249 вариант Алекса Ларина. Разбор ЕГЭ математика 2019
Решаем ЕГЭ 249 вариант Ларина. Подробное решение 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15 заданий тренировочного варианта ЕГЭ Ларина №249 (alexlarin.com)
Решаем ЕГЭ 249 вариант Ларина. Подробное решение 16,17,18,19 заданий тренировочного варианта ЕГЭ Ларина №249 (alexlarin.com)
Задание 1
Оплата за использование природного газа составляла 20 рублей на одного человека в месяц. С нового года она повысилась на 20%. Сколько рублей должна заплатить семья из трех человек за использование природного газа за три месяца?
Плата после повышения: $$20*1,2=24$$
Плата за 3 человека: $$24*3=72$$
За 3 месяца: $$72*3=216$$
Задание 2
На графике представлено изменение биржевой стоимости акций банка за 3 месяца 2018 года. По горизонтали указаны даты, по вертикали – цена одной акции в рублях. Бизнесмен в указанный период купил пакет из 500 акций этого банка, а затем продал его с наибольшей прибылью. Какое наибольшее количество рублей мог получить бизнесмен в результате этих операций?
Задание 4
Гусеница ползет вверх по ветви куста. На каждой развилке гусеница с равными шансами может попасть на любую из растущих веточек. Найдите вероятность того, что гусеница доберется до одного из листьев. Ответ округлите до сотых.
Учитываем, что на каждой развилке вероятность выбрать одно из направлений составялет отношение одного к количеству возможных направлений. Тогда, вероятность добраться до листа 1: $$\frac{1}{2}*\frac{1}{4}*\frac{1}{2}=$$
До листа 2: $$\frac{1}{2}*\frac{1}{4}*\frac{1}{2}=\frac{1}{16}$$
До листа 3: $$\frac{1}{2}*\frac{1}{2}*\frac{1}{3}*\frac{1}{2}=\frac{1}{24}$$
Общая вероятность добраться вообще до листа: $$2*\frac{1}{16}+\frac{1}{24}=\frac{4}{24}=\frac{1}{6}\approx 0,1(6)\approx 0,17$$
Задание 5
Найдите сторону правильного шестиугольника, описанного около окружности, радиус которой равен $$5\sqrt{12}$$
из $$\Delta AOB$$: $$OH=5\sqrt{12}\Rightarrow$$ $$AO=\frac{OH}{\sin A}=\frac{5\sqrt{12}}{2}=20$$
$$\Delta AOB$$ - равносторонний $$\Rightarrow AB=20$$
Задание 6
На рисунке изображен график производной функции $$f(x)$$ , определенной на интервале (‐5;4). Найдите точку минимума функции $$f(x)$$ на этом интервале.
Точка минимума , когда {f}' переходит с «-» на «+» (был график под Ox, стал над Ox): $$x=3$$
Задание 7
Найдите радиус сферы, описанной около цилиндра, радиус основания которого равен 3 и образующая равна 8.
$$AB=CD=8\Rightarrow$$ $$OC=\frac{1}{2}CD=4$$, $$CB=3$$
Из $$\Delta OBC$$: $$OB=\sqrt{OC^{2}+CB^{2}}=$$$$\sqrt{4^{2}+3^{2}}=5$$
Задание 8
Найдите значение выражения $$\frac{b^{3}\sqrt[5]{b}}{b^{\frac{6}{5}}(b^{1,5})^{2}}$$ при $$b=\frac{5}{7}$$
$$\frac{b^{3}*\sqrt[5]{b}}{b^{\frac{6}{5}}*(b^{1,5})}=$$$$\frac{b^{3}*b^{\frac{1}{3}}}{b^{\frac{6}{5}}*b^{3}}=$$$$\frac{1}{b^{\frac{6}{5}-\frac{1}{5}}}=$$$$\frac{1}{b^{\frac{6}{5}-\frac{1}{5}}}=$$$$\frac{1}{b}=\frac{1}{\frac{5}{7}}=\frac{7}{5}=1,4$$
Задание 9
Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется собирающая линза с главным фокусным расстоянием f = 25 см. Расстояние d1 от линзы до лампочки может изменяться в пределах от 20 до 40 см, а расстояние d2 от линзы до экрана может изменяться в пределах от 120 до 150 см. Изображение на экране будет четким, если выполнено соотношение $$\frac{1}{d_{1}}+\frac{1}{d_{2}}=\frac{1}{f}$$ . Укажите, на каком наименьшем расстоянии от линзы можно поместить лампочку, чтобы ее изображение на экране было четким. Ответ выразите в сантиметрах.
$$d_{1}\rightarrow min$$, тогда $$\frac{1}{d_{1}}\rightarrow max$$ .Т.к. $$\frac{1}{d_{1}+\frac{1}{d_{2}}}=const$$, то $$\frac{1}{d_{2}}\rightarrow min$$ и $$d_{2}\rightarrow max$$
$$d_{2}(max)=150$$
$$\frac{1}{d_{1}}+\frac{1}{150}=\frac{1}{25}\Leftrightarrow$$ $$\frac{1}{d_{1}}=\frac{1}{25}-\frac{1}{150}$$
$$\frac{1}{d_{1}}=\frac{6-1}{150}=\frac{5}{150}$$
$$d_{1}=\frac{150}{5}=30$$
Задание 10
Из точки А круговой трассы одновременно начинают равномерное движение в противоположных направлениях два тела. Первое тело к моменту их встречи проходит на 100 метров больше, чем второе, и возвращается в точку А через 9 минут после встречи. Найдите длину трассы в метрах, если второе тело возвращается в точку А через 16 минут после встречи.
Представим круг в виде отрезка с концами A и B. Пусть S –расстояние от B до места встречи, тогда S+0,1 км - из A. Пусть x км\ч –скорость тела из A, y км\ч из B. Первое тело до B доедет через 9 минут после встречи ,т.е. $$\frac{S}{x}=\frac{9}{60}(1)$$, второе до A через 16,т.е. $$\frac{S+0,1}{y}=\frac{16}{60}(2)$$
При этом , раз они встретились , то $$\frac{S+0,1}{x}=\frac{S}{y}(3)$$
Выразим в (1) и (2) x и y:
$$(1): x=\frac{60S}{9}=\frac{20 S}{3}$$
$$(2) :y=\frac{15(S+0,1)}{4}$$
Представим в (3) :$$\frac{3(S+0,1)}{20S}=\frac{4S}{15(S+0,1)}$$
$$45(S+0,1)^{2}=80S^{2}|*5$$
$$9(S+0,1)^{2}=16S^{2}$$
$$\left\{\begin{matrix}3(S+0,1)=4S\\3(S+0,1)=-4S\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}3S+0,3=4S\\ \varnothing\end{matrix}\right.$$$$\Leftrightarrow S=0,3$$
Тогда вся трасса 0,3+0,1+0,3=0,7 км. Или 700 метров.
Задание 11
Найдите точку максимума функции $$y=6\ln x - (x-2)^{2}$$
Так как дан логарифм, то будет ОДЗ: $$x>0$$
Найдем производную данной функции: $${y}'=\frac{6}{x}-2(x-2)$$
Приравняем производную к нулю: $$\frac{6-2x^{2}+4x}{x}=0$$
$$2x^{2}-4x+6=0\Leftrightarrow$$$$x^{2}-2x+3=0\Leftrightarrow$$$$(x-3)(x+1)=0$$
Тогда производная имеет вид: $${y}'=\frac{-2(x-3)(x+1)}{x}$$. При этом, с учетом ОДЗ и знаков производной на полученных промежутках ((0;3) и $$(3;\infty)$$) получим, что $$x(3)=x_{max}$$
Задание 12
A) $$(\sin x+\cos x)\sqrt{2}=tg x+ctg x$$
ОДЗ: $$\left\{\begin{matrix}\sin x\neq 0\\\cos x\neq 0\end{matrix}\right.$$
Решение: $$(\sin x+\cos x)\sqrt{2}=\frac{\sin x}{\cos x}+\frac{\cos x}{\sin x}$$
$$(\sin x+\cos x)\sqrt{2}=\frac{\sin^{2}x+\cos ^{2}x}{\sin x \cos x}$$
$$(\sin x+\cos x)\sqrt{2}=\frac{1}{\sin x \cos x}|:2$$
$$\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x+\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x=\frac{1}{2\sin x \cos x}$$
$$\cos \frac{\pi}{4}\sin x+\sin \frac{\pi}{4}\cos x=\frac{1}{\sin 2x}$$
$$\sin(x+\frac{\pi}{4})=\frac{1}{\sin 2x}$$
С учетом , что $$-1\leq \sin 2x \leq 1$$, то $$\frac{1}{\sin 2x}\in (-\infty ;-1]\cup [1;+\infty )$$. Но и $$\sin (x+\frac{\pi}{4})\in [1;1]$$, тогда решение будет только тогда, когда : $$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}\sin 2x=1\\\sin (x+\frac{\pi}{4})=1\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}\sin 2x=-1\\\sin (x+\frac{\pi}{4})=-1\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}2x=\frac{\pi}{2}+2\pi n\\x+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}+2\pi n\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}2x=-\frac{\pi}{2}+2 \pi n\\x+\frac{\pi}{4}=-\frac{\pi}{2}+2\pi n\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}x=\frac{\pi}{4}+\pi n\\x=\frac{\pi}{4}+2\pi n\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}x=-\frac{\pi}{4}+\pi n\\x=-\frac{3\pi}{4}+2\pi n\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left[\begin{matrix}\frac{\pi}{4}+2\pi n\\\varnothing\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow \frac{\pi}{4}+2\pi n , n \in Z$$
Б) На данном промежутке: при n=0: $$\frac{\pi}{4}$$
Задание 13
В основании четырехугольной пирамиды SABCD лежит квадрат со стороной 1. Ребро SA перпендикулярно плоскости основания и равно 2. Через вершину А параллельно диагонали BD проведено сечение, которое делит ребро SC в отношении 1:2, считая от вершины.
A) 1) по т. Менелая из $$\Delta CLA:$$ $$\frac{SK}{KO}*\frac{OA}{AC}*\frac{CL}{LS}=1\Leftrightarrow$$ $$\frac{SK}{KO}*\frac{1}{2}*\frac{2}{1}=1\Leftrightarrow$$ $$\frac{SK}{KO}=1\Leftrightarrow$$ $$SK=KO$$
Б) 1) $$AC\perp BD$$( ABCD - квадрат), но AC-проекция AL на (ABCD)$$\Rightarrow$$ $$AL\perp BD$$
2) $$MN\left | \right |BD\Rightarrow$$ $$AL\perp MN$$, $$S_{AMLN}=\frac{1}{2}AL*MN$$
3) из $$\Delta ACD$$: $$AC=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}$$
Из $$\Delta ACS$$: $$CS=\sqrt{(\sqrt{2})^{2}+2^{2}}=\sqrt{6}$$
Тогда $$\cos \angle SCA=\frac{AC}{CS}=$$$$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$$
$$LC=\frac{2}{3}CS=\frac{2\sqrt{6}}{3}$$
Из $$\Delta ACL$$: $$AL=\sqrt{(\sqrt{2})^{2}+(\frac{2\sqrt{6}}{3})^{2}-2\sqrt{2}*\frac{2\sqrt{6}}{3}*\frac{1}{\sqrt{3}}}=$$$$\sqrt{2+\frac{8}{3}-\frac{8}{3}}=\sqrt{2}$$
Из $$\Delta SBD\sim \Delta SNM$$: $$\frac{MN}{BD}=\frac{SK}{SO}=$$$$\frac{1}{2}\Rightarrow$$ $$MN=\frac{1}{2}BD=\frac{\sqrt{2}}{2}$$
4) $$S_{AMLN}=\frac{1}{2}*\frac{\sqrt{2}}{1}*\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{2}$$
Задание 14
Решите неравенство $$(\log_{2} x)\sqrt{\log_{x} (\frac{\sqrt{x}}{2}}) \leq 1$$
ОДЗ: $$\left\{\begin{matrix}x>0\\\frac{\sqrt{x}}{2}>0\\x\neq 1\\\log_{x}\frac{\sqrt{x}}{2}\geq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x>0\\x\neq 1\\(x-1)(\frac{\sqrt{x}}{2}-1)\geq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x>0\\x\neq 1\\x \in (-\infty;1]\cup [4; +\infty )\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$x \in (0;1)\cup [4; +\infty )$$
Решение: $$\log_{2}x\sqrt{\log_{x}\sqrt{x}-\log_{x}2}\leq 1\Leftrightarrow$$$$\log_{2}x\sqrt{\frac{1}{2}-\frac{1}{\log_{2}x}}\leq 1$$
1) При $$x\in (0;1)$$: $$\log_{2}x<0\Rightarrow \log_{2}x\sqrt{\log_{x}\frac{\sqrt{x}}{2}}\leq 1$$ при всех x
2) При $$x [4; +\infty )$$: $$\log_{2}x \geq 2$$. Замена $$\log_{2}x=y\geq 2$$. Получим: $$y\sqrt{\frac{y-2}{2y}}\leq 1$$. С учетом того, что $$y\geq 2$$ поделим обе части на $$y$$: $$\sqrt{\frac{y-2}{2y}}\leq \frac{1}{y}$$
При $$y\geq 2$$, $$\frac{y-2}{2y}\geq 0$$ и $$\frac{1}{y}>0$$ при всех y,тогда: $$\frac{y-2}{2y}\leq \frac{1}{y^{2}}\Leftrightarrow$$ $$\frac{y^{2}-2y-2}{2y^{2}}\leq 0\Leftrightarrow$$ $$y^{2}-2y-2\leq 0\Leftrightarrow$$ $$y\in [1-\sqrt{3};1+\sqrt{3}]$$. С учетом $$y\geq 2$$: $$y\in [2;1+\sqrt{3}]$$
Обратная замена: $$\left\{\begin{matrix}y\geq 2\\y\leq 1+\sqrt{3}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\log_{2}x\geq 2\\\log_{2}x\leq 1+\sqrt{3}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x\geq 4\\x\leq 2^{1+\sqrt{3}}\end{matrix}\right.$$
Итого, объеденив решения (1) и (2): $$x \in (0;1)\cup [4;2^{1+\sqrt{3}}]$$
Задание 15
В треугольнике АВС на сторонах АВ и ВС расположены точки Е и D соответственно так, что AD – биссектриса треугольника АВС, DE – биссектриса треугольника ABD, AE=ED=9/16, CD=3/4.
A) 1) $$\angle EAD=\angle DAC$$(AD-биссектриса ), $$AE=ED\Rightarrow$$ $$\angle EAD=\angle EDA\Rightarrow$$ $$\angle EDA=\angle DAC$$, $$ED\left | \right |AC$$
2) из п.1 $$\Delta EBD\sim \Delta ABC\Rightarrow$$ $$\angle BDE=\angle BCA$$.Но $$\angle BDC=\angle EDA=\angle DAC$$, тогда $$\angle DCA=\angle DAC\Rightarrow$$ $$AD=DC=\frac{3}{4}$$
3) $$\frac{EA}{AD}=\frac{AD}{AC}\Rightarrow$$ $$AC=\frac{AD^{2}}{EA^{2}}=$$$$\frac{(\frac{3}{4})^{2}}{\frac{9}{16}}=1$$
Б) 1) Пусть EB=x; BD=y. Из подобия п.2 :
$$\left\{\begin{matrix}\frac{EB}{AB}=\frac{ED}{AC}\\\frac{BD}{DC}=\frac{ED}{AC}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\frac{x}{\frac{9}{16}+x}=\frac{\frac{9}{16}}{1}\\\frac{y}{y+\frac{3}{4}}=\frac{\frac{9}{16}}{1}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}16x=9x+\frac{81}{16}\\16y=9y+\frac{27}{4}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x=\frac{81}{7*16}\\y=\frac{27}{4*7}\end{matrix}\right.$$
Тогда: $$AB=\frac{9}{16}+\frac{81}{7*16}=$$$$\frac{63+81}{7*16}=\frac{9}{7}$$
$$BC=\frac{3}{4}+\frac{27}{4*7}=$$$$\frac{21+27}{4*7}=\frac{12}{7}$$
2) $$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$
$$p=\frac{1+\frac{9}{7}+\frac{12}{7}}{2}=2$$
$$S=\sqrt{2(2-\frac{9}{7}(2-\frac{12}{7})(2-1)}=$$$$\frac{2}{7}\sqrt{5}$$
Задание 16
Первичная информация разделяется по серверам №1 и №2 и обрабатывается на них. С сервера №1 при объеме $$t^{2}$$ Гб входящей в него информации выходит $$20t$$ Гб, а с сервера №2 при объеме $$t^{2}$$ Гб входящей в него информации выходит $$21t$$ Гб обработанной информации $$(25\leq t \leq 55)$$. Каков наибольший общий объем выходящей информации при общем объеме входящей информации в 3364 Гб?
Пусть $$x^{2}$$ - вход на первый сервер, тогда выход с него 20x, пусть $$y^{2}$$ - на второй, $$21y$$ - выход с него . Тогда :
$$\left\{\begin{matrix}V=20x+21y\rightarrow max\\x^{2}+y^{2}=3364(2)\end{matrix}\right.$$
С учетом, что x и y больше нуля, то из(2): $$y=\sqrt{3364-x^{2}}$$.Тогда
$$V(x)=20x+21\sqrt{3364-x^{2}}$$
$$V'(x)=20+\frac{21}{2\sqrt{3364-x^{2}}}*(-2x)=0$$
$$\frac{21x}{\sqrt{3364-x^{2}}}=20\Leftrightarrow$$ $$\frac{441x^{2}}{3364-x^{2}}=400\Leftrightarrow$$$$400*3364-400x^{2}=441x^{2}\Leftrightarrow$$ $$841x^{2}=400*3364\Leftrightarrow$$$$x^{2}=400*4\Rightarrow x=40$$
$$V(40)=20*40+21\sqrt{3364-1600}=1682$$
Задание 17
Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений $$\left\{\begin{matrix}y(ax-1)=2|x+1|+2xy\\ xy+1=x-y\end{matrix}\right.$$ имеет решения
$$\left\{\begin{matrix}y(ax-1)=2\left | x+1 \right |+2xy\\xy+1=x-y\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}y(ax-1-2x)=2\left | x+1 \right |\\y(x+1)=x-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}y=\frac{2\left | x+1 \right |}{ax-1-2x}\\y=\frac{x-1}{x+1}\end{matrix}\right.$$
Приравняем правые части функций: $$\frac{2\left | x+1 \right |}{ax-1-2x}=\frac{x-1}{x+1}$$. Раскрываем модуль:
1) $$x+1\geq 0\Leftrightarrow x\geq -1\Leftrightarrow$$$$2(x+1)^{2}=(ax-1-2x)(x-1)\Leftrightarrow$$$$2x^{2}+4x+2=ax^{2}-ax-x+1-2x^{2}+2x\Leftrightarrow$$$$x^{2}(a-4)+x(-a-3)-1=0$$. Чтобы были корни, дискриминант должен быть неотрицательным: $$D=a^{2}+6a+9+4a-16=a^{2}+10a-7\geq 0$$. Так же корень из дискриминанта должен находится: $$D_{1}=100+28=128$$. Получаем: $$a_{1,2}=\frac{-10\pm \sqrt{128}}{2}=-5\pm 4\sqrt{2}$$
$$a \in (-\infty ; -5-4\sqrt{2}]\cup [-5+4\sqrt{2};+\infty )(*)$$ - условие возможного существованиях корней.
При этом имеем параболу $$f(x)=x^{2}(a-4)+x(-a-3)-1$$. Рассмотрим случай, когда ни один корень не попадает в $$x\geq -1$$ (противоположный необходимому нам. То есть, найдя решения для данного случая, нам необходимо будет взять оставшийся промежуток. Например: пусть решением получим$$(0;1)$$, тогда для нахождения решений, чтобы хотя бы один корень попадал в промежуток от -1, мы возьмем $$(-\infty;0]\cup[1;+\infty)$$. Тогда абцисса вершины должна быть меньше -1, т.е. $$\frac{a+3}{2(a-4)}<-1$$ и если ветви вверх, то $$f(-1)>0$$ ветви вниз , то $$f(-1)<0$$
Обоснование:
Как видим, если ветви направлены вверх и f(-1)<0, то будет точно один корень, который попадет в промежуток от -1 до плюс бесконечности ($$x_{2}$$)
Как видим, если ветви направлены вниз и f(-1)>0, то будет точно один корень, который попадет в промежуток от -1 до плюс бесконечности ($$x_{2}$$)
Т.е. $$\left\{\begin{matrix} a-4>0\\ (a-4)+a+3-1>0\end{matrix}\right.$$ и $$\left\{\begin{matrix}a-4<0 & & \\(a-4)+a+3-1<0& &\end{matrix}\right.$$ или $$(a-4)(2a-2)>0$$
Получаем : $$\left\{\begin{matrix}\frac{a+3}{2(a+4)}<-1\\(a-4)(a-1)>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\frac{a+3+2a-8}{a-4}<0\\(a-4)(a-1)>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\frac{3a-5}{a-4}<0\\(a-4)(a-1)>0\end{matrix}\right.$$
Пересечений нет, значит случай невозможен и хотя бы один корень $$\geq -1$$. Тогда с учетом (*): $$a\in (-\infty ; -5-4\sqrt{2}]\cup [-5+4\sqrt{2}; +\infty )$$
2) $$x+1<0\Rightarrow x<-1$$. Аналогично п.1
$$-2(x+1)^{2}=(ax-1-2x)(x-1)\Leftrightarrow$$$$-2x^{2}-4x-2=ax^{2}-ax-x+1-2x^{2}+2x\Leftrightarrow$$$$ax^{2}+x(-a+5)+3=0\Leftrightarrow$$$$D=a^{2}-100+25-12a=a^{2}-22a+25\geq 0\Leftrightarrow$$$$D=484-100=384\Leftrightarrow$$$$a_{1,2}=\frac{22\pm \sqrt{384}}{2}=11\pm 4\sqrt{6}\Leftrightarrow$$$$a \in (-\infty ; 11-4\sqrt{6}]\cup [11+4\sqrt{6};+\infty )$$
Имеем параболу: $$f(x)=ax^{2}+x(5-a)+3$$
Пусть оба корня $$>-1$$, тогда $$x_{0}\geq -1$$. И при ветвях вверх $$f(-1)\geq 0$$, при ветвях вних $$f(-1)\leq 0$$, т.е. $$\left\{\begin{matrix}a> 0\\a-5+a+3\geq 0\end{matrix}\right.$$ и $$\left\{\begin{matrix}a <0\\a-5+a+3\leq 0\end{matrix}\right.$$.Или $$a(2a-2)\geq 0$$. Тогда: $$\left\{\begin{matrix}\frac{a-5}{2a}\geq -1\\a(a-1)\geq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\frac{a-5+2a}{2a}\geq 0\\a(a-1)\geq 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\frac{3a-5}{2a}\geq 0\\a(a-1)\geq 0\end{matrix}\right.$$
Т.е. $$a \in (-\infty ; 0]\cup [\frac{5}{3};+\infty )(3)$$ с учетом $$a \in (-\infty ; 11-4\sqrt{6}]\cup [11+4\sqrt{6};+\infty )$$ и то, что промежуток (3) нас не удовлетворяет (мы должны взять наоборот $$(0;\frac{5}{3})$$ имеем:
т.е. $$a\in (0; 11-4\sqrt{6}]$$
Сравним $$4\sqrt{2}-5$$ и $$11-4\sqrt{6}$$:
$$(4\sqrt{2}-5)^{2}=32-40\sqrt{2}+25=57-40\sqrt{2}\approx 0,43$$
$$(11-4\sqrt{6})^{2}=121-88\sqrt{6}+96=217-88\sqrt{6}\approx 1,44$$
Объединим с (*) , тогда
т.е. $$a \in (-\infty ;-5-4\sqrt{2}]\cup (0; +\infty )$$
Задание 18
Из 26 последовательных нечетных чисел 1, 3, 5, … , 51 выбрали 11 различных чисел, которые записали в порядке возрастания. Пусть А – шестое по величине среди этих чисел, а В – среднее арифметическое выбранных одиннадцати чисел.
Пусть мы выбрали 11 чисел $$a_{1},...a_{11}$$. Все данные числа являются нечетными и натуральными. Следовательно, $$B=\frac{a_{1}+...+a_{11}}{11}$$. При этом $$A=a_{6}$$. Тогда $$B-A=\frac{a_{1}+...+a_{11}}{11}-a_{6}=$$$$\frac{a_{1}+...+a_{11}-11a^{6}}{11}=$$$$\frac{a_{1}+...+a_{5}+a_{7}+...+a_{11}-10a_{6}}{11}$$.
A) $$\frac{a_{1}+...+a_{5}+a_{7}+...+a_{11}-10a_{6}}{11}=\frac{3}{11}$$. При этом $$a_{1}+...+a_{5}$$ - число нечетное (сумма 5 нечетных), $$a_{7}+...+a_{11}$$ - нечетное, $$10a_{6}$$ - четное, тогда в знаменателе сумма 2 нечетных, что даст четное, и из него вычитается четное. То есть в результате мы получаем число четное. То есть 3 (нечетное) получить невозможно и ответ на пункт А - нет
Б) Аналогично пункту А получаем, что такая возможно возможна. Найдем пример. Пусть $$a_{1},...,a_{5}$$ соответственно равны 1,3,5,7,11. А $$a_{7}+...+a_{11}=N$$. Тогда получим: $$27+N-10a_{6}=4$$ или $$a_{6}=\frac{23+N}{10}$$. С учетом того, что минимальное значение $$a_{6}$$ при данное выборке составяет 13 и оно обязательно нечетно: $$13=\frac{23+N}{10}$$, тогда N=107. Приведем пример выборки: 1 3 5 7 11 13 15 17 19 21 35.
В) Чтобы $$B-A\Rightarrow max$$, необходимо, чтобы $$a_{6}\Rightarrow min$$. Наименьшее возможное $$a_{6}=11$$. При этом $$a_{7}+...+a_{11}\Rightarrow max$$. То есть $$a_{7},...,a_{11}$$ соответственно равны 43,45,47,49,51. Тогда: $$B-A=\frac{1+3+5+7+9+43+45+47+49+51-10*11}{11}=\frac{150}{11}$$