ЕГЭ математика 2017. Разбор варианта Алекса Ларина № 193
Подробный разбор решения 1-12 задания ( есть описка в 7 задании : вместо -11 надо было написать - 13
Разбор 13-18 задания: есть описка в 18 задании. В самом конце вместо -1/2 надо было написать -1/4
Задание 1
В летнем лагере на каждого участника полагается 40 г сахара в день. В лагере 166 человек. Сколько килограммовых упаковок сахара понадобится на весь лагерь на 5 дней?
За день тратится : 40 * 166 = 6640 (гр)
За пять дней: 6640 * 5 = 33200 (гр)
Округлим до большего: 34 килограммовых пачки
Задание 2
На рисунке жирными точками показана среднемесячная температура воздуха в Сочи за каждый месяц 1920 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали – температура в градусах Цельсия. Для наглядности жирные точки соединены линией. Определите по рисунку наименьшую среднемесячную температуру в период с мая по декабрь 1920 года. Ответ дайте в градусах Цельсия.
Нам необходимо с мая, поэтому, начинаем смотреть с пятого месяца. Видно, что наименьшая будет в 11 месяце. Эта температура равна 6
Задание 3
Найдите градусную меру дуги AC окружности, на которую опирается угол ABC. Ответ дайте в градусах.
Если провести дальше такую же дугу, как AC, и нарисовать угол, опирающийся на полученную дугу, то он будет равен 90 градусов. Значит и дуга будет 90 градусов. Дуга AC будет составлять половину от полученной, а значит 45 градусов.
Задание 4
По отзывам покупателей Иван Иванович оценил надёжность двух интернет‐ магазинов. Вероятность того, что нужный товар доставят из магазина А, равна 0,8. Вероятность того, что этот товар доставят из магазина Б, равна 0,7. Иван Иванович заказал товар сразу в обоих магазинах. Считая, что интернет‐магазины работают независимо друг от друга, найдите вероятность того, что ни один магазин не доставит товар.
Вероятность того, что не доставят в А: 1 - 0,8 = 0,2
Вероятность того, что не доставят в Б: 1 - 0.7 = 0,3
Вероятность того, что не доставят и в А, и в Б: 0.3*0.2=0.06
Задание 5
Найдите корень уравнения $$3^{\log_9 (5x-5)}=5$$
$$3^{\log_9 (5x-5)}=5\Leftrightarrow 3^{\frac{1}{2}\log_3 (5x-5)}=5 \Leftrightarrow$$ $$ 3^{\log_3 \sqrt{5x-5}}=5\Leftrightarrow \sqrt{5x-5}=5 \Leftrightarrow$$ $$ 5x-5=25\Leftrightarrow x=6$$
Задание 6
Основания равнобедренной трапеции равны 7 и 13, а ее площадь равна 40. Найдите периметр трапеции.
Площадь трапеции вычисляется по формуле $$S=\frac{a+b}{2}*h$$. Получаем $$40=\frac{7+13}{2}*CH$$. Отсюда CH = 4.
Из треугольника CHD по теореме Пифагора находим CD = 5. Отсюда периметр равен 7 + 13 + 5 + 5 = 30
Задание 7
Прямая y=3х+4 является касательной к графику функции у=х2‐3x‐c. Найдите c.
Так как прямая является касательной, то мы можем приравнять производные данных функций, чтобы найти абсциссу точки касания: 3 = 2x - 3. Отсюда x = 3. Так же мы можем приравнять сами функции и подставить найденную абсциссу:
3x+4=х2‐3x‐c
3*3+4=32-3*3-с
13=-c, отсюда с = -13
Задание 8
Объем пирамиды SABC равен 54. На ребрах SA, АВ и АС взяты точки М, N и Р соответственно так, что SM:MA= BN:NA=CP:PA=1:2. Найдите объем пирамиды МАNP.
Треугольники AHS и AKM подобны (SH и MK высоты в пирамидах) и коэффициент подобия равен 2/3 (так как AM:MS = 2:1, значит AS составляет 3 (2+1) части)
Аналогично треугольники APN и ACB подобны и коэффициент подобия равен 2/3. Пусть h - высота ABCS (SH), a h1 - высота ANPM (MK), S - площадь ABC, а S1 - площадь ANP.
Тогда, $$\frac{1}{3}Sh=54$$.
$$h_1=\frac{2}{3}h$$
$$S_1=\frac{4}{9}S$$ (так как площади относятся, как квадрат коэффициента подобия)
$$\frac{1}{3}S_1h_1=\frac{1}{3}*\frac{4}{9}S\frac{2}{3}h=\frac{8}{27}*\frac{1}{3}Sh=\frac{8}{27}*54=16$$
Задание 9
Вычислите $$\frac{\sin 35\cos 35}{\sin ^{2} 10-\cos ^{2} 10}$$
$$\frac{\sin 35\cos 35}{\sin ^{2} 10-\cos ^{2} 10}=$$ $$\frac{0.5\sin 70}{-\cos 20}=\frac{0.5\cos 20}{-\cos 20}=-0.5$$
Задание 10
Некоторая компания продает свою продукцию по цене р = 500 руб. за единицу, переменные затраты на производство одной единицы продукции составляют v = 300 руб., постоянные расходы предприятия f=700000 руб. в месяц. Месячная операционная прибыль предприятия (в рублях) вычисляется по формуле π(q)=q(p‐v)‐f. Определите наименьший месячный объем производства q (единиц продукции), при котором месячная операционная прибыль предприятия будет не меньше 300000 руб.
Подставим имеющиеся значения в формулу операционной прибыли:
$$300000\leq \geq q(500-300)-700000\Leftrightarrow $$
$$1000000\leq 200q \Leftrightarrow 5000\leq q$$
Задание 11
Имеется два сплава. Первый содержит 10% никеля, второй − 30% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 200 кг, содержащий 25% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава меньше массы второго?
Пусть масса первого сплава X (в нем содержится 10% никеля, то есть 0,1х), масса второго сплава Y( в нем содержится 30% никеля, то есть 0,3у), тогда x+y=200 (так как получили сплав массой 200кг). В полученном сплаве никеля 25%, то есть 0,25*200=50кг. Значит, что 0,1x+0,3y=50 $$\left\{\begin{matrix} x+y=200 \\ 0.1x+0.3y=50 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow $$ $$\left\{\begin{matrix} x=200-y \\ 0.1(200-y)+0.3y=50 \end{matrix}\right.$$ $$20-0.1y+0.3y=50\Leftrightarrow 0.2y=30\Leftrightarrow y=150\Leftrightarrow x=50\Leftrightarrow y-x=150-50=100$$
Задание 12
Найдите точку максимума функции $$f(x)=\ln (x+5)-2x+9$$
Найдем производную функции и приравняем ее к нулю: $$f^{'}(x)=\frac{1}{x+5}-2=0\Leftrightarrow \frac{1-2x-10}{x+5}=0\Leftrightarrow$$ $$ \frac{-2x-9}{x+5}=0\Leftrightarrow x=-4.5 ; x\neq -5 $$ Отметим полученные точки на координатной прямой и расставим знаки производной. Получим, что точка -4,5 - точка максимума
Задание 14
В основании прямой призмы $$ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$$ лежит равнобокая трапеция $$ABCD$$ с основаниями $$AD=30$$, $$BC=12$$ и боковой стороной $$AB=15$$. Через точки $$A_{1}$$, $$B_{1}$$ и $$C$$ проведена плоскость $$\beta$$.
Задание 16
Окружности $$\omega_{1}$$ и $$\omega_{1}$$ с центрами в точках $$O_{1}$$ и $$O_{2}$$ соответственно касаются друг друга в точке $$A$$, при этом $$O_{1}$$ лежит на $$\omega_{2}$$. $$AB$$ – диаметр $$\omega_{1}$$. Хорда $$BC$$ первой окружности касается $$\omega_{2}$$ в точке $$P$$. Прямая $$AP$$ вторично пересекает $$\omega_{1}$$ в точке $$D$$.
Задание 17
Имеются три не сообщающихся между собой резервуара. Известно, что объем первого равен 60 куб.м., а объем второго меньше объема третьего. Первый резервуар может быть наполнен первым шлангом за 3 ч, вторым шлангом – за 4 ч, третьим шлангом – за 5 ч. К каждому из резервуаров подключают какой‐либо один из этих шлангов, после чего шланги одновременно включают. Как только какой‐нибудь резервуар наполнится, соответствующий шланг отключается. При самом быстром способе подключения на заполнение всех трех резервуаров уходит 6 ч. Если бы резервуары сообщались, то на их заполнение ушло бы 4 ч. Найдите объем второго и третьего резервуаров.
Задание 19
?
?