Перейти к основному содержанию

226 вариант Алекса Ларина. Разбор ЕГЭ математика 2018.

Решаем ЕГЭ 226 вариант Ларина. Подробное решение 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15 заданий тренировочного варианта ЕГЭ Ларина №226 (alexlarin.com)

Решаем ЕГЭ 226 вариант Ларина. Подробное решение 16,17,18,19 заданий тренировочного варианта ЕГЭ Ларина №226 (alexlarin.com)

Аналоги к этому заданию:

Задание 1

В доме, в котором живет Петя, один подъезд. На каждом этаже (включая первый) по шесть квартир. Петя живет в квартире №50. На каком этаже живет Петя?

Ответ: 9
Скрыть

Для того, чтобы решить подобное задание необходимо номер квартиры поделить на количество квартир на одном этаже, и полученный результат округлить до большего целого (если оно получилось нецелым).
$$n=\frac{50}{6}=8\frac{1}{3} \approx 9$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 2

На рисунке показано, как изменялась температура воздуха на протяжении одних суток. По горизонтали указано время суток, по вертикали — значение температуры в градусах Цельсия.

Найдите разность между наименьшим и наибольшим значениями температуры. Ответ дайте в градусах Цельсия.

Ответ: -19
Скрыть

Наименьшее значение температуры 17, наибольшее значение 36. Если невнимательно прочитать задание, то можно не учесть, что просят найти разницу между минимальной и максимальной (а не наоборот). Она составляет 17-36=-19

Аналоги к этому заданию:

Задание 3

На клетчатой бумаге с размером клетки $$\sqrt{5}*\sqrt{5}$$ изображена трапеция. Найдите длину её средней линии.

Ответ: 12,5
Скрыть

Пусть a - большее основание, b - меньшее, с - средняя линия. Достроим прямоугольные треугольники (как показано на рисунке) и с помощью теоремы Пифагора найдем a и b. Не забываем учитывать, что размер клетки $$\sqrt{5}*\sqrt{5}$$

$$a=\sqrt{(6\sqrt{5})^{2}+(3\sqrt{5})^{2}}=15$$
$$b=\sqrt{(2\sqrt{5})^{2}+(4\sqrt{5})^{2}}=10$$
$$a=\frac{10+15}{2}=12.5$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 4

Капля воды стекает по металлической сетке (см. рис.) В каждом узле сетки капля с равными шансами может стечь вниз вправо или влево. Найдите вероятность того, что, скатившись вниз, капля окажется в точке A.

Ответ: 0,25
Скрыть

Есть 4 различных варианта попасть в точку А.

Следует учитывать, что в каждой точке вероятность выбрать определенный путь составляет 0,5. Значит, вероятность пойти по дороге желтого цвета будет равна: 0,5*0,5*0,5*0,5=0,0625 (так как на каждом узле вероятность пойти в определенном направлении 0,5, а таких узлов 4)

Всего таких дорог 4, значит итоговая вероятность составляет 0,0625*4=0,25

Аналоги к этому заданию:

Задание 5

Решите уравнение $$x^{12}=(4x-3)^{6}$$. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите наибольший из них.

Ответ: 3
Скрыть
Извлекаем корень шестой степени. Следует учитывать, что если извлекается корень четной степени из выражения в этой же степени, то остается в итоге модуль выражения, то есть $$\sqrt[2n]{(y)^{2n}}=|y|$$. Получаем: $$x^{2}=|4x-3|$$
Решаем с учетом раскрытия модуля: Если $$x\geq \frac{3}{4}$$, то: $$x^{2}=4x-3$$, и корни это уравнения 1 и 3
Если $$x< \frac{3}{4}$$, то: $$x^{2}=-4x+3$$. Получим иррациональные корни $$-2\pm \sqrt{7}$$, каждый из которых меньше 3.
Аналоги к этому заданию:

Задание 6

Один из углов треугольника равен 43, а другой 57. Найдите величину острого угла между высотами треугольника, проведёнными из вершин указанных углов. Ответ дайте в градусах.

Ответ: 80
Скрыть
Построим чертеж:
Пусть угол A = 43, угол С = 57, тогда угол B = 180 - 43 - 57 = 80
В четырехугольнике DFEB углы D и E по 90 (так как состоят из высот), тогда угол F = 360 - 90*2 - 80 = 100
Тогда смежный с ним острый угол равен 80
Аналоги к этому заданию:

Задание 7

Прямая $$y=3x+4$$ является касательной к графику функции $$y=3x^{2}-3x+c$$. Найдите c.

Ответ: 7
Скрыть

Раз она является касательной, то производные данных функций равны:
$$3=6x-3 \Leftrightarrow $$$$x=1$$
Но и значение этих функций в точке 1 так же должны быть равны:
$$3*1+4=3*1^{2}-3*1+c \Leftrightarrow $$$$7=c$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 8

Площадь сечения шара плоскостью, проходящей через его центр, равна 16. Найдите площадь сечения этого шара плоскостью, отстоящей от его центра на расстояние, равное половине радиуса.

Ответ: 12
Скрыть

Построим чертеж:

Пусть O - центр большего сечения, А - центр меньшего, АС - его радиус, тогда ОС - радиус сферы. Пусть OC = R, тогда AO = 0,5R

Из треугольника AOC по т. Пифагора: $$AC=\sqrt{R^{2}-(0,5R)^{2}}=\frac{\sqrt{3}*R}{2}$$

Тогда площади сечений относятся как квадрта их коэффеициента подобия, или как отношение их радиусов, возведенное в квадрат:

$$(\frac{AC}{OC})^{2}=(\frac{\frac{\sqrt{3}*R}{2}}{R})^{2}=\frac{3}{4}$$

Тогда площадь меньшего составляет 3/4 площади большего, то есть 12

Аналоги к этому заданию:

Задание 9

Найдите значение выражения: $$\frac{\sqrt[12]{\sqrt{m}}}{\sqrt{100*\sqrt[12]{m}}}$$

Ответ: 0,1
Скрыть

$$\frac{\sqrt[12]{\sqrt{m}}}{\sqrt{100*\sqrt[12]{m}}}=\frac{\sqrt[12]{\sqrt{m}}}{10\sqrt{\sqrt[12]{m}}}=\frac{1}{10}$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 10

Амплитуда колебаний маятника зависит от частоты вынуждающей силы и определяется по формуле $$A(\omega)=\frac{A_{0}\omega _{p}^{2}}{|\omega _{p}^{2}-\omega ^{2}|}$$ где ω − частота вынуждающей силы (в c-1), A– постоянный параметр, ωp = 338 c-1 ‐ резонансная частота. Найдите максимальную частоту ω, меньшую резонансной, для которой амплитуда колебаний превосходит величину Aне более чем на 5,625%. Ответ выразите в c-1 .

Ответ: 78
Скрыть

$$A(\omega)=\frac{A_{0}\omega _{p}^{2}}{|\omega _{p}^{2}-\omega ^{2}|} \Leftrightarrow $$$$1,05625A_{0}*(\omega _{p}^{2}-\omega ^{2})=A_{0}\omega _{p}^{2}\Leftrightarrow $$$$1,05625\omega _{p}^{2}-1,05625\omega ^{2}=\omega _{p}^{2} \Leftrightarrow $$$$\omega^{2}=\frac{0,05625\omega_{p}^{2}}{1,05625}\Leftrightarrow$$$$ \omega^{2}=\frac{75^{2}*338^{2}}{325^{2}}\Leftrightarrow \omega=78$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 11

Семья состоит из мужа, жены и их дочери студентки. Если бы зарплата мужа увеличилась вдвое, общий доход семьи вырос бы на 58%. Если бы стипендия дочери уменьшилась вчетверо, общий доход семьи сократился бы на 6%. Сколько процентов от общего дохода семьи составляет зарплата жены?

Ответ: 34
Скрыть

Пусть x - зарплата отца. Она увеличилась вдвое, то есть на х. При этом общий доход увеличился на 58%. То есть этот самый х и есть 58 процентов от общего дохода. Пусть y - стипендия дочери. Она уменьшилась в 4 раза, то есть на 3/4y. При этом общий доход упал на 6 процентов. То есть 3/4 у составляет 6 процентов от общего дохода, тогда y составляет 8 процентов от общего. Тогда зарплата матери будет составлять 100 - 58 - 8 =34 процента

Аналоги к этому заданию:

Задание 12

Найдите наименьшее значение функции $$y=7|x-3|-2|x+5|-|4x-3|+5$$ на отрезке $$[1;6]$$

Ответ: -20
Скрыть

На данном отрезке второе и третье подмодульные выражения положительны, следовательно, модули раскроются не поменяв знаки:
$$y=7|x-3|-2x-10-4x+3+5=7|x-3|-6x-2$$
В данном случае получаем график (выглядит как галочка) вершина которого ( в том числе и наименьшее значение) в точке x=3. Тогда наименьшее значение функции:
$$y(3)=7|3-3|-2|3+5|-|4*3-3|+5=-16-9+5=-20$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 13

а) Решите уравнение: $$\sin ^{2}x+3x^{2}\cos x+3x^{2}=0$$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[-\frac{\pi }{2};\pi ]$$

Ответ: а)$$\pi + 2\pi*n, n\in Z ; 0$$ б)$$0;\pi$$
Скрыть

a)$$\sin ^{2}x+3x^{2}\cos x+3x^{2}=0\Leftrightarrow $$$$ 1-\cos ^{2}x+3x^{2}(\cos x+1)=0\Leftrightarrow $$$$(1-\cos x)(\cos x+1)+3x^{2}(\cos x+1)=0\Leftrightarrow $$$$(\cos x+1)(1-\cos x+3x^{2})=0 $$
Произведение равно 0, когда один из множителей равен 0, то есть или $$\cos x+1 = 0 $$(1) , или $$(1-\cos x+3x^{2})=0 $$(2)
1) $$\cos x+1 = 0 \Leftrightarrow $$$$\cos x=-1 \Leftrightarrow $$$$ x=\pi + 2\pi*n, n \in Z$$
2) Пусть $$f(x)=1-\cos x ; g(x)=-3x^{2}$$. Если построить данные графики, то видно, что они пересекаются только в точке x = 0.
б) На представленном отрезке $$[-\frac{\pi }{2};\pi ]$$ первый корень принимает значения $$\pi$$, а так же второй корень входит в данный отрезок

Аналоги к этому заданию:

Задание 14

Основанием пирамиды FABCD является квадрат ABCD. На ребре AF взята точка Е такая, что отрезок СЕ перпендикулярен ребру AF. Проекция О точки Е на основание пирамиды лежит на отрезке АС и делит его в отношении AO:OC=4:1. Угол ADF равен 900.

А) Докажите, что ребро FC перпендикулярно плоскости основания пирамиды

Б) Найдите разность объемов пирамид FABCD и EABD, если известно, что АВ=1.

Ответ: $$\frac{\sqrt{2}}{10}$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 15

 Решите неравенство: $$2\log _{25}(1+x)(3-x)-\frac{1}{2}\log _{\sqrt{5}}(1+x)> \log _{ \frac{1}{5}} \frac{1}{2}$$

Ответ: $$(-1;1)$$
Скрыть

Напишем ОДЗ: $$\left\{\begin{matrix}(1+x)(3-x)> 0\\ 1+x> 0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow $$$$\left\{\begin{matrix} -1< x< 3\\ x> -1 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow $$$$-1< x< 3$$

$$2\log _{25}(1+x)(3-x)-\frac{1}{2}\log _{\sqrt{5}}(1+x)> \log _{ \frac{1}{5}} \frac{1}{2}\Leftrightarrow $$$$2\log _{5^{2}}(1+x)(3-x)-\frac{1}{2}\log _{5^{\frac{1}{2}}}(1+x)> \log _{ 5^{-1}} 2^{-1}\Leftrightarrow $$$$2*\frac{1}{2}\log _{5}(1+x)(3-x)-\frac{1}{2}*2\log _{5}(1+x)> (-1)*(-1)\log _{ 5} 2\Leftrightarrow $$$$\log _{5}(1+x)(3-x)-\log _{5}(1+x)> \log _{ 5} 2\Leftrightarrow $$$$\log _{5} \frac{(1+x)(3-x)}{(1+x)}> \log _{ 5} 2\Leftrightarrow $$$$(3-x)> 2\Leftrightarrow x< 1$$

C учетом ОДЗ : $$-1< x< 1$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 16

В треугольнике АВС точка D есть середина АВ, точка Е лежит на стороне ВС, причем $$BE=\frac{1}{3}AC$$ . Отрезки АЕ и CD пересекаются в точке О.

А) Доказать, что $$\frac{AO}{OE}=\frac{1}{2}$$

Б) Найти длину стороны АВ, если АЕ=5, ОС=4, а угол АОС равен 120$$^{\circ}$$

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 17

В пчелиной семье, зимующей в помещении, в день последней весенней подкормки было 9 тысяч пчел. К концу k ‐го дня ( k = ,2,1 ,...3 ) после дня подкормки численность пчелиной семьи, зимующей в помещении, становится равной тысяч пчел. Далее, при перевозке пчел на летнюю стоянку, численность пчелиной семьи в каждый последующий день возрастает на 25% по сравнению с предыдущим днем. В конце какого дня после весенней подкормки нужно перевезти пчел на летнюю стоянку, чтобы через 38 дней после подкормки численность пчелиной семьи стала наибольшей? Известно, что у фермера нет возможности поместить пчел на летнюю стоянку сразу же после подкормки.

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 18

При каких значениях параметра p система

$$\left\{\begin{matrix} x^{2}+2px+3p^{2}+3p+3\leq 3\sin y - 4\cos y\\ 0\leq y\leq 2\pi \end{matrix}\right.$$

Ответ:
Аналоги к этому заданию:

Задание 19

На доске написано 30 натуральных чисел (необязательно различных), каждое из которых больше 10, но не превосходит 50. Среднее арифметическое написанных чисел равнялось 17. Вместо каждого из чисел на доске написали число, в два раза меньшее первоначального. Числа, которые оказались меньше 6, стерли.

А) Могло ли оказаться так, что среднее арифметическое оставшихся на доске чисел больше 17?
Б) Могло ли оказаться так, что среднее арифметическое оставшихся на доске чисел больше 19, но меньше 20?
В) Найдите максимально возможное значение среднего арифметического чисел, оставшихся на доске.
Ответ: