284 вариант Алекса Ларина. Разбор ЕГЭ математика 2020.
Решаем ЕГЭ 284 вариант Ларина. Подробное решение 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12 заданий тренировочного варианта ЕГЭ Ларина №284 (alexlarin.com)
Решаем ЕГЭ 284 вариант Ларина. Подробное решение 13,14,15,16,17,18,19 заданий тренировочного варианта ЕГЭ Ларина №284 (alexlarin.com)
Задание 1
В модном бутике Виолетта Волкова желает приобрести 4 пары туфель по 250 евро, три сумочки по 150 евро и две пары перчаток по 50 евро. По условиям акции магазин делает скидку 25% на каждую третью купленную пару туфель, а при покупке сумочки вместе с туфлями, перчатки дарит в подарок. Сколько сэкономит Виолетта, воспользовавшись условиями акции, в рублях, если курс евро 72 рубля за один евро.
Задание 2
На графике представлена численность амурского тигра (по оси ординат) в зависимости от года наблюдения (по оси абсцисс). Светло‐серые столбцы показывают численность тигра в Приморском крае, тёмно‐серые — в Хабаровском крае. Если численность тигра в двух соседних наблюдениях не изменилась, значит, тигр съел одного наблюдателя в соответствующем крае. Скольких наблюдателей тигры съели за указанный на графике период наблюдения? Ответ округлите до целого наблюдателя.
Задание 4
Таксист Рушан заметил, что 70% блондинок, которые являются его пассажирами расплачиваются наличными, а из всех остальных пассажиров только 40% оплачивают поездку наличными. А всего наличными платят 55% пассажиров. Какова вероятность того, что пассажиркой Рушана будет блондинка?
Задание 7
На рисунке изображен график функции $$y=f(x)$$. На оси абсцисс отмечены точки ‐2, ‐1, 1, 4. Какое из значений выражений
- $$f'(-2)-f'(-1)-f'(-4)$$
- $$f'(-1)\cdot f'(-4)+f'(1)$$
- $$f'(-1)-f'(1)-f'(-2)$$
- $$f'(-1)\cdot f'(4)+f'(-2)$$
является наименьшим? В ответе укажите номер этого выражения.
Задание 10
Для нагревательного элемента некоторого прибора экспериментально была получена зависимость температуры (в Кельвинах) от времени работы: $$T(t)=T_{0}+bt+at^{2}$$ , где t ‐ время в минутах, $$T_{0}=1530$$К, $$a=-15$$К/мин2, $$b=240$$ К/мин. Известно, что при температуре нагревательного элемента свыше 2250 К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить. Найдите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключить прибор. Ответ дайте в минутах.
Задание 13
а) Решите уравнение $$(32^{\cos x})^{\sin x}=4\sqrt{2}$$
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[-\frac{9\pi}{2};-3\pi]$$
А) $$(32^{\cos x})^{\sin x}=4\sqrt{2}$$ $$\Leftrightarrow$$ $$(2^{5})^{\sin x\cos x}=2^{2}\cdot2^{\frac{1}{2}}$$ $$\Leftrightarrow$$ $$2^{5\sin x\cos x}=2^{\frac{5}{2}}$$ $$\Leftrightarrow$$ $$10\sin x\cos x=5$$ $$\Leftrightarrow$$ $$5\sin2x=5$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\sin2x=1$$ $$\Leftrightarrow$$ $$2x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,n\in Z$$; $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,n\in Z$$
Б) С помощью тригонометричексой окружности найдем корни: $$-4\pi+\frac{\pi}{4}=-\frac{15\pi}{4}$$
Задание 14
В окружность нижнего основания цилиндра с высотой 2 вписан правильный треугольник АВС со стороной $$\sqrt{3}$$. В окружность верхнего основания вписан правильный треугольник А1В1С1 так, что он повернут относительно треугольника АВС на угол 600
А) 1) Рассмотрим переход точек на примере нижнего основания. Т.к. $$\bigtriangleup ABC$$ - правильный, то $$\angle C=60^{\circ}$$ $$\Rightarrow$$ $$\smile AB=120^{\circ}$$ $$\Rightarrow$$ точка $$A$$ переходит в середину $$\smile AB$$, аналогично $$B$$ в середину $$\smile BC$$, $$C$$ - $$\smile AC$$: Получим $$\bigtriangleup ABC\Rightarrow\bigtriangleup LKH$$. При этом получим 6 равных дуг $$\Rightarrow$$ хорды, их стягивающие, тоже равны $$\Rightarrow$$ $$ALBKCH$$ - правильный шестиугольник
2) Посмотрим на цилиндр. $$K$$ - проекция $$B_{1}$$, $$H$$ - проекция $$C_{1}$$ $$\Rightarrow$$ $$HK$$ - проекция $$C_{1}B_{1}$$,но $$HK\parallel AB$$ и $$HK=AB$$ $$\Rightarrow$$ $$C_{1}B_{1}=AB$$ и $$C_{1}B_{1}=AB$$.
3) $$BK\perp AB$$; $$B_{1}K\perp(ABC)$$ $$\Rightarrow$$ $$B_{1}B\perp AB$$ $$\Rightarrow$$ $$ABB_{1}C_{1}$$ - прямоугольник
Б) $$V_{ABCA_{1}B_{1}C_{1}}=V_{AKBLCHA_{1}K_{1}...H_{1}}-6V_{HCAC_{1}}$$ т.к. $$V_{HCAC_{1}}=\frac{1}{3}CH_{1}\cdot S_{CHA}$$, высоты в шести отсеченных пирамидах $$(CHAC_{1};ALBA_{1};BKCB_{1};C_{1}H_{1}A_{1}A;A_{1}B_{1}L_{1}B;B_{1}K_{1}C_{1}C)$$ одинаковы, основания тоже.
2) из $$\bigtriangleup ACH$$: Пусть $$CH=HA=x$$, по т. косинусов: $$3=x^{2}+x^{2}-2\cdot x\cdot x\cdot\cos120^{\circ}$$ $$\Rightarrow$$ $$x=1$$
3) $$S_{AL...H_{1}}=\frac{\sqrt{3}x^{2}}{4}\cdot6=\frac{3\sqrt{3}}{2}$$ $$\Rightarrow$$ $$V_{AL...H_{1}}=\frac{3\sqrt{3}}{2}\cdot2=3\sqrt{3}$$
4) $$V_{HCAC_{1}}=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}\cdot1\cdot1\sin120^{\circ}\cdot2=\frac{\sqrt{3}}{6}$$ $$\Rightarrow$$ $$V_{ABCA_{1}B_{1}C_{1}}=3\sqrt{3}-6\cdot\frac{\sqrt{3}}{6}=2\sqrt{3}$$
Задание 15
ОДЗ: $$\left\{\begin{matrix}3^{x}-3\neq0&\\3^{x}-2\neq0&\\9^{x}-5\cdot3^{x}+6\neq0&\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}3^{x}\neq3&\\3^{x}\neq2&\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x\neq1&\\x\neq\log_{3}2&\end{matrix}\right.$$
Заметим,что $$9^{x}-5\cdot3^{x}+6=3^{2x}-5\cdot3^{x}+6=(3^{x}-3)(3^{x}-2)$$. Тогда: $$x\in(-\infty;\log_{3}2)\cup(\log_{3}2;1)\cup(1;+\infty)$$
Решение: замена $$3^{x}=y>0$$
$$\frac{y}{y-3}+\frac{y+1}{y-2}+\frac{5}{(y-3)(y-2)}\leq0$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\frac{y(y-2)+(y+1)(y-3)}{(y-3)(y-2)}\leq0$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\frac{y^{2}-2y+y^{2}-3+5}{(y-3)(y-2)}\leq0$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\frac{2y^{2}-4y+2}{(y-3)(y-2)}\leq0$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\frac{2(y-1)^{2}}{(y-3)(y-2)}\leq0$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}y\geq2&\\y\leq3&\end{matrix}\right.&\\y=1&\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}3^{x}\geq2&\\3^{x}\leq3&\end{matrix}\right.&\\3^{x}=1&\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}x\geq\log_{3}2&\\x\leq1&\end{matrix}\right.&\\x=0&\end{matrix}\right.$$
С учетом ОДЗ: $$x\in{0}\cup(\log_{3}2;1)$$
Задание 16
Продолжение высоты ВН пересекает описанную вокруг треугольника АВС окружность $$\omega$$ в точке D, при этом BD=BC. На луче BD за точку D отмечена точка Е такая, что ЕА касается $$\omega$$ в точке А.
А) 1) Пусть $$\angle EBC=\angle2$$, $$\angle EBA=\angle1$$, тогда: $$\angle DAC=\angle2$$ (опирается на ту же дугу); $$\angle EAD=\angle1$$ ( на дугу $$AD$$) $$\Rightarrow$$ из $$\bigtriangleup EHA$$: $$\angle BEA=90-(\angle1+\angle2)$$. Тогда: $$3\angle EBC+2\angle BEA=180^{\circ}$$ $$\Leftrightarrow$$ $$3\angle2+180-2\angle1-2\angle2=180^{\circ}$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\angle2=2\angle1$$ - надо доказать
2) Т.к. $$BD=DC$$ то $$\bigtriangleup BDC$$ - равнобедренный $$\Rightarrow$$ $$BO$$ - высота, биссектриса (О - центр окружности) $$\Rightarrow$$ $$\angle OBA=\frac{\angle2}{2}=\angle1$$ из $$\bigtriangleup AOB$$ (равнобедренный) $$\angle OAB=\frac{\angle2}{2}+\angle1$$
3) из $$\bigtriangleup AHB$$: $$\angle HAB=90-\angle1$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle HAO=90-2\angle1-\frac{\angle2}{2}$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle DAO=90-2\angle1+\frac{\angle2}{2}$$ $$\Rightarrow$$ из $$\bigtriangleup DOA$$: $$\angle DOA=180^{\circ}-2(90^{\circ}-2\angle1+\frac{\angle2}{2})=4\angle1-\angle2$$
Но $$\angle DOA=2\angle DBA$$ (вписанный и центральный, опираются на одну дугу) $$\Rightarrow$$ $$4\angle1-\angle2=2\angle1$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle2=2\angle1$$
ч.т.д.
Б) 1) Из $$\bigtriangleup CBD$$: $$\frac{CD}{\sin B}=2OB$$. $$\angle ABC=3\angle1=3\arcsin\frac{\sqrt{6}}{6}$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle1=\frac{\sqrt{6}}{6}$$; $$\angle2=2\arcsin\frac{\sqrt{6}}{6}$$; $$\sin B=\sin(2\arcsin\frac{\sqrt{6}}{6})=2\sin(\arcsin\frac{\sqrt{6}}{6})\cos(\arcsin\frac{\sqrt{6}}{6})$$
Учтем, что $$\arcsin a=\arccos(\sqrt{1-a^{2}})$$ $$\Rightarrow$$ $$\sin B=2\cdot\frac{\sqrt{6}}{6}\cdot\frac{\sqrt{30}}{6}=\frac{\sqrt{5}}{3}$$ $$\Rightarrow$$ $$OB=\frac{10}{2\cdot\frac{\sqrt{5}}{3}}=3\sqrt{5}$$
2) $$\angle DOA=2\angle1$$ $$\Rightarrow$$ $$AD=\sqrt{AO^{2}+OD^{2}-2AO\cdot OD\cos2\angle1}$$; $$\cos2\angle1=\cos(2\arcsin\frac{\sqrt{6}}{6})=1-2\cdot\frac{1}{6}=\frac{2}{3}$$ $$\Rightarrow$$ $$AD=\sqrt{45+45-2\cdot45\cdot\frac{2}{3}}=\sqrt{30}$$
3) Из $$\bigtriangleup AEH$$: $$\angle AEH=90-\angle EAH=90-3\angle1$$ $$\Rightarrow$$ $$\sin AEH=\sin(90-3\arcsin\frac{\sqrt{6}}{6})=\cos(3\arcsin\frac{\sqrt{6}}{6})=4\cos^{3}(\arcsin\frac{\sqrt{6}}{6})-3\cos(\arcsin\frac{\sqrt{6}}{6})=4\cdot\frac{5\sqrt{5}}{6\sqrt{6}}-3\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{5}}{3\sqrt{6}}$$
4) По т. синусов из $$\bigtriangleup AED$$: $$\frac{AE}{\sin EDA}=\frac{AD}{\sin AED}$$; $$\angle EDA=90+\angle2$$ $$\Rightarrow$$ $$\sin EDA=\sin(90+2\arcsin\frac{\sqrt{6}}{6})=\cos(2\arcsin\frac{\sqrt{6}}{6})=\frac{2}{3}$$ $$\Rightarrow$$ $$AE=\frac{\frac{2}{3}\cdot\sqrt{30}}{\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{6}\cdot3}}=\frac{2\sqrt{30}\cdot3\cdot\sqrt{6}}{3\sqrt{5}}=12$$
Задание 17
Александра взяла в банке кредит на 3 года, который ей предстоит погасить тремя равными платежами. В конце каждого года банк начисляет 10% на оставшуюся часть долга, после чего наша героиня в тот же день вносит очередной платеж в банк. Как известно, часть такого платежа идет на погашение суммы начисленных процентов, а вторая часть идет на уменьшение основного долга. Оказалось, что наименьшая из трех сумм, направленных на погашение основного долга, составила ровно 2 млн. рублей. Определите наименьшую из трех сумм, направленных на погашение процентов за пользование кредитом.
Пусть сумма кредита $$S$$, $$x$$ - выплата годовая (состоит из процентной части и части, гасящей основную часть $$x_{i}$$, где $$i\in[1...3]\in N$$). В певрый год начислится $$0,1S$$ процентов, т.е. $$X=x_{i}+0,1S$$. Тогда на второй год должны банку: $$S+0,1S-x_{1}-0,1S=S-x_{1}$$. Тогда начислится $$0,1(S-x_{1})$$ процента $$\Rightarrow$$
Задание 19
Даны $$n\geq 3$$ натуральных чисел, образующих арифметическую прогрессию
А) Да,например $$1,2,3,4$$
Б) Рассмотрим стационарную арифметич. прогрессию, где $$a_{1}=a_{2}=...=a_{n}=1$$ $$(d=0)$$, Тогда из формулы суммы $$S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot n$$:
$$\frac{1+1}{2}\cdot n<1000$$ $$\Rightarrow$$ $$n<1000$$ $$\Rightarrow$$ $$n=999$$
Если рассматривать нестационарную, то $$n\rightarrow max$$ при $$a_{1}\rightarrow1$$ и $$d\rightarrow1$$. Т.е. $$\frac{2\cdot1+1(n-1)}{2}\cdot n<2000$$ $$\Rightarrow$$ $$n^{2}+n-2000<0$$ $$\Rightarrow$$ $$x_{1},x_{2}=\frac{-1\pm\sqrt{8001}}{2}$$ $$\Rightarrow$$ $$n<\frac{-1+\sqrt{8001}}{2}$$ $$\Rightarrow$$ $$n=44$$
В) Из формулы суммы арифм. прогрессии: $$S_{n}=\frac{2a_{1+d(n-1)}}{2}\cdot n$$ имеем: $$(2a_{1}+d(n-1))\cdot n=129\cdot2=2\cdot3\cdot43$$ Т.к. $$a_{n}\in N$$, $$n\in N$$ и $$0$$, то имеем:
| $$N$$ | $$2a_{1}+d(n-1)$$ | $$n$$ |
| $$1$$ | $$2$$ | $$3\cdot43$$ |
| $$2$$ | $$3$$ | $$2\cdot43$$ |
| $$3$$ | $$43$$ | $$2\cdot3$$ |
| $$4$$ | $$2\cdot3$$ | $$43$$ |
| $$5$$ | $$2\cdot43$$ | $$3$$ |
| $$6$$ | $$3\cdot43$$ | $$2$$ |
| $$7$$ | $$2\cdot3\cdot43$$ | $$1$$ |
| $$8$$ | $$1$$ | $$2\cdot3\cdot43$$ |
С учетом $$n\geq3$$ $$6$$ и $$7$$ не подходят, $$2$$ и $$8$$ тоже (при данном занчении $$n$$ никак не получим левую колонку) $$\Rightarrow$$ $$n=3;6$$ при возрастающей и $$43$$ и $$129$$ при стационарной