Перейти к основному содержанию

ЕГЭ математика 2018. Разбор варианта Алекса Ларина № 210

Решаем ЕГЭ вариант Ларина № 210. Подробное решение 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,13,14,15 заданий тренировочного варианта ЕГЭ Ларина № 210 (alexlarin.com)

Решаем ЕГЭ вариант Ларина № 210. Подробное решение 16,17,18,19 заданий тренировочного варианта ЕГЭ Ларина № 210 (alexlarin.com)

Аналоги к этому заданию:

Задание 1

Установка двух счётчиков воды (холодной и горячей) стоит 3300 рублей. До установки счётчиков за воду платили 800 рублей ежемесячно. После установки счётчиков ежемесячная оплата воды стала составлять 300 рублей. Через какое наименьшее количество месяцев экономия по оплате воды превысит затраты на установку счётчиков, если тарифы на воду не изменятся?

Ответ: 7
Скрыть

$$800-300=500$$ - экономия
$$\frac{3300}{500}=6,6$$ $$\Rightarrow 7$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 2

На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха (в градусах Цельсия)
в Петропавловске‐Камчатском по результатам многолетних наблюдений. Найдите по диаграмме количество месяцев с начала февраля по конец сентября, когда
среднемесячная температура в Петропавловске‐Камчатском отрицательна.

 

Ответ: 3
Аналоги к этому заданию:

Задание 3

Найдите площадь параллелограмма, изображённого на рисунке.

 

Ответ: 8
Скрыть

$$S=2\cdot4=8$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 4

В случайном эксперименте бросают две игральные кости (кубика). Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков. Результат округлите до сотых.

Ответ: 0,14
Скрыть

$$\left.\begin{matrix}2+6\\3+5\\4+4\\5+3\\6+2\end{matrix}\right\}$$ $$\Rightarrow 5$$ исходов
$$G^{2}=36$$ - всего исходов
$$P=\frac{5}{36}=0,13(8)\approx 0,14$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 5

Найдите корень уравнения $$\sqrt{-72-17x}=-x$$ . Если корней несколько, то в ответе укажите меньший из них.

Ответ: -9
Скрыть

$$\sqrt{-72-17x}=-x$$
$$-72-17x=x^{2}$$
$$x^{2}+17x+72=0$$
$$D=289-288=1$$
$$x_{1}=\frac{-17+1}{2}=-8$$
$$x_{2}=\frac{-17-1}{2}=-9$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 6

Диагонали четырехугольника равны 7 и 10. Найдите периметр четырехугольника, вершинами которого являются середины сторон данного четырехугольника.

 

Ответ: 17
Скрыть

$$P=\frac{1}{2}AC\cdot2+\frac{1}{2}BD\cdot2=7+10=17$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 7

Прямая $$y=7x-5$$ параллельна касательной к графику функции $$y=x^{2}+6x-8$$. Найдите абсциссу точки касания.

Ответ: 0,5
Скрыть

$$\left\{\begin{matrix}7x-5=x^{2}+6x-8\\7=2x+6\end{matrix}\right.$$
$$2x=1$$
$$x=0,5$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 8

Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 3 и 6. Диагональ параллелепипеда равна 9. Найдите площадь поверхности параллелепипеда.

Ответ: 144
Скрыть

$$3^{2}+6^{2}+x^{2}=9^{2}$$
$$9+36+x^{2}=81$$
$$x^{2}=36$$
$$x=6$$
$$S=2\cdot3\cdot6+2\cdot3\cdot6+2\cdot6\cdot6=36+36+72=144$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 9

Найдите значение выражения $$64^{\log_{8}\sqrt{3}}$$

Ответ: 3
Скрыть

$$64^{\log_{8}\sqrt{3}}=8^{2\log_{8}\sqrt{3}}=8^{\log_{8}3}=3$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 10

Зависимость объёма спроса q (единиц в месяц) на продукцию предприятия‐монополиста от цены p (тыс. руб.) задаётся формулой $$q=130-10p$$. Выручка предприятия за месяц r (тыс. руб.) вычисляется по формуле $$r(p)=pq$$. Определите наибольшую цену p, при которой месячная выручка r(p) составит 420 тыс. руб. Ответ приведите в тыс. руб.

Ответ: 7
Скрыть

$$420=(130-10p)p$$
$$p^{2}-13p+42=0$$
$$\left\{\begin{matrix}p_{1}+p_{2}=13\\p_{1}\cdot p_{2}=42\end{matrix}\right.$$
$$p_{1}=6$$
$$p_{2}=7$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 11

Имеется два сплава. Первый содержит 10% никеля, второй — 30% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 200 кг, содержащий 25% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава была меньше массы второго?

Ответ: 100
Скрыть

$$\left\{\begin{matrix}x+y=200\\0,1x+0,3y=50\end{matrix}\right.$$
$$\left\{\begin{matrix}x+y=200\\1x+3y=500\end{matrix}\right.$$
$$2y=300$$
$$y=150$$
$$x=200-150=50$$
$$y-x=150-50=100$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 12

Найдите точку максимума функции $$y=\frac{16}{x}-x^{2}+9$$

Ответ: -2
Скрыть

$$y=\frac{16}{x}-x^{2}+9$$
$$y'=-\frac{16}{x^{2}}-2x=0$$
$$\frac{-16-2x^{3}}{x^{2}}=0$$
$$x\neq 0$$
$$x=-2$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 13

а) Решите уравнение $$(2\sin^{2}x-3\sin x+1)\sqrt{\tan x}=0$$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[2\pi; \frac{7\pi}{2}]$$

Ответ: а) $$\frac{\pi}{6}+2\pi k$$ $$\pi k, k\in Z$$; б) $$2\pi; \frac{13\pi}{6}; 3\pi$$
Скрыть

$$(2\sin^{2}x-3\sin x+1)\sqrt{\tan x}=0$$
$$\tan x\geq 0$$ $$\Rightarrow x\in [\pi n; \frac{\pi}{2}+\pi n]$$ $$n\in Z $$
$$\left\{\begin{matrix}(2\sin^{2}x-3\sin x+1)=0\\\tan x=0\end{matrix}\right.$$ $$x=\pi k, k\in Z$$
$$D=9-8=1$$
$$\left\{\begin{matrix}\sin x=\frac{3+1}{4}=1\\\sin x=\frac{3-1}{4}=\frac{1}{2}\end{matrix}\right.$$
$$\left\{\begin{matrix}x=\frac{\pi}{2}+2\pi n\\x=\frac{\pi}{6}+2\pi k\\x=\frac{5\pi}{6}+2\pi k\end{matrix}\right.$$
1 и 2 $$\notin$$ ОДЗ

Аналоги к этому заданию:

Задание 14

Основанием пирамиды SABC является равносторонний треугольник ABC, длина стороны которого равна $$4\sqrt{2}$$ . Боковое ребро SC перпендикулярно плоскости основания и имеет длину 2.
а) Докажите, что угол между скрещивающимися прямыми, одна из которых проходит через точку S и середину ребра BC, а другая проходит через точку С и середину ребра AB равен 45°.
б) Найдите расстояние между этими скрещивающимися прямыми.

Ответ: $$\frac{2}{\sqrt{3}}$$
Скрыть

1) Введем ортогональную систему координат: $$CM=CB\cdot\sin60^{\circ}=4\sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{6}$$

$$\left.\begin{matrix}S(0;0;2)\\L(\sqrt{2};\sqrt{6};0)\end{matrix}\right\}$$ $$\Rightarrow$$ $$SL \left \{ \sqrt{2};\sqrt{6};-2 \right \}$$

$$\left.\begin{matrix}C(0;0;0)\\M(0;2\sqrt{6};0)\end{matrix}\right\}$$ $$\Rightarrow$$ $$CM\left\{0;2\sqrt{6};0\right\}$$

$$\cos(SL;CM)=\frac{|\sqrt{2}\cdot0+\sqrt{6}\cdot2\sqrt{6}+(-2)\cdot0|}{\sqrt{2+6+4}\cdot\sqrt{4\cdot6}}=$$

$$=\frac{2\sqrt{36}}{\sqrt{12}\cdot\sqrt{24}}=\frac{2\cdot6}{2\sqrt{3}\cdot2\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$$

$$\angle (SL;CM)=45^{\circ}$$ ч.т.д.

2) Пусть $$LK\parallel CM\Rightarrow d(SL;CM)=d(C;(SLK))$$

$$K(\sqrt{2}; 2\sqrt{6}; 0)$$ Пусть $$ax+by+cz+d=0$$ - уравнение $$(SLK)$$

$$\left\{\begin{matrix}0\cdot a+0\cdot b+2\cdot c+d=0\\\sqrt{2}a+\sqrt{6}b+0\cdot c+d=0\\\sqrt{2}a+2\sqrt{6}b+0\cdot c+d=0\end{matrix}\right.$$

$$b=0;c=-\frac{d}{2};a=-\frac{\sqrt{2}d}{2}$$ $$-\frac{\sqrt{2}d}{2}x+0y-\frac{d}{2}z+d=0$$ $$\Rightarrow$$<

$$-\frac{\sqrt{2}}{2}x+0y-\frac{1}{2}z+1=0$$

$$d(C;(SLK))=\frac{|ax_{0}+by_{0}+cz_{0}+d|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}=$$<

$$=\frac{|-\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot0+0\cdot0-\frac{1}{2}\cdot0+1|}{\sqrt{\frac{2}{4}+0+\frac{1}{4}}}=\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{2}{\sqrt{3}}$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 15

Решите неравенство $$\log_{3}(2^{x}+1)+\log_{2^{x}+1}3\geq 2,5$$

Ответ: $$x\in(-\infty;\log_{2}(\sqrt{3}-1)]\cup [3;+\infty)$$
Скрыть

$$\log_{3}(2^{x}+1)+\log_{2^{x}+1}3\geq 2,5$$
$$\left\{\begin{matrix}2^{x}+1>0\\2^{x}+1\neq1\end{matrix}\right.$$
$$\left\{\begin{matrix}2^{x}>-1\\2^{x}\neq0\end{matrix}\right.$$
$$x\in R$$
$$\log_{3}(2^{x}+1)=y$$
$$y+\frac{1}{y}\geq\frac{5}{2}$$
$$\frac{y^{2}+1}{y}-\frac{5}{2}\geq0$$
$$\frac{2y^{2}+2-5y}{2y}\geq0$$ $$y\neq0$$
$$D=25-16=9$$
$$y_{1}=\frac{5+3}{4}=2$$
$$y_{2}=\frac{5-3}{4}=\frac{1}{2}$$
$$\left\{\begin{matrix}y>0\\y\leq\frac{1}{2}\\y\geq2\end{matrix}\right.$$
$$\left\{\begin{matrix}\log_{3}(2^{x}+1)>0\\\log_{3}(2^{x}+1)\leq\frac{1}{2}\\\log_{3}(2^{x}+1)\geq2\end{matrix}\right.$$
$$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}2^{x}+1>1\\2^{x}+1\leq\sqrt{3}\\2^{x}+1\geq9\end{matrix}\right.$$
$$\left\{\begin{matrix}x\in R\\x\leq\log_{2}(\sqrt{3}-1)\\x\geq3\end{matrix}\right.$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 16

В равнобедренной трапеции ABCD основание AD в два раза больше основания BC.
а) Докажите, что высота CH трапеции разбивает основание AD на отрезки, один из которых втрое больше другого.
б) Пусть O — точка пересечения диагоналей трапеции ABCD. Найдите расстояние от вершины C до середины отрезка OD, если BC=16 и AB=10.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 17

Баржу грузоподъемностью 180 тонн используют для перевозки контейнеров типов А и В. По условиям договора количество перевозимых контейнеров типа А должно составлять не более 75% количества перевозимых контейнеров типа В. Вес и стоимость одного контейнера типа А составляет 3 тонны и 3 млн. руб., контейнера типа В – 7 тонн и 5 млн. руб. соответственно. Найдите наибольшую возможную суммарную стоимость (в млн. руб.) всех контейнеров, которые можно перевезти при данных условиях. Укажите число контейнеров типа А и число контейнеров типа В, которые нужно перевезти для получения наибольшей возможной суммарной стоимости.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 18

При каких значениях параметра a среди решений неравенства $$\log_{2}(x-100)-\log_{\frac{1}{2}}\frac{|x-101|}{105-x}+\log_{2}\frac{|x-103|(105-x)}{x-100}> a$$ содержится единственное целое число?

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 19

На листочке написали несколько не обязательно различных двузначных натуральных чисел без нулей в десятичной записи. Сумма этих чисел оказалась равной 1485. В каждом числе поменяли местами первую и вторую цифры (например, число 23 заменили на число 32).
а) Приведите пример исходных чисел, для которых сумма получившихся чисел ровно в 3 раза меньше, чем сумма исходных чисел.
б) Могла ли сумма получившихся чисел быть ровно в 9 раза меньше, чем сумма исходных чисел?
в) Найдите наименьшее возможное значение суммы получившихся чисел.

Ответ: