Перейти к основному содержанию

361 вариант Алекса Ларина. Разбор ЕГЭ математика 2022.



Решаем ЕГЭ 361 вариант Ларина ЕГЭ 2022 по математике. Подробное решение 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12, 13,14,15,16,17,18,19 заданий тренировочного варианта ЕГЭ Ларина №361 (alexlarin.com)

Больше разборов на моем ютуб-канале

Аналоги к этому заданию:

Задание 1

Решите уравнение $$\sqrt{x^2+6x+8}=\sqrt{x+2}$$. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из них.
Ответ: -2
Скрыть

ОДЗ:

​$$x+2\geq0$$​ (можно написать и на первое ОДЗ, но это будет лишним)

Возводим все в квадрат.

$$​x^2+6x+8=x+2​$$

​$$x^2+5x+6=0​$$

​$$x=−3​$$ – не подходит под ОДЗ

$$​x=−2$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 2

В коробке 10 синих, 9 красных и 6 зеленых фломастеров. Случайным образом выбирают 2 фломастера. Какова вероятность того, что окажутся выбраны один синий и один красный фломастер?
Ответ: 0,3
Скрыть

Всего два возможных благоприятных событий (​$$A$$​) – в первый раз достали красный (​$$A_1$$​), потом синий и наоборот (​$$A_2$$​). (эти события несовместные!)

$$​P(A_1)=\frac{9}{25}\cdot\frac{10}{24}​$$

$$​P(A_2)=\frac{10}{25}\cdot\frac{9}{24}​$$

​$$P(A)=P(A_1+A_2)=P(A_1)+P(A_2)=0,3$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 3

На сторонах AB и BC треугольника ABC выбраны соответственно точки M и Q, а на стороне AC — точки P, K, N (именно в таком порядке, считая от A) таким образом, что MN || BC, PQ || AB и KB проходит через точку пересечения MN и PQ. Известно, что AP = 4, PK = 5 и KN = 6. Найдите NC.

Ответ: 4,8
Скрыть

Параллельные прямые делят стороны угла на пропорциональные отрезки, значит

$$\frac{AP}{PK}=\frac{BO}{OK}$$ и $$\frac{KN}{NC}=\frac{OK}{BO}$$​

Запишем

$$\frac{KN}{NC}=\frac{5}{4}=\frac{6}{NC}​$$

$$​NC=4,8​$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 4

Найдите значение выражения $$-\frac{22}{\cos^2 34^{\circ}\cos^2 124^{\circ}}$$
Ответ: -22
Скрыть

$$\cos^2 124^{\circ}=\cos^2(90^{\circ}+34^{\circ})=\sin^2 34​^{\circ}$$

$$-\frac{22}{\cos^2 34^{\circ}+\sin^2 34^{\circ}}=-\frac{22}{1}=-22$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 5

Объём треугольной призмы, отсекаемой от куба плоскостью, проходящей через середины двух рёбер, выходящих из одной вершины, и параллельной третьему ребру, выходящему из этой же вершины, равен 25. Найдите объём куба.

Ответ: 200
Скрыть

Пусть ребро куба ​$$a$$​, тогда

$$​V_{F_1C_1E_1FCE}=h\cdot S_{осн}=C_1C\cdot S_{C_1F_1E_1}=a\cdot0,5\cdot\frac{a}{2}\cdot\frac{a}{2}=25​$$

$$​a^3=25\cdot8=200​$$

​$$V_{куб}=a^3=200$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 6

На рисунке изображён график производной $$y=f'(x)$$ функции $$f(x)$$, определённой на интервале $$(-8; 9)$$. Найдите количество точек минимума функции $$f(x)$$, принадлежащих отрезку $$[-2; 8]$$.

Ответ: 2
Скрыть

Точка минимума (неформально)  –  где функция меняет знак с “-“ (убывает) на “+” (возрастает).

Таких точек на отрезке [-2;8] – 2

Аналоги к этому заданию:

Задание 7

Автомобиль, движущийся в начальный момент времени со скоростью $$v_0 = 17$$ м/с, начал торможение с постоянным ускорением $$a = 2$$ м/с2. За $$t$$ секунд после начала торможения он прошёл путь $$S=v_0t-\frac{at^2}{2}$$ (м). Определите время, прошедшее от момента начала торможения, если известно, что за это время автомобиль проехал 60 метров. Ответ выразите в секундах.

Ответ: 5
Скрыть

$$17t−t^2=60​$$

$$​t=5$$​ – через это время автомобиль проедет 60 метров

​$$t=12$$​ – через это время автомобиль остановится, поедет назад и снова пересечет ту же точку

Аналоги к этому заданию:

Задание 8

Из пункта А круговой трассы выехал велосипедист, а через 30 минут следом за ним отправился мотоциклист. Через 10 минут после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через полчаса после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 30 км. Ответ дайте в км/ч.
Ответ: 80
Скрыть

Составляем два уравнения:

$$​t_1=\frac{1}{6}$$ ч​

$$​t=0,5​$$ ч

​$$V_м\cdot t_1−V_в\cdot t_1=V_в\cdot t​$$

​$$V_м−V_в=3V_в$$​

​$$V_м=4V_в​$$

Составляем второе уравнение, нам известно что “еще через 30 минут после этого догнал его во второй раз”

$$​0,5V_м−0,5V_в=30​$$

$$​V_в=V_м−60​$$

вспоминаем первое уравнение

$$​V_в=4V_в−60​$$

$$V_в=20​$$

значит ​$$V_м=80$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 9

На рисунке изображен график функции $$f(x) = \frac{kx+a}{x+b}$$. Найдите $$k$$.

Ответ: 1
Скрыть

График проходит через (1;2); (-3;6) и (-5;-4).

Получим:

$$\left\{\begin{matrix} 2=\frac{k+a}{1+b}\\ 6=\frac{-3k+a}{-3+b}\\ -4=\frac{-5k+a}{-5+b} \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} 2+2b=k+a\\ -18+6b=-3k+a\\ 20-4b=-5k+a \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} a=2b+2-k\\ -18+6b=-3k+2b+2-k\\ 20-4b=-5k+2b+2-k \end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$

$$\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} a=2b+2-k\\ b=-k+5\\ b=k+3 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} a=9\\ b=4\\ k=1 \end{matrix}\right.$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 10

При подозрении на наличие некоторого заболевания пациента отправляют на ПЦР-тест. Если заболевание действительно есть, то тест подтверждает его в 86 % случаев. Если заболевания нет, то тест выявляет отсутствие заболевания в среднем в 94% случаев.

Известно, что в среднем тест оказывается положительным у 10% пациентов, направленных на тестирование. При обследовании некоторого пациента врач направил его на ПЦР-тест, который оказался положительным. Какова вероятность того, что пациент действительно имеет это заболевание?
Ответ: 0,43
Скрыть

Пусть ​$$P(A)=x$$​ – вероятность, что человек болен

Пусть $$​P(C)​$$ – тест положительный

$$​P(B_1)$$​ – тест положительный, если человек болен

​$$P(B_2)$$​ – тест положительный, если человек не болен

Пусть $$​P(C)​$$ – вероятность, что тест положительный

$$​P(C)=P(B_1)+P(B_2)=x\cdot0,86+(1−x)\cdot(1−0,94)=0,1​$$

Откуда $$​x=0,05​$$

Нам нужно найти условную вероятность, что человек болен и получил положительный тест

По формуле Байеса

​$$P_{иск}=P(A|C)=\frac{P(C|A)\cdot P(A)}{P(C)}=\frac{0,86\cdot0,05}{0,1}=0,43$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 11

Найдите наибольшее значение функции $$y = 15 + 12x -x^3$$ на отрезке $$[-2;2]$$
Ответ: 31
Скрыть

$$y'=12−3x^2$$​

Найдем критические точки ​$$y'=0​$$

​$$x^2=4​$$

​$$x=−2​$$ – точка min

​$$x=2​$$ – точка max

$$y(2)=31$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 12

А) Решите уравнение $$(\frac{4}{9})^{\cos x}+2\cdot(\frac{2}{3})^{\cos x}-3=0$$

Б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку $$[\pi;4\pi]$$

Ответ: А)$$\frac{\pi}{2}+\pi n,n\in Z$$ Б)$$\frac{3\pi}{2};\frac{5\pi}{2};\frac{7\pi}{2}$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 13

В правильной треугольной пирамиде МАВС с основанием АВС стороны основания равны 6, а боковые ребра равны 5. На ребре АС находится точка D, на ребре АВ находится точка Е, а на ребре АМ - точка L. Известно, что AD=AE=AL=4.

А) Докажите, что отрезок DE содержит центр основания пирамиды

Б) Найдите угол между плоскостью основания и плоскостью, проходящей через точки E, D и L.

Ответ: $$\arctg\frac{2\sqrt{39}}{3}$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 14

Решите неравенство: $$\frac{\sqrt{x^2-2x}-\sqrt{x^2-5x+6}}{x^2-3x-4}\leq0$$
Ответ: $$(-\infty;-1),\left\{2\right\},[3;4)$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 15

Вкладчик разместил в банке 32 тысячи рублей. Несколько лет он получал то 5%, то 10% годовых, а за последний год получил 25% годовых. При этом проценты начислялись в конце каждого года и добавлялись к сумме вклада. В результате его вклад стал равным 53 361 рублю. Сколько лет пролежал вклад?
Ответ: 5
Аналоги к этому заданию:

Задание 16

Дан треугольник АВС со сторонами АВ=4, ВС=5 и АС=6.

А) Докажите, что прямая, проходящая через точку пересечения медиан и центр вписанной окружности, параллельна стороне ВС.

Б) Найдите длину биссектрисы треугольника АВС, проведенной из вершины А.

Ответ: $$3\sqrt{2}$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 17

Найдите все значения параметра $$a$$, при каждом из которых система

$$\left\{\begin{matrix} |x^2-5x+4|-9x^2-5x+4+10x|x|=0\\ x^2-2(a-1)x+a(a-2)=0 \end{matrix}\right.$$

имеет единственное решение.

Ответ: $$\left\{-1\right\},(1;3),(4;6]$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 18

Числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 16 произвольно делят на три группы так, чтобы в каждой группе было хотя бы одно число. Затем вычисляют значение среднего арифметического чисел в каждой из групп (для группы из единственного числа среднее арифметическое равно этому числу).

А) Могут ли быть одинаковыми два из этих трех значений средних арифметических в группах из разного количества чисел?

Б) Могут ли быть одинаковыми все три значения средних арифметических?

В) Найдите наименьшее возможное значение наибольшего из получаемых трех средних арифметических.

Ответ: А) да, Б) нет, В) $$6\frac{1}{7}$$