Перейти к основному содержанию

399 вариант Алекса Ларина. Разбор ЕГЭ математика 2023.



Решаем ЕГЭ 399 вариант Ларина ЕГЭ 2023 по математике. Подробное решение 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12, 13,14,15,16,17,18,19 заданий тренировочного варианта ЕГЭ Ларина №399 (alexlarin.com)

Больше разборов на моем ютуб-канале

Аналоги к этому заданию:

Задание 1

Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен 6. Найдите гипотенузу, если точка касания с вписанной окружностью делит ее на отрезки, длины которых относятся как 5:12.
Ответ: 34
Скрыть

Пусть гипотенуза x

$$BK_1=BK_2=\frac{5}{17}x$$

$$BC=\frac{5}{17}x+6$$

$$AK_1=AK_3=\frac{12}{17}x$$

$$AC=\frac{12}{17}x+6$$

$$r=\frac{S}{p}\Rightarrow 6=\frac{(6+\frac{12}{17}x)(6+\frac{5}{17}x)}{2x+12}$$

$$10x^2-289x-6\cdot289=0$$

$$x>0$$

$$\frac{289\pm\sqrt{289^2+240\cdot289}}{20}$$

$$\frac{289\pm\sqrt{289\cdot529}}{20}$$

$$x=\frac{289+17\cdot23}{20}=34$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 2

В правильной шестиугольной пирамиде боковое ребро равно 8, а тангенс угла между боковой гранью и плоскостью основания равен 2. Найдите сторону основания пирамиды.

Ответ: 4
Скрыть

Пусть $$SO$$ - высота пирамиды; $$SH$$ - высота боковой грани $$SDC.$$ Тогда $$OH\perp CD$$ по теореме о трёх перпендикулярах.

$$\tg SHO=2\Rightarrow\cos SHO=\sqrt{\frac{1}{1+4}}=\frac{1}{\sqrt{5}}$$

Пусть $$CD=x\Rightarrow$$ из $$\Delta COD$$: $$OH=x\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Тогда $$SH=x\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}:\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{15}x}{2}$$

Из $$\Delta SHD$$: $$(\frac{\sqrt{15}x}{2})^2+(\frac{x}{2})^2=8^\Rightarrow\frac{16x^2}{4}=8^2\Rightarrow(2x)^2=8^2\Rightarrow2x=8\Rightarrow x=4$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 3

У Маши в копилке лежит 10 рублевых, 11 двухрублевых и 12 пятирублевых монет. Маша наугад достает из копилки две монеты. Найдите вероятность того, что она достанет не менее шести рублей. Ответ округлите до тысячных.
Ответ: 0,602
Скрыть

Вероятность события - это отношение количества "благоприятных" исходов ко всем возможным исходам.

Давайте посчитаем все возможные исходы:

Всего монет: $$10+11+12 = 33.$$ Вытаскиваем $$2$$ монеты из $$33.$$ Это можно сделать $$(33\cdot32)$$ способами

Теперь посчитаем "благоприятные" события. Для этого давайте поймем, какие варианты нас устраивают: $$1+1$$ - не устраивает; $$1+2 = 2+1$$ - не устраивает; $$2+2$$ - не устраивает;

$$1+5 = 5+1$$ - устраивает; $$2+5 = 5+2$$ - устраивает; $$5+5$$ - устраивает

Посчитаем количество каждого "благоприятного" варианта.

1 и 5: $$10\cdot12 = 120$$ (10 однорублевых на 1 месте и для каждого 12 пятирублевых на втором)

5 и 1: $$12\cdot10 = 120$$ (тут наоборот 12 пятирублевых на первом и 10 однорублевых на втором)

2 и 5: $$11\cdot12 = 132$$ (тут аналогично)

5 и 2: $$12\cdot11 = 132$$ (тут анадогично)

5 и 5: $$12\cdot11 = 132$$ (12 пятирублевых на 1 место и осталось 11 пятирублевых для второго)

Итого: $$120+120+132+132+132 = 636$$

Таким образом вероятность:

$$P = \frac{636}{33\cdot32} = \frac{212}{11\cdot32} = \frac{53}{88}\approx 0,602$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 4

Трое охотников одновременно стреляют по кабану, каждый по одному выстрелу. Вероятности попадания охотников в цель равны: 0,7 – для первого, 0,75 – для второго и 0,8 – для третьего. Оказалось, что в кабана попали ровно две пули. Найдите вероятность того, что это пули второго и третьего охотников. Ответ округлите до сотых.
Ответ: 0,42
Скрыть

Тут задача на условную вероятность.

Если бы в задаче не было оговорки про попадание 2 пуль. А просто посчитать из всех возможных вариантов. То тогда, раз события независимы (попадание каждого), то итоговая вероятность считается умножением вероятностей событий. То есть событие: (первый не попал; второй попал; третий попал) = $$P(не1)\cdot P(2)\cdot P(3) = 0,3\cdot0,75\cdot0,8 = 0,18$$

Но в задаче вводят дополнительное условие: "известно, что попали ровно 2 пули".

А это меняет условие: Надо посчитать вероятность, при условии, что попали 2 пули.

По определению: Вероятность События A при условии события B равна отношению вероятности (пересечения A и B) ко всем возможным событиям B.

По простому: Надо посчитать все возможные вероятности, когда попали ровно 2 раза - это знаменатель. И из них выбрать вероятность, когда попали только 2-й и 3-й

Считаем: попали ровно 2 раза

$$P(B) = P(1)\cdot P(2)\cdot P(не3) + P(1)\cdot P(3)\cdot P(не2) + P(2)\cdot P(3)\cdot P(не1)$$

$$P(B) = 0,7\cdot0,75\cdot0,2 + 0,7\cdot0,8\cdot0,25 + 0,75\cdot0,8\cdot0,3$$

$$= 0,105 + 0,14 + 0,18 = 0,425$$

А вероятность $$P(A\cap B)$$ - это пересечение, что 2 и3 попали и попало только двое (значит первый не попал) - это уже посчитано $$= 0,3\cdot0,75\cdot0,8 = 0,18$$

Таким образом требуемая условная вероятность

$$P(\frac{A}{B}) = \frac{P(A\cap B)}{P(B)}$$

$$P(\frac{A}{B}) = \frac{0,18}{0,425}\approx 0,42$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 5

Решите уравнение $$\frac{28^x}{14^6}=7^{5x-2}\cdot2^{6x-2}.$$
Ответ: -1
Скрыть

$$\frac{28^x}{14^6}=7^{5x-2}\cdot2^{6x-2}\Leftrightarrow\frac{(7\cdot2^2)^x}{(7\cdot2)^6}=7^{5x-2}\cdot2^{6x-2}\Leftrightarrow7^{x-6}\cdot2^{2x-6}=7^{5x-2}\cdot2^{6x-2}\Leftrightarrow$$

$$\Leftrightarrow\frac{7^{x-6}}{7^{5x-2}}=\frac{2^{6x-2}}{2^{2x-6}}\Leftrightarrow7^{-4x-4}=2^{4x+4}\Leftrightarrow(\frac{1}{7})^{4x+4}=2^{4x+4}\Rightarrow4x+4=0\Rightarrow x=-1$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 6

Найдите $$\sin 2a,$$ если $$\frac{5\sin a-6\cos a}{6\sin a-10\cos a}=\tg a.$$
Ответ: 0,8
Скрыть

$$\frac{5\sin a-6\cos a}{6\sin a-10\cos a}=\frac{\sin a}{\cos a}\Leftrightarrow5\sin a\cos a-6\cos^2 a=6\sin^2 a-10\sin a\cos a\Rightarrow$$

$$\Rightarrow15\sin a\cos a=6\sin^2 a+6\cos^2 a\Rightarrow7,5\sin2a=6\Rightarrow\sin2a=\frac{4}{5}=0,8$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 7

На рисунке изображен график функции $$y=f(x),$$ определенной на интервале $$(–5;5).$$ Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.

Ответ: 4
Скрыть $$f'(x)>0,$$ если $$f(x)$$ возрастает: $$-3;-2;2;3\Rightarrow 4$$ точки
Аналоги к этому заданию:

Задание 8

Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением $$a=3600$$ $$км/ч^2.$$ Скорость вычисляется по формуле $$v=\sqrt{2la},$$ где l – пройденный автомобилем путь (в километрах). Найдите, сколько километров проедет автомобиль к моменту, когда он разгонится до скорости 60 км/ч.
Ответ: 0,5
Скрыть

$$v=\sqrt{2la}$$

$$v^2=2la$$

$$l=\frac{v^2}{2a}=\frac{60^2}{2\cdot3600}=\frac{3600}{2\cdot3600}=0,5$$ км

Аналоги к этому заданию:

Задание 9

В августе средняя стоимость аренды номера в гостиницах города Сочи повысилась на 60% по сравнению с февралем. На сколько процентов должна снизиться стоимость аренды номера в гостиницах Сочи в течение осени, чтобы к декабрю она была лишь на 8% выше, чем в феврале?
Ответ: 32,5
Скрыть

Примем среднюю стоимость гостиничного номера в феврале месяце равной 1.

Соответственно среднюю стоимость гостиничного номера в августе месяце мы можем представить в виде:

$$1 + 1\cdot\frac{60}{100} = 1,6.$$

Обозначим через переменную $$k$$ количество процентов, на которое необходимо будет понизить стоимость гостиничного номера в течении осени.

Запишем уравнение и рассчитаем чему должно равняться $$k,$$ чтобы были выполнены условия:

$$1,6  - 1,6\cdot\frac{k}{100} = 1 + \frac{8}{100}$$

$$k = \frac{-0,52}{-1,6}\cdot100$$

$$k = 32,5$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 10

На рисунке изображен график функции $$y=\log_a x,$$ где $$a$$ – целое число. Найдите $$a.$$

Ответ: 4
Скрыть

График проходит через $$(4;1).$$ Получим:

$$1=\log_a 4\Rightarrow a^1=4\Rightarrow a=4$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 11

Найдите наибольшее значение функции $$y=\frac{3x-\pi}{\pi}\cdot\cos x-\frac{3}{\pi}\cdot\sin x+21$$ на отрезке $$[0;2\pi].$$

Ответ: 26
Скрыть

Найдем критические точки $$​y′=0​$$

​$$3\pi\cdot\cos x−\frac{3x-\pi}{\pi}\cdot\sin x−\frac{3}{\pi}\cos x=0$$​

$$​-\frac{3x-\pi}{\pi}\cdot\sin x=0​$$

$$\sin x=0$$​ $$x=\pi n​$$

​$$x=\frac{\pi}{3}$$

Так как отрезок $$[0;2\pi],$$ то подозрительные точки:

​$$x=0,\frac{\pi}{3},\pi,2\pi​$$

Проверяем все

$$​y(2\pi)=26​$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 12

А) Решите уравнение $$\frac{\cos 3x}{2\sin x+\sqrt{2}}=\frac{\sin x}{2\sin x+\sqrt{2}}$$

Б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку $$[0;\pi]$$

Ответ: А)$$\frac{3\pi}{4}+2\pi n;\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2},n\in Z$$ Б)$$\frac{\pi}{8},\frac{5\pi}{8},\frac{3\pi}{4}$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 13

В основании пирамиды лежит параллелограмм со сторонами 8 и 10, а его большая диагональ равна $$2\sqrt{73}.$$ Высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна 4.

А) Докажите, что две боковые грани являются прямоугольными треугольниками.

Б) Найдите площади двух других боковых граней.

Ответ: $$4\sqrt{34};4\sqrt{34}$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 14

Решите неравенство: $$\frac{64^x}{36^x-27^x}+\frac{4(16^x-12^x)}{16^x-2\cdot12^x+9^x}\leq\frac{16^{x+0,5}}{12^x-9^x}$$
Ответ: $$(-\infty;0),{\log_{\frac{4}{3}}2}$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 15

Цена за единицу товара зависит от объема заказа и определяется следующим образом:

1. Если объем заказа не превышает 4000 единиц товара, то цена единицы товара равна 300 рублей.

2. Если объем заказа превышает 4000 единиц товара, то на каждую единицу товара от цены 300 рублей предоставляется скидка в размере $$\frac{x-4000}{50}$$ рублей, где $$x$$ – количество единиц товара в заказе.

При каком объеме заказа фирма, продающая товар, получит наибольшую выручку при условии, что объем заказа не может превышать 16000 единиц товара?

Ответ: 9500
Скрыть

1. Если объём заказа не превышает 4000 единиц товара, то выручка фирмы не превышает $$4000\cdot300=1200000$$ руб.

2. Если объём заказа $$4000< x\leq 16000,$$ где x — количество единиц товара в заказе, то выручка S (в руб.) равна

$$S(x)=(300-\frac{x-4000}{50})\cdot x=\frac{1}{50}(19000-x)x.$$

Найдём, при каком значении x выражение S(x) принимает наибольшее значение.

Если раскрыть скобки, то S(x) окажется квадратичной функцией с отрицательным старшим коэффициентом. Она принимает своё наибольшее значение в точке $$x_0=\frac{x_1+x_2}{2}:$$

$$x_0=\frac{19 000-0}{2}=9500.$$

Найденное число удовлетворяет требуемому объёму заказа. Найдём $$S(x_0):$$

$$S(x_0)=\frac{1}{50}(19000-9500)\cdot9500=190\cdot9500=1 805 000$$ (руб.).

Найденная сумма превышает максимальную выручку при $$0< x\leq 4000,$$ значит, наибольшую выручку фирма получит при объёме заказа в 9500 единиц товара.

Аналоги к этому заданию:

Задание 16

На сторонах АВ, ВС и АD квадрата ABCD взяты соответственно точки М, К и N, такие, что АМ : МВ = 3 : 1, ВК : КС = 2 : 1 и АN : ND = 1 : 2.

А) Докажите, что площадь четырехугольника МКСN составляет $$\frac{11}{24}$$ площади квадрата ABCD.

Б) Найдите синус угла между диагоналями четырехугольника МКCN.

Ответ: $$\frac{11}{\sqrt{170}}$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 17

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система:

$$\left\{\begin{matrix} (y-3)(y+x+4)(y-x)=0\\ (x+2)^2+(y+3a)^2=8a^2+24a+4 \end{matrix}\right.$$

имеет ровно 5 решений.

Ответ: {1;5}
Аналоги к этому заданию:

Задание 18

Пяти меценатам предложили участвовать в нескольких благотворительных проектах. Каждый принял решение участвовать в нескольких проектах (хотя бы в одном), но не во всех. Первый меценат вкладывает в каждый такой проект 50 тысяч рублей, второй – 100 тысяч рублей, третий – 150 тысяч рублей, четвертый – 200 тысяч рублей, пятый – 250 тысяч рублей.

А) Могло ли получиться так, что проектов 17 и все они получили одинаковое финансирование?

Б) Могло ли получиться так, что проектов 17 и все они получили различное финансирование?

В) Какое наибольшее количество проектов могло быть предложено этим меценатам, если каждый из них принял участие ровно в 5 проектах и все проекты получили различное (в том числе, возможно, нулевое) финансирование?

Ответ: А) да, Б) нет, В) 12