ОГЭ математика 2023. Разбор варианта Алекса Ларина № 332.

$$\frac{1}{5}-\frac{27}{20}=\frac{4-27}{20}=\frac{-23}{20}=\frac{-115}{100}=-1,15$$

Пусть $$a=0,5; b=0,5.$$

1) $$\frac{a}{b}=\frac{-0,5}{0,5}=-1<0$$ - нет

2) $$b-a=0,5-(-0,5)=1<-1$$ - нет

3) $$a+b=-0,5+0,5=0>1$$ - нет

4) $$ab=-0,5\cdot0,5=-0,25>-1$$ - да

$$\frac{a^2+7a}{a^2+14a+49}=\frac{a(a+7)}{(a+7)^2}=\frac{a}{a+7}=\frac{-2}{-2+7}=-0,4$$

$$\frac{6}{x+5}=-5$$

$$-5(x+5)=6$$

$$-5x-25=6$$

$$5x=-31$$

$$x=-\frac{31}{5}=-6,2$$

Количество двузначных $$25-9=16.$$ Тогда вероятность равна:

$$P(A)=\frac{16}{25}=0,64$$

А) $$f(x+2)=x+2+\frac{3}{x+2}$$

$$x+2+\frac{3}{x+2}=x+\frac{3}{x}\Leftrightarrow\frac{3}{x}-\frac{3}{x+2}=2\Rightarrow 3x+6-3x=2x^2+4x\Rightarrow$$

$$\Rightarrow2x^2+4x-6=0\Leftrightarrow x^2+2x-3=0\Rightarrow\left[\begin{matrix} x=-3\\ x=1 \end{matrix}\right.\Rightarrow x=3.$$

Б) $$f(x+1)=x+1+\frac{3}{x+1}\Rightarrow x+2+\frac{3}{x+2}=x+1+\frac{3}{x+1}\Rightarrow \frac{3}{x+1}-\frac{3}{x+2}=1\Rightarrow$$

$$\Rightarrow3x+6-3x-3=x^2+3x+2\Rightarrow x^2+3x-1=0\Rightarrow D=9+4=(\sqrt{13})^2\Rightarrow$$

$$\Rightarrow x=\frac{-3\pm\sqrt{13}}{2}\Rightarrow 1.$$

В) Проверим $$x=\frac{7}{2}: f(\frac{7}{2}-5)=f(2-\frac{7}{2})\Rightarrow f(-1,5)=f(-1,5)\Rightarrow x=4.$$

Получим: $$3142.$$

$$s=60\cdot1200=72000$$ см

1 км = 100000 см

$$s=\frac{72000}{100000}=0,72$$ км

1) $$x^25\leq0\Rightarrow x\in\varnothing$$ - нет

2) $$x^2-25\leq0\Rightarrow x\in [-5;5]$$ - да

3) $$x^2+25\geq0\Rightarrow x\in R$$ - нет

4) $$x^2-25\geq0\Rightarrow x\in (-\infty;-5]\cup[5;+\infty)$$ - нет

Ежемесячные выплаты составляют арифметическую прогрессию с первым членом $$\frac{100}{n}$$ и разностью 5. Тогда за последний месяц клиент выплатил банку $$\frac{100}{n}+5(n-1)$$ руб., что составляет 55 руб. Решим уравнение:

$$\frac{100}{n}+5(n-1)=55\Leftrightarrow 100+5n(n-1)=55n\Leftrightarrow$$

$$\Leftrightarrow 5n^2-60n+100=0\Leftrightarrow n^2-12n+20=0\Leftrightarrow\left[\begin{matrix} n=10\\ n=2 \end{matrix}\right.$$

Поскольку срок кредитования превышал полгода, кредит был возвращен банку за 10 месяцев.

$$\angle AOD=180^{\circ}-\angle DOB=180^{\circ}-64^{\circ}=116^{\circ}$$

$$\angle AOK=\frac{\angle AOD}{2}=\frac{116^{\circ}}{2}=58^{\circ}$$

$$OA=OB$$ - радиусы $$\Rightarrow \angle OAB=\angle OBA=\frac{180^{\circ}-60^{\circ}}{2}=60^{\circ}\Rightarrow \Delta AOB$$ - равносторонний $$\Rightarrow OA=4.$$

Пусть R - радиус и D - диаметр окружности, a - сторона квадрата. Сторона квадрата равна диаметру вписанной окружности. Найдём площадь квадрата:

$$S=D^2=(2R)^2=(2\cdot25)^2=2500$$

Пусть $$EK\perp AD; EN\perp CB; EM\perp DC.$$ Тогда:

$$\Delta EMJ=\Delta ENH$$ (по гипотенузе и острому углу) $$\Rightarrow MJ=NH=x.$$

$$EK=KA=\frac{AF}{2}=\frac{4\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}{2}=4=NB=DM.$$

Тогда $$DJ+BH=DM+MJ+BN-NH=4+x-x+4=8.$$

1) неверно, диагонали ромба не равны

2) неверно, отношение площадей равно квадрату коэффициента подобия.

3) верно.

$$a^8-a^4-2a^2-1=a^8-(a^2+2a^2+1)=a^8-(a^2+1)^2=$$

$$(a^4)^2-(a^2+1)^2=(a^4-(a^2+1))(a^4+(a^2+1))=(a^4-a^2-1)(a^4+a^2+1)=$$

$$=(a^4-a^2-1)(a^4+2a^2+1-a^2)=(a^4-a^2-1)((a^2+1)^2-a^2)=$$

$$=(a^4-a^2-1)(a^2+1-a)(a^2+1+a)$$

Если верно первое утверждение, то верно и второе. Это противоречит тому, что верно только одно из двух данных утверждений. Следовательно, верно второе утверждение, а первое неверно. Получаем, что $$37\leq a<38.$$ Этому неравенству удовлетворяет единственное целое число: $$a=37.$$

$$y=|x+1|-|x-1|-x$$

$$y=\left\{\begin{matrix} -x-1-(-x+1)-x,x\leq-1\\ x+1-(-x+1)-x,x\in(-1;1]\\ x+1-(x-1)-x,x>1 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow y=\left\{\begin{matrix} -x-2,x\leq-1\\ x,x\in(-1;1]\\ -x+2,x>1 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$

Ровно одну будет иметь при $$a>1$$ и $$a\in(-\infty;-1],$$ т.е. $$a\in (-\infty;-1]\cup(1;+\infty)$$

(на рисунке выделим зоны, где должен располагаться $$y=ax$$)

Треугольник $$CFD:$$

$$h=a\sin60=\frac{a\sqrt{3}}{2}$$

$$h^2=\frac{3a^2}{4}$$

Треугольник $$BEA:$$

$$h^2=AB^2-\frac{a^2}{4}$$

$$AB^2-\frac{a^2}{4}=\frac{3a^2}{4}$$

$$AB^2=\frac{3a^2}{4}+\frac{a^2}{4}$$

$$AB^2=a^2$$

$$AB=a$$

$$a=1$$

$$h=\frac{a\sqrt{3}}{2}=1\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$

$$S=\frac{1+2}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{4}$$

$$\Delta BED$$ равнобедренный (углы при основании равны) $$\Rightarrow ВЕ = BD$$

$$\Delta AEB = \Delta CDB (\angle E = \angle D, AE=DC, BE=BD)\Rightarrow AB = BC\Rightarrow \Delta ABC$$ равнобедренный

Введём обозначения, как показано на рисунке. Поскольку HG||AC и HE||BD, получаем, что HKOL — параллелограмм, следовательно, углы KHL и KOL равны. Рассмотрим треугольники ABC и EBF, угол EBF — общий, углы BEF и BAC равны как соответственные при параллельных прямых, углы BFE и BCA — аналогично, следовательно, треугольники ABC и BEF подобны по двум углам. Откуда $$\frac{EF}{AC}=\frac{BE}{AB}.$$ Аналогично подобны треугольники ABD и AEH, откуда $$\frac{HE}{BD}=\frac{AE}{AB}.$$ Пусть сторона ромба равна a, а длина короткой диагонали равна d. Сложим два полученных уравнения:

$$\frac{EF}{AC}+\frac{HE}{BD}=\frac{AE}{AB}+\frac{BE}{AB}\Leftrightarrow\frac{a}{d}+\frac{a}{9d}=\frac{AE+EB}{AB}\Leftrightarrow$$

$$\Leftrightarrow\frac{9a+a}{9d}=\frac{AB}{AB}\Leftrightarrow9d=10a\Leftrightarrow a=\frac{9d}{10}$$

Площадь ромба можно найти как произведение сторон на синус угла между ними: $$S_{HEFG}=a^2\sin\angle KHL.$$ Площадь параллелограмма можно найти как половину произведения диагоналей на синус угла между ними: $$S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BD\cdot\sin\angle KOL=\frac{1}{2}\cdot9d\cdot\sin\angle KOL.$$ Найдём отношение площадей ромба и параллелограмма:

$$\frac{S_{HEFG}}{S_{ABCD}}=\frac{a^2\sin\angle KHL}{\frac{1}{2}\cdot d\cdot 9d\cdot\sin\angle KOL}=\frac{a^2}{4,5d^2}=\frac{d^2\cdot\frac{9^2}{10^2}}{4,5d^2}=\frac{9}{50}=0,18$$