Перейти к основному содержанию

249 вариант Алекса Ларина. Разбор ЕГЭ математика 2019

Решаем ЕГЭ 249 вариант Ларина. Подробное решение 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15 заданий тренировочного варианта ЕГЭ Ларина №249 (alexlarin.com)

Решаем ЕГЭ 249 вариант Ларина. Подробное решение 16,17,18,19 заданий тренировочного варианта ЕГЭ Ларина №249 (alexlarin.com)

Аналоги к этому заданию:

Задание 1

Оплата за использование природного газа составляла 20 рублей на одного человека в месяц. С нового года она повысилась на 20%. Сколько рублей должна заплатить семья из трех человек за использование природного газа за три месяца?

Ответ: 216
Скрыть

     Плата после повышения: $$20*1,2=24$$

     Плата за 3 человека: $$24*3=72$$

     За 3 месяца: $$72*3=216$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 2

На графике представлено изменение биржевой стоимости акций банка за 3 месяца 2018 года. По горизонтали указаны даты, по вертикали – цена одной акции в рублях. Бизнесмен в указанный период купил пакет из 500 акций этого банка, а затем продал его с наибольшей прибылью. Какое наибольшее количество рублей мог получить бизнесмен в результате этих операций?

Ответ: 5000
Скрыть

20.05 купил по цене 50

10.06 продал по цене 60

Прибыль : $$(60-50)*500=5000$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 3

Две стороны прямоугольника ABCD равны 12 и 5. Диагонали пересекаются в точке О. Найдите длину разности векторов $$\vec{AO}$$ и $$\vec{BO}$$ .

Ответ: 5
Скрыть

$$\bar{AD}-\bar{BD}=\bar{OC}-\bar{OD}=\bar{CD}$$

$$\left | \bar{CD} \right |=5$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 4

Гусеница ползет вверх по ветви куста. На каждой развилке гусеница с равными шансами может попасть на любую из растущих веточек. Найдите вероятность того, что гусеница доберется до одного из листьев. Ответ округлите до сотых.

Ответ: 0,17
Скрыть

     Учитываем, что на каждой развилке вероятность выбрать одно из направлений составялет отношение одного к количеству возможных направлений. Тогда, вероятность добраться до листа 1: $$\frac{1}{2}*\frac{1}{4}*\frac{1}{2}=$$

     До листа 2: $$\frac{1}{2}*\frac{1}{4}*\frac{1}{2}=\frac{1}{16}$$

     До листа 3: $$\frac{1}{2}*\frac{1}{2}*\frac{1}{3}*\frac{1}{2}=\frac{1}{24}$$

     Общая вероятность добраться вообще до листа: $$2*\frac{1}{16}+\frac{1}{24}=\frac{4}{24}=\frac{1}{6}\approx 0,1(6)\approx 0,17$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 5

Решите уравнение $$\log_{7} (3-x)=\log_{6} (3-x)$$

Ответ: 2
Скрыть

Равенство двух логарифмов, у которых разные основания, но одинаковые логарифмируемые вырадения, будет только в том случае, когда логарифмируемое выражение равно 1: $$3-x=1\Leftrightarrow x=2$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 6

Найдите сторону правильного шестиугольника, описанного около окружности, радиус которой равен $$5\sqrt{12}$$

Ответ: 20
Скрыть

из $$\Delta AOB$$: $$OH=5\sqrt{12}\Rightarrow$$ $$AO=\frac{OH}{\sin A}=\frac{5\sqrt{12}}{2}=20$$

$$\Delta AOB$$ - равносторонний $$\Rightarrow AB=20$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 7

На рисунке изображен график производной функции $$f(x)$$ , определенной на интервале (‐5;4). Найдите точку минимума функции $$f(x)$$ на этом интервале.

Ответ: 3
Скрыть

Точка минимума , когда {f}' переходит с «-» на «+» (был график под Ox, стал над Ox): $$x=3$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 8

Найдите радиус сферы, описанной около цилиндра, радиус основания которого равен 3 и образующая равна 8.

Ответ: 5
Скрыть

$$AB=CD=8\Rightarrow$$ $$OC=\frac{1}{2}CD=4$$, $$CB=3$$

Из $$\Delta OBC$$: $$OB=\sqrt{OC^{2}+CB^{2}}=$$$$\sqrt{4^{2}+3^{2}}=5$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 9

Найдите значение выражения $$\frac{b^{3}\sqrt[5]{b}}{b^{\frac{6}{5}}(b^{1,5})^{2}}$$ при $$b=\frac{5}{7}$$

Ответ: 1,4
Скрыть

$$\frac{b^{3}*\sqrt[5]{b}}{b^{\frac{6}{5}}*(b^{1,5})}=$$$$\frac{b^{3}*b^{\frac{1}{3}}}{b^{\frac{6}{5}}*b^{3}}=$$$$\frac{1}{b^{\frac{6}{5}-\frac{1}{5}}}=$$$$\frac{1}{b^{\frac{6}{5}-\frac{1}{5}}}=$$$$\frac{1}{b}=\frac{1}{\frac{5}{7}}=\frac{7}{5}=1,4$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 10

Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется собирающая линза с главным фокусным расстоянием f = 25 см. Расстояние d1 от линзы до лампочки может изменяться в пределах от 20 до 40 см, а расстояние d2 от линзы до экрана может изменяться в пределах от 120 до 150 см. Изображение на экране будет четким, если выполнено соотношение $$\frac{1}{d_{1}}+\frac{1}{d_{2}}=\frac{1}{f}$$ . Укажите, на каком наименьшем расстоянии от линзы можно поместить лампочку, чтобы ее изображение на экране было четким. Ответ выразите в сантиметрах.

Ответ: 30
Скрыть

$$d_{1}\rightarrow min$$, тогда $$\frac{1}{d_{1}}\rightarrow max$$ .Т.к. $$\frac{1}{d_{1}+\frac{1}{d_{2}}}=const$$, то $$\frac{1}{d_{2}}\rightarrow min$$ и $$d_{2}\rightarrow max$$

$$d_{2}(max)=150$$

$$\frac{1}{d_{1}}+\frac{1}{150}=\frac{1}{25}\Leftrightarrow$$ $$\frac{1}{d_{1}}=\frac{1}{25}-\frac{1}{150}$$

$$\frac{1}{d_{1}}=\frac{6-1}{150}=\frac{5}{150}$$

$$d_{1}=\frac{150}{5}=30$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 11

Из точки А круговой трассы одновременно начинают равномерное движение в противоположных направлениях два тела. Первое тело к моменту их встречи проходит на 100 метров больше, чем второе, и возвращается в точку А через 9 минут после встречи. Найдите длину трассы в метрах, если второе тело возвращается в точку А через 16 минут после встречи.

Ответ: 700
Скрыть

Представим круг в виде отрезка с концами A и B. Пусть S –расстояние от B до места встречи, тогда S+0,1 км - из A. Пусть x км\ч –скорость тела из A, y км\ч из B. Первое тело до B доедет через 9 минут после встречи ,т.е. $$\frac{S}{x}=\frac{9}{60}(1)$$, второе до A через 16,т.е. $$\frac{S+0,1}{y}=\frac{16}{60}(2)$$

При этом , раз они встретились , то $$\frac{S+0,1}{x}=\frac{S}{y}(3)$$

Выразим в (1) и (2) x и y:

$$(1): x=\frac{60S}{9}=\frac{20 S}{3}$$

$$(2) :y=\frac{15(S+0,1)}{4}$$

Представим в (3) :$$\frac{3(S+0,1)}{20S}=\frac{4S}{15(S+0,1)}$$

$$45(S+0,1)^{2}=80S^{2}|*5$$

$$9(S+0,1)^{2}=16S^{2}$$

$$\left\{\begin{matrix}3(S+0,1)=4S\\3(S+0,1)=-4S\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}3S+0,3=4S\\ \varnothing\end{matrix}\right.$$$$\Leftrightarrow S=0,3$$

Тогда вся трасса 0,3+0,1+0,3=0,7 км. Или 700 метров.

Аналоги к этому заданию:

Задание 12

Найдите точку максимума функции $$y=6\ln x - (x-2)^{2}$$

Ответ: 3
Скрыть

     Так как дан логарифм, то будет ОДЗ: $$x>0$$

     Найдем производную данной функции: $${y}'=\frac{6}{x}-2(x-2)$$

     Приравняем производную к нулю: $$\frac{6-2x^{2}+4x}{x}=0$$

$$2x^{2}-4x+6=0\Leftrightarrow$$$$x^{2}-2x+3=0\Leftrightarrow$$$$(x-3)(x+1)=0$$

     Тогда производная имеет вид: $${y}'=\frac{-2(x-3)(x+1)}{x}$$. При этом, с учетом ОДЗ и знаков производной на полученных промежутках ((0;3) и $$(3;\infty)$$) получим, что $$x(3)=x_{max}$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 13

а) Решите уравнение $$(\sin x +\cos x)\sqrt{2}=tg x+ctg x$$ 

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[-\pi;\frac{\pi}{2}]$$

Ответ: А)$$\frac{\pi}{4}+2\pi n , n \in Z$$ Б)$$\frac{\pi}{4}$$
Скрыть

   A) $$(\sin x+\cos x)\sqrt{2}=tg x+ctg x$$

     ОДЗ: $$\left\{\begin{matrix}\sin x\neq 0\\\cos x\neq 0\end{matrix}\right.$$

     Решение: $$(\sin x+\cos x)\sqrt{2}=\frac{\sin x}{\cos x}+\frac{\cos x}{\sin x}$$

$$(\sin x+\cos x)\sqrt{2}=\frac{\sin^{2}x+\cos ^{2}x}{\sin x \cos x}$$

$$(\sin x+\cos x)\sqrt{2}=\frac{1}{\sin x \cos x}|:2$$

$$\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x+\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x=\frac{1}{2\sin x \cos x}$$

$$\cos \frac{\pi}{4}\sin x+\sin \frac{\pi}{4}\cos x=\frac{1}{\sin 2x}$$

$$\sin(x+\frac{\pi}{4})=\frac{1}{\sin 2x}$$

     С учетом , что $$-1\leq \sin 2x \leq 1$$, то $$\frac{1}{\sin 2x}\in (-\infty ;-1]\cup [1;+\infty )$$. Но и $$\sin (x+\frac{\pi}{4})\in [1;1]$$, тогда решение будет только тогда, когда : $$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}\sin 2x=1\\\sin (x+\frac{\pi}{4})=1\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}\sin 2x=-1\\\sin (x+\frac{\pi}{4})=-1\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}2x=\frac{\pi}{2}+2\pi n\\x+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}+2\pi n\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}2x=-\frac{\pi}{2}+2 \pi n\\x+\frac{\pi}{4}=-\frac{\pi}{2}+2\pi n\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}x=\frac{\pi}{4}+\pi n\\x=\frac{\pi}{4}+2\pi n\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}x=-\frac{\pi}{4}+\pi n\\x=-\frac{3\pi}{4}+2\pi n\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left[\begin{matrix}\frac{\pi}{4}+2\pi n\\\varnothing\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow \frac{\pi}{4}+2\pi n , n \in Z$$

   Б) На данном промежутке: при n=0: $$\frac{\pi}{4}$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 14

В основании четырехугольной пирамиды SABCD лежит квадрат со стороной 1. Ребро SA перпендикулярно плоскости основания и равно 2. Через вершину А параллельно диагонали BD проведено сечение, которое делит ребро SC в отношении 1:2, считая от вершины.

А) Докажите, что плоскость сечения проходит через середину отрезка SO, где О – центр основания.
Б) Найдите площадь сечения.
Ответ: $$\frac{1}{2}$$
Скрыть

     A) 1) по т. Менелая из $$\Delta CLA:$$ $$\frac{SK}{KO}*\frac{OA}{AC}*\frac{CL}{LS}=1\Leftrightarrow$$ $$\frac{SK}{KO}*\frac{1}{2}*\frac{2}{1}=1\Leftrightarrow$$ $$\frac{SK}{KO}=1\Leftrightarrow$$ $$SK=KO$$

    Б) 1) $$AC\perp BD$$( ABCD - квадрат), но AC-проекция AL на (ABCD)$$\Rightarrow$$ $$AL\perp BD$$

     2) $$MN\left | \right |BD\Rightarrow$$ $$AL\perp MN$$, $$S_{AMLN}=\frac{1}{2}AL*MN$$

     3) из $$\Delta ACD$$: $$AC=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}$$

Из $$\Delta ACS$$: $$CS=\sqrt{(\sqrt{2})^{2}+2^{2}}=\sqrt{6}$$

Тогда $$\cos \angle SCA=\frac{AC}{CS}=$$$$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$$

$$LC=\frac{2}{3}CS=\frac{2\sqrt{6}}{3}$$

Из $$\Delta ACL$$: $$AL=\sqrt{(\sqrt{2})^{2}+(\frac{2\sqrt{6}}{3})^{2}-2\sqrt{2}*\frac{2\sqrt{6}}{3}*\frac{1}{\sqrt{3}}}=$$$$\sqrt{2+\frac{8}{3}-\frac{8}{3}}=\sqrt{2}$$

Из $$\Delta SBD\sim \Delta SNM$$: $$\frac{MN}{BD}=\frac{SK}{SO}=$$$$\frac{1}{2}\Rightarrow$$ $$MN=\frac{1}{2}BD=\frac{\sqrt{2}}{2}$$

4) $$S_{AMLN}=\frac{1}{2}*\frac{\sqrt{2}}{1}*\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{2}$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 15

Решите неравенство $$(\log_{2} x)\sqrt{\log_{x} (\frac{\sqrt{x}}{2}}) \leq 1$$

Ответ: $$x \in (0;1)\cup [4;2^{1+\sqrt{3}}]$$
Скрыть

     ОДЗ: $$\left\{\begin{matrix}x>0\\\frac{\sqrt{x}}{2}>0\\x\neq 1\\\log_{x}\frac{\sqrt{x}}{2}\geq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x>0\\x\neq 1\\(x-1)(\frac{\sqrt{x}}{2}-1)\geq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x>0\\x\neq 1\\x \in (-\infty;1]\cup [4; +\infty )\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$x \in (0;1)\cup [4; +\infty )$$

     Решение: $$\log_{2}x\sqrt{\log_{x}\sqrt{x}-\log_{x}2}\leq 1\Leftrightarrow$$$$\log_{2}x\sqrt{\frac{1}{2}-\frac{1}{\log_{2}x}}\leq 1$$

     1) При $$x\in (0;1)$$: $$\log_{2}x<0\Rightarrow \log_{2}x\sqrt{\log_{x}\frac{\sqrt{x}}{2}}\leq 1$$ при всех x

     2) При $$x [4; +\infty )$$: $$\log_{2}x \geq 2$$. Замена $$\log_{2}x=y\geq 2$$. Получим: $$y\sqrt{\frac{y-2}{2y}}\leq 1$$. С учетом того, что $$y\geq 2$$ поделим обе части на $$y$$: $$\sqrt{\frac{y-2}{2y}}\leq \frac{1}{y}$$

     При $$y\geq 2$$, $$\frac{y-2}{2y}\geq 0$$ и $$\frac{1}{y}>0$$ при всех y,тогда: $$\frac{y-2}{2y}\leq \frac{1}{y^{2}}\Leftrightarrow$$ $$\frac{y^{2}-2y-2}{2y^{2}}\leq 0\Leftrightarrow$$ $$y^{2}-2y-2\leq 0\Leftrightarrow$$ $$y\in [1-\sqrt{3};1+\sqrt{3}]$$. С учетом $$y\geq 2$$: $$y\in [2;1+\sqrt{3}]$$

      Обратная замена: $$\left\{\begin{matrix}y\geq 2\\y\leq 1+\sqrt{3}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\log_{2}x\geq 2\\\log_{2}x\leq 1+\sqrt{3}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x\geq 4\\x\leq 2^{1+\sqrt{3}}\end{matrix}\right.$$

     Итого, объеденив решения (1) и (2): $$x \in (0;1)\cup [4;2^{1+\sqrt{3}}]$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 16

В треугольнике АВС на сторонах АВ и ВС расположены точки Е и D соответственно так, что AD – биссектриса треугольника АВС, DE – биссектриса треугольника ABD, AE=ED=9/16, CD=3/4.

А) Найдите АС.
Б) Найдите площадь треугольника АВС
Ответ: $$\frac{2}{7}\sqrt{5}$$
Скрыть

   A) 1) $$\angle EAD=\angle DAC$$(AD-биссектриса ), $$AE=ED\Rightarrow$$ $$\angle EAD=\angle EDA\Rightarrow$$ $$\angle EDA=\angle DAC$$, $$ED\left | \right |AC$$

     2) из п.1 $$\Delta EBD\sim \Delta ABC\Rightarrow$$ $$\angle BDE=\angle BCA$$.Но $$\angle BDC=\angle EDA=\angle DAC$$, тогда $$\angle DCA=\angle DAC\Rightarrow$$ $$AD=DC=\frac{3}{4}$$

     3) $$\frac{EA}{AD}=\frac{AD}{AC}\Rightarrow$$ $$AC=\frac{AD^{2}}{EA^{2}}=$$$$\frac{(\frac{3}{4})^{2}}{\frac{9}{16}}=1$$

   Б) 1) Пусть EB=x; BD=y. Из подобия п.2 :

$$\left\{\begin{matrix}\frac{EB}{AB}=\frac{ED}{AC}\\\frac{BD}{DC}=\frac{ED}{AC}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\frac{x}{\frac{9}{16}+x}=\frac{\frac{9}{16}}{1}\\\frac{y}{y+\frac{3}{4}}=\frac{\frac{9}{16}}{1}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}16x=9x+\frac{81}{16}\\16y=9y+\frac{27}{4}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x=\frac{81}{7*16}\\y=\frac{27}{4*7}\end{matrix}\right.$$

Тогда: $$AB=\frac{9}{16}+\frac{81}{7*16}=$$$$\frac{63+81}{7*16}=\frac{9}{7}$$

$$BC=\frac{3}{4}+\frac{27}{4*7}=$$$$\frac{21+27}{4*7}=\frac{12}{7}$$

     2) $$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$

$$p=\frac{1+\frac{9}{7}+\frac{12}{7}}{2}=2$$

$$S=\sqrt{2(2-\frac{9}{7}(2-\frac{12}{7})(2-1)}=$$$$\frac{2}{7}\sqrt{5}$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 17

Первичная информация разделяется по серверам №1 и №2 и обрабатывается на них. С сервера №1 при объеме $$t^{2}$$ Гб входящей в него информации выходит $$20t$$ Гб, а с сервера №2 при объеме $$t^{2}$$ Гб входящей в него информации выходит $$21t$$ Гб обработанной информации $$(25\leq t \leq 55)$$. Каков наибольший общий объем выходящей информации при общем объеме входящей информации в 3364 Гб?

Ответ: 1682
Скрыть

     Пусть $$x^{2}$$ - вход на первый сервер, тогда выход с него 20x, пусть $$y^{2}$$ - на второй, $$21y$$ - выход с него . Тогда :

$$\left\{\begin{matrix}V=20x+21y\rightarrow max\\x^{2}+y^{2}=3364(2)\end{matrix}\right.$$

     С учетом, что x и y больше нуля, то из(2): $$y=\sqrt{3364-x^{2}}$$.Тогда

$$V(x)=20x+21\sqrt{3364-x^{2}}$$

$$V'(x)=20+\frac{21}{2\sqrt{3364-x^{2}}}*(-2x)=0$$

$$\frac{21x}{\sqrt{3364-x^{2}}}=20\Leftrightarrow$$ $$\frac{441x^{2}}{3364-x^{2}}=400\Leftrightarrow$$$$400*3364-400x^{2}=441x^{2}\Leftrightarrow$$ $$841x^{2}=400*3364\Leftrightarrow$$$$x^{2}=400*4\Rightarrow x=40$$

$$V(40)=20*40+21\sqrt{3364-1600}=1682$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 18

Найдите все значения параметра a , при каждом из которых система уравнений

$$\left\{\begin{matrix}y(ax-1)=2|x+1|+2xy\\ xy+1=x-y\end{matrix}\right.$$

имеет решения

Ответ: $$(-\infty ;-5-4\sqrt{2}]\cup (0; +\infty )$$
Скрыть

$$\left\{\begin{matrix}y(ax-1)=2\left | x+1 \right |+2xy\\xy+1=x-y\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}y(ax-1-2x)=2\left | x+1 \right |\\y(x+1)=x-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}y=\frac{2\left | x+1 \right |}{ax-1-2x}\\y=\frac{x-1}{x+1}\end{matrix}\right.$$

Приравняем правые части функций: $$\frac{2\left | x+1 \right |}{ax-1-2x}=\frac{x-1}{x+1}$$. Раскрываем модуль:

     1) $$x+1\geq 0\Leftrightarrow x\geq -1\Leftrightarrow$$$$2(x+1)^{2}=(ax-1-2x)(x-1)\Leftrightarrow$$$$2x^{2}+4x+2=ax^{2}-ax-x+1-2x^{2}+2x\Leftrightarrow$$$$x^{2}(a-4)+x(-a-3)-1=0$$. Чтобы были корни, дискриминант должен быть неотрицательным: $$D=a^{2}+6a+9+4a-16=a^{2}+10a-7\geq 0$$. Так же корень из дискриминанта должен находится: $$D_{1}=100+28=128$$. Получаем: $$a_{1,2}=\frac{-10\pm \sqrt{128}}{2}=-5\pm 4\sqrt{2}$$

$$a \in (-\infty ; -5-4\sqrt{2}]\cup [-5+4\sqrt{2};+\infty )(*)$$ - условие возможного существованиях корней.

      При этом имеем параболу $$f(x)=x^{2}(a-4)+x(-a-3)-1$$. Рассмотрим случай, когда ни один корень не попадает в $$x\geq -1$$ (противоположный необходимому нам. То есть, найдя решения для данного случая, нам необходимо будет взять оставшийся промежуток. Например: пусть решением получим$$(0;1)$$, тогда для нахождения решений, чтобы хотя бы один корень попадал в промежуток от -1, мы возьмем $$(-\infty;0]\cup[1;+\infty)$$. Тогда абцисса вершины должна быть меньше -1, т.е. $$\frac{a+3}{2(a-4)}<-1$$ и если ветви вверх, то $$f(-1)>0$$ ветви вниз , то $$f(-1)<0$$

     Обоснование:

     Как видим, если ветви направлены вверх и f(-1)<0, то будет точно один корень, который попадет в промежуток от -1 до плюс бесконечности ($$x_{2}$$)

     Как видим, если ветви направлены вниз и f(-1)>0, то будет точно один корень, который попадет в промежуток от -1 до плюс бесконечности ($$x_{2}$$)

     Т.е. $$\left\{\begin{matrix} a-4>0\\ (a-4)+a+3-1>0\end{matrix}\right.$$ и $$\left\{\begin{matrix}a-4<0 & & \\(a-4)+a+3-1<0& &\end{matrix}\right.$$ или $$(a-4)(2a-2)>0$$

     Получаем : $$\left\{\begin{matrix}\frac{a+3}{2(a+4)}<-1\\(a-4)(a-1)>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\frac{a+3+2a-8}{a-4}<0\\(a-4)(a-1)>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\frac{3a-5}{a-4}<0\\(a-4)(a-1)>0\end{matrix}\right.$$

     Пересечений нет, значит случай невозможен и хотя бы один корень $$\geq -1$$. Тогда с учетом (*): $$a\in (-\infty ; -5-4\sqrt{2}]\cup [-5+4\sqrt{2}; +\infty )$$

     2) $$x+1<0\Rightarrow x<-1$$. Аналогично п.1

$$-2(x+1)^{2}=(ax-1-2x)(x-1)\Leftrightarrow$$$$-2x^{2}-4x-2=ax^{2}-ax-x+1-2x^{2}+2x\Leftrightarrow$$$$ax^{2}+x(-a+5)+3=0\Leftrightarrow$$$$D=a^{2}-100+25-12a=a^{2}-22a+25\geq 0\Leftrightarrow$$$$D=484-100=384\Leftrightarrow$$$$a_{1,2}=\frac{22\pm \sqrt{384}}{2}=11\pm 4\sqrt{6}\Leftrightarrow$$$$a \in (-\infty ; 11-4\sqrt{6}]\cup [11+4\sqrt{6};+\infty )$$

     Имеем параболу: $$f(x)=ax^{2}+x(5-a)+3$$

     Пусть оба корня $$>-1$$, тогда $$x_{0}\geq -1$$. И при ветвях вверх $$f(-1)\geq 0$$, при ветвях вних $$f(-1)\leq 0$$, т.е. $$\left\{\begin{matrix}a> 0\\a-5+a+3\geq 0\end{matrix}\right.$$ и $$\left\{\begin{matrix}a <0\\a-5+a+3\leq 0\end{matrix}\right.$$.Или $$a(2a-2)\geq 0$$. Тогда: $$\left\{\begin{matrix}\frac{a-5}{2a}\geq -1\\a(a-1)\geq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\frac{a-5+2a}{2a}\geq 0\\a(a-1)\geq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\frac{3a-5}{2a}\geq 0\\a(a-1)\geq 0\end{matrix}\right.$$

     Т.е. $$a \in (-\infty ; 0]\cup [\frac{5}{3};+\infty )(3)$$ с учетом $$a \in (-\infty ; 11-4\sqrt{6}]\cup [11+4\sqrt{6};+\infty )$$ и то, что промежуток (3) нас не удовлетворяет (мы должны взять наоборот $$(0;\frac{5}{3})$$ имеем:

     т.е. $$a\in (0; 11-4\sqrt{6}]$$

Сравним $$4\sqrt{2}-5$$ и $$11-4\sqrt{6}$$:

$$(4\sqrt{2}-5)^{2}=32-40\sqrt{2}+25=57-40\sqrt{2}\approx 0,43$$

$$(11-4\sqrt{6})^{2}=121-88\sqrt{6}+96=217-88\sqrt{6}\approx 1,44$$

     Объединим с (*) , тогда

     т.е. $$a \in (-\infty ;-5-4\sqrt{2}]\cup (0; +\infty )$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 19

Из 26 последовательных нечетных чисел 1, 3, 5, … , 51 выбрали 11 различных чисел, которые записали в порядке возрастания. Пусть А – шестое по величине среди этих чисел, а В – среднее арифметическое выбранных одиннадцати чисел.

А) Может ли В‐А равняться $$\frac{3}{11}$$?  
Б) Может ли В‐А равняться $$\frac{4}{11}$$?
В) Найдите наибольшее возможное значение В‐А.
Ответ: нет,да,$$\frac{150}{11}$$
Скрыть

     Пусть мы выбрали 11 чисел $$a_{1},...a_{11}$$. Все данные числа являются нечетными и натуральными. Следовательно, $$B=\frac{a_{1}+...+a_{11}}{11}$$. При этом $$A=a_{6}$$. Тогда $$B-A=\frac{a_{1}+...+a_{11}}{11}-a_{6}=$$$$\frac{a_{1}+...+a_{11}-11a^{6}}{11}=$$$$\frac{a_{1}+...+a_{5}+a_{7}+...+a_{11}-10a_{6}}{11}$$.

   A) $$\frac{a_{1}+...+a_{5}+a_{7}+...+a_{11}-10a_{6}}{11}=\frac{3}{11}$$. При этом $$a_{1}+...+a_{5}$$ - число нечетное (сумма 5 нечетных), $$a_{7}+...+a_{11}$$ - нечетное, $$10a_{6}$$ - четное, тогда в знаменателе сумма 2 нечетных, что даст четное, и из него вычитается четное. То есть в результате мы получаем число четное. То есть 3 (нечетное) получить невозможно и ответ на пункт А - нет

   Б) Аналогично пункту А получаем, что такая возможно возможна. Найдем пример. Пусть $$a_{1},...,a_{5}$$ соответственно равны 1,3,5,7,11. А $$a_{7}+...+a_{11}=N$$. Тогда получим: $$27+N-10a_{6}=4$$ или $$a_{6}=\frac{23+N}{10}$$. С учетом того, что минимальное значение $$a_{6}$$ при данное выборке составяет 13 и оно обязательно нечетно: $$13=\frac{23+N}{10}$$, тогда N=107. Приведем пример выборки: 1 3 5 7 11 13 15 17 19 21 35.

   В) Чтобы $$B-A\Rightarrow max$$, необходимо, чтобы $$a_{6}\Rightarrow min$$. Наименьшее возможное $$a_{6}=11$$. При этом $$a_{7}+...+a_{11}\Rightarrow max$$. То есть $$a_{7},...,a_{11}$$ соответственно равны 43,45,47,49,51. Тогда: $$B-A=\frac{1+3+5+7+9+43+45+47+49+51-10*11}{11}=\frac{150}{11}$$