Перейти к основному содержанию

386 вариант Алекса Ларина. Разбор ЕГЭ математика 2022.



Решаем ЕГЭ 386 вариант Ларина ЕГЭ 2022 по математике. Подробное решение 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12, 13,14,15,16,17,18,19 заданий тренировочного варианта ЕГЭ Ларина №386 (alexlarin.com)

Больше разборов на моем ютуб-канале

Аналоги к этому заданию:

Задание 1

Решите уравнение $$\sin\frac{\pi(x+2)}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}.$$ В ответе укажите наибольший отрицательный корень.
Ответ: -10
Скрыть

$$\sin\frac{\pi(x+2)}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$

$$\left[\begin{matrix} \frac{\pi(x+2)}{6}=\frac{\pi}{3}+2\pi n,n\in Z\\ \frac{\pi(x+2)}{6}=\frac{2\pi}{3}+2\pi n \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[\begin{matrix} x+2=2+12n,n\in Z\\ x+2=4+12n \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[\begin{matrix} x=12n,n\in Z\\ x=2+12n \end{matrix}\right.$$

Пусть $$n=1$$: получим $$-12$$ и $$-10.$$ Пусть $$n=0$$: $$0$$ и $$2.$$

Тогда наибольший отрицательный $$-10$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 2

Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде нужно набрать хотя бы 4 очка в двух играх. Если команда выигрывает, она получает 3 очка, в случае ничьей — 1 очко, если проигрывает — 0 очков. Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны 0,4.
Ответ: 0,32
Скрыть

Так как вероятности выигрыша и проигрыша равны по $$0,4,$$ то вероятность сыграть вничью, равна $$1-0,4-0,4=0,2.$$ Таким образом, футбольная команда может выйти в следующий круг при следующих несовместных исходах:

- выиграла первую игру и выиграла вторую игру;

- сыграла вничью первую игру и выиграла вторую игру;

- выиграла первую игру и сыграла вничью вторую игру.

Вероятность первого исхода равна $$P_1=0,4\cdot0,4=0,16.$$ Вероятность второго исхода $$P_2=0,2\cdot0,4=0,08.$$ Вероятность третьего исхода $$P_3=0,4\cdot0,2=0,08.$$ Искомая вероятность выхода в следующий круг соревнований, равна сумме вероятностей этих трех независимых исходов:

$$P=P_1+P_2+P_3=0,16+0,08+0,08=0,32$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 3

Точки А, В, С, D, расположенные на окружности, делят эту окружность на четыре дуги АВ, ВС, CD и AD, градусные величины которых относятся как 4:2:3:6. Найдите угол АВС. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 108
Скрыть

Из рисунка видно, что угол A вписанный и опирается на дугу BD, следовательно, угол A равен половине градусной меры дуги BD. Найдем сначала градусные меры дуг BC и CD. Обозначим через x градусов единичную дугу, тогда можно записать, что

$$4x+2x+3x+6x=360^{\circ}$$

откуда

$$15x=360^{\circ}$$

$$x=24^{\circ}$$

В результате, получаем, что дуга $$AD=6\cdot24^{\circ}=144^{\circ},$$ дуга $$CD=3\cdot24^{\circ}=72^{\circ}$$ и дуга

$$AC=AD+CD=144^{\circ}+72^{\circ}=216^{\circ}$$

получаем, что угол $$ABC,$$ равен:

$$\angle ABC=\frac{AC}{2}=\frac{216^{\circ}}{2}=108^{\circ}$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 4

Найдите значение выражения $$\frac{\log_2^214+\log_2 14\cdot\log_2 7-2\log_2^2 7}{\log_2 14+2\log_2 7}$$
Ответ: 1
Скрыть

$$\frac{\log_2^214+\log_2 14\cdot\log_2 7-2\log_2^2 7}{\log_2 14+2\log_2 7}=\frac{\log_2 14(\log_2 14+\log_2 7)-2\log_2^2 7}{\log_2 7+\log_2 2+2\log_2 7}=$$

$$=\frac{(\log_2 7+\log_2 2)(\log_2 7+\log_2 2+\log_2 7)-2\log_2^2 7}{3\log_2 7+1}=$$

$$=\frac{(\log_2 7+1)(2\log_2 7+1)-2\log_2^2 7}{3\log_2 7+1}=\frac{2\log_2^2 7+\log_2 7+2\log_2 7+1-2\log_2^2 7}{3\log_2 7+1}=$$

$$=\frac{3\log_2 7+1}{3\log_2 7+1}=1$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 5

Основанием пирамиды служит прямоугольник, одна боковая грань перпендикулярна плоскости основания, а три другие боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 30°. Высота пирамиды равна 8. Найдите объём пирамиды.

Ответ: 1024
Скрыть

Из прямоугольного треугольника $$SAH$$:

$$​AH=\frac{8}{\tg30^{\circ}}=\frac{24}{\sqrt{3}}$$​

Так как $$\Delta SAB$$ - р/б, то ​$$AB=2AH=\frac{48}{\sqrt{3}}​$$

$$​AD=\frac{8}{\tg30^{\circ}}=\frac{24}{\sqrt{3}}$$​ – из прямоугольного треугольника ​$$SHM​,$$ так как ​$$HM=AD​$$

$$​V=\frac{1}{3}\cdot\frac{24}{\sqrt{3}}\cdot\frac{48}{\sqrt{3}}\cdot8=1024$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 6

На рисунке изображен график функции $$y=f'(x)$$ - производной функции $$f(x).$$ Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику $$y=f(x)$$ параллельна прямой $$y=-2x+12$$ или совпадает с ней.

Ответ: -2
Скрыть

$$k_1=k_2$$

$$k_1=y'(x_0)=-2$$

$$k_2=f'(x_0)$$

$$f'(x_0)=-2$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 7

Расстояние от наблюдателя, находящегося на высоте h м над землей, выраженное в километрах, до наблюдаемой им линии горизонта вычисляется по формуле $$l=\sqrt{\frac{Rh}{500}},$$ где R = 6400 км — радиус Земли. Человек, стоящий на пляже, видит \ 500 горизонт на расстоянии 4,8 км. На сколько метров нужно подняться человеку, чтобы расстояние до горизонта увеличилось до 6,4 километров?

Ответ: 1,4
Скрыть

Необходимо обеспечить значение $$l=6,4$$ километров, выбирая соответствующее значение $$h.$$ Найдем значение параметра $$h$$ при $$l=6,4,$$ получим:

$$l^2=\frac{Rh}{500}\Rightarrow h=\frac{500l^2}{R}$$

Подставим числовые значения, имеем:

$$h=\frac{500\cdot6,4^2}{6400}=3,2$$

Изначально наблюдатель находится на высоте, при которой горизонт имеет значение $$l=4,8,$$ т.е. на высоте

$$h_0=\frac{500\cdot4,8^2}{6400}=1,8$$

Следовательно, ему нужно подняться на

$$3,2-1,8=1,4$$ метров.

Аналоги к этому заданию:

Задание 8

Пешеход шел из деревни на станцию. Пройдя 3 км за час, он рассчитал, что опаздывает на 40 мин на поезд, если будет двигаться с той же скоростью. Поэтому он увеличил скорость до 4 км/час и пришел на станцию за 40 мин до отхода поезда. Найти расстояние (в км) между станцией и деревней.
Ответ: 19
Скрыть

$$40$$ мин $$= \frac{2}{3}$$ ч

$$S-3$$ - оставшийся путь

$$t$$ - время до отправления поезд

$$\frac{S-3}{3}=t+\frac{2}{3}$$ - пешеход прошел оставшийся путь со скоростью 3 км/ч за $$t+\frac{2}{3}$$ ч

$$t=\frac{S-3-2}{3}=\frac{4S-20}{12}$$

$$\frac{S-3}{4}=t-\frac{2}{3}$$ - пешеход прошел оставшийся путь со скоростью 4 км/ч за $$t-\frac{2}{3}$$ ч

$$t=\frac{S-3}{4}+\frac{2}{3}=\frac{3S-1}{12}$$

$$\frac{4S-20}{12}=\frac{3S-1}{12}$$

$$4S-3S=20-1$$

$$S=19$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 9

На рисунке изображен график функции $$f'(x)=a\cdot \tg x+b.$$ Найдите $$a.$$

Ответ: 2
Скрыть

Точки $$(\frac{\pi}{4};\frac{1}{2})$$ и $$(0;-\frac{3}{2})$$ принадлежат графику функции. Тогда:

$$\left\{\begin{matrix} a\cdot\tg\frac{\pi}{4}+b=\frac{1}{2}\\ a\cdot\tg0+b=-\frac{3}{2} \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} a-\frac{3}{2}=\frac{1}{2}\\ b=-\frac{3}{2} \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} a=2\\ b=-\frac{3}{2} \end{matrix}\right.$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 10

В таблице показано распределение случайной величины Х. Найдите математическое ожидание этой случайной величины.

Значение x -4 0 1 3
Вероятности 0,2 0,1 0,4 0,3
Ответ: 0,5
Скрыть

Математическое ожидание $$=-4\cdot0,2+0\cdot0,1+1\cdot0,4+3\cdot0,3=-0,8+0+0,4+0,9=0,1+0,4=0,5$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 11

Найдите точку минимума функции $$y=2x^2-5x+\ln x-3.$$
Ответ: 1
Скрыть

1) $$D(y): x>0$$

2) $$y'=4x-5+\frac{1}{x}$$

3) $$y'\geq0$$

$$4x-5+\frac{1}{x}\geq0$$

$$\frac{4x^2-5x+1}{x}\geq0$$

$$\frac{4(x-1)(x-\frac{1}{4})}{x}\geq0$$

$$x=1$$ и $$x=\frac{1}{4}$$

$$x_{min}=1$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 12

А) Решите уравнение $$\cos^2 3x+\cos^2 4x+\cos^2 5x=\frac{3}{2}$$

Б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку $$[\frac{\pi}{2};\pi]$$

Ответ: А)$$\frac{\pi}{16}+\frac{\pi n}{8};\pm\frac{\pi}{3}+\pi n,n\in Z$$ Б)$$\frac{9\pi}{16};\frac{2\pi}{3};\frac{11\pi}{16};\frac{13\pi}{16};\frac{15\pi}{16}$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 13

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD точка К является серединой ребра SD, а точка L — серединой стороны ВС основания ABCD. Плоскость AKL пересекает ребро SC в точке N.

А) Докажите, что SN : NC=2 : 1.

Б) Найдите угол между плоскостями AKL и АВС, если АВ = 10, а высота пирамиды равна 20.

Ответ: $$\arctg\frac{4}{\sqrt{5}}$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 14

Решите неравенство: $$\log_{\frac{1}{2}}(\log_2(\log_{x-1}9))>0$$
Ответ: $$(4;10)$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 15

Евгений взял 15 января кредит на сумму 1 млн рублей на 6 месяцев. Условия его возврата таковы. Каждый месяц 1-го числа долг возрастает на целое число r процентов по сравнению с концом предыдущего месяца. Со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга. Каждый месяц 15-го числа долг должен составлять некоторую сумму в соответствии со следующей таблицей.

Дата 15.01 15.02 15.03 15.04 15.05 15.06 15.07
Долг, млн рублей 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0

Найти наименьшее значение r, при котором общая сумма выплат будет составлять более 1,25 млн рублей.

Ответ: 6
Аналоги к этому заданию:

Задание 16

В треугольнике АВС точка D лежит на стороне ВС. В треугольники ABD и ACD вписаны окружности, и к ним проведена общая внешняя касательная (отличная от ВС), пересекающая AD в точке К.

А) Докажите, что длина отрезка АК не зависит от положения точки D на ВС.

Б) Найдите длину отрезка АК, если периметр треугольника АВС равен 30, а длина стороны ВС равна 10.

Ответ: 5
Аналоги к этому заданию:

Задание 17

Найдите все значения параметра $$a,$$ при каждом из которых уравнение

$$\frac{x+2}{|x+2|}+|x|\cdot(x^2-48)=a$$

имеет ровно три решения.

Ответ: $$-127;[-89;-87];1$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 18

Множество простых делителей числа n будем называть ДНК этого числа. Числа m и n, имеющие одинаковые ДНК, будем называть родственными. Например, числа 12 и 18 родственные, т.к. их ДНК= {2,3}.

Число m называется симметричным с числом n, если оно записано теми же цифрами, но в обратном порядке. При этом если последними цифрами числа n были нули, то в начале числа m они отбрасываются.

А) Пусть число n делится на 10. Может ли оно быть родственным со своим симметричным числом?

Б) Сумма первой и последней цифр натурального числа равна 13. Может ли оно быть родственным со своим симметричным числом?

В) Найдите минимальное и максимальное составное трёхзначное число, у которого нет трёхзначных родственных чисел.

Ответ: А) нет, Б) нет, В) 121;998