286 вариант Алекса Ларина. Разбор ЕГЭ математика 2020.
Решаем ЕГЭ 286 вариант Ларина. Подробное решение 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12 заданий тренировочного варианта ЕГЭ Ларина №286 (alexlarin.com)
Решаем ЕГЭ 286 вариант Ларина. Подробное решение 13,14,15,16,17,18,19 заданий тренировочного варианта ЕГЭ Ларина №286 (alexlarin.com)
Задание 1
30‐контактные SIMM‐модули оперативной памяти для компьютера на базе 286‐ого процессора имели ёмкость от 64 Кбайт до 16 Мбайт. С приходом 486‐ого процессора их вытеснили 72‐контактные SIMM‐модули, имевшие ёмкость от 1 Мбайта до 64 Мбайт. На сколько процентов максимальная ёмкость 72‐контактных модулей больше, чем минимальная ёмкость у 30‐контактных, если в 1 Мбайте 1024 Кбайт?
Задание 2
На графике представлена зависимость максимальной тактовой частоты модели процессора от года анонса его модели. На оси абсцисс отмечены годы анонсов, на оси ординат — логарифм по основанию 10 от тактовой частоты. Определите по графику, сколько лет с 1978 года производители процессоров гнались за увеличением тактовой частоты, прежде, чем пришли к тому, что её увеличение не приводит к росту производительности, и перестали её наращивать?
Задание 4
Хакер Zero достал с антресоли свой старый компьютер на базе 286 процессора, но не смог его запустить. Протестировав все 16‐битные регистры процессора, он выяснил, что вероятность ошибки записи в один из битов регистра составляет 10‐1, а вероятность ошибки чтения, независимо от ошибки записи, ‐ 10‐2. Какова вероятность получить ошибку в бите регистра, если записанный с ошибкой, а потом прочитанный с ошибкой бит даёт правильный результат?
Задание 6
На рисунке представлена схема жёсткого диска. Жёсткий диск (прямоугольник ABCD) имеет в качестве носителя информации один магнитный диск (круг с центром в точке O). Расстояние от прямой BC до точки O равно 4 дюйма, а длина BC равна 3,5 дюйма. Найдите площадь жёсткого диска (прямоугольника ABCD) в квадратных дюймах.
Задание 8
Жёсткий диск представляет из себя прямоугольный параллелепипед, ширина которого у старых дисков равна 3,5 дюйма, а у современных — 2,5 дюйма. Объём старого жёсткого диска равен 22,05 кубических дюйма при высоте в 1 дюйм. Объём современного жёсткого диска равен 5,25 кубических дюймов при вдвое меньшей, чем у старого, высоте. Во сколько раз длина старого жёсткого диска больше длины современного жёсткого диска?
Задание 10
Услышав из‐за двери, что к нему пожаловал отдел К по борьбе с киберпреступностью, хакер Zero ловким движением выдернул из компьютера жёсткий диск ёмкостью 1Тбайт и выкинул его из своего окна, расположенного в 20 метрах над землёй. Время полёта жёсткого диска из окна до земли находится по формуле $$t=\sqrt{\frac{2h}{g}}$$ , где t – время в секундах, h – высота в метрах, g – ускорение свободного падения, которое можно принять равным 10 м/с2. Скорость передачи данных находится по формуле $$r=\frac{V}{t}$$, где r ‐ скорость в Мбит/с, V ‐ объём данных в Мбитах. Сколько Мбит в секунду составила скорость передачи данных в ходе полёта диска, если в одном Тбайте 1012 байт, в одном Мбите 106 бит, и в одном байте 8 бит?
Задание 11
На взлом пароля из 7 букв у компьютера на базе 80286 уходит 11 суток. На взлом этого же пароля у компьютера на базе Core7 уходит 11 минут. Если над взломом работают несколько компьютеров, производительность такой системы на четверть больше суммы производительностей отдельных компьютеров. Сколько компьютеров на базе 80286 должны ломать один пароль вместе, чтобы сломать его за то же время, что и один Core7?
Задание 13
а) Решите уравнение $$4^{x^{2}-1}-24\cdot 2^{x^{2}-3}+8=0$$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[-\frac{5}{3};2]$$
А) $$4^{x^{2}-1}-24\cdot2^{x^{2}-3}+8=0$$
$$\frac{4^{x^{2}}}{4}-\frac{24\cdot2^{x^{2}}}{2^{3}}+8=0$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{4^{x^{2}}}{4}-3\cdot2^{x^{2}}+8=0$$
$$4^{x^{2}}-12\cdot2^{x^{2}}+32=0$$
Замена: $$2^{x^{2}}=y$$
$$y^{2}-12y+32=0$$
$$\left\{\begin{matrix}y_{1}+y_{2}=12&\\y_{1}\cdot y_{2}=32&\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}y_{1}=8&\\y_{2}=4&\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}2^{x^{2}}=2^{3}&\\2^{x^{2}}=2^{2}&\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x=\pm\sqrt{3}&\\x=\pm\sqrt{2}&\end{matrix}\right.$$
Б) На отрезке $$[-\frac{5}{3};2]$$: $$-\sqrt{2};\sqrt{2};\sqrt{3}$$
Задание 14
Основанием четырехугольной пирамиды SABCD с равными боковыми ребрами является прямоугольник ABCD площадь которого равна 25. Плоскость, параллельная плоскости основания пересекает ребро AS в точке А1, а высоту пирамиды ‐ в середине О. Угол между гранями ADS и BCS равен 60 градусов.
А) 1) Пусть $$AC\cap BD=Q$$ $$\Rightarrow$$ по свойствам прямоугольника $$AQ=QC=QD=QB$$/ $$SA=SB=SC=SD$$; $$SQ$$ - общая $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup SAQ=\bigtriangleup SBQ=\bigtriangleup SCQ=\bigtriangleup SDQ$$ по трем сторонам $$\Rightarrow$$ $$\angle SQD=\angle SQB=\angle SQA=\angle SQC=90^{\circ}$$ $$\Rightarrow$$ $$SQ$$ - высота $$SABCD$$
2) $$AD=BC$$ $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup SDA=\bigtriangleup SBC$$ $$\Rightarrow$$ $$SL=SK$$ (где $$L$$ и $$K$$ - середины $$AD$$ и $$BC$$), но $$SL\perp AD$$ и $$LK\perp AD$$ $$\Rightarrow$$ $$AD\perp(SLK)$$ и $$(ADS)\perp(SLK)$$, аналогично $$(SBC)\perp(SLK)$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle LSK=60^{\circ}$$ $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup SLK$$ - равносторонний
3) $$SO=OQ$$ $$\Rightarrow$$ $$SL_{1}=L_{1}L$$ ($$\bigtriangleup SL_{1}K_{1}\sim\bigtriangleup SLK$$); $$L_{1}K_{1}$$ - средняя линия $$SLK$$ $$\Rightarrow$$ $$SQ$$ - медиана; $$KL_{1}$$ - медиана $$\Rightarrow$$ $$KL_{1}\cap SQ=H$$; $$\frac{SH}{HQ}=\frac{2}{1}$$, но $$\frac{SO}{OQ}=\frac{1}{1}$$ $$\Rightarrow$$ $$OH=\frac{2}{3}SQ-\frac{1}{2}SQ=\frac{1}{6}SQ$$, а $$HQ=\frac{1}{3}SQ$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{OH}{HQ}=\frac{1}{2}$$
Б) 1) Пусть $$N$$ - середина $$AB$$: в $$\bigtriangleup OQN$$ проведем $$HY\parallel QN$$. Через $$Y$$ построим $$BY\cap AO=R$$; из $$R$$ проведем $$RZ\parallel BC$$ $$\Rightarrow$$ $$(BRZC)$$ - сечение.
2) Пусть $$BR\cap CZ=L_{1}$$; $$LO\cap KL_{1}=I$$
3) $$\bigtriangleup L_{1}OI\sim\bigtriangleup LIK$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{L_{1}O}{LK}=\frac{L_{1}I}{IK}=\frac{1}{4}$$ $$\Rightarrow$$ $$L_{1}I=\frac{1}{5}L_{1}K$$ $$\Rightarrow$$ $$S_{L_{1}RZ}=\frac{1}{25}S_{L_{1}BC}$$ $$\Rightarrow$$ $$S_{RZCB}=\frac{24}{25}S_{L_{1}BC}$$
4) Пусть $$L_{2}$$ - проекция $$L_{1}$$ на $$(ABCD)$$ $$\Rightarrow$$ $$S_{L_{1}BC}=\frac{S_{L_{2}BC}}{\cos\angle L_{1}KL}(*)$$
5) $$S_{L_{2}BC}=\frac{1}{2}\cdot\frac{L_{2}K}{LK}S_{ABCD}=\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}\cdot25=\frac{75}{8}$$
$$\angle SKL=60^{\circ}$$,т.к. $$SL=SK$$, а $$\angle SLK=60^{\circ}$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle L_{1}KL=30^{\circ}$$. С учетом $$(*)$$: $$S_{L_{1}BC}=\frac{75}{8}\cdot\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{25\sqrt{3}}{4}$$ $$\Rightarrow$$ $$S_{RZCB}=\frac{25\sqrt{3}}{4}\cdot\frac{24}{25}=6\sqrt{3}$$
Задание 15
Решите неравенство $$2\log_{\log_{2}x^{2}}2<1$$
$$\Rightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\log_{2}x^{2}>0&\\\log_{2}x^{2}\neq1&\\x^{2}>0&\\\log_{\log_{2}x^{2}}2<\frac{1}{2}&\end{matrix}\right.$$
1) $$\log_{2}x^{2}>0$$ $$\Leftrightarrow$$ $$x^{2}>1$$ $$\Rightarrow$$ $$x\in(-\infty;-1)\cup(1;+\infty)$$
2) $$\log_{2}x^{2}\neq1$$ $$\Leftrightarrow$$ $$x^{2}\neq1$$ $$\Leftrightarrow$$ $$x\neq\pm\sqrt{2}$$
3) $$x^{2}>0$$ $$\Rightarrow$$ $$x\neq0$$
С учетом (1); (2); (3): $$x\in(-\infty;-\sqrt{2})\cup(-\sqrt{2};-1)\cup(1;\sqrt{2})\cup(\sqrt{2};+\infty)$$
4) $$\log_{\log_{2}x^{2}}2-\frac{1}{2}<0$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\log_{\log_{2}x^{2}}2-\log_{\log_{2}x^{2}}(\log_{2}x^{2})^{\frac{1}{2}}<0$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\log_{\log_{2}x^{2}}\frac{2}{\sqrt{\log_{2}x^{2}}}<0$$
Пусть $$\sqrt{\log_{2}x^{2}}=y\geq0$$ $$\Rightarrow$$ $$(y^{2}-1)(\frac{2}{y}-1)<0$$ $$\Rightarrow$$ $$(y-1)(y+1)(\frac{2-y}{y})<0$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{(y-1)(y+1)(y-2)}{y}\geq0$$
Т.к. $$y\geq0$$, то $$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}y>0&\\y\leq1&\end{matrix}\right.&\\y\geq2&\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}\sqrt{\log_{2}x^{2}}>0&\\\sqrt{\log_{2}x^{2}}\leq1&\end{matrix}\right.&\\\sqrt{\log_{2}x^{2}}\geq2&\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}x^{2}>1&\\x^2\leq2&\end{matrix}\right.&\\x^2\geq16&\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}x\in[-\sqrt{2};-1)\cup(1;\sqrt{2}]&\\x\leq-4&\\x\geq4&\end{matrix}\right.$$
Итог: $$x\in(-\infty;-4)\cup(-\sqrt{2};-1)\cup(1;\sqrt{2})\cup[4;+\infty)$$
Задание 16
В прямоугольном треугольнике ABC точка M — середина гипотенузы AB, BC > AC. На катете BC взята точка K такая, что $$\angle MKC=\angle BAC$$
А) 1) Пусть $$\angle B$$ в $$\bigtriangleup ABC$$ равен $$\alpha$$, тогда $$\angle BAC=90^{\circ}-\alpha$$
2) $$BM=MA=CM$$ по свойству прямоугольного треугольника $$\Rightarrow$$ $$\angle MCA=90^{\circ}-\alpha$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle BCM=90^{\circ}-(90^{\circ}-\alpha)=\alpha$$
3) $$\angle MKC=90^{\circ}-\alpha$$ $$\Rightarrow$$ из $$\bigtriangleup CKM$$: $$\angle KMC=180^{\circ}-(90^{\circ}-\alpha+\alpha)=90^{\circ}$$
Б) 1) $$CK\cdot CB=CM\cdot CN$$ (свойство секущих) $$\Rightarrow$$ $$\frac{CK}{CN}=\frac{CM}{CB}$$; $$\angle C$$ - общий $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup CKM\sim\bigtriangleup CBN$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle KMC=\angle CBN=90^{\circ}$$ $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup CBN$$ - прямоугольный
2) $$\angle BCN=\angle BCA$$ $$\angle CBN=\angle BCA$$; $$CB$$ - общая $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup CBN=\bigtriangleup BCA$$ $$\Rightarrow$$ $$BN=CA$$, но $$BN\parallel CA$$ (т.к. обе перпендикулярны $$CB$$) $$\Rightarrow$$ $$CBNA$$ - прямоугольник $$\Rightarrow$$ $$\angle ANB=90^{\circ}$$
Задание 17
В линейке 80286 процессоров 4 представителя, различающиеся тактовой частотой в диапазоне от 6 до 12,5 МГц включительно. Для первых трёх из них процент увеличения частоты следующего процессора по отношению к частоте предыдущего, равен проценту увеличения производительности по отношению к производительности предыдущего. Для четвёртого процент прироста частоты такой же, как процент прироста частоты третьего по отношению ко второму, однако процент прироста производительности в 3,2 раза больше. Максимальная производительность больше минимальной в 3 раза. Какова производительность подарка, если производительность первого процессора в линейке составляет 0,9 млн операций в секунду?
Пусть $$x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}$$ - частоты 1-4 процессоров из линейки, $$y_{1},y_{2},y_{3},y_{4}$$ - производительность. ПРи этом $$x_{1}=6$$ МГц; $$x_{4}=12,5$$ МГц. Пусть $$k$$ - процент, деленный на 100 (доля) увеличения со на, $$m$$ - со 2го на 3ий и с 3го на 4ый таковой частоты. Заполним таблицу:
| Номер модели | Тактовая частота | Производительность |
| 1 | $$6$$ | $$y_{1}$$ |
| 2 | $$6(k+1)$$ | $$y_{2}=y_{1}(k+1)$$ |
| 3 | $$6(k+1)(m+1)$$ | $$y_{3}=y_{2}(m+1)$$ |
| 4 | $$6(k+1)(m+1)^{2}=12,5$$ | $$y_{4}=y_{3}(3,2m+1)$$ |
По условию, при увеличении на четверть частоты нового, мы получим частоту третьего. Очевидно, что куплен был или первый, или второй. Пусть куплен первый. Тогда:
$$6\cdot\frac{5}{4}=6(k+1)(m+1)$$ $$\Rightarrow$$ $$(k+1)(m+1)=\frac{5}{4}$$
Но $$(k+1)(m+1)^{2}\frac{12,5}{6}=\frac{25}{12}$$ $$\Rightarrow$$ $$m+1=\frac{25}{12}\cdot\frac{4}{5}=\frac{5}{3}$$ $$\Rightarrow$$ $$k+1=\frac{5}{4}\cdot\frac{3}{5}=\frac{3}{4}$$, но тогда частота второго меньше, чем первого $$\Rightarrow$$ куплен второй. Тогда: $$m+1=\frac{5}{4}$$ $$\Rightarrow$$ $$k+1=\frac{25}{12}\cdot\frac{16}{25}=\frac{4}{3}$$ $$\Rightarrow$$ $$m=\frac{1}{4}$$; $$k=\frac{1}{3}$$
Найдем производительность подарка: $$0,9\cdot\frac{4}{3}=1,2$$ млн операций в секунду.
Задание 18
Найдите все значения параметра a, при которых неравенство $$\log_{\frac{1}{a}}(\sqrt{x^{2}+ax+5}+1)\cdot \log_{5}(x^{2}+ax+6)+\log_{a}3\geq 0$$ имеет одно решение.
$$\log_{\frac{1}{a}}(\sqrt{x^{2}+ax+5}+1)\cdot\log_{5}(x^{2}+ax+6)+\log_{a}3\geq0$$
Пусть $$\sqrt{x^{2}+ax+5}=y>0$$ $$\Rightarrow$$ $$y+1\geq1$$; $$y^{2}+1\geq1$$
$$-\log_{a}(y+1)\cdot\log_{5}(y^{2}+1)\geq-\log_{a}3$$
$$\log_{a}(y+1)\cdot\log_{5}(y^{2}+1)\leq\log_{a}3$$
Если $$a>1$$,то $$\log_{a}(y+1)>0$$ $$\Rightarrow$$ $$\log_{5}(y^{2}+1)\leq\frac{\log_{a}3}{\log_{a}(y+1)}=\log_{y+1}3$$
Если $$a\in(0;1)$$, то $$\log_{5}(y^{2}+1)\geq\log_{y+1}3$$
Необходимо единственное решение $$\Rightarrow$$ $$y=2$$. Т.е. получим $$\sqrt{x^{2}+ax+5}=2$$ тоже должно иметь единственное решение. Т.е. ордината в вершине параболы равна 2. Найдем абсциссу вершины:
$$x_{0}=-\frac{a}{2}$$ $$\Rightarrow$$ $$\sqrt{(-\frac{a}{2})^{2}+a\cdot(-\frac{a}{2})+5}=\sqrt{5-\frac{a^{2}}{4}}=2$$ $$\Rightarrow$$ $$5-\frac{a^{2}}{4}=4$$ $$\Rightarrow$$ $$a^{2}=4$$ $$\Rightarrow$$ $$a=\pm2$$, но $$a>0$$ $$\Rightarrow$$ $$a=2$$
Задание 19
В 16‐битном регистре процессора 80286 каждый из 16 бит может принимать значения «0» и «1». Таким образом, число, записанное в регистр, представляет собой последовательность длиной 16, состоящую из нулей и единиц.
