Перейти к основному содержанию

242 вариант Алекса Ларина. Разбор ЕГЭ математика 2019.

Решаем ЕГЭ 242 вариант Ларина. Подробное решение 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15 заданий тренировочного варианта ЕГЭ Ларина №242 (alexlarin.com)

Решаем ЕГЭ 242 вариант Ларина. Подробное решение 16,17,18,19 заданий тренировочного варианта ЕГЭ Ларина №242 (alexlarin.com)

Аналоги к этому заданию:

Задание 1

Железнодорожный билет для взрослого стоит 820 руб. Стоимость билета для школьника составляет 50% от стоимости билета для взрослого. Группа состоит из 20 школьников и 2 взрослых. Сколько рублей стоят билеты на всю группу?

Ответ: 9840
Скрыть

Стоимость билета школьника:820*0,5=410
Общая стоимость: 20*410+2*820=9840.

Аналоги к этому заданию:

Задание 2

На диаграмме показан средний балл участников 10 стран в тестировании учащихся 8‐го класса по обществознанию в 2007 году. Среди указанных стран первое место принадлежит Японии. Определите, какое место занимает Словения.

Ответ: 4
Скрыть

1е место - Япония
2е место- Великобритания
3е место - Венгрия
4е место - Словения

Аналоги к этому заданию:

Задание 3

Найдите площадь трапеции, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки 1смх1см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Ответ: 25
Скрыть

Воспользуемся формулой пика. Узлов внутри(зеленые точки): 18, на сторонах( синие): 16

$$S=18+\frac{16}{2}-1=25$$.

Аналоги к этому заданию:

Задание 4

Стрелок стреляет по мишени один раз. В случае промаха стрелок делает второй выстрел по той же мишени. Вероятность попасть в мишень при одном выстреле равна 0,6. Сколько выстрелов потребуется чтобы мишень была поражена с вероятностью не меньше, чем 0,97.

Ответ: 4
Скрыть

Если вероятность поражения не менее 0,97, то вероятность промаха менее 1-0,97=0,03.

Вероятность промаха n раз подряд $$(1-0,6)^{n} \Rightarrow$$$$0,4^{n}< 0,03\Rightarrow n=4.$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 5

Найдите корень уравнения $$\log_{x+6} 9=2$$. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.

Ответ: -3
Скрыть

$$log_{x+6}9=2$$

Найдем ОДЗ:

$$\left\{\begin{matrix}x+6> 0 \\x+6\neq 1 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow $$$$\left\{\begin{matrix}x> -6 \\x\neq -5 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$ x\in (-6;-5)\cup (-5;+\infty )$$

$$(x+6)^{2}=9\Leftrightarrow$$$$ (x+6)^{2}=3^{2}\Leftrightarrow$$$$ \left\{\begin{matrix}x+6=3 \\x+6=-3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow $$$$\left\{\begin{matrix}x_{1}=-3 \\x_{2}=-9 \end{matrix}\right.$$

$$x_{2}$$ не попадает в ОДЗ, следовательно, в ответе укажем -3

Аналоги к этому заданию:

Задание 6

Точки А и В делят окружность на две дуги, длины которых относятся как 7:8. Найдите величину центрального угла, опирающегося на меньшую из дуг. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 168
Скрыть

Пусть AB-большая , AB' меньшая дуга, тогда AB+AB'=360 . Пусть AB=8x , тогда AB'=7x:

8x+7x=360 $$\Leftrightarrow$$ 15x=369 $$\Leftrightarrow x=24$$, тогда AB=192, AB'=168

Центральный угол равен величине дуги, на которую он опирается.

Аналоги к этому заданию:

Задание 7

На рисунке изображен график функции y=f(x) и отмечены точки ‐7, ‐3, 1, 5. В какой из этих точек значение производной этой функции наибольшее? В ответе укажите эту точку

Ответ: 5
Скрыть

Если f(x) возрастает , то f'(x)> 0 , если f(x) убывает, то f'(x) 0. При этом касательная в точке 5 имеет большой угол $$\Rightarrow f'_{max}=f'(5).$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 8

В сосуд, имеющий форму конуса, налили 20 мл жидкости до половины высоты сосуда. Сколько жидкости нужно долить в сосуд, чтобы заполнить его доверху?

Ответ: 140
Скрыть

Пусть $$V_{1}$$- объем жидкости,$$V_{2}$$- объем сосуда.$$r_{1}; h_{1}$$- радиус и высота первого и $$r_{2}; h_{2}$$- второго

Из подобия $$\Delta ABC$$ и $$AB_{1}C_{1}$$:

$$\frac{AB}{AB_{1}}=\frac{1}{2}\Rightarrow$$$$r_{1}=\frac{1}{2}r_{2}$$

$$h_{1}=\frac{1}{2}h_{2}$$

$$V_{1}=\frac{1}{3}\pi r_{1}^{2}h_{1}=$$$$\frac{1}{3}\pi (\frac{1}{2}r_{2})^{2}*\frac{1}{2}*h_{2}=$$$$\frac{1}{8}*\frac{1}{3}\pi r_{2}^{2}h_{2}=\frac{1}{8}V_{2}.$$

Следовательно, $$V_{2}=8V_{1}=160$$, а долить надо 160-20=140.

Аналоги к этому заданию:

Задание 9

Найдите значение выражения $$\frac{b^{2}\sqrt[6]b}{\sqrt[10]b*\sqrt[15]b}$$, при b=6

Ответ: 36
Скрыть

$$\frac{b^{2}*\sqrt[6]{b}}{\sqrt[10]{b}*\sqrt[15]{b}}=$$$$\frac{b^{2}*b^{\frac{1}{6}}}{b^{\frac{1}{10}}*b^{\frac{1}{15}}}=$$$$b^{2+\frac{1}{6}-\frac{1}{10}-\frac{1}{15}}=b^{2}=6^{2}=36$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 10

По закону Ома для полной цепи сила тока равна $$I=\frac{\varepsilon}{R+r}$$ , где $$\varepsilon=12$$В ‐ ЭДС источника, r=1 Ом – его внутреннее сопротивление, R ‐ сопротивление цепи. При каком наименьшем сопротивлении цепи сила тока будет составлять не более 10% силы тока короткого замыкания $$I_{K3}=\frac{\varepsilon}{r}$$ ? Ответ дайте в Омах

Ответ: 9
Скрыть

$$I\leq 0,1I_{k3}\Rightarrow \frac{\varepsilon }{R+r}\leq \frac{1}{10}*\frac{\varepsilon }{r}\Leftrightarrow$$$$\frac{1}{R+r}\leq \frac{1}{10r}\Leftrightarrow $$$$R+r\geq 10r\Leftrightarrow R\geq 9r\Leftrightarrow R\geq 9$$.

Следовательно, минимальное значение составит 9 Ом

Аналоги к этому заданию:

Задание 11

Имеется два сплава. Первый сплав содержит 10% никеля, второй – 30% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 200 кг, содержащий 25% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава меньше массы второго?

Ответ: 100
Скрыть

Пусть x кг-масса первого, тогда никеля в нем 0,1x кг. Пусть y кг –масса второго, тогда 0,3y кг-масса никеля в нем. Получили сплав 200 кг(x+y=200) и никеля в нем 0,25*200(0,1x+0,3y=50)

$$\left\{\begin{matrix}x+y=200\\0,1x+0,3y=50|*10 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow $$$$\left\{\begin{matrix}x+y=200\\x+3y=500\end{matrix}\right.$$

Вычтем из 2-го уравнения 1-го:

$$x+3y=(x-y)=500-200$$
$$2y=300$$
$$y=150$$

Тогда масса 1-го: 200=150=50кг.
Разница масс :150-50=100 кг.

Аналоги к этому заданию:

Задание 12

Найдите точку минимума функции $$y=(2x-3)\cos x -1-2\sin x +10$$ принадлежащую промежутку $$(0; \frac{\pi}{2})$$

Ответ: 1,5
Скрыть

$$y=(2x-3)\cos x-2\sin x+10$$

Найдем производную заданной функции:

$$y'=(2x-3)'\cos x+(2x-3)(\cos x)'-2(\sin x)'=2\cos x-\sin x(2x-3)-2\cos x=0$$

Приравняем производную к нулю:

$$\sin x(3-2x)=0$$

Найдем точки экстремума:

$$\left[\begin{matrix}\sin x=0\\3-2x=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$ \left[\begin{matrix}x=\pi *n, n\in Z \\x=+1,5\end{matrix}\right.$$

Рассмотрим какие значения принимает производная на полученных промежутках:

Как видим, точка минимума соответсвует 1,5

Аналоги к этому заданию:

Задание 13

а) Решите уравнение $$\frac{4\cos x-5}{2\cos x-1}+\frac{1}{2\cos^{2} x-\cos x}=2$$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[-4\pi;-\frac{5\pi}{2}]$$

Ответ: а)$$\pm \arccos\frac{1}{3}+2\pi n, n\in Z$$ б)$$-4\pi+\arccos \frac{1}{3}$$
Скрыть

а) $$\frac{4 \cos x-5}{2 \cos x -1}+\frac{1}{2 cos^{2}x-\cos x}=2|*(2 \cos^{2} x-\cos x)$$

Найдем ограничение по y:

$$\left\{\begin{matrix}2 \cos x-1\neq 0 \\2 \cos^{2} x-\cos x\neq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$ \left\{\begin{matrix}\cos \neq \frac{1}{2} \\\cos x(2 \cos x-1)\neq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$ \left\{\begin{matrix}\cos x\neq \frac{1}{2}\\\cos x\neq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$ \left\{\begin{matrix}x\neq \pm \frac{\pi }{3}+2\pi n\\x\neq \frac{\pi }{2}+\pi n,n\in Z\end{matrix}\right.$$

$$(4 \cos x-5) \cos x+1=2(2 \cos^{2 }x -\cos x)$$

$$4 \cos^{2}x -5 \cos x+1-4 \cos^{2}x+2 \cos x=0$$

$$-3 \cos x+1=0$$

$$\cos x=\frac{1}{3}\Leftrightarrow$$$$x\pm \arccos\frac{1}{3}+2\pi n, n\in Z$$

б) Отметим полученные корни, заданный промежуток на единичной окружности:

Как видим один корень попадает в заданный промежуток. Найдем его частный случай: $$-4\pi+\arccos \frac{1}{3}$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 14

В основании пирамиды SABCD лежит квадрат ABCD со стороной 8. Боковое ребро SD перпендикулярно плоскости основания. Точка М‐середина высоты пирамиды. Плоскость ACM составляет угол 45 с плоскостью основания.

а) Докажите, что прямая SB параллельна плоскости ACM .

б) Найдите расстояние от точки В до плоскости ACM .

Ответ: 4
Скрыть

$$\angle MHD=45;SD\perp (ABC)$$

a)$$1)SD\perp (ABC)\Rightarrow SD$$-высота, тогда SM=MD.

2)ABCD-квадрат $$\Rightarrow AC\perp BD$$.

Пусть $$AC\cap BD=H$$,тогда $$DH\perp AC\Rightarrow MH\perp AC$$( по теореме о 3х перпендикулярах), тогда $$\angle MHD=45$$.

3)DH=HB(свойство диагоналей квдрата), тогда $$\Delta MHD\sim \Delta BSD\Rightarrow MH || SB\Rightarrow SB\left | \right |(AMC)$$.

б) 1)т.к. $$SB\left | \right | (AMC)$$,то d-расстояние от B до (AMC) равно расстоянию от SB до MH.

2) Опустим $$DK\perp SB, DK\cap MH=L\Rightarrow d=KL=\frac{1}{2}DK$$

3)из $$\Delta ABD: BD=\sqrt{8^{2}+8^{2}}=8\sqrt{2}$$.

4) $$\angle MHD=45\Rightarrow \Delta MHD$$ и $$\Delta BSD$$-равнобедренный $$\Rightarrow KD=BD*\sin B=8\sqrt{2}*\frac{\sqrt{2}}{2}=8$$.

5) $$KL=\frac{1}{2}KD=4.$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 15

Решите неравенство $$\log_{\frac{1}{3}} \frac{x-4}{x+4}-\log_{\frac{x+4}{x-4}} 3> 0$$

Ответ: $$(-\infty ; -8)\cup (4;8)$$
Скрыть

$$log_{\frac{1}{3}}\frac{x-4}{x+4}-log_{\frac{x+4}{x-4}}3> 0$$

ОДЗ:

$$\left\{\begin{matrix}\frac{x-4}{x+4} > 0& & \\\frac{x-4}{x+4}\neq 1 & &\end{matrix}\right.x\in (-\infty ;-4)\cup (4; +\infty )$$

$$log_{3}\frac{x+4}{x-4}-\frac{1}{log_{3}\frac{x+4}{x-4}}> 0$$

Введем замену:

$$log_{3}\frac{x+4}{x-4}=a$$

Получим:

$$a-\frac{1}{a}> 0\Rightarrow \frac{a^{2}-1}{a}> 0$$

$$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}a>-1\\ a<0\end{matrix}\right.\\ a>1\end{matrix}\right.$$

Тогда:

$$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}\log_{3} \frac{x+4}{x-4}>-1\\ log_{3}\frac{x+4}{x-4}<0\end{matrix}\right.\\ log_{3}\frac{x+4}{x-4}>1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}\frac{x+4}{x-4}>\frac{1}{3}\\ \frac{x+4}{x-4}<1\end{matrix}\right.\\ \frac{x+4}{x-4}>3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}\frac{2x+16}{x-4}>0\\ \frac{8}{x-4}<0\end{matrix}\right.\\ \frac{-2x+16}{x-4}>0\end{matrix}\right.$$

Отметим решение внутренней системы (первые два неравенства):

Отметим решение третьего неравенства:

Отметим решение всей совокупности:

С учетом ОДЗ видим, что конечное решение будет: $$(-\infty ; -8)\cup (4;8)$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 16

Точка M пересечения медиан треугольника ABC , вершина A и середины сторон AB и AC лежат на одной окружности.

а) Докажите, что треугольники AKB и BKM подобны, где K ‐середина стороны BC .

б) Найдите длину AK , если $$BC=6\sqrt{3}$$

Ответ: 9
Скрыть

a)1) Пусть $$CM\cap AB=Q; BM\cap AC=P$$, тогда QP-средняя линия $$\Rightarrow QP\left | \right |BC\Rightarrow \Delta QPM\sim \Delta BMC \angle BPQ=\angle PBC$$

2) $$\angle QPM=\angle QAM$$(вписанные и опираются на одну дугу)$$\Rightarrow \angle QAM=\angle MBK \angle BKA$$-общий $$\Rightarrow \Delta ABK\sim \Delta MBK$$.

b)1)Пусть MK=x,тогда по свойству имеем MA=2x.Из подобия $$\Delta ABK$$ и $$\Delta MBK$$

$$\frac{BK}{KM}=\frac{AK}{BK}\Rightarrow BK^{2}=AK*KM.$$

2)$$BK=\frac{1}{2}BC=3\sqrt{3}$$,тогда $$(3\sqrt{3})^{2}=3x*x\Rightarrow$$ x=3,тогда AK=9.

Аналоги к этому заданию:

Задание 17

Фирма имеет возможность рекламировать свою продукцию, используя местные радио и телевизионную сети. Затраты на рекламу в бюджете фирмы ограничены величиной 1000$ в месяц. Каждая минута радиорекламы обходится в 5$, а каждая минута телерекламы ‐ в 100$. Фирма хотела бы использовать радиосеть, по крайней мере, в два раза чаще, чем сеть телевидения, но при этом фирма решила, что время радиорекламы не должно превышать двух часов. Опыт прошлых лет показал, что объем сбыта, который обеспечивает каждая минута телерекламы, в 25 раз больше сбыта, обеспечиваемого одной минутой радиорекламы. Определите оптимальное распределение финансовых средств, ежемесячно отпускаемых на рекламу, между радио‐ и телерекламой, если время можно покупать только поминутно.

Ответ: 100 и 900
Скрыть

Пусть x-эффективность радио 1 минуты ,тогда 25x-1 минуты теле

При этом цена теле в $$\frac{100}{5}=20$$ раз выше.

Получаем, что прирост эффективности к цене от радио к теле составит $$\frac{25}{20}$$ т.е. эффективность растет быстрее цены. Тогда $$t_{1}$$-время теле берем максимум $$\frac{1000}{100}=10$$ мин. , но 1 взять не можем, т.к. $$t_{2}$$-время радио должно быть в 2 раза больше.

Т.к. $$t_{1}$$ и $$t_{2}\in N$$, возьмем $$t_{1}=9$$,тогда бюджет для $$t_{2:}1000-9*100=100$$. Тогда $$t_{2}=\frac{100}{5}=20$$. Все условия выполнены. Следовательно под радио отдадим 20*5=100$, а под теле 900$

Аналоги к этому заданию:

Задание 18

При каких значениях параметра a система $$\left\{\begin{matrix}y=2ax-2x^{2}+6a-4\\ y=\frac{3*3^{x^{2}}}{27^{a}}-\frac{3^{ax}}{3}\end{matrix}\right.$$ имеет не менее двух решений?

Ответ: $$a\in (-\infty; -6;-\sqrt{11})\cup (-6; +\sqrt{11};+\infty )$$
Скрыть

$$\left\{\begin{matrix}y=2ax-2x^{2}+60-4 & & \\y=\frac{3*3^{x^{2}}}{27^{a}}-\frac{3^{ax}}{3}& &\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$ \left\{\begin{matrix}y_{1}=2(-x^{2}+ax+3a-2) & & \\y_{2}=3^{x^{2}-3a+1}-3^{2x-1} & &\end{matrix}\right.$$

Рассмотрим монотонность $$y_{2}$$:

$$3^{x^{2}-3a+1}-3^{ax-1}>0$$

$$3^{x^{2}-3a+1}>3^{ax-1}$$

$$x^{2}-3a+2>0$$

$$x^{2}-ax-3a+2>0$$

Пусть $$x^{2}-ax-3a+2=f$$. Тогда $$y_{1}=-2f$$. Получаем, если $$f>0$$,то $$y_{2}>0$$, но $$y_{1}<0$$ ,и наоборот . Тогда $$y_{1}=y_{2}$$ только при условии , что $$f=0$$.

$$x^{2}-ax-3a+2=0$$

$$D=a^{2}-4(2-3a)=a^{2}+12a-8>0$$

$$D=144+32=176$$

$$a_{1,2}=\frac{-12\pm \sqrt{176}}{2}=-6\pm \sqrt{44}=-6\pm 11$$, тогда

$$a\in (-\infty; -6;-\sqrt{11})\cup (-6; +\sqrt{11};+\infty )$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 19

В возрастающей последовательности натуральных чисел каждые три последовательных члена образуют либо арифметическую, либо геометрическую прогрессию. Первый член последовательности равен 1, а последний 2046.

А) Может ли в последовательности быть три члена?

Б) Может ли в последовательности быть четыре члена?

В) Может ли в последовательности быть меньше 2046 членов?

Ответ: нет, нет, да
Скрыть

a) По формуле арифм. прогрессии : $$a_{n}=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}$$, тогда

$$a_{2}=\frac{1+2046}{2}\notin N$$. Значит это не арифм. прогрессия. По формуле геоиетр. прогрессии:

$$b_{n}=\sqrt{b_{n-1}*b_{n+1}}$$, тогда

$$b_{2}=\sqrt{1*2046}\notin N$$. Значит это не геометр. прогрессия.

б) $$a_{4}=a_{1}+d(4-1)=1+3d=2046$$

$$3d=2046\Rightarrow d\notin N$$

$$b_{4}=b_{1}*q^{4-1}=1*q^{3}=2046$$

$$q=\sqrt[3]{2046}\notin N$$
Так же необходимо рассмотреть случаи, когда первые три члена - арифметическая, а последние три - геометрическая прогрессии и наоборот.
1) Если сначала арифметическая, то имеем первые три члена: $$1, 1+d, 1+2d$$, тогда последние три: $$1+d, (1+d)q, (1+d)q^{2}$$(начали со второго умножать на q).
Тогда получаем, что третий член выражается как $$1+2d$$ и $$(1+d)q$$, то есть $$1+2d=(1+d)q$$. Отсюда $$d=\frac{1-q}{q-2}=-1+\frac{-1}{q-2}$$. С учетом натуральности q и d, решений нет. Значит такая ситуация не подходит
2) Сначала геометрическая. Аналогично рассуждая, получим первые три члена: $$1, q, q^{2}$$, тогда последние три: $$q, q+d, q+2d$$. Тогда рассмотрим третий член: $$q^{2}=q+d$$. Данное уравнение не имеет решения в натуральный q и d. Значит, не подходит такая ситуация.

в) Пусть дана арифм. прогрессия.

$$a_{n}=a_{1}+d(n-1)=2046$$

$$1+d(n-1)=2046\Leftrightarrow d(n-1)=2046=1*5*409.$$

Т.е. $$d=409, n-1=5\Rightarrow n=6$$. Т.е. 6 членов, разность равна 409.