Перейти к основному содержанию

250 вариант Алекса Ларина. Разбор ЕГЭ математика 2019

Решаем ЕГЭ 250 вариант Ларина. Подробное решение 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15 заданий тренировочного варианта ЕГЭ Ларина №250 (alexlarin.com)

Решаем ЕГЭ 250 вариант Ларина. Подробное решение 16,17,18,19 заданий тренировочного варианта ЕГЭ Ларина №250 (alexlarin.com)

Аналоги к этому заданию:

Задание 1

В салоне парфюмерии проходит акция: покупая флакон духов объёмом 100 мл, покупатель получает в подарок флакон духов объёмом 30 мл. Какой наибольший объём (в мл) духов можно получить за 7000 рублей во время этой акции, если флакон духов объёмом 100 мл стоит 1800 рублей, объёмом 50 мл – 1200 рублей, а объёмом 30 мл – 800 рублей?

Ответ: 450
Скрыть

На 7000 рублей можно купить 3 флакона по 100 мл. и 2 по 30 мл.

В итоге купил 350 мл. При этом в подарок получим : 3*30=90мл.

Итого: 360+90=450

Аналоги к этому заданию:

Задание 2

На графике показан процесс разогрева двигателя легкового автомобиля при температуре окружающего воздуха 5°С. На оси абсцисс откладывается время в минутах, прошедшее от запуска двигателя, на оси ординат – температура двигателя в градусах Цельсия. Когда температура достигает определённого значения, включается вентилятор, охлаждающий двигатель, и температура начинает понижаться. Опреде‐ лите по графику, сколько минут прошло с момента запуска двигателя до включения вентилятора?

Ответ: 8
Скрыть

С момента, когда включится вентилятор, температура двигателя должна понижаться (если у вас не автоваз). Понижение температуры начинается с 8 минуты

Аналоги к этому заданию:

Задание 3

Площадь большого круга равна 24. Найдите площадь закрашенной фигуры.

Ответ: 15,75
Скрыть

     Найдем площадь сектора большого круга : $$S_{1}=\frac{\pi R^{2}}{360}\alpha$$, $$\alpha =45; R=2\Rightarrow$$ $$S_{1}=\frac{\pi*4}{360}*45 =\frac{\pi}{2}$$

     Площадь сектора маленького круга : $$S_{2}=\frac{\pi*1}{360}*45 =\frac{\pi}{8}$$

     Тогда площадь закрашенного: $$S=S_{B}-S_{M}-S_{1}+S_{2}$$, где

$$S_{B}=\pi *2^{2}=4 \pi$$ – площадь большого круга

$$S_{M}=\pi *1^{2}=\pi$$ - площадь малого круга

     $$S=-4 \pi -\pi -\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{8}=\frac{21 \pi}{8}$$. При этом $$S_{B}=24$$. Тогда

$$4\pi-24$$

$$\frac{21 \pi}{8}-x$$

     $$x=\frac{\frac{21 \pi}{8}*24^{3}}{4 \pi}=15, 75$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 4

В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 16 очков. Результат округлите до сотых.

Ответ: 0,03
Скрыть

Общее количество исходов: $$N=6^{3}$$ исходы с выпадением 16 очков: 466;565;556;655;664;646 $$\Rightarrow$$ 6 исходов . Тогда вероятность: $$P=\frac{6}{6^{3}}=$$$$\frac{1}{6^{2}}=\frac{1}{36}\approx 0, 03$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 5

Найдите корень уравнения $$(\frac{1}{8})^{-3+x}=512$$

Ответ: 0
Скрыть

$$(\frac{1}{8})^{-3x+x}=512\Leftrightarrow$$$$(\frac{1}{8})^{-3x+x}=8^{3}\Leftrightarrow$$ $$(\frac{1}{8})^{-3x+x}=(\frac{1}{8})^{-3}\Leftrightarrow$$ $$-3x+x=-3\Leftrightarrow$$ $$x=0$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 6

В треугольнике АВС угол А равен 30, а угол С равен 105. Найдите АС, если $$BC=3\sqrt{2}$$ .

Ответ: 6
Скрыть

$$\angle B=180-105-30=45$$. По т. синусов: $$\frac{AC}{\sin B}=\frac{BC}{\sin A}\Rightarrow$$ $$AC=\frac{BC*\sin B}{\sin A}=$$$$\frac{3\sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}}=6$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 7

На графике функции у = f (x) отмечены семь точек с абсциссами ‐7, ‐5, ‐3, ‐2, 1, 2, 5. Определите по данному графику, в какой из этих точек значение производной f'(x) наибольшее. (В ответе укажите абсциссу этой точки).

Ответ: 5
Скрыть

Если f(x) возрастает , то $$f}(x)>0$$. Чем быстрее возрастает, тем больше $$f'(x)\Rightarrow$$ $$f'_{max}={f}'(5)$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 8

В правильной шестиугольной пирамиде PАВСDEF сторона основания равна 2, а боковое ребро равно$$\sqrt{6}$$ . Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью РАС.

Ответ: 3
Скрыть

Из $$\Delta ABC$$ : $$AC=\sqrt{AB^{2}+BC^{2}-2 BC*AB\cos B}=$$$$\sqrt{2^{2}+2^{2}-2*2*2*(-\frac{1}{2})}=\sqrt{12}$$
Из $$\Delta APC$$ : $$AP^{2}+PC^{2}=AC^{2}\Rightarrow$$$$\Delta APC$$ - прямоугольный и $$S_{APC}=\frac{1}{2}\sqrt{6}\sqrt{6}=3$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 9

Найдите значение выражения $$6x(3x^{12})^{3}:(3x^{9})^{4}$$ при x = 75

Ответ: 150
Скрыть

$$6x*(3x^{12})^{3}:(3x^{9})^{4}=$$$$\frac{6x*3^{3}*x^{36}}{3^{4}*36}=$$$$2x=2*75=150$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 10

При вращении ведёрка с водой на верёвке в вертикальной плоскости вода не выливается из него, если сила её давления на дно ведёрка неотрицательна во всех точках траектории. В верхней точке траектории сила давления воды на дно минимальна и равна $$P=m(\frac{v^{2}}{L}-g)$$, где m – масса воды в кг, v – скорость движения ведёрка в м/с, L – длина веревки в метрах, g = 10 м/с2 – ускорение свободного падения. С какой минимальной скоростью v надо вращать ведёрко, чтобы вода не выливалась из него, если длина веревки равна 57,6 см? Ответ дайте в м/с.

Ответ: 2,4
Скрыть

     Раз вода не выливается , значит $$P\geq 0$$. При $$v\rightarrow max ; P\rightarrow 0$$, следовательно:

      $$0=m*(\frac{v^{2}}{L}-g)\Leftrightarrow$$ $$\frac{v^{2}}{L}-g=0$$.

     Расстояние в формуле дается в метрах, потому: L=57,6 см =0,576м

     $$\frac{v^{2}}{0,576}-10=0\Leftrightarrow$$ $$v^{2}=5,76\Leftrightarrow v=2,4$$м\с

Аналоги к этому заданию:

Задание 11

Петя и Ваня выполняют одинаковый тест. Петя отвечает за час на 8 вопросов теста, а Ваня — на 9. Они одновременно начали отвечать на вопросы теста, и Петя закончил свой тест позже Вани на 20 минут. Сколько вопросов содержит тест?

Ответ: 24
Скрыть

     Пусть x- кол-во вопросов в тесте. Тогда : время Пети : $$t_{2}=\frac{x}{8}$$; Вани : $$t_{2}=\frac{x}{9}$$. При этом $$t_{1}-t_{2}=20$$ минут $$=\frac{1}{3}$$ часа.

     $$\frac{x}{8}-\frac{x}{9}=\frac{1}{3}\Leftrightarrow$$ $$\frac{9x-8x}{8*9}=\frac{1}{3}\Leftrightarrow$$ $$\frac{x}{8*9}=\frac{1}{3}\Leftrightarrow$$ $$x=\frac{8*9}{3}=24$$ вопроса

Аналоги к этому заданию:

Задание 12

Найдите наименьшее значение функции $$f(x)=x^{3}-3x^{2}-9x+31$$ на отрезке [-1;4]

Ответ: 4
Скрыть

     Найдем производную и приравняем ее к нулю: $$f'(x)=3x^{2}-6x-9=0\Leftrightarrow$$$$x^{2}-2x-3=0\Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{matrix}x_{1}+x_{2}=2\\x_{1}*x_{2}=-3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x_{1}=3\\x_{2}=-1\end{matrix}\right.$$

     При этом х=3 - является точкой минимума (х=-1 - точка максимума). Тогда минимальное значение функции: $$f_{min}=f(3)=3^{3}-3*3^{2}-9*3+31=4$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 13

а) Решите уравнение $$(\frac{6}{5})^{\cos 3x}+(\frac{5}{6})^{\cos 3x}=2$$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $$[4\pi;\frac{9\pi}{2})$$

Ответ: А)$$\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n }{3}, n \in Z$$ Б)$$\frac{25 \pi}{6}$$
Скрыть

   А) Замена : $$(\frac{6}{5})^{\cos 3x}=y>0\Rightarrow$$ $$(\frac{5}{6})^{\cos 3x}=\frac{1}{y}$$

     $$y+\frac{1}{y}=2\Leftrightarrow$$ $$\frac{y^{2}-2y+1}{y}=0\Leftrightarrow$$ $$\frac{(y-1)^{2}}{y}=0\Leftrightarrow$$ $$y-1=0\Leftrightarrow$$ $$y=1$$

     $$(\frac{6}{5})^{\cos 3x}=1\Leftrightarrow$$ $$\cos 3x=0 \Leftrightarrow$$ $$3x=\frac{\pi}{2}+\pi n , n \in Z \Leftrightarrow$$ $$x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n }{3}, n \in Z$$

   Б) На заданном промежутке имеем единтвенный корень: $$4 \pi +\frac{\pi}{6}=\frac{25 \pi}{6}$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 14

Правильная треугольная призма АВСА1В1С1 пересечена плоскостью, проходящей через середины ребер АВ, А1С1, ВВ1. Сторона основания призмы равна 2, а высота призмы равна $$\frac{\sqrt{7}}{7}$$ .

А) Найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью основания призмы.
Б) Найдите площадь сечения.
Ответ: $$\frac{13}{12}$$
Скрыть

   A) 1) Введем ортогональную систему координат, как на рисунке .

     2) Зададим уравнение плоскости сечения. Для этого найдем координаты трех точек, лежащих в данной плоскости:

$$N_{x}=-\frac{1}{2}KA=-\frac{1}{2};$$ $$N_{y}=\frac{1}{2}KB=\frac{\sqrt{3}}{2}$$; $$N_{z}=0$$

$$K_{x}=0$$; $$K_{y}=0$$; $$K_{z}=CC_{1}=\frac{\sqrt{7}}{7}$$

$$M_{x}=0$$; $$M_{y}=KB=\sqrt{3}$$; $$M_{z}=\frac{1}{2}CC_{1}=\frac{\sqrt{7}}{14}$$

     Тогда : $$\left\{\begin{matrix}-\frac{1}{2}a+\frac{\sqrt{3}}{2}b+d=0\\\frac{\sqrt{7}}7{c+d=0}\\\sqrt{3}b+\frac{\sqrt{7}}{14}=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\frac{1}{2}a+\frac{\sqrt{3}}2{b+d=0}\\c=-\sqrt{7}d\\\sqrt{3}b-\frac{7d}{14}+d=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}-\frac{1}{2}a-\frac{1}{4}d+d=0\\c=-\sqrt{7}d\\b=-\frac{1}{2\sqrt{3}}d\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{matrix}a=\frac{3}{2}d\\b=-\frac{1}{2\sqrt{3}}d\\c=-\sqrt{7}d\end{matrix}\right.$$

     Тогда нормаль-вектор для $$(NMK_{1})$$: $$\bar{n}(\frac{3}{2};-\frac{1}{2\sqrt{3}}; -\sqrt{7})$$

      Нормаль-вектор для (ABC)-ось OZ: $$\bar{m}(0;0;1)$$

     3) $$\cos(\bar{n},\bar{m})=\frac{\left | \frac{3}{2}*0-\frac{1}{2\sqrt{3}}*0-\sqrt{7}*1 \right |}{\sqrt{(\frac{3}{2})^{2}+(-\frac{1}{2\sqrt{3}})^{2}+(-\sqrt{7})^{2}}\sqrt{1^{2}}}=$$$$\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow$$ $$\angle (\bar{n},\bar{m})=30$$, что так же является углом между плоскостями

   Б) 1) AN=NB; $$\angle ANE=\angle MNB\Rightarrow$$ $$\Delta ANE=\Delta NMB$$ и $$AE=MB=\frac{1}{2} BB_{1}=\frac{\sqrt{7}}{14}$$

     2) $$\Delta ALE\sim \Delta A_{1}EK_{1}\Rightarrow$$ $$\frac{AL}{A_{1}K_{1}}=\frac{AE}{A_{1}E}=\frac{1}{3}\Rightarrow$$ $$AL=\frac{1}{3}\Rightarrow$$$$S_{\Delta ALN}=\frac{1}{2}*\frac{1}{3}*1*\frac{\sqrt{3}}{2}=$$$$\frac{\sqrt{3}}{12}(\frac{1}{2}AL*AN\sin A)$$

     3)Проведем из B прямую $$\left | \right |NL\Rightarrow BQ$$: $$\frac{AN}{NB}=\frac{AL}{LQ}\Rightarrow$$ $$LQ=AL=\frac{1}{3}\Rightarrow$$ $$QK=1-2*\frac{1}{3}=\frac{1}{3}$$

     4) $$\Delta KCR\sim \Delta QCB($$R-проекция $$R_{1}$$, $$K_{1}R_{1}\left | \right |KR$$, но $$K_{1}R_{1}\left | \right |LN\Rightarrow$$ $$K_{1}R_{1}\left | \right |QB\Leftrightarrow$$ $$KR\left | \right |QB$$)$$\Rightarrow S_{KCR}=S_{QCB}$$($$\frac{CK}{CQ})^{2}$$. $$S_{QCB}=\frac{1}{2}*\frac{4}{3}*2*\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$$. $$(\frac{CK}{CQ})^{2}=(\frac{1}{\frac{4}{3}})^{2}=\frac{9}{16}$$. $$S_{KCR}=\frac{2\sqrt{3}}{3}*\frac{9}{16}=\frac{3\sqrt{3}}{8}$$

    5) $$S_{\angle NBRK}=S_{ABC}-S_{ALN}-S_{CKR}$$

$$S_{ABC}=\frac{1}{2}*2*2*\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$$

$$S_{\angle NBRK}=\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{12}-\frac{3\sqrt{3}}{8}=\frac{13\sqrt{3}}{24}$$

Но LNBRK-проекция $$K_{1}LNMR_{1}$$ на $$(ABC)\Rightarrow S_{K_{1}LNMR_{1}}=$$$$\frac{S_{\angle NBRK}}{\cos\alpha }$$,где $$\alpha =30$$

$$S_{K_{1}LNMR_{1}}=\frac{13\sqrt{3}}{24}:\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{13}{12}$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 15

Решите неравенство: $$\frac{1}{4}x^{\frac{1}{2}\log_{2} x}\geq 2^{\frac{1}{4}\log_{2} ^{2} x}$$

Ответ: $$(0, \frac{1}{2^{2\sqrt{2}}}]\cup [2^{2\sqrt{2}}, +\infty )$$
Скрыть

     ОДЗ: $$x>0$$

     $$\frac{1}{4} * x^{\frac{1}{2}\log_{2}x}\geq 2 ^{\frac{1}{4} \log_{2}^{2}x}|:\frac{1}{4}\Leftrightarrow$$$$x^{\frac{1}{2}\log_{2}x}\geq 2^{2+\frac{1}{4}\log_{2}^{2}x}$$

     Введем замену: $$\frac{1}{2}\log_{2}x=y\Rightarrow \log_{2}x=2y\Rightarrow x=2^{2y}$$

     $$(2^{2y})^{y}\geq 2^{2+y^{2}}\Leftrightarrow 2^{2y^{2}}\geq 2^{2+y^{2}}\Leftrightarrow 2y^{2}\geq 2+y^{2}\Leftrightarrow y^{2}\geq 2\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}y\geq \sqrt{2}\\y\leq -\sqrt{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}\frac{1}{2}\log_{2}x\geq \sqrt{2}\\\frac{1}{2}\log_{2}x\leq -\sqrt{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}\log_{2}x\geq 2\sqrt{2}\\\log_{2} x \leq -2\sqrt{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}x \geq 2^{2\sqrt{2}}\\x \leq \frac{1}{2^{2\sqrt{2}}}\end{matrix}\right.$$

     С учетом ОДЗ: $$x \in (0, \frac{1}{2^{2\sqrt{2}}}]\cup [2^{2\sqrt{2}}, +\infty )$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 16

В окружности с центром в точке О радиуса 4 проведены хорда АВ и диаметр АК, образующий с хордой угол $$\frac{\pi}{8}$$ . В точке В проведена касательная к окружности, пересекающая продолжение диаметра АК в точке С.

А) Докажите, что треугольник ОВС – равнобедренный
Б) Найдите длину медианы АМ треугольника АВС.
Ответ: $$2\sqrt{9+6\sqrt{2}}$$
Скрыть

   A) 1) $$\angle KAB=\frac{1}{2}KOB\Rightarrow$$ $$\angle KOB=2*\frac{\pi}{8}=\frac{\pi}{4}$$ (вписанный и центральный, опирающиеся на одну дугу)

     2) Радиус в точку касания, проведенный, перпендикулярен касательной: $$OB\perp BC\Rightarrow$$$$\Delta OBC$$ - прямоугольный$$\Rightarrow \angle OCB=\frac{\pi}{2}-\angle COB=\frac{\pi}{4}\Rightarrow$$ $$\Delta OCB$$ - равнобедренный

   Б) 1) $$OB=BC=4\Rightarrow$$ $$\Delta OCB:OC=\sqrt{4^{2}+4^{2}}=4\sqrt{2}\Rightarrow$$ $$AC=4+4\sqrt{2}$$

      2) $$CM=\frac{1}{2}CB=2\Rightarrow$$ из $$\Delta ACM:AM=\sqrt{AC^{2}+CM^{2}-2 AC*CM \cos C}=$$$$\sqrt{(4+4\sqrt{2})^{2}+2^{2}-2*2(4+4\sqrt{2})*\frac{\sqrt{2}}{2}}=$$$$\sqrt{36+24\sqrt{2}}=2\sqrt{9+6\sqrt{2}}$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 17

Производительность первого цеха завода не более 730 произведённых телевизоров в сутки. Производительность второго цеха завода до реконструкции составляла 75% от производительности первого цеха. После реконструкции второй цех увеличил производительность на 20% и стал выпускать более 640 телевизоров в сутки. Найдите, сколько телевизоров в сутки выпускает второй цех после реконструкции, если оба цеха выпускают в сутки целое число телевизоров.

Ответ: 648
Скрыть

     Пусть x - число телевизоров в сутки 1-го цеха $$x\leq 730$$ . Тогда 0,75x - второй цех до реконструкции. После реконструкции : $$0,75*1,2=0,9 x$$. При этом $$0,9x>640$$

     Получим: $$\left\{\begin{matrix}x\leq 730\\0,9x>640\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x\leq 730\\x>711,(1)\end{matrix}\right.$$

     При этом $$0,9x \in N$$ и $$0,75x \in N$$ (т.к. выпускается целое число телевизоров ). С учетом, что $$x \in [712; 730]$$ получаем, что $$0,9 x \in N$$ при x=729 или x=720. Но $$0,75x \in N$$ только при $$x =720\Rightarrow 720*09=648$$ - второй.

Аналоги к этому заданию:

Задание 18

Найдите все значения параметра a при которых уравнение $$\sqrt[3]{\frac{1}{2}x^{3}+x+1}+\sqrt[3]{-\frac{1}{2}x^{3}+x-1}=\sqrt[3]{ax}$$ имеет ровно четыре корня

Ответ: $$\frac{(\sqrt[3]{5}-1)^{3}}{2}$$
Скрыть

     Вынесем $$\sqrt[3]{x}:$$ $$\sqrt[3]{x}(\sqrt[3]{1+\frac{1}{x}+\frac{x^{2}}{2}}+\sqrt[3]{1-\frac{1}{x}-\frac{x^{2}}{2}})=\sqrt[3]{x}*\sqrt[3]{a}$$

     Следовательно, $$\sqrt[3]{x}=0\Leftrightarrow x=0$$ является корнем, значит надо еще три отличных от 0 корня.

     Введем замену : $$\frac{x^{2}}{2}+\frac{1}{x}=t$$. Тогда: $$\sqrt[3]{1+t}+\sqrt[3]{1-t}=\sqrt[3]{a}$$

     Рассмотрим замену: пусть $$f(x)=\frac{x^{2}}{2}+\frac{1}{x}$$ и g(x)=t. g(x)=t – прямая, параллельная Ox. При этом f(x)-совмещенный график параболы и обратной пропорциональности. Исследуем график:

$$f(x)=0\Leftrightarrow$$ $$\frac{x^{2}+2}{2x}=0\Leftrightarrow$$ $$x=-\sqrt[3]{2}$$

$$f'(x)=0\Leftrightarrow$$ $$x-\frac{1}{x^{2}}=0\Leftrightarrow$$ $$\frac{x^{3}-1}{x^{2}}=0$$

$$x=1$$  –точка минимума. При x=1: $$f(1)=\frac{1}{2}+1=1,5$$.

$$lim_{x\rightarrow -\infty} (\frac{x^{2}}{2}+\frac{1}{x})=+\infty$$; $$lim_{x\rightarrow +\infty} (\frac{x^{2}}{2}+\frac{1}{x})=+\infty$$

$$lim_{x\rightarrow -0} (\frac{x^{2}}{2}+\frac{1}{x})=-\infty$$; $$lim_{x\rightarrow +0} (\frac{x^{2}}{2}+\frac{1}{x})=+\infty$$.

     При x=1: $$f(1)=\frac{1}{2}+1=1,5$$. Построим эскиз :

     Видим что при t<1,5-одно решение, при t=1,5-два решения , при t>1,5 – три решения.

     Рассмотрим уравнение: $$\sqrt[3]{t+1}+\sqrt[3]{1-t}=\sqrt[3]{a}$$. Пусть $$f(t)=\sqrt[3]{1+t}+\sqrt[3]{1-t}; g(t)=\sqrt[3]{a}$$

     Построим график :

     Каждое пересечение при t<1,5 , дает одно решение, при t>1,5 даёт три решения и т.е. есть всегда 1(при t<0) , то нас не устраивает .

     При t=1,5 будет 2 решения, да еще одно ( область t<0)-следовательно, в общем получим 3, что и нужно .

     Найдем a : $$\sqrt[3]{1+\frac{3}{2}}+\sqrt[3]{1-\frac{3}{2}}=\sqrt[3]{a}$$

$$\sqrt[3]{\frac{5}{2}}-\sqrt[3]{\frac{1}{2}}=\sqrt[3]{a}\Leftrightarrow$$ $$\frac{\sqrt[3]{5}-1}{\sqrt[3]{2}} =\sqrt[3]{a}\Leftrightarrow$$ $$a=\frac{(\sqrt[3]{5}-1)^{3}}{2}$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 19

а) Приведите пример такого натурального числа n , что числа $$n^{2}$$ и $$(n+24)^{2}$$ дают одинаковый остаток при делении на 100.
б) Сколько существует трёхзначных чисел n с указанным в пункте а свойством?
в) Сколько существует двузначных чисе m , для каждого из которых существует ровно 36 трёхзначных сел n , таких то $$n^{2}$$ и $$(n+m)^{2}$$ дают одинаковый остаток при делении на 100.
Ответ: 13,36,36
Скрыть

     A) Пусть $$n=10a+b$$ , тогда $$n +24=10(a+2)+(b+4)$$ или $$n+24=10(a+3)+(b+4-10)$$ (если n оканчивается на число $$\geq 6$$). Рассмотрим первый вариант. Одинаковый остаток при делении на 100 дадут 2 числа, одно из которых оканчивается на 1, второе на 9 ( 2 и 8; 3 и 7; 4 и 6) .Как видим, для первого варианта (b и b+4) устраивают окончания 3 и 7 . Тогда $$n=10a+3$$,

$$n+24=10(a+2)+7$$. Тогда $$n^{2}=100x^{2}+60x+9$$; $$(n+24)^{2}=100x^{2}+540x+729$$

     При делении на 100 у $$n^{2}$$ остаток $$60x+9$$, у $$(n+24)^{2}$$: $$540x+729$$. При этом, они отличаются на натуральное число : $$\frac{540x+729}{100}=N+\frac{69x+9}{100}\Leftrightarrow$$$$N=\frac{480x+720}{100}=\frac{48x+72}{10}$$. Откуда $$x=1$$ или 6 .То есть число 13 или 63.

     Б) Если остатки одинаковы, то разность этих чисел кратна 100: $$\frac{(n+24)^{2}-n^{2}}{100}\in N \Rightarrow$$ $$\frac{24(2n+24)}{100}\in N \Leftrightarrow$$ $$\frac{12(n+12)}{25}\in N$$. Т.к. n $$\in [100; 999]$$ , то $$n+12\in [112;1011]$$. При этом, кратных 25 там: $$\frac{1011-111}{25}=36$$ чисел.

     B) $$m \in [10;99], n \in [100; 999]$$. Ищем аналогично Б): $$\frac{(n+m)^{2}-n^{2}}{100}\in N \Leftrightarrow$$ $$\frac{m(2n+m)}{100}\in N$$. В данном случае m-четное( иначе не будет кратно 100-четному) .Путсь $$m=2k : k \in [\frac{10}{2}, \frac{99}{2}]\Leftrightarrow [5;49]$$. $$\frac{2k(2n+2k)}{100}\Leftrightarrow$$ $$\frac{k(n+k)}{25}\in N$$

     При k кратному 5 получаем, что n+k тоже кратно 5, а таких чисел больше. Тогда k-не кратно 5, следовательно , n+k кратно 25. С учетом , что $$n \in [100; 999]$$, то $$n+k \in [100+k; 999+k]$$, тогда кратных к 25 среди них: $$\frac{999+k-(99+k)}{25}=36$$. Т.е. все числа [5;49] не кратных 5 подойдут, а их 36.