$$

$$​4\cos^3t−3cos^2t=sin^2t−cos^2t​$$

Обозначим ​$$\cos t=x​,  ​0<x<1​$$

$$​4x^3−3x=1−2x^2​$$

$$​4x^3−3x+2x^2−1=0​$$

Делители $$\pm1$$, проверкой можно выяснить, что $$​x=−1​$$ – является корнем уравнения

Тогда делим столбиком на ​$$x+1​$$

$$​(x+1)(4x^2−2x−1)=0​$$

$$​x=−1​$$ – не подходит

Решая квадратное уравнение, получаем

​$$x=\frac{1+\sqrt{5}}{4}$$​

(это не единственный способ)

$$\cos^236=\frac{1+2\sqrt{5}+5}{16​}$$

Подставляем это в наше выражение

После всех сокращений можно получить ответ

$$\frac{5-\sqrt{5}}{\sqrt{5}-1}=\sqrt{5}$$

$$(\sqrt{5})^2=5$$

Необходимо рассчитать значение $$t,$$ при котором $$l(t)=l_0+1,8\cdot10^{-3}$$ метров. Воспользуемся законом изменения длины рельс от температуры и выразим температуру, получим:

$$l_0+1,8\cdot10^{-3}=l_0+l_0at$$

$$l_0at=3\cdot10^{-3}$$

$$t=\frac{1,8\cdot10^{-3}}{l_0a}$$

$$t=\frac{1,8\cdot10^{-3}}{15\cdot1,2\cdot10^{-5}}=\frac{1,8\cdot10^{-3}}{18\cdot10^{-5}}=10$$

Пусть ​$$x$$ ​л вылили из бака

Тогда осталось ​$$64−x​$$ л в баке, концентрация спирта $$​\frac{64−x}{64}$$​

Затем выливают еще ​$$x$$ ​л, в баке остается ​$$64−x−x\cdot\frac{64−x}{64}$$​ л спирта

Тогда из условия составляем уравнение

$$64−x−x\cdot\frac{64−x}{64}=49$$

Решая квадратное уравнение

$$​x=8​$$

$$​x=120$$​ – больше чем 64, такого быть не может

$$x\cdot\frac{64−x}{64}$$​ л спирта вылили во второй раз, подставляя $$x=8$$, получаем $$7$$ л.

Найдем критические точки:

$$​y'=0​$$

$$​−4\cos x\cdot\sin x=0​$$

$$​−\sin2x=0​$$

$$​x=\frac{πn}{2}$$​

Очевидно, что наиб значение будет при ​$$x=2π,4π,..​,$$ т.к. косинус будет равен 1.

$$y(2\pi)=\frac{1}{2}(1+4)=2,5$$