Перейти к основному содержанию

268 вариант Алекса Ларина. Разбор ЕГЭ математика 2019.

Решаем ЕГЭ 268 вариант Ларина. Подробное решение 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15 заданий тренировочного варианта ЕГЭ Ларина №268 (alexlarin.com)

Решаем ЕГЭ 268 вариант Ларина. Подробное решение 16,17,18,19 заданий тренировочного варианта ЕГЭ Ларина №268 (alexlarin.com)

Аналоги к этому заданию:

Задание 1

Показания счётчика электроэнергии 1 февраля составляли 71 181 кВт ∙ ч, а 1 марта ‐ 71 326 кВт ∙ ч. Сколько нужно заплатить за электроэнергию за февраль, если 1 кВт ∙ ч электроэнергии стоит 5 рублей 20 копеек? Ответ дайте в рублях.

Ответ: 754
Скрыть

Наработка электроэнергии за февраль составила : 71326-71181=145 кВт*ч
Заплатить необходимо : 145*5,2=754 рублей

Аналоги к этому заданию:

Задание 2

На рисунке точками показано суточное количество осадков, выпадавших в Томске с 8 по 24 января 2005 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали – количество осадков, выпавших в соответствующий день, в миллиметрах. Для наглядности точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку, сколько дней во второй половине данного периода выпало менее 1 мм осадков.

Ответ: 7
Скрыть

Вторая половина с 15 числа . Менее 1 или осадков было 17,19-24, что составляет 7 дней.

Аналоги к этому заданию:

Задание 3

Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1х1.

Ответ: 24,5
Скрыть

Найдем ее как сумму площадей двух треугольников: $$S=\frac{1}{2}*7*3+\frac{1}{2}*7*4=$$$$\frac{1}{2}*7*7=24,5$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 4

Перед началом первого тура чемпионата по бадминтону участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 26 бадминтонистов, среди которых 10 спортсменов из России, в том числе Руслан Орлов. Найдите вероятность того, что в первом туре Руслан Орлов будет играть с каким‐либо бадминтонистом из России.

Ответ: 0,36
Скрыть

Кроме Руслана есть еще 9 спортсменов из России. Всего же участников кроме него 25 человек .Тогда вероятность игры с участниками из России составит $$P=\frac{9}{25}=0,36$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 5

Найдите корень уравнения $$\frac{1}{\log_{4} (2x+1)}=-2$$

Ответ: -0,25
Скрыть

$$\frac{1}{\log_{4}(2x+1)}=-2\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\log_{4}(2x+1)=-\frac{1}{2}\\2x+1>0\\2x+1\neq 1\end{matrix}\right.$$$$\Leftrightarrow$$ $$2x+1=4-\frac{1}{2}\Leftrightarrow$$ $$2x+1=\frac{1}{2}\Leftrightarrow$$ $$2x=-\frac{1}{2}\Leftrightarrow$$ $$x=-0,25$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 6

Стороны прямоугольника AB=9 и BC =24. Точка M —середина стороны DA. Отрезки AC и MB пересекаются в точке K. Найдите BK.

Ответ: 10
Скрыть

1) Из $$\Delta ABM$$: $$BM=\sqrt{AB^{2}+AM^{2}}=15$$

2) $$\angle KBC=\angle BMA$$ (накрест лежащие ); $$\angle BKC=\angle AKM$$ (вертикальные )$$\Rightarrow$$ $$\Delta BKC\sim \Delta AKM$$$$\Rightarrow$$ $$\frac{BK}{AM}=\frac{BK}{KM}=\frac{BC}{AM}=\frac{2}{1}$$$$\Rightarrow$$ $$BK=\frac{2}{3}BM=10$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 7

На рисунке изображен график y=F(x) одной из первообразных некоторой функции f(x) , определенной на интервале (−6; 8). Определите количество целых чисел xi, для которых f(xi) положительно.

Ответ: 4
Скрыть

Если y=F(x)-первообразная для y=f(x), то y=f(x)-производная для y=F(x). Тогда f(x)>0 если F(x) –возрастает $$\Rightarrow$$ $$x\in (-3 ;0)\cup (3,5; 6)$$ .На этих промежутках 4 целых значений (-2; -1; 4; 5)

Аналоги к этому заданию:

Задание 8

Основанием пирамиды служит прямоугольник, одна боковая грань перпендикулярна плоскости основания, а три другие боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 600. Высота пирамиды равна 9. Найдите объём пирамиды.

Ответ: 162
Скрыть

1) $$BC\perp DC\Rightarrow$$ по теореме о трех перпендикулярах $$SC\perp DC\Rightarrow$$ $$\angle SCB=60$$; аналогично : $$\angle SBC=60\Rightarrow$$ $$\Delta SCB$$ - равносторонний

2) Пусть $$SH\perp BC\Rightarrow$$ $$SH=9\Rightarrow$$ из $$\Delta SCH$$: $$SC=\frac{SH}{\sin SCH}=\frac{9}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=$$$$\frac{18}{\sqrt{3}}\Rightarrow$$ $$SC=BC=\frac{18}{\sqrt{3}}$$

3) из $$\Delta SHM$$: $$MH=\frac{SH}{tg SMH}=$$$$\frac{9}{\sqrt{3}}=AB$$

4) $$V_{ABCD}=\frac{1}{3} S_{ABCD}SH=$$$$\frac{1}{3}*\frac{18}{\sqrt{3}}*\frac{9}{\sqrt{3}}*9=162$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 9

Найдите значение выражения $$\log_{9} (\log_{3}\sqrt[3]{3})$$

Ответ: -0,5
Скрыть

$$\log_{9}\log_{3}\sqrt[3]{3}=$$$$\log_{9}(\frac{1}{3} log_{3}3)=$$$$\log_{3^{2}}3^{-1}=-\frac{1}{2}=-0,5$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 10

При вращении бидона с водой на верёвке в вертикальной плоскости вода не выливается из него, если сила её давления на дно бидона неотрицательна во всех точках траектории. В верхней точке траектории сила давления воды на дно минимальна и равна $$P=m(\frac{v^{2}}{L}-g)$$ (Н), где m – масса воды в кг, v – скорость движения бидона в м/с, L – длина веревки в метрах, g = 10 м/с2 – ускорение свободного падения. С какой минимальной скоростью v надо вращать бидон, чтобы вода не выливалась из него, если длина веревки равна 48,4 см? Ответ дайте в м/с.

Ответ: 2,2
Скрыть

Давление при этом равно 0, тогда $$\frac{v^{2}}{L}-g=0$$ (т.к. $$m\neq 0$$). Получим ( с учетом , что 48,4 см =0,484 м ): $$\frac{v^{2}}{0,484}-10=0\Rightarrow$$ $$v^{2}=4,84\Rightarrow$$ $$v=\pm 2,2$$ м\с. Отрицательной быть не может $$\Rightarrow$$ 2,2

Аналоги к этому заданию:

Задание 11

Для консервирования 10 кг баклажан необходимо 0,5 л столового уксуса (10%‐й раствор уксусной кислоты). У хозяйки имеется уксусная эссенция (80%‐й раствор уксусной кислоты). Сколько миллилитров уксусной эссенции понадобится хозяйке для консервирования 20 кг баклажан?

Ответ: 125
Скрыть

Для консервирования 20 кг понадобится 1 л 10 % раствора. В данном растворе содержится 1*0,1=0,1 л уксусной кислоты . При этом в эссенции ее 80% тогда:

0,1 л-80%
x л -100%

$$x=\frac{0,1*100}{80}=0,125$$ л необходимо 80% раствора или 125 мл

Аналоги к этому заданию:

Задание 12

Найдите наименьшее значение функции $$y=-\frac{4x^{2}+4x+7}{4x^{2}+4x+3}$$

Ответ: -3
Скрыть

Преобразуем данную функцию: $$y=-\frac{4x^{2}+4x+7}{4x^{2}+4x+3}=$$$$-(1+\frac{4}{4x^{2}+4x+3})=$$$$-1-\frac{4}{4x^{2}+4x+3}$$

Найдем производную: $$y^{'}=-\frac{4^{'}(4x^{2}+4x+3)-(4x^{2}+4x+3)^{'}*4}{(4x^{2}+4x+3)^{2}}=0$$$$\Rightarrow$$ $$\frac{(8x+4)*4}{4x^{2}+4x+3}=0$$$$\Rightarrow$$ $$8x+4=0\Rightarrow$$ $$x=-\frac{1}{2}$$

$$y(-2)=-\frac{4*\frac{1}{4}+4(-\frac{1}{2})+7}{4*\frac{1}{4}+4(-\frac{1}{2})+3}=$$$$-\frac{6}{2}=-3$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 13

а) Решите уравнение $$\log_{\sin(-x)}(\sin\frac{x}{2}+\sin\frac{3x}{2})=1$$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[-2\pi;2\pi]$$

Ответ: А) $$\frac{4 \pi}{3}+2 \pi k, k \in Z$$ Б)$$\frac{4 \pi}{3}$$
Скрыть

А)     Учтем, что: $$\sin \frac{x}{2}+\sin \frac{3x}{2}=$$$$2\sin \frac{\frac{x}{2}+\frac{3x}{2}}{2}\cos \frac{\frac{x}{2}-\frac{3x}{2}}{2}=$$$$2 \sin x \cos x$$

     Выразим: $$2 \sin x cos \frac{x}{2}=$$$$\sin (-x)\Leftrightarrow$$ $$2 \sin x \cos \frac{x}{2}+\sin x=0\Rightarrow$$ $$\sin x(2\cos \frac{x}{2}+1)=0\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}\sin x=0\\2 \cos \frac{x}{2}+1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left[\begin{matrix}\sin x=0\\\cos \frac{x}{2}=-\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}x=\pi n , n \in Z\\\frac{x}{2}=\pm \frac{2\pi}{3}+2 \pi k,k \in Z\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}x=\pi n,n\in Z\\x=\pm \frac{4 \pi}{3}+4 \pi k, k \in Z\end{matrix}\right.$$

     ОДЗ: $$\left\{\begin{matrix}\sin (-x)>0\\\sin (-x)\neq 1\\2 \sin x \cos \frac{x}{2}>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\sin x <0\\\sin x \neq -1\\\sin x \cos \frac{x}{2}>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x \in (-\pi +2 \pi n , 2 \pi n) (2)\\x \neq -\frac{\pi}{2}+2 \pi n \\\sin x \cos \frac{x}{2}>0 (1)\end{matrix}\right.$$

     С учетом (2) $$x =\pi n$$ не подходит, $$x=-\frac{4 \pi}{3} +4 \pi n$$ не подходит. Подставим $$x= \frac{4 \pi}{3} + 4 \pi k$$ в (1) : $$\sin (\frac{4 \pi}{3})\cos \frac{\frac{4\pi}{3}}{2}=$$$$-\frac{\sqrt{3}}{2}\cos \frac{ \pi}{3}=$$$$-\frac{\sqrt{3}}{2}*(-\frac{1}{2})>0$$$$\Rightarrow$$ $$\frac{4 \pi}{3}+2 \pi k, k \in Z$$-корень

Б)      На промежутке $$[-2 \pi ; 2 \pi]$$: $$-2 \pi\leq \frac{4 \pi}{3}+2 pi k \leq 2 \pi\Leftrightarrow$$ $$-\frac{20 \pi}{3}\leq 4 \pi\leq k\leq \frac{2 \pi}{3}\Leftrightarrow$$ $$-\frac{10}{12}\leq k\leq \frac{1}{6}\Rightarrow$$ $$k=0\Rightarrow$$ $$\frac{4 \pi}{3}+0*\pi =\frac{4 \pi}{3}$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 14

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD с вершиной S длина перпендикуляра, опущенного из основания Н высоты пирамиды SH на грань SDC равна $$\sqrt{6}$$ , а угол наклона бокового ребра SB к плоскости основания равен 60.

А) Найдите радиус сферы, описанной около пирамиды SABCD
Б) Через середину высоты SH пирамиды проведена плоскость, параллельная основанию ABCD. Найдите отношение площади сечения описанного около пирамиды шара к площади сечения пирамиды этой плоскостью.
Ответ: А)$$\frac{2\sqrt{42}}{3}$$ Б)$$\frac{5 \pi}{2}$$
Скрыть

A)  1) Пусть $$AB=x$$,  $$\Delta ADC$$: $$AC=\sqrt{AD^{2}+DC^{2}}=x\sqrt{2}\Rightarrow$$ $$AH=\frac{x\sqrt{2}}{2}$$

     2) из $$\Delta SAH$$: $$\angle ASH=90-\angle SAH=30\Rightarrow$$ $$AS=2AH=x\sqrt{2}\Rightarrow$$ $$\Delta SAC$$ - равносторонний

     3) Пусть O - центр сферы $$\Rightarrow$$ OA – радиус , но это и радиус описанной около $$\Delta ASC$$.

     4) из $$\Delta SAH$$: $$SH=SA*\sin SAH=x\sqrt{2}*\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{x\sqrt{6}}{2}$$; $$SO=\frac{2}{3}SH$$ $$\Rightarrow$$ $$SO=\frac{2}{3}*\frac{x\sqrt{6}}{2}=\frac{x\sqrt{6}}{3}$$

     5) из $$\Delta SHF$$: $$HF=\frac{1}{2} AD=\frac{x}{2}\Rightarrow$$ $$SF=\sqrt{SH^{2}+HF^{2}}=$$$$\sqrt{\frac{x^{2}*6}{4}+\frac{x^{2}}{4}}=$$$$\frac{x}{2}*\sqrt{7}$$

     6) $$HM*SF=SH*HF\Leftrightarrow$$ $$\sqrt{6}*\frac{x\sqrt{7}}{2}=$$$$\frac{x\sqrt{6}}{2}*\frac{x}{2}\Rightarrow$$ $$\frac{x}{2}=\sqrt{7}\Rightarrow$$ $$x=2\sqrt{7}$$

     7) $$SO=\frac{2\sqrt{7}*\sqrt{6}}{3}=\frac{2\sqrt{42}}{3}$$

Б)  1) Пусть $$A _{1}B_{1}C_{1}D_{1}$$ – сечение пирамиды, т.к. проведено через середину высоты и параллельно основанию, то $$\frac{S_{A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}}}{S_{ABCD}}=\frac{1}{4}$$; $$S_{ABCD}=x^{2}=28\Rightarrow$$ $$S_{A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}}=7$$

     2) $$SO=\frac{2}{3} SH$$; $$SL=\frac{1}{2}SH$$ , где L-середина SH , тогда $$SL=\frac{3}{4} SO$$. Пусть S-площадь диаметрального сечения сферы, $$S_{1}$$-сечение через L. Пусть ON-радиус , при этом $$LN\perp OS$$ , тогда $$OL=SO-SL =\frac{1}{4} SO\Rightarrow$$ из $$\Delta OLN$$: $$LN=\sqrt{ON^{2}-OL^{2}}=$$$$\sqrt{SO^{2}-(\frac{SO}{4})^{2}}=$$$$\frac{\sqrt{15}}{4}SO\Rightarrow$$ $$LN=\frac{\sqrt{15}}{4}*\frac{2\sqrt{42}}{3}=$$$$\frac{\sqrt{5}*\sqrt{14}}{2\sqrt{3}}$$ $$\Rightarrow$$ $$S_{1}=\frac{15*14 \pi}{4*3}=\frac{35 \pi}{2}$$

     3) $$\frac{S_{1}}{S_{A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}}}=\frac{35 \pi}{2}:7=\frac{5 \pi}{2}$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 15

Решите неравенство $$\log_{5-4x-x^{2}}(5-9x-2x^{2})\leq \log_{1-x}(1-2x)$$

Ответ: $$(-5; -2-2\sqrt{2})\cup [-4 ;\frac{1}{2})$$
Скрыть

     ОДЗ: $$\left\{\begin{matrix}5-9x-2x^{2}>0\\1-2x>0\\5-4x-x^{2}>0\\5-4x-x^{2}\neq 1\\1-x >0\\1-x\neq 1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x>-5\\x<\frac{1}{2}\\x>-5\\x<1\\x\neq -2 \pm 2\sqrt{2}\\x<1\\x\neq 0\end{matrix}\right.$$$$\Leftrightarrow$$ $$x \in (-5; -2 -2\sqrt{2})\cup (-2-2\sqrt{2}; 0)\cup (0 ;\frac{1}{2})$$

     Учтем, что $$5-9x-2x^{2}=(x+5)(1-2x)$$; $$5-4x-x^{2}=(x+5)(1-x)$$. Пусть $$x+5=a$$ , $$1-2x=b$$, $$1-x=c$$

  $$\log_{ac}ab\leq \log_{c}b\Leftrightarrow$$ $$\frac{\ln ab}{\ln ac}\leq \frac{\ln b}{\ln c}\Leftrightarrow$$ $$\frac{\ln a+\ln b}{\ln a+\ln c}-\frac{\ln b}{\ln c}\leq 0\Leftrightarrow$$ $$\frac{\ln a \ln c+\ln b \ln c-\ln a \ln b -\ln b \ln c}{\ln c (\ln a+\ln c)}\leq 0\Leftrightarrow$$ $$\frac{\ln a(\ln c-\ln b)}{\ln c(\ln a+\ln c)}\leq 0\Leftrightarrow$$ $$\log_{c}a \frac{\ln \frac{c}{b}}{\ln ac}\leq 0\Leftrightarrow$$ $$\log_{c}a \log_{ac}\frac{c}{b}\leq 0\Leftrightarrow$$ $$(a-1)(c-1)(\frac{c}{b}-1)(ac-1)\leq 0$$

     Обратная замена: $$(x+5-1)(1-x-1)(\frac{1-x}{1-2x}-1)((x+5)(1-x)-1)\leq 0\Leftrightarrow$$ $$(x+4)(-x)(\frac{x}{1-2x})*(-x^{2}-4x+4)\leq 0\Leftrightarrow$$ $$x^{2} \frac{x+4}{1-2x}*(x-(-2+2\sqrt{2}))(x-(-2-2\sqrt{2}))\leq 0\Leftrightarrow$$$$\left[\begin{matrix}x=0\\\frac{(x+4)(x-(-2+2\sqrt{2}))(x-(-2-2\sqrt{2}))}{1-2x}\leq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$x \in (-\infty; -2-2\sqrt{2}]\cup [-4 ;\frac{1}{2})\cup [-2 +2\sqrt{2} ;+\infty )$$

     С учетом ОДЗ: $$(-5; -2-2\sqrt{2})\cup [-4 ;\frac{1}{2})$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 16

Отрезок KB является биссектрисой треугольника KLM. Окружность радиуса 5 проходит через вершину KB, касается стороны LM в точке B и пересекает сторону KL в точке A . Известно, что $$ML=9\sqrt{3}$$, $$KA:LB=5:6$$ 

А) Найдите угол K треугольника KLM
Б) Найдите площадь треугольника  KLM
Ответ: А) 60 Б)$$\frac{405\sqrt{3}}{16}$$
Скрыть

A) 1) Пусть KC пересекает окружность в C.

     2) По свойству хорды и секущей $$\angle ABL=\angle AKB$$; $$\angle BKC=\angle CAB$$; т.к. KB – биссектриса, то $$\angle AKB=\angle BKC \Rightarrow$$ $$\angle ABL=\angle BAC\Rightarrow$$ $$LM\left \| \right \|AC$$

     3) Пусть $$AK=5x$$ $$\Rightarrow$$ $$LB=6x$$, $$AL=y$$, тогда свойству секущей и хорды : $$AL*LK=LB^{2}\Rightarrow$$ $$y(y+5x)=(6x^{2})\Rightarrow$$ $$y^{2}+5xy-36y^{2}\Rightarrow$$ $$D=(5x)^{2}+4*36x^{2}=(13x)^{2}\Rightarrow$$ $$y_{1}=4x , y_{2}<0$$

     4) $$\frac{AK}{AL}=\frac{5}{4}\Rightarrow$$ $$\frac{AK}{KL}=\frac{5}{9}=\frac{AC}{LM}\Rightarrow$$ $$AC=\frac{5}{9} *9\sqrt{3}=5\sqrt{3}$$

     5) из $$\Delta AKC$$: $$\frac{AC}{\sin \angle AKC}=2 R$$ , $$R =5\Rightarrow$$ $$\sin \angle AKC=\frac{5\sqrt{3}}{2*5}=$$$$\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow$$ $$\angle AKC=60$$ или 120 (120 не может, т.к. $$\frac{AK}{AL}$$ должно быть тогда < 1)

Б) 1) Пусть $$KC=5t\Rightarrow$$ $$CM=4t\Rightarrow$$ по свойству биссектрисы $$BM=6t\Rightarrow$$ $$ML=6(x+t)=9\sqrt{3}\Rightarrow$$ $$x+t=\frac{3\sqrt{3}}{2}$$

     2) из $$\Delta KLM$$: $$LM^{2}=LK^{2}+KM^{2}-2 LM*KM*\cos LKM\Leftrightarrow$$ $$(6(x+t))^{2}=81x^{2}+81t^{2}-81xt\Leftrightarrow$$ $$36x^{2}+36t^{2}+72xt=81x^\Leftrightarrow$$ $$2+81t^{2}-81xt\Leftrightarrow$$ $$5x^{2}+5t^{2}-17 xt=0\Leftrightarrow$$ $$5(x+t)^{2}=27xt\Leftrightarrow$$ $$5(\frac{3\sqrt{3}}{2})^{2}=27xt\Leftrightarrow$$ $$xt=\frac{5}{4}$$

     3) $$S_{LKM}=\frac{1}{2} LK*KM*\sin LKM\Rightarrow$$ $$S_{LKM}=\frac{1}{2}*9x*9t*\frac{\sqrt{3}}{2}=$$$$\frac{81xt\sqrt{3}}{4}=\frac{405\sqrt{3}}{16}$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 17

Малое предприятие выпускает изделия двух типов. Для изготовления изделия первого типа требуется 9 часов работы станка А и 11 часов работы станка Б. Для изготовления изделия второго типа требуется 13 часов работы станка А и 3 часа работы станка Б (станки могут работать в любой последовательности). По техническим причинам станок А может работать не более 130 часов в месяц, а станок Б—не более 88 часов в месяц. Каждое изделие первого типа приносит предприятию 22 000 д. е. прибыли, а каждое изделие второго типа—26 000 д. е. прибыли. Найдите наибольшую возможную ежемесячную прибыль предприятия и определите, сколько изделий первого типа и сколько изделий второго типа следует выпускать для получения этой прибыли.

Ответ: 270000, 4 и 7
Скрыть

     Пусть выпускается xизделий 1-го типа и y изделий второго типа ($$x , y \in Z$$ и $$x, y >0$$). Составим таблицу:

     Получим систему : $$\left\{\begin{matrix}9x+13y\leq 30\\11x+3y\leq 88\\1000(22x+26y)\rightarrow max\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}y\leq \frac{130-9x}{13}(1)\\y\leq \frac{88-11y}{3}(2)\\2000 (11x+13y)\rightarrow max\end{matrix}\right.$$

     Построим график (решение ) для (1) и (2)

     Получим заштрихованную плоскость . При этом необходимо рассматривать точки ближе к прямым (1) и (2) и с целыми координатами. Так же учтем, что изделие 2 выгоднее: (1;10; (1;9); (2;8); (4;7); (5;6); (6;5);(7;3) .

     Видим , что $$x+y\rightarrow max$$ при (4;7) ; (5;6) и (6;5) .Т.к. второе выгоднее то берем с большей ординатой $$\Rightarrow (4;7)$$ . То есть 4 изделия 1,7 изделие 2 и прибыль : $$2000(11*4+13*7)=270000$$.

Аналоги к этому заданию:

Задание 18

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система $$\left\{\begin{matrix}x^{3}-(a+3)x^{2}+(3a+2)x-2a\geq 0\\ x^{3}-(a+3)x^{2}+3ax\leq 0\end{matrix}\right.$$ имеет единственное решение

Ответ: $$[3; +\infty )$$
Скрыть

     Рассмотрим $$f(x) =x^{3}-(a+3)x^{2}+3ax$$, тогда в первом неравенстве записано $$f(x) +2x-2a\geq 0\Rightarrow$$ $$f(x)\geq 2a-2x$$. Пусть $$2a-2x=g(x)$$ , тогда имеем $$\left\{\begin{matrix}f(x)\geq g(x)\\g(x)\leq 0\end{matrix}\right.$$ и оно должно иметь единственное решение . При этом g(x) – прямая, функция убывает. Рассмотрим $$f(x)$$:

     $$x^{3}-(a+3)x^{2}+3ax=$$$$x(x^{2}-(a+3)x+3a)=$$$$x(x^{2}-ax-3x+3a)=$$$$x(x(x-a)-3(x-a))=x(x-a)(x-3)$$

     Изобразим схематичное решение системы:

     Очевидно , чтобы выполнялось условие единственного решения при $$f(x) \leq 0$$ необходимо, чтобы $$g(x_{0})=0$$. Если $$g(x_{0})>0$$ - решений нет, если $$g(x_{0})<0$$ решением будет множество точек из $$[g_{0} ;x_{0}]$$. При этом $$f(x)=0$$ при $$x=0 ;3 ;a$$.

     Есть три варианта расположения а:

     1) $$a<0$$: тогда $$g(3)=0\Rightarrow$$ $$2a-2*3=0\Rightarrow$$ $$a=3$$ - не подходит

     2) $$0\leq a\leq 3$$ : $$g(3) =0\Rightarrow$$ $$a=3$$ - решение

     3) $$a>3 \Rightarrow$$ $$g(a)=0\Rightarrow$$ $$2a-2a=0$$ – верное числовое равенство $$\Rightarrow$$ $$a>3$$

     Тогда $$a \in [3; +\infty )$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 19

Числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 16 произвольно делят на три непустые группы. Затем вычисляют значение среднего арифметического чисел в каждой из групп (для группы из единственного числа среднее арифметическое равно этому числу).

а) Могут ли получиться одинаковыми два из этих трёх значений средних арифметических в группах из разного количества чисел?
б) Могут ли получиться одинаковыми все три значения средних арифметических?
в) Найдите минимальное возможное значение максимального из получаемых средних арифметических.
Ответ: да, нет, $$\frac{43}{7}$$
Скрыть

     A) да могут, например 1-ая группа 2-ая группа 4;6 $$\Rightarrow$$ среднее арифметическое равно 5.

     Б) Учтем, что сумма всех чисел 61. Пусть группа составляет из x,y,z элементов ($$x,y,z, \in N$$ ) , тогда $$x+y+z=10$$. Пусть среднее арифметическое для них равно k ,тогда $$kx+ky+kz=61\Rightarrow$$ $$k(x+y+z)=61\Leftrightarrow$$ $$10k=61\Rightarrow$$ $$k=6,1$$. Но тогда $$6,1x$$ - целое число(т.к. это сумма целх чисел) $$\Rightarrow$$ x кратно 10, но при этом $$x\leq 8$$, т.к. в двух остальных группах минимум 1 число $$\Rightarrow$$ не может.

     B) Рассмотрим разбиение (6) ; (3;9) ; (1;2;4;5;7;8;16) .Среднее арифметическое для первых двух групп равно 6, для третьей $$\frac{43}{7}$$. Очевидно, что среднее арифметическое одной из групп больше 6 , иначе бы сумма всех чисел не превосходила бы 60. Тогда не меньше $$6k+1$$ для к чисел , и среднее арифметическое для нее не меньше , чем $$\frac{6k+1}{k}=6+\frac{1}{k}$$. Чем меньше $$\frac{1}{k}$$ , тем больше k. Минимальное количество чисел в двух других группах равно 2. Если одно из чисел больше или равно 7 , то $$\frac{43}{7}<7$$ , следовательно, не рассматриваем (т.к. нужно минимальное среднее).Иначе меньше или равно 5 , тогда среднее арифметическое для оставшихся $$\frac{(61-(5+6))}{8}=\frac{50}{8}$$ больше или равно $$\frac{50}{8}$$ , но $$\frac{50}{8}>\frac{43}{7}$$, не подходит . При $$k\leq 7$$ же среднее арифметическое больше или равно $$\frac{43}{7}\Rightarrow$$ минимум $$\frac{43}{7}$$