Перейти к основному содержанию

230 вариант Алекса Ларина. Разбор ЕГЭ математика 2018.

Решаем ЕГЭ 230 вариант Ларина. Подробное решение 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15 заданий тренировочного варианта ЕГЭ Ларина №230 (alexlarin.com)

Решаем ЕГЭ 230 вариант Ларина. Подробное решение 16,17,18,19 заданий тренировочного варианта ЕГЭ Ларина №230 (alexlarin.com)

Аналоги к этому заданию:

Задание 1

В сентябре 1 кг винограда стоил 60 рублей, в октябре виноград подорожал на 25%, а в ноябре еще на 20%. Сколько рублей стоил 1 кг винограда после подорожания в ноябре?

Ответ: 90
Скрыть

В октябре: $$60\cdot1,25=75$$

В ноябре: $$75\cdot1,2=90$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 2

При работе фонарика батарейка постепенно разряжается, и напряжение в  электрической цепи фонарика падает. На рисунке показана зависимость напряжения в  цепи от времени работы фонарика. На горизонтальной оси отмечается время работы  фонарика в часах, на вертикальной оси — напряжение в вольтах. Определите по  рисунку, на сколько вольт упадёт напряжение за 15 часов работы фонарика. 

Ответ: 0,6
Скрыть
0 часов - 1,6 вольт
15 часов - 1 вольт
$$1,6-1=0,6$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 3

На клетчатой бумаге изображён угол BDE. Найдите  его величину. Ответ выразите в градусах

Ответ: 67,5
Скрыть

Построим центральный угол ($$\angle EOB$$) опирающийся на эту же дугу. Он проходит через диагналь клетки, потому равен 135 градусам. Вписанный же угол составляет половину от центрального, опирающегося на ту же дугу:

$$\frac{135}{2}=67,5$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 4

Восемь различных книг расставляются наудачу на одной полке. Найти вероятность  того, что две определенные книги окажутся поставленные рядом.

Ответ: 0,25
Скрыть

Будем рассматривать случаи, когда одна книга уже занимает какое-то место, и находить вероятность того, что вторая окажется рядом. Если книга занимает первое ($$P=\frac{1}{8}$$-так как это одно место из восьми) или восьмое место($$P=\frac{1}{8}$$), то рядом с ней есть только одно свободное, и именно его должна занять вторая книга. То есть в таком случае вероятность расположения рядом в каждом их этих случаев (их два) составляет $$\frac{1}{8}*\frac{1}{7}$$ ($$\frac{1}{7}$$ - потому, что вторая должна занять одно свободное из оставшихся семи мест)

Далее есть места (со второго и седьмое), где вокруг книги будет два места, тогда вероятность для каждого из них (всего 6 вариантов) оказаться рядом там:$$\frac{1}{8}*\frac{2}{7}$$. Итоговая же вероятность есть сумма уже найденных:

$$\frac{1}{8}\cdot\frac{1}{7}\cdot2+\frac{1}{8}\cdot\frac{2}{7}\cdot6=$$ $$\frac{1}{28}+\frac{3}{14}=\frac{7}{28}=0,25$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 5

Решите уравнение $$\log_{6-x}81=2$$. Если уравнение имеет более одного корня, в  ответе укажите больший из них. 

Ответ: -3
Скрыть
ОДЗ: $$6-x>0$$ $$\Leftrightarrow$$ $$x<6$$ 
$$\log_{6-x}81=2\Leftrightarrow$$$$(6-x)^{2}=81\Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{matrix}6-x=9\\6-x=-9\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x=-3\\x=15\end{matrix}\right.$$
$$x=15$$ - не входит в ОДЗ
Аналоги к этому заданию:

Задание 6

На боковой стороне CB равнобедренного (AB=BC) треугольника  ABC выбрана точка K. Оказалось, что CA= AK =KB. Найдите $$\angle ABC$$.  Ответ дайте в градусах.

Ответ: 36
Скрыть
Пусть $$\angle A=\angle C=\alpha$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle ABC=180-2\alpha$$
из $$\bigtriangleup AKB$$: $$\angle BAK=\angle ABK=180-2\alpha$$
из $$\bigtriangleup ACK$$: $$\angle KAC=180-2\alpha$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle A=180-2\alpha+180-2\alpha=\alpha$$; $$360^{\circ}=5\alpha$$ $$\Rightarrow$$ $$\alpha=72$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle ABC=180-72^{\circ}\cdot2=36$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 7

На рисунке изображен график  производной функции f (x), определенной  на интервале (−2; 11). Найдите точку  экстремума функции f (x), принадлежащую  отрезку [1; 6].

Ответ: 3
Скрыть

Точка экстремума функции там, где производная равна нулю. Так как нам дан график производной, то мы просто ищем пересечение графика с осью Ох. Эта точка с абсциссой 3

Аналоги к этому заданию:

Задание 8

Найдите площадь поверхности многогранника,  изображенного на рисунке. Все двугранные углы  многогранника прямые. 

Ответ: 20
Скрыть

Для решения необходимо найти площади всех граней и сложить. Если "перенести" верхнюю грань куба, то можно рассматривать площадь поверхности начальной фигуры как сумму площадей поверхности нижнего параллелепипеда и боковой поверхности куба:

$$1\cdot2\cdot4+2\cdot2\cdot2+1\cdot1\cdot4=8+8+4=20$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 9

Найдите значение выражения $$4\sqrt{6}\cos\frac{3\pi}{4}\cdot\sin\frac{4\pi}{3}$$

Ответ: 6
Скрыть

$$4\sqrt{6}\cos\frac{3\pi}{4}\cdot\sin\frac{4\pi}{3}=$$ $$4\sqrt{6}\cdot(-\frac{\sqrt{2}}{2})\cdot(-\frac{\sqrt{3}}{2})=6$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 10

Ёмкость высоковольтного конденсатора в телевизоре C = 3 ∙ 10‐6 Ф. Параллельно с  конденсатором подключён резистор с сопротивлением R = 5 ∙ 106 Ом. Во время работы  телевизора напряжение на конденсаторе U0=9 кВ. После выключения телевизора  напряжение на конденсаторе убывает до значения U (кВ) за время (в секундах),  определяемое выражением $$t=\alpha RC\log_{2}\frac{U_{0}}{U}$$, где α = 1,1—постоянная. Определите  (в киловольтах) наибольшее возможное напряжение на конденсаторе, если после  выключения телевизора прошло не менее 33 с.  

Ответ: 2,25
Скрыть

$$33=1,1\cdot5\cdot10^{6}\cdot3\cdot10^{-6}\cdot\log_{2}\frac{9}{U}\Leftrightarrow$$$$\frac{33}{3,3\cdot5}=\log_{2}\frac{9}{U}\Leftrightarrow$$$$\log_{2}\frac{9}{U}=2$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\frac{9}{U}=4$$ $$\Leftrightarrow$$ $$U=2,25$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 11

Имеются два сплава. Первый сплав содержит 45% меди, второй – 20% меди.  Масса первого сплава больше массы второго на 30 кг. Из этих двух сплавов получили  третий сплав, содержащий 40% меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в  килограммах.  

Ответ: 50
Скрыть
Пусть масса первого: $$x+30$$
масса второго: $$x$$
В первом меди: $$(x+30)\cdot0,45$$
Во втором меди: $$x\cdot0,2$$
Масса третьего есть сумма масс первого и второго: $$2x+30$$
Меди в третьем: $$0,4(2x+30)$$
В таком случае сумму меди первого и второго уравниваем с третьим:
$$0,45(x+30)+x\cdot0,2=0,4(2x+30)$$; $$0,45x+13,5+0,2x=0,8x+12$$; $$1,5=0,15x$$; $$x=10$$; $$2x+30=20+30=50$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 12

 Найдите наименьшее значение функции $$y=\frac{\sqrt{3}}{3}\pi-2\cos x-\sqrt{3}x-5$$ на отрезке $$[0;\frac{\pi}{2}]$$

Ответ: -6
Скрыть
Найдем производную и приравняем ее к нулю:
$$y'=2\sin x-\sqrt{3}$$ $$\Leftrightarrow$$ $$x=\frac{\pi}{3}+2\pi n$$; $$x=\frac{2\pi}{3}+2\pi n$$ 
Начертим координатную прямую, отметим точки экстремума ( с учетом отрезка возьмем $$\frac{\pi}{3}$$ и $$\frac{2\pi}{3}$$ ), расставим знаки производной:
Получаем, что $$\frac{\pi}{3}$$ - точка минимума, найдем значение функции в ней:
$$y(\frac{\pi}{3})=\frac{\sqrt{3}\pi}{3}-2\cos\frac{\pi}{3}-\frac{\sqrt{3}\pi}{3}-5=-2\cdot\frac{1}{2}-5=-6$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 13

А) Решите уравнение $$(\log_{3}\frac{3}{x})\cdot\log_{2}x-\log_{3}\frac{x^{3}}{\sqrt{3}}=\frac{1}{2}+\log_{2}\sqrt{x}$$
 
Б) Найдите корни, принадлежащие отрезку $$[0;\frac{1}{5}]$$

Ответ: а)$$1;\frac{\sqrt{3}}{8}$$ б)нет
Скрыть
а)$$(\log_{3}3-\log_{3}x)\cdot\log_{2}x-\log_{3}x^{3}+\log_{3}\sqrt{3}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\log_{2}x\Leftrightarrow$$
$$\log_{2}x-\log_{3}x\cdot\log_{2}x-3\log_{3}x+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\log_{2}x=0\Leftrightarrow$$
$$\frac{1}{2}\log_{2}x-\log_{3}x\cdot\log_{2}x-3\log_{3}x=0\Leftrightarrow$$
$$\log_{3}\frac{3}{x}\cdot\log_{2}x-\log_{3}\frac{x^{3}}{\sqrt{3}}=\frac{1}{2}+\log_{2}\sqrt{x}\Leftrightarrow$$
$$\log_{2}x-2\log_{3}x\cdot\log_{2}x-6\log_{3}x=0\Leftrightarrow$$
Поделим обе части на $$\log_{3}x$$. При этом если мы делим на переменную, надо проверить, является ли корнем уравнения данная переменная, приравненная к нулю ($$\log_{3}x=0 ; x=1$$) - подставьте в первоначальное уравнение и проверьте, $$x=1$$ будет являться корнем.
$$\frac{\log_{2}x}{\log_{3}x}-2\log_{2}x-6=0\Leftrightarrow$$
$$\frac{\log_{x}3}{\log_{x}2}-2\log_{2}x-6=0\Leftrightarrow$$
$$\log_{2}3-6-2\log_{2}x=0\Leftrightarrow$$
$$\log_{2}\sqrt{3}-3=\log_{2}x\Leftrightarrow$$
$$\log_{2}\frac{\sqrt{3}}{8}=\log_{2}x\Leftrightarrow$$
$$x=\frac{\sqrt{3}}{8}$$
б) Ни один из корней не попадает в представленный промежуток
Аналоги к этому заданию:

Задание 14

В основании треугольной пирамиды ABCD лежит треугольник АВС, где АВ=ВС=5,  АС=6. Боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом, синус которого  равен  $$\frac{3}{4}$$.  

А) Постройте сечение, проходящее через центр описанной окружности основания и  перпендикулярное прямой BD  

Б) Найдите расстояние от прямой BD до прямой АС.  

Ответ: 3
Скрыть
А) Если стороны наклонены под одинаковым углом в треугольной пирамиде, то проенкция вершины на основание является центром описанной окружности. Проведем выосту DO. Необходимо найти отношение BO к OH для правильного построения сечения: пусть R - радиус описанной окружности (BO), тогда:
$$R=\frac{abc}{4S}$$; $$S=\frac{1}{2}\cdot6\cdot4=12$$; $$R=\frac{5\cdot5\cdot6}{4\cdot12}=\frac{25}{8}=BO$$; $$OH=4-\frac{25}{8}=\frac{7}{8}$$;
Получаем, что BO относится к OH как 25 к 7. Далее строим перпендикуляр OK. Проекцией DB на плоскость ABC является BH, но BH перпендикулярна AC, тогда и BD перпендикулярна AC (по теореме о трех перпендикулярах). 
Тогда через точку O проведем прямую параллельную AC ( например RQ, где R на AB, Q ну BC ) и получаем что она так же перпендикулярна BD. Тогда имеем две пересекающиеся прямые (OK и RQ) перпендикулярные третьей (BD), значит через них и пройдет искомая плоскость (RQK)
Б)  Проведем HN перпендикулярно BD. Из пункта A) получаем, что AC перпендикулярно плоскости BHD, так же H - середина AC - значит это общий перпендикуляр для AC и BD - то есть расстояние между ними.
Рассмотрим треугольник BNH: $$\sin DBO=\frac{3}{4}$$; $$BH=4$$ $$\Rightarrow$$ $$HN=BH\cdot\sin NBH=4\cdot\frac{3}{4}=3$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 15

Решите неравенство $$\log_{3}\log_{\frac{9}{16}}(x^{2}-4x+3)\leq0$$

Ответ: $$(2-\sqrt{2};0,74]\cup[3,25;2+\sqrt{2})$$
Скрыть
ОДЗ: $$\left\{\begin{matrix}x^{2}-4x+3>0\\\log_{\frac{9}{16}}(x^{2}-4x+3)>0\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}x>3\\x<1\end{matrix}\right.\\x^{2}-4x+3<1\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}x>3\\x<1\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}x>2-\sqrt{2}\\x<2+\sqrt{2}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.$$;
|$$x^{2}-4x+3<1$$; $$x^{2}-4x+2<0$$; $$D=16-8=8$$; $$x_{1,2}=\frac{4\pm\sqrt{8}}{2}=2\pm\sqrt{2}$$|
$$x\in(2-\sqrt{2};1)\cup(3;2+\sqrt{2})$$
Воспользуемся методом рационализации:
$$(\log_{\frac{9}{16}}(x^{2}-4x+3)-1)(3-1)\leq0\Leftrightarrow$$$$\log_{\frac{9}{16}}\frac{(x^{2}-4x+3)\cdot16}{9}\leq0\Leftrightarrow$$$$(\frac{(x^{2}-4x+3)\cdot16}{9}-1)(\frac{9}{16}-1)\leq0\Leftrightarrow$$$$16x^{2}-64x+48-9\geq0\Leftrightarrow$$$$16x^{2}-64x+39\geq0\Leftrightarrow$$
$$D=4096-2496=1600$$
$$x_{1}=\frac{64+40}{32}=3,25$$  $$x_{2}=\frac{64-40}{32}=0,75$$
В итоге решение данного неравенства: $$x\geq 3,25$$ и $$x\leq 0,75$$
Найдем решение c учетом ОДЗ:
В итоге пересечением является: $$x \in (2-\sqrt{2};0, 75] \cup [3,25; 2+\sqrt{2})$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 16

Дан прямоугольник ABCD. Окружность с центром в точке В и радиусом АВ  пересекает продолжение стороны АВ в точке М. Прямая МС пересекает прямую AD в  точке К, а окружность во второй раз в точке F.  

А) Докажите, что DK=DF  

Б) Найдите КС, если BF=20, DF=21  

Ответ: 29
Скрыть
А) 1)Треугольник MBC подобен треугольника AMK ( прямоугольные, общий острый угол). Аналогично трегольник CDK подобен AMK, тогда и  MBC подобен CDK. При этом MB = AB (радиусы)  и AB = CD (стороны прямоугольника), тогда MB = KD и треугольники MBC и CDK равны, тогда $$DK=BC=AD$$; 
2) Проведем BF, он будет перпендикулярен DF (радиус в точку касания), тогда из прямоугольных треугольников DBF и ABD: $$BD^{2}=BA^{2}+AD^{2}$$ и $$BD^{2}=BF^{2}+FD^{2}$$ $$\Rightarrow$$ $$AD=DF$$ $$\Rightarrow$$ $$DF=DK$$
Б) $$BF=20=AB$$; $$DF=21=AD$$; $$BD=\sqrt{20^{2}+21^{2}}=29$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 17

Ученики второго, третьего четвертого классов собирали макулатуру. Каждый  второклассник работал по 3 дня, третьеклассник – по 12 дней, четвероклассник – по 16  дней. При этом каждый второклассник собрал 30 кг макулатуры, каждый третьеклассник  – 130 кг, а каждый четвероклассник – 170 кг. Все дети вместе отработали 95 дней.  Сколько учеников каждого класса участвовало в работе, если общее количество  макулатуры оказалось максимальным?  

Ответ: 1 ученик второго класса, 5 – третьего, 2 – четвертого
Скрыть

     Обозначим через х количество второклассников, через y – третьеклассников, через z – четвероклассников. Тогда 3 x + 12 y + 16 z = 95 . (1)

     Количество собранной макулатуры равно 30 x + 130 y + 170 z = 10(3 x + 13 y + 17 z).

     Максимальным должно быть значение функции: F = 3 x + 13 y + 17 z = 95 + ( y + z), а значит, суммы y + z.

     Из равенства (1) будем иметь: 12( y + z) = 95 - 3 x - 4 z. (2)

     Отсюда 12( y + z) < 96 $$\Rightarrow$$ y + z < 8. Далее, если y + z = 7, из (2) получаем: 3 x + 4 z = 11. (3) Так как $$x \leq 3$$ и x - нечетное, единственное решение уравнения (3) x = 1, z = 2 (при x = 3 z = 0,5) $$\Rightarrow$$  y= 7 - 2 = 5.

Аналоги к этому заданию:

Задание 18

Найдите все значения параметра , при каждом из которых наименьшее  значение функции $$y=4x^{2}-4ax+(a^{2}-2a+2)$$ на отрезке $$0\leq x\leq2$$ равно 3.  

Ответ: $$1-\sqrt{2} ;5+\sqrt{10}$$
Скрыть
Найдем вершину параболы:$$x_{0}=-\frac{-4a}{4\cdot2}=\frac{a}{2}$$. В таком случае координата y вершины составляет: $$y_{x_{0}}=4\cdot(\frac{a}{2})^{2}-4a\cdot\frac{a}{2}+a^{2}-2a+2=$$ $$\frac{4a^{2}}{4}-\frac{4a^{2}}{2}+a^{2}-2a+2=$$ $$a^{2}-2a^{2}+a^{2}-2a+2=2-2a$$. Далее необходимо рассмотреть три варианта расположения вершины параболы относительно заданного промежутка:
1) Когда вершина параболы левее промежутка: тогда наименьшее значение функция принимает в точке с абсциссой 0:  
$$\left\{\begin{matrix}\frac{a}{2}<0\\y(0)=3\end{matrix}\right.$$
$$y(0)=4\cdot0-4a\cdot0+a^{2}-2a+2=3$$; $$a^{2}-2a-1=0$$
$$D=4+4=8$$
$$a_{1}=\frac{2+\sqrt{8}}{2}=1+\sqrt{2}\notin\frac{a}{2}<0$$
$$a_{2}=1-\sqrt{2}$$
2) Когда вершина параболы на промежутке: тогда наименьшее значение функция принимает в вершине параболы:
$$\left\{\begin{matrix}0\leq\frac{a}{2}\leq2\\2-2a=3\end{matrix}\right.$$
$$-2a=1$$ $$\Leftrightarrow$$
$$a=-0,5\notin 0\leq\frac{a}{2}\leq2$$
3) Когда вершина правее заданного промежутка, тогда наименьшее значение будет в точке с абсциссой 2:
$$\left\{\begin{matrix}\frac{a}{2}>2\\y(2)=3\end{matrix}\right.$$
$$y(2)=4\cdot4-4a\cdot2+a^{2}-2a+2=3$$
$$16-8a+a^{2}-2a+2-3=0$$; $$a^{2}-10a+15=0$$
$$D=100-60=40$$
$$a_{1,2}=\frac{1=\pm\sqrt{40}}{2}=5\pm\sqrt{10}$$
$$5-\sqrt{10}\notin \frac{a}{2}>2$$
В итоге получаем два значения: $$1-\sqrt{2} ;5+\sqrt{10}$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 19

Для записи двух натуральных чисел c и d $$(c<d)$$ используют две различные  цифры, не равные нулю, причем каждую из них ровно три раза. Например, могут быть  записаны числа 17 и 7711  А) Может ли отношение $$\frac{c}{d}$$ равняться  $$\frac{89}{109}$$?  

Б) Может ли отношение $$\frac{c}{d}$$ равняться  $$\frac{1}{423}$$?  

В) Найдите максимальное значение отношения $$\frac{c}{d}$$ .  

Ответ: да, нет, $$\frac{988}{989}$$
Скрыть

     А) Ответ: да,  $$\frac{445}{545}$$

     Б) Ответ: нет. Предположим , что нашлись c и d, удовлетворяющие условию задачи, для которых $$\frac{c}{d}=\frac{1}{423}$$.Если d - пятизначное число, а c - однозначное, то $$\frac{c}{d}<\frac{10}{10000}=$$$$\frac{1}{1000}<\frac{1}{423}(1)$$. Если c и d –трехзначные число,то $$\frac{c}{d}>\frac{100}{1000}=$$$$\frac{1}{10}>\frac{1}{423}(2)$$

   Значит ,c-двухзначное число, а d-четырехзначное . Заметим, что в случае $$\frac{c}{d}<\frac{10}{1000}=\frac{1}{10}(3)$$; $$c=\frac{d}{423}<\frac{10000}{423}<24$$. Проверяя равенство $$423c=d$$ для всех $$c\in[11;23]$$ (в каждом из случаев легко устанавливается несовпадение цифр чисел c и 423c), убеждаемся, что числа c и d, удовлетворяющих условию задачи ,не существует.

     В) Ответ: $$\frac{988}{989}$$. Из неравенства (1) – (3) следует, что c и d-трехзначные числа .

   Далее, так как $$\frac{c}{d}<1$$ должно быть наибольшим ,наименьшим должно быть значение $$\Delta =1-\frac{c}{d}=\frac{d-c}{d}$$. Если $$d-c\geq 2$$, $$\Delta >\frac{2}{1000}=\frac{1}{500}$$; если $$d-c=1,\Delta =\frac{1}{d}$$ и ,например, при c=544, d=545, $$\Delta =\frac{1}{545}<\frac{1}{500}$$.Значит $$d-c=1(4)$$

   Так как для записи c и d используются не равные нулю цифры, равенство (4) возможно лишь в случае , когда одна из цифр на 1 больше другой ,а первые две цифры через c и  d совпадают : $$c=\bar{baa}$$, $$d=\bar{bab}$$ или $$c=\bar{abb}(b=a+1)$$

   Поскольку значение $$\Delta =\frac{1}{d}$$ должно быть наименьшим ,c=988,d=989