ЕГЭ математика 2018. Разбор варианта Алекса Ларина № 209
Решаем ЕГЭ вариант Ларина № 209. Подробное решение 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,13,14,15 заданий тренировочного варианта ЕГЭ Ларина № 209 (alexlarin.com)
Решаем ЕГЭ вариант Ларина № 209 ЕГЭ. Подробное решение 16,17,18,19 заданий тренировочного варианта ЕГЭ Ларина № 209 (alexlarin.com)
Задание 1
Одна таблетка лекарства весит 20 мг и содержит 5% активного вещества. Ребёнку в возрасте до 6 месяцев врач прописывает 1,4 мг активного вещества на каждый килограмм веса в сутки. Сколько таблеток этого лекарства следует дать ребёнку в возрасте четырёх месяцев и весом 5 кг в течение суток?
1) 20*0,05=1 мг/в одной таблетке
2)1,4*5=7 мг ребенку в день
3)7/1=7 таблеток
Задание 2
На рисунке жирными точками показана цена тонны никеля на момент закрытия биржевых торгов во все рабочие дни с 6 по 20 мая 2009 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали - цена тонны никеля в долларах США. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку какого числа цена тонны никеля на момент закрытия торгов была наименьшей за указанный период
| Как видим по рисунку наименьшее занчение соответствует 18 числу |  |
Задание 3
| Площадь круга, изображённого на клетчатой бумаге, равна 12. Найдите площадь заштрихованного кругового сектора. |  |
$$S_{c}=\frac{\pi R^{2}*\alpha }{360}=\frac{S_{k}*\alpha }{360}=\frac{12*270}{360}=9$$
Задание 4
В классе 26 десятиклассников, среди них два близнеца – Фома и Ерёма. Класс случайным образом делят на две группы по 13 человек в каждой. Найдите вероятность того, что Фома и Ерёма окажутся в разных группах.
Пусть один из ребят уже находится в какой-то группе, тогда мест в ней свободных 12, а человек претендует 25. Следовательно, вероятность того, что второй попадет в ту же группу: 12/25=0.48 . Следовательно, вероятность того, что он не попадет: 1- 0.48=0.52
Задание 5
Найдите корень уравнения $$5^{9+x}=125$$
$$5^{9+x}=125$$
$$5^{9+x}=5^{3}$$
$$9+x=3$$
$$x=-6$$
Задание 6
Периметры двух подобных многоугольников относятся как 3:5. Площадь меньшего многоугольника равна 18. Найдите площадь большего многоугольника.
Периметры подобных фигур относятся как коэффициент подобия. То есть в нашем случае k=3/5
Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия. Пусть х - площадь большей фигуры, тогда:
$$\frac{18}{x}=\frac{9}{25}$$
$$x=\frac{25*18}{9}=50$$
Задание 7
| На рисунке изображен график функции y=f(x), определенной на интервале (−6;8). Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна. |  |
| Производная положительная в том случае, когда функция возрастает. Целые абсциссы на графики, где функция возрастает отмечены жирными точками. Их 4 |  |
Задание 8
Во сколько раз увеличится площадь поверхности октаэдра, если все его ребра увеличить в 3 раза?
При увеличении ребра в три раза, площадь каждой грани, а соответственно, и октаэдра, увеличится в 9 раз ( так как площади пободных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия)
Задание 9
Найдите $$\sin 2\alpha $$, если $$\cos \alpha = 0.6$$ и $$\pi
Угол соответствует 3 и 4 четверти координатной, следовательно, там у нас синус отрицательный:
$$\sin \alpha =-\sqrt{1-(\cos \alpha)^{2}}=-\sqrt{1-0.36}=-0.8$$
$$\sin 2\alpha =2\sin \alpha * \cos \alpha=2*0.6*(-0.8)=-0.96$$
Задание 10
По закону Ома для полной цепи сила тока, измеряемая в амперах, равна $$I=\frac{\varepsilon }{R+r}$$, где ε — ЭДС источника (в вольтах), r=4 Ом — его внутреннее сопротивление, R — сопротивление цепи (в омах). При каком наименьшем сопротивлении цепи сила тока будет составлять не более 5% от силы тока короткого замыкания $$I_{k3}=\frac{\varepsilon }{r}$$ ? (Ответ выразите в омах.)
$$\frac{\varepsilon }{R+r}=0.05*\frac{\varepsilon }{r}$$
$$\frac{1}{R+r}=\frac{1}{20r}$$
$$R+r=20r$$
$$R=19r=19*4=76$$
Задание 11
Расстояние между пристанями A и B равно 120км. Из A в B по течению реки отправляется плот, а через час вслед за ним отправилась яхта, которая, прибыв в пункт B, тотчас повернула обратно и возвратилась в A. К этому моменту плот прошел 24км. Найдите скорость яхты в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 2 км/ч. Ответ дайте в км/ч.
Плот затратил 24/2=12 часов. Лодка выплыла на час позже: 12-1=11 часов. Пусть x - скорость лодки в стоячей воде, тогда общее время движения вычисляется как:
$$\frac{120}{x+2}+\frac{120}{x-2}=11$$
$$120(x-2)+120(x+2)=11(x^{2}-4)$$
$$11x^{2}-240x-44=0$$
$$D=57600+1936=59536=244^{2}$$
$$x_{1}=\frac{240+244}{22}=22$$
$$x_{2}$$-меньше нуля
Задание 12
Найдите точку максимума функции $$y=x^{3}-12x^{2}+36x-30$$
Найдем производную этой функции и приравняем ее к нулю:
$$y^{'}=3x^{2}-24x+36=0$$ | : 3
$$x^{2}-8x+12=0$$
$$x_{1}=2 ; x_{2}=6$$
Отметим эти точки на координатной прямой и расставим знаки производной (для этого будем подставлять по числу из каждого промежутка в производную). Получим, что до 2 функция возрастает, от 2 до 8 убывает, и от 8 снова возрастает. Значит 2 - точка максимума
Задание 13
а) Решите уравнение $$18^{x}-9^{x+1}-2^{x+2}+36=0$$;
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [2; 4]
$$18^{x}-9^{x+1}-2^{x+2}+36=0$$
$$18^{x}-9\cdot9^{x}-4\cdot2^{x}+36=0$$
$$9^{x}\cdot(2^{x}-9)-4\cdot(2^{x}-9)=0$$
$$(2^{x}-9)\cdot(9^{x}-4)=0$$
$$\left\{\begin{matrix}x=\log_{2}9\in [2;4]\\x=\log_{9}4\notin [2;4]\end{matrix}\right.$$
Задание 14
Внутри куба расположены два равных шара, касающихся друга. При этом один шар касается трех граней куба, имеющих общую вершину, а другой касается трех оставшихся граней.
а) Докажите, что центры шаров принадлежат диагонали куба, исходящей из общей для граней вершины.
б) Найдите радиусы этих шаров, если ребро куба равно 13.
Задание 15
Решите неравенство $$\log_{\frac{5-x}{4}}(x-2)\cdot \log_{x-2}(6x-x^{2})\geq \log_{\frac{5-x}{4}}(3x^{2}-10x+15)$$
$$\left\{\begin{matrix}\frac{5-x}{4}>0\\\frac{5-x}{4}\neq1\\x-2\neq1\\x-2>0\\6x-x^{2}>0\\3x^{2}-10x+15>0\end{matrix}\right.$$
$$\Leftrightarrow$$
$$\left\{\begin{matrix}5-x>0\Rightarrow x2\\x\in(0;6)\end{matrix}\right.$$
$$3x^{2}-10x+15>0$$
$$D=100-12\cdot15>0$$
$$x\in(2; 5)$$
$$\log_{\frac{5-x}{4}}(x-2)\cdot \log_{x-2}(6x-x^{2})\geq \log_{\frac{5-x}{4}}(3x^{2}-10x+15)$$
$$\frac{1}{\log_{x-2}\frac{5-x}{4}}\cdot \log_{x-2}(6x-x^{2})\geq \log_{\frac{5-x}{4}}(3x^{2}-10x+15)$$
$$\log_{\frac{5-x}{4}}(6x-x^{2})\geq \log_{\frac{5-x}{4}}(3x^{2}-10x+15)$$
$$(\frac{5-x}{4}-1)(6x-x^{2}-(3x^{2}-10x+15))\geq0$$
$$\frac{5-x-4}{4}\cdot(6x-x^{2}-3x^{2}+10x-15))\geq0$$
$$(1-x)\cdot(-4x^{2}+16x-15)\geq0$$
$$(x-1)\cdot(4x^{2}-16x+15)\geq0$$
$$D=256-240=16$$
$$x_{1}=\frac{16+4}{8}=2,5$$
$$x_{2}=\frac{16-4}{8}=1,5$$