Перейти к основному содержанию

317 вариант Алекса Ларина. Разбор ЕГЭ математика 2020.

Решаем ЕГЭ 317 вариант Ларина. Подробное решение 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12, 13,14,15,16,17,18,19 заданий тренировочного варианта ЕГЭ Ларина №317 (alexlarin.com)
Аналоги к этому заданию:

Задание 1

Полвека назад валовой внутренний продукт (ВВП) страны А был на 20 % больше, чем у страны В. С тех пор страна А увеличила ВВП на 55 %, а страна В ? увеличила на 50 %. Найдите на сколько процентов ВВП страны А стал больше, чем у страны В.

Ответ: 24
Скрыть

Пусть x - ВВП A, y - ВВП B. Тогда $$x=1,2*y$$.

Далее $$x \to 1,55*y, y \to 1,5*y$$.

Получим: $$1,5*y-100%;1,55*x-a%$$

При этом: $$1,55*x=1,55*1,2*y=1,86*y$$

Тогда $$a= \frac{1,86*y*100\%}{1,5*y}=124\% \to$$ на $$24\%$$

 
Аналоги к этому заданию:

Задание 2

На графике показан процесс нагревания чайника. На оси абсцисс откладывается время в минутах, прошедшее с момента включения чайника, на оси ординат - температура чайника в градусах Цельсия. Определите по рисунку, за сколько минут чайник нагреется от $$45^\circ $$ до $$90^\circ $$

Ответ: 5
Скрыть $$45^\circ $$ на 2,5 минуте, $$90{}^\circ $$ на 7,5 минуте $$\to 7,5-2,5=5$$ минут нагревался
 
Аналоги к этому заданию:

Задание 3

Найдите градусную меру угла АОВ, изображенного на рисунке:

Ответ: 160
Скрыть

$$\angle ACB$$ - вписанный $$\to \cup AB=2\angle ACB=200^\circ \to$$ $$\cup ACB=360^\circ -200=160^\circ \to т.к. \angle AOB$$ - центральный,то $$\angle AOB= \cup ACB=160^\circ $$

 
Аналоги к этому заданию:

Задание 4

Две команды проводят три встречи. Изначально вероятности их побед одинаковые. Однако, после каждой победы вероятность выигрыша повышается на 0,1 (и уменьшается в случае проигрыша). Какова вероятность, что команда Б выиграет хотя бы одну встречу? Ничьей быть не может.
Ответ: 0,79
Скрыть

Событие A «выиграет хотя бы одну встречу» противоположно событию B «проиграет все встречи». При этом вероятность последующего проигрыша увеличивается. Тогда $$P\left(B\right)=0,5*0,6*0,7=0,21\to P\left(A\right)=1-P\left(B\right)=0,79$$

 
Аналоги к этому заданию:

Задание 5

Решите уравнение $$\left(x^2-x-12\right)*{{\log }_{0,2} \left(2-x\right)=0 }$$. В ответе запишите корень уравнения или сумму его корней, если их несколько.
Ответ: -2
Скрыть

$$\left(x^2-x-12\right)*{{\log }_{0,2} \left(2-x\right)=0\ }\ \to \left\{ \begin{array}{c} \left[ \begin{array}{c} x^2-x-12=0 \\ 2-x=1 \end{array} \right. \\ 2-x>0 \end{array} \right.\leftrightarrow$$ $$\left\{ \begin{array}{c} \left[ \begin{array}{c} x=4 \\ x=-3 \\ x=1 \end{array} \right. \\ x<2 \end{array} \right.\to x=\left(-3\right)+1=-2$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 6

Найдите площадь треугольника АВС, изображенного на рисунке.

Ответ: 27
Скрыть 1) Пусть BH -- высота через O. Тогда $$AH=3\to {\sin AOH=\frac{AH}{AO}=\frac{3}{5}\to {\cos AOH=\frac{4}{5}\ }\ }$$ $$2)\ \angle ABC=\frac{\angle AOC}{2}=\angle AOH$$ 3) Пусть $$AB=BC=x\to $$ по теореме косинусов: $$6^2=x^2+x^2-2*x*x*\frac{4}{5}\to x^2=90$$ $$4) S_{ABC}=\frac{1}{2}*AB*BC*{\sin ABC\ }=\frac{1}{2}*90*\frac{3}{5}=27$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 7

Найдите координату $$x$$ точки, в которой касательная к графику функции $$y=\frac{x^2}{2}$$ точке $$x_0=4$$ пересекает ось абсцисс.

Ответ: 2
Скрыть $$y^{'}={\left(\frac{x^2}{2}\right)}^{'}=$$$$\frac{2*x}{2}=x\to y^{'}\left(4\right)=4\to k=4,$$ где$$\ y_1=k*x+b\ \ $$- уравнение касательной. $$y\left(4\right)=\frac{4^2}{2}=8\to y_1=8+4*\left(x-4\right)=$$$$4*x-8\to 4*x-8=0\to x=2$$ - касательная пересекает $$Ox$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 8

Для каждой грани куба с ребром 6 проделали сквозное квадратное отверстие со стороной квадрата 2. Найдите объем оставшейся части.

Ответ: 160
Скрыть $$V=6^3=216$$ - объем куба. $$V_1=2^3=8$$ - объем одного «вырезанного куба». Таких 7 (6 на границе у каждой грани, 1 в центре начального куба) $$\to V_2=216-8*7=160$$ -- объем оставшейся части.
Аналоги к этому заданию:

Задание 9

Найдите значение выражения $${{\log }_{{\tan \frac{\pi }{3}\ }} {27}^{{\cos \frac{\pi }{3}\ }}\ }+{{\log }_{{\cot \frac{\pi }{3}\ }} 9^{{\sin \frac{\pi }{6}\ }}\ }$$.

Ответ: 1
Скрыть $$\log_{\tan\frac{\pi}{3}} 27^{\cos\frac{\pi }{3}}+\log_{\cot\frac{\pi }{3}} 9^{\sin \frac{\pi }{6}}=$$$$\log_{\tan \frac{\pi }{3}} 3^{3*\frac{1}{2}}-\log_{\tan\frac{\pi }{3}}3^{2*\frac{1}{2}}=$$$$\log_{\tan \frac{\pi }{3}} \frac{3^{1,5}}{3}=$$$$\log_{\sqrt{3}} 3^{0,5}=1$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 10

На рельсах стоит платформа. Скейтбордист прыгает на нее со скоростью $$v=6$$ м/с под острым углом $$\alpha $$ к рельсам. От толчка платформа начинает ехать со скоростью $$u=\frac{m}{m+M}*v*{\cos \alpha \ }$$, где $$m=75\ $$кг -- масса скейтбордиста со скейтом, а $$M=375$$ кг -- масса платформы. Под каким наибольшим углом $$\alpha $$ (в градусах) нужно прыгать, чтобы разогнать платформу до скорости не менее чем 0,5 м/с.

Ответ: 60
Скрыть

Подставим значения в формулу: $$0,5=\frac{75}{75+375}*6*\cos \alpha \to \cos \alpha=\frac{0,5*450}{6*7,5}=0,5; \alpha \in \left[0;90\right]\to \alpha =60^{\circ}$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 11

Имеются два раствора с разным процентным содержанием соли. Если смешать 1 кг первого раствора и 3 кг второго, то полученный раствор будет содержать 32,5\% соли. Если смешать 3,5 кг первого раствора и 4 кг второго, то полученный раствор будет содержать 26\% соли. Каким будет процентное содержание соли в растворе, если смешать равные массы первого и второго растворов?

Ответ: 25
Скрыть

Пусть $$x$$ - доля соли в первом растворе $$\to x\ и\ 3,5*x\ кг$$ -- масса соли в первом растворе в двух случаях. $$y$$ - доля во втором растворе $$\to 3*y\ и\ 4*y\ кг$$ - масса.

$$\left\{ \begin{array}{c} x+3*y=0,325*(1+3) \\ 3,5*x+4*y=0,26*(3,5+4) \end{array} \leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c} x+3*y=1,3 \\ 3,5*x+4*y=1,95 \end{array} \to \left\{ \begin{array}{c} x=1,3-3*y \\ 4,55-6,5*y=1,95 \end{array} \to \left\{ \begin{array}{c} x=0,1 \\ y=0,4 \end{array} \right.\right.\right.\right.$$

Возьмем по 1 кг, тогда соли 0,1 кг и 0,4 кг, концентрация $$\frac{0,1+0,4}{2}=0,25\to 25\%$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 12

Найдите наименьшее значение функции $$y=\sqrt[5]{-\frac{5*x^4}{4}+4*x^5}$$ на интервале $$\left(0;;\frac{1}{2}\right)$$

Ответ: -0,25
Скрыть

Найдем производную: $$y^{'}={\left({\left(-\frac{5*x^4}{4}+4*x^5\right)}^{\frac{1}{5}}\right)}^{'}=$$$$\frac{1}{5}*{\left(-\frac{5*x^4}{4}+4*x^5\right)}^{\frac{4}{5}}*{\left(-\frac{5*x^4}{4}+4*x^5\right)}^{'}=$$$$\frac{1}{5}*\frac{1}{\sqrt[5]{{\left(-\frac{5*x^4}{4}+4*x^5\right)}^4}}*\left(-5*x^3+20*x^4\right)=0$$ $$-5*x^{3}*\left(1-4*x\right)=0\to x=0$$ и$$x=\frac{1}{4};$$ $$\left(\frac{1}{4}\right)=\sqrt[5]{\frac{-5*{(\frac{1}{4})}^4}{4}+4*{\left(\frac{1}{4}\right)}^5}=$$$$\sqrt[5]{-{\left(\frac{1}{4}\right)}^5}=-0,25$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 13

а) Решите уравнение $$\frac{{\cos 2x*{\cos 8x\ }-{\cos 10x\ }\ }}{{\cos x\ }+1}=0$$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$\left[0;;\pi \right]$$

Ответ: а)$$\frac{\pi n}{8}, n\in Z; n\neq 8+16m, m\in Z$$ б)$$0;\frac{\pi}{8};\frac{\pi}{4};\frac{3\pi}{8};\frac{\pi}{2};\frac{5\pi}{8};\frac{3\pi}{4};\frac{7\pi}{8}$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 14

В правильной треугольной призме $$ABCA_1B_1C_1$$ через середину $$D$$ ребра $$CC_1$$ проведено сечение $$ADB_1$$.

а) Найдите, в каком отношении сечение делит объем призмы.

б) Найдите угол между плоскостями $$ABC$$ и $$ADB_1$$, если боковые ребра равны 2, а стороны основания равны 5.

Ответ: а)1:1 б)$$arctg \frac{2}{5}$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 15

Решите неравенство $$\frac{5^{2x^2+2x}}{125}-5^{2x^2}+25\le \frac{5^{2x}}{5}$$

Ответ: $$(\infty;-1];[1;\frac{3}{2}]$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 16

В выпуклом четырехугольнике ABCD точка Е -- точка пересечения диагоналей. Известно, что площадь каждого из треугольников АВЕ и DCE равна 1.

а) Докажите, что ABCD - трапеция

б) Найдите ВС, если площадь всего четырехугольника не превосходит 4, и AD = 3.

Ответ: 3
Аналоги к этому заданию:

Задание 17

В декабре 2020 года планируется взять кредит в банке в размере $$S$$ млн рублей сроком на 36 месяцев. Условия его возврата таковы:

-- 1-го числа каждого месяца, начиная с января 2021 года, долг возрастает на $$0,8\%$$ по сравнению с концом предыдущего месяца;

-- со 2-го по 14 число каждого месяца, начиная с января 2021 года, необходимо выплатить часть долга;

-- 15-го числа каждого месяца, начиная с января 2021 года, долг должен уменьшиться на одну и ту же величину.

Известно, что в период с 02.12.2021 по 14.08.2022 включительно, нужно выплатить банку 1,752 млн рублей. Найдите S. Какая сумма будет выплачена банку в период по 14.12.2021 включительно?

Ответ: 6 млн. руб; 2,488 млн. руб
Аналоги к этому заданию:

Задание 18

Найдите все значения параметра $$a$$, при каждом из которых система уравнений

$$\left\{ \begin{array}{c} a\left(x+2\right)+y=3a \\ a+2x^3=y^3+\left(a+2\right)x^3 \end{array} \right.$$

имеет не более двух решений.

Ответ: $$[-0,5;0),(0;0,5],{-1;1}$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 19

Натуральное число $$A$$ таково, что, если его первую цифру переставить на последнее место, получится число, в $$n>1$$ раз меньше числа $$A$$.

а) Существует ли двухзначное число $$A$$, удовлетворяющее указанным условиям?

б) Найдите наименьшее число $$A$$, удовлетворяющее указанным условиям, если $$n=5$$, а число $$A$$ начинается с цифры 7. в) Приведите пример числа, которое при перестановке его первой цифры на последнее место увеличивается в 3 раза.

Ответ: а)нет б)714285 в)142857