ЕГЭ математика 2018. Разбор варианта Алекса Ларина № 211
Решаем ЕГЭ вариант Ларина № 211. Подробное решение 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,13,14,15 заданий тренировочного варианта ЕГЭ Ларина № 211 (alexlarin.com)
Решаем ЕГЭ вариант Ларина № 211. Подробное решение 16,17,18,19 заданий тренировочного варианта ЕГЭ Ларина № 211 (alexlarin.com)
Задание 1
Цена на электрический чайник была повышена на 14% и составила 1596 рублей. Сколько рублей стоил чайник до повышения цены?
$$1596-114$$ %
$$x-100$$ %
$$x=\frac{1596\cdot100}{114}=1400$$
Задание 2
| На графике показано изменение кинетической энергии Е движущегося тела (в килоджоулях) в зависимости от времени t (в минутах). На сколько килоджоулей уменьшится кинетическая энергия тела в течение четвертого часа движения? |  |
$$18-9=9$$
Задание 3
| Найдите площадь треугольника, изображенного на рисунке. |  |
$$3\cdot3-\frac{1}{2}\cdot3\cdot2\cdot2-\frac{1}{2}\cdot1\cdot1=9-6-0,5=2,5$$
Задание 4
На экзамене по геометрии школьник отвечает на один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос по теме «Вписанная окружность», равна 0,15. Вероятность того, что это вопрос по теме «Тригонометрия», равна 0,2. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.
$$0,15+0,2=0,35$$
Задание 5
Найдите корень уравнения: $$(3x+5)^{3}=0,008$$
$$(3x+5)^{3}=0,008$$
$$3x+5=0,2$$
$$3x=-4,8$$
$$x=-1,6$$
Задание 6
| Периметр правильного треугольника равен $$24\sqrt{3}$$. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник. |  |
Пусть а - сторона
$$a=\frac{24\sqrt{3}}{3}=8\sqrt{3}$$
Пусть СН - высота
$$CH=a\cdot\sin60^{\circ}=8\sqrt{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=12$$
Пусть r - радиус
$$r=\frac{CH}{3}=\frac{12}{3}=4$$
Задание 7
| На рисунке приведен график производной $${g}'(x)$$, на графике отмечены шесть точек: х1, х2, …, х6. Сколько из этих точек принадлежит промежуткам возрастания функции g(x)? |  |
Функция возрастает там, где $${g}'(x)>0$$ $$\Rightarrow$$
$$x_{1};x_{2};x_{3};x_{4};x_{6}$$
Задание 8
| В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8. Боковые ребра призмы равны $$\frac{6}{\pi}$$. Найдите объём цилиндра, описанного около этой призмы. |
 |
Пусть d - диаметр цилиндра
$$d=\sqrt{6^{2}+8^{2}}=10$$ $$\Rightarrow$$ $$r=5$$
$$V=S_{osn}\cdot h=\pi\cdot5^{2}\cdot\frac{\pi}{6}=150$$
Задание 9
Известно, что $$\tan x=3$$ и $$\pi<x<\frac{3\pi}{2}$$. Найдите значение выражения $$\sqrt{10}\sin x$$
$$\tan x=3$$ и $$\pi<x<\frac{3\pi}{2}$$
$$\Rightarrow$$ $$\sin x<0$$
$$\cot x=\frac{1}{\tan x}=\frac{1}{3}$$
$$1+\cot^{2}x=\frac{1}{\sin^{2}x}$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\sin x=-\sqrt{\frac{1}{1+\cot^{2}x}}$$
$$\sin x=-\sqrt{\frac{1}{1+\frac{1}{9}}}=-\sqrt{\frac{1}{\frac{1}{10}}}=-\frac{3}{\sqrt{10}}$$
$$\sqrt{10}\sin x=\sqrt{10}\cdot(-\frac{3}{\sqrt{10}})=-3$$
Задание 10
Опорные башмаки шагающего экскаватора, имеющего массу m=1260 тонн представляют собой две пустотелые балки длиной l=18 метров и шириной s метров каждая. Давление экскаватора на почву, выражаемое в килопаскалях, определяется формулой $$p=\frac{mg}{2ls}$$, где m – масса экскаватора (в тоннах), l – длина балок в метрах, s – лок в метрах, g – ускорение свободного падения (считайте g = 10 м/с2). О наименьшую возможную ширину опорных балок, если известно, что давление p не должно превышать 140 кПа. Ответ выразите в метрах.
$$140=\frac{1260\cdot10}{2\cdot18\cdot S}$$ $$\Rightarrow$$
$$S=\frac{1260\cdot10}{140\cdot2\cdot18}=2,5$$
Задание 11
Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в гоорд В, расстояние между которыми равно 180 км. На следующий день он отправился обратно со скоростью на 8 км/ч больше прежней. По дороге он сделал остановку на 8 часов. В результате он затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из А в В. Ответ дайте в км/ч.
Пусть х - скорость первого дня
$$\frac{180}{x}-\frac{180}{x+8}=8$$
$$\frac{22,5}{x}-\frac{22,5}{x+8}=1$$
$$22,5x+180-22,5x=x^{2}+8x$$
$$x^{2}+8x-180=0$$ $$D=64+720=784$$
$$x_{1}=\frac{-8+28}{2}=10$$
$$x_{2}<0$$
Задание 12
Найдите наибольшее значение функции $$f(x)=(x+4)^{2}(x+3)$$ на отрезке [‐5; ‐3,5].
$$f'(x)=2(x+4)(x+3)+(x+4)^{2}=2(x^{2}+7x+12)+x^{2}+8x+16=3x^{2}+22x+40=0$$
$$D=484-480=4$$
$$x_{1}=\frac{-22+2}{6}=-\frac{20}{6}$$
$$x_{1}=\frac{-22-2}{6}=-4$$
$$f(-4)=(-4+4)^{2}(-4+3)=0$$
Задание 13
Дано уравнение $$\cos x+\frac{1}{\cos x}+\cos^{2}x+\tan^{2}x=\frac{3}{4}$$
А) Решите уравнение
Б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[3\pi;\frac{9\pi}{2}]$$
$$\cos x+\frac{1}{\cos x}+\cos^{2}x+\frac{1}{\cos^{2}x}-1=\frac{3}{4}$$
$$\cos x+\frac{1}{\cos x}+\cos^{2}x+\frac{1}{\cos^{2}x}=\frac{7}{4}$$
Пусть $$\cos x+\frac{1}{\cos x}=y$$
$$y^{2}=\cos^{2}x+2+\frac{1}{\cos^{2}x}$$ $$\Leftrightarrow$$
$$\cos^{2}x+\frac{1}{\cos^{2}x}=y^{2}-2$$
$$y+y^{2}-2-\frac{7}{4}=0$$
$$y^{2}+y-\frac{15}{4}=0$$
$$D=1+15=16$$
$$y_{1}=\frac{-1+4}{2}=\frac{3}{2}$$
$$y_{1}=\frac{-1-4}{2}=-\frac{5}{2}$$
$$\left\{\begin{matrix}\cos x+\frac{1}{\cos x}=\frac{3}{2}\\\cos x+\frac{1}{\cos x}=-\frac{5}{2}\end{matrix}\right.$$
$$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}2\cos^{2}x+2-3\cos x=0\\2\cos^{2}x+2-5\cos x=0\end{matrix}\right.$$
$$\left\{\begin{matrix}D<0\Rightarrow\varnothing\\D=25-16=9\end{matrix}\right.$$
$$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\cos x=\frac{-5+3}{4}=-\frac{1}{2}\\\cos x=\frac{-5-3}{4}=-2\end{matrix}\right.$$
$$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi k, k\in Z\\\varnothing \end{matrix}\right.$$
Задание 14
В прямоугольном параллелепипде ABCDA1B1C1D1 на ребре C1D1 взята точка К так, что KC1=3KD1
А) Докажите, что плоскость АСК делит диагональ BD1 в отношении 4:1, считая от точки В.
Б) Найдите расстояние от точки D до плоскости ACK, если известно, что АВ=4, ВС=3,
СС1=2.
А) Построим через К прямую $$a\parallel AC$$ ($$a\cap A_{1}D_{1}=M$$)
$$\Rightarrow$$ (АМКС) - искомая плоскость
1) Построим ($$BB_{1}D_{1}D$$) $$\Rightarrow$$
HN - линия пересечения ($$BB_{1}D_{1}D$$) и (АМКС)
Пусть $$HN\cap BD_{1}=0$$ $$\Rightarrow$$ доказать $$\frac{BO}{OD_{1}}=\frac{4}{1}$$
Пусть $$B_{1}D_{1}\cap C_{1}A_{1}=Z$$
2) $$A_{1}C_{1}\parallel KM$$ $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup MD_{1}K\sim \bigtriangleup A_{1}C_{1}D_{1}$$
$$\frac{D_{1}K}{D_{1}C_{1}}=\frac{D_{1}H}{D_{1}Z}=\frac{1}{4}$$
3) $$\bigtriangleup BON\sim \bigtriangleup HOD_{1}$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{BN}{HD_{1}}=\frac{BO}{OD_{1}}$$
$$BN=ZD_{1}$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{ZD_{1}}{HD_{1}}=\frac{BO}{OD_{1}}=\frac{4}{1}$$
Ч.Т.Д
Б) Введем ортогональную систему координат: пусть $$XA+BY+CZ+D=0$$ - уравнение (АМКС):
$$A(0;4;0); C(3;0;0); K(3;3;2)$$
$$\left\{\begin{matrix}0\cdot a+4\cdot b+0\cdot c+d=0\\3a+0\cdot b+0\cdot c+d=0\\3a+3b+2c+d=0\end{matrix}\right.$$
$$\left\{\begin{matrix}4b+d=0\\3a+d=0\\3a+3b+2c+d=0\end{matrix}\right.$$
$$\left\{\begin{matrix}b=-\frac{d}{4}\\a=-\frac{d}{3}\\-d-\frac{3d}{4}2c+d=0\end{matrix}\right.$$
$$\left\{\begin{matrix}b=-\frac{d}{4}\\a=-\frac{d}{3}\\c=\frac{3d}{8}\end{matrix}\right.$$
$$-\frac{d}{3}x-\frac{d}{4}y+\frac{3d}{8}z+d=0$$
$$-\frac{1}{3}x-\frac{1}{4}y+\frac{3}{8}z+1=0$$
$$D(3;4;0)$$
$$d(D:(AMKC))=\frac{|ax_{0}+by_{0}+cz_{0}+d|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}=$$
$$=\frac{|-\frac{1}{3}\cdot3+-\frac{1}{4}\cdot4+\frac{3}{8}\cdot0+1|}{\sqrt{\frac{1}{9}+\frac{1}{16}+\frac{9}{64}}}=$$
$$=\frac{|-1-1+1|}{\sqrt{\frac{1}{9}+\frac{13}{64}}}=$$
$$=\frac{1}{\sqrt{\frac{181}{9\cdot64}}}=$$
$$=\frac{3\cdot8}{\sqrt{181}}=\frac{24\sqrt{181}}{181}$$