ОГЭ математика 2018. Разбор варианта Алекса Ларина № 186.
Решаем ОГЭ 186 вариант Ларина. Подробное решение 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20 заданий тренировочного варианта ОГЭ Ларина №186 (alexlarin.com)
Решаем ОГЭ 186 вариант Ларина. Подробное решение 21,22,23,24,25,26 заданий тренировочного варианта ОГЭ Ларина №186 (alexlarin.com)
Задание 1
Найдите значение выражения: $$(\frac{4}{15}+2\frac{2}{9}):\frac{4}{27}$$
$$\left ( \frac{4}{15}+2\frac{2}{9} \right ):\frac{4}{27}= $$$$\left ( \frac{4}{15}+\frac{20}{9} \right )*\frac{27}{4}=$$$$\frac{12+100}{5}*\frac{3}{4}=\frac{56*3}{5*2}=\frac{168}{10}=16,8$$
Задание 2
В таблице представлены налоговые ставки на автомобили в Москве с 1.01. 2014 г.
| Мощность автомобиля (в л.с.) | Налоговая ставка (в руб. за л. с. в год) |
| не более 7 | 0 |
| 71-100 | 12 |
| 101-125 | 25 |
| 126-150 | 35 |
| 151-175 | 45 |
| 176-200 | 50 |
| 201-225 | 65 |
| 226-250 | 75 |
| свыше 250 | 150 |
Сколько рублей должен заплатить владелец автомобиля мощностью 286 л.с. в качестве налога за один год?
Варианты ответа
286 л.с. попадает под категорию "свыше 250", следовательно, ставка за 1 л.с. составит 150 рублей. Найдем величину налога: $$286*150=42900$$ рублей. Что соответствует 2 варианту ответа
Задание 3
Между какими числами заключено число $$7\sqrt{2}$$ Варианты ответа: 1)10 и 11 2)7 и 9 3)9 и 10 4)11 и 12
Занесем число 7 под квадратный корень: $$7\sqrt{2}=\sqrt{7^{2}*2}=$$$$\sqrt{49*2}=\sqrt{98}$$. Данное число расположено между $$\sqrt{81}=9$$ и $$\sqrt{100}=10$$, то есть между 9 и 10, что соответствует 3 варианту ответа.
Задание 4
Найдите значение выражения $$\sqrt{3^{4}\cdot 7^{2} \cdot 11^{2}}$$
$$\sqrt{4^{3}*2^{7}*2^{11}}=2^{3}*7*11=9*77=693.$$
Задание 5
На диаграмме показано распределение выплавки меди в 10 странах мира (в тысячах тонн) за 2006 год. Среди представленных стран первое место по выплавке меди занимали США, десятое место — Казахстан. Какое место занимала Польша?
Польша выплавляет больше Казахстана и Замбии. Так как Казахстан занимает 10 место, то Польша будет занимать 8 место
Задание 6
Решите уравнение $$(2x+9)^{2}=(x-12)^{2}$$ . Если уравнение имеет более одного корня, укажите больший из них.
Задание 7
Электрический чайник, который стоил 3500 рублей, продаётся с 15-процентной скидкой. При покупке этого чайника покупатель отдал кассиру 5000 рублей. Сколько рублей сдачи он должен получить?
Найдем стоимость чайника с учетом 15-процентной скидки: $$3500*0,85=2975$$ рублей Найдем сдачу с 5000: $$5000-2975=2025$$ рублей
Задание 8
На диаграмме показаны религиозные составы населения Германии, США, Австрии и Великобритании. Определите по диаграмме, в каких странах суммарная доля протестантов и католиков превышает 75%.
Варианты ответа:
Из всех представленных вариантов количество католиков и протестантов превышает 75% (3/4 круга) только в Австрии, следовательно, в ответе укажем 3 вариант ответа.
Задание 9
На экзамене по геометрии школьнику достаётся одна задача из сборника. Вероятность того, что эта задача по теме «Углы», равна 0,35. Вероятность того, что это окажется задача по теме «Треугольник», равна 0,3. В сборнике нет задач, которые одновременно относятся к этим двум темам. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется задача по одной из этих двух тем.
Для того, чтобы найти вероятность того, что достанется задача по одной из двух тем, необходимо сложить вероятности получения каждой темы по отдельности: $$0.3+0.35=0.65$$
Задание 10
На рисунке изображены графики функций вида $$y=ax^{2}+bx+c$$ . Установите соответствие между знаками коэффициентов a и c и графиками функций.
КОЭФФИЦИЕНТЫ
Задание 11
Дана арифметическая прогрессия (an), для которой a4 = - 121, a9 = - 256. Найдите разность прогрессии.
Воспользуемся формулой для нахождения разности арифметической прогрессии: $$d=\frac{ a _{9 }-a _{4 }}{9-4}=$$$$\frac{-256-(-121)}{5}=$$$$\frac{-135}{5}=-27;$$
Задание 12
Найдите значение выражения $$\frac{3ac^{2}}{a^{2}-16c^{2}}\frac{a-4c}{ac}$$
$$\frac{3*\alpha*c^{2} }{\alpha ^{2}-16*c^{2}}*\frac{\alpha -4*c}{\alpha *c}=$$$$\frac{3*c}{\alpha +4*c}=\frac{3(-0,2)}{1+4*(-0,2)}=\frac{-0,6}{0,2}=-3;$$
Задание 13
Закон Джоуля–Ленца можно записать в виде $$Q=I^{2}Rt$$, где Q — количество теплоты (в джоулях), I — сила тока (в амперах), R — сопротивление цепи (в омах), а t — время (в секундах). Пользуясь этой формулой, найдите время t (в секундах), если Q=40,5Дж, I=1,5A, R=9 Ом.
Выразим t из формулы: $$t=\frac{Q }{I^{2}*R}$$ Подставим данные по условию значения: $$t=\frac{40,5}{1,5^{2}*9}=\frac{27}{1,5*9}=2$$
Задание 14
На каком рисунке изображено множество решений неравенства $$x^{2}-7x+12<0$$?
Рассмотрим выражение $$x ^{2}-7x +12$$. Приравняем его к 0 и найдем корни:
$$x ^{2}-7x +12= 0;\left\{\begin{matrix}x _{1}+x _{2} =7 \\x _{1}*x _{2}=12 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x _{1}=3; x _{2}=4;$$
Начертим координатную прямую, отметим на ней корни (точки пустые, так как неравенство строгое) и расставим знаки, которое принимает данное выражение на полученных промежутках:
Выберем тот, на котором принимает отрицательные значения. В итоге получаем 1 вариант ответа
Задание 15
Сколько потребуется кафельных плиток квадратной формы со стороной 20 см, чтобы облицевать ими стену, имеющую форму прямоугольника со сторонами 3,4 м и 4,8 м?
Задание 16
В окружности с центром O отрезки AC и BD — диаметры. Центральный угол AOD равен 34°. Найдите вписанный угол ACB. Ответ дайте в градусах.
Так как О - цент окружности, то $$\angle BOC=\angle AOD$$ (вертикальные) и BO и OC - радиусы. Тогда: $$\angle ACB=\frac{180-\angle AOD}{2}=\frac{180-34}{2}=73$$
Задание 17
Основания трапеции равны 10 и 18. Найдите длину отрезка, соединяющего середины диагоналей трапеции
Построим среднюю линию и диагонали как показано на рисунке. MK - средняя линия в треугольнике ABD, следовательно, $$MK=\frac{1}{2}AD=9$$. Аналогично, MN - средняя линия в треугольнике ABC, следовательно, $$MN=\frac{1}{2}BC=5$$. Тогда $$NK=9-5=4$$
Задание 18
Найдите длину средней линии трапеции, изображённой на рисунке.
Средняя линия вычисляется как полусумма оснований на высоту: $$\frac{5+9}{2}=7$$
Задание 19
В треугольнике ABC АВ = ВС = 13, AС = 10. Найдите tg A.
Проведем высоту BH. Так как треугольник равнобедренный, то BH - медиана, тогда: $$AH=5$$
По теореме Пифагора из треугольника ABH: $$BH=\sqrt{13^{2}-5^{2}}=12$$.
Следовательно, $$tg A=\frac{BH}{AH}=\frac{12}{5}=2,4$$
Задание 20
Какие из следующих утверждений верны?
В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов
1. Площадь квадрата равна произведению его диагоналей. - неверно, равна половине произведения диагоналей 2. Площадь параллелограмма равна произведению его соседних сторон - неверно, равна произведению сторон на синус угла между ними 3. Площадь трапеции равна произведению средней линии и высоты этой трапеции. - верно
Задание 21
Сократите дробь $$\frac{900^{n}}{5^{2n+3}*6^{2n-3}}$$
$$\frac{900^{n}}{5^{2n+3}*6^{2n-3}}=$$$$\frac{(30^{2})^{n}}{5^{2n+3}*6^{2n-3}}=$$$$\frac{(5*6)^{2n}}{5^{2n+3}*6^{2n-3}}=$$$$\frac{5^{2n}*6^{2n}}{5^{2n+3}*6^{2n-3}}=$$$$6^{2n-2n+3}*5^{2n-2-3}=\frac{6^{3}}{5^{3}}=1,728;$$
Задание 22
Из пункта А в пункт В с определённой скоростью выехал автомобилист. Если бы он ехал со скоростью на 12 км/ч меньше, то затратил бы на весь путь на один час больше, а если бы ехал со скоростью на 20 км/ч больше, то затратил бы на весь путь на один час меньше. С какой скоростью планировал проехать весь путь автомобилист?
Пусть х км\ч –скорость; у-расстояние, тогда время первого: $$\frac{y}{x }=t_{1}$$, время второго:$$\frac{y}{x -12}=t_{2}$$, время третьего: $$\frac{y}{x +70}=t_{3}$$. Составим систему уравнений в соответствии с условием задания: $$\left\{\begin{matrix}t_{2}-t_{1}=1 & & \\t_{1}-t_{3}=1 & &\end{matrix}\right. \Leftrightarrow $$$$\left\{\begin{matrix}\frac{4}{x -12}-\frac{y}{x }=1 & & \\\frac{y}{x }-\frac{y}{x +20}=1 & &\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$ \left\{\begin{matrix}y\left ( \frac{x -\left ( x -12 \right )}{\left ( x -12 \right )*x } \right )=1 & & \\y\left ( \frac{x +20-x }{x *\left ( x +20 \right )} \right )=1 & &\end{matrix}\right.;$$ Поделим первое уравнение на второе: $$\frac{12}{-x \left ( x -12 \right )}:\frac{20}{-x *\left ( x +20 \right )}=1;$$ $$\frac{3*\left ( x +20 \right )}{5*\left ( x -12 \right )}=1;$$ $$5x -60=3x +60;$$ $$2x =120\Rightarrow x =60;$$ км/ч скорость автобуса.
Задание 23
Постройте график функции $$y=|x-2|-|x+1|$$ и определите, при каких значениях k прямая y=kx имеет с графиком ровно три общие точки.
$$y=\left | x -2 \right |-\left | x +1 \right |$$. Уберем модули. $$x -2=0$$ при $$x=2$$, а $$x+1=0$$, при х=-1$$. Отметим полученные точки на координатной прямой и посмотрим, какие значения принимают подмодульные выражения на различных промежутках:
Получили три интервала:
1)$$\left\{\begin{matrix}x \leq -1\\y=-x +2+x +1=3 \end{matrix}\right.$$
2)$$\left\{\begin{matrix} -1<x<2\\y=-x +2-x -1=-2*x +1\end{matrix}\right.$$
3)$$\left\{\begin{matrix}x \geq 2 \\y=x -2-x -1=-3 \end{matrix}\right.$$
Построим график с учетом полученных интервалов и их кусочных функций:
Графиком функции $$y=kx$$ является прямая, проходящая через начало координат. Очевидно, что для 2х пересечений прямая должна пройти через координату (2;-3).
Найдем коэффициент k:
$$-3=k*2\Leftrightarrow$$$$k=-1,5$$
Тогда, для 3х пересечений, коэффициент должен быть больше, чем -1,5, но меньше 0, то есть $$k \in(-1,5;0)$$
Задание 24
Высота прямоугольной трапеции в три раза больше меньшего основания, а большее основание равно 5. Найдите площадь трапеции, если её диагональ является биссектрисой угла при меньшем основании.
1)AC-биссектриса $$\Rightarrow \angle BCA=\angle DCA;$$
$$\angle DAC=\angle BCA$$(накрест)$$\Rightarrow \angle DCA=\angle DAC\Rightarrow AD=CD=5;$$
2)$$CH||AB\Rightarrow AH=BC=x\Rightarrow HD=5-x$$ $$CH=3*x \Rightarrow \Delta CHD:5^{2}=\left ( 5-x \right )^{2}+3*x ^{2};$$
$$25=25-10x +x ^{2}+9x ^{2}\Rightarrow$$ $$10x ^{2}-10x =0\Rightarrow$$ $$10x \left ( x -1 \right )=0\Rightarrow$$$$x =0; x =1;$$
3)$$S=\frac{5+1}{2}*3=9;$$
Задание 25
В параллелограмме MNPK точка A — середина стороны MN. Известно, что AP=AK. Докажите, что данный параллелограмм — прямоугольник.
1) По свойству параллелограмма: MN=NP. По условию AN=AM и AP=AK. Тогда треугольники ANP и AMK равны по трем сторонам, следовательно $$\angle ANP=\angle AMK=x$$
2) По свойству параллелограмма: $$\angle ANP+\angle AMK=180$$, следовательно $$\angle ANP=\angle AMK=90$$, тогда MNPK - прямоугольник
Задание 26
В треугольнике АВС, площадь которого равна S, точка М середина стороны ВС, точка N на продолжении стороны АВ и точка К на продолжении стороны АС выбраны так, что AN = ½ AB, CK = ½ AC. Найти площадь треугольника MNK.
1)$$S_{MCR}=\frac{1}{4}*S$$
2)Пусть $$MR\left | \right |AC\Rightarrow AR=RB$$(RM-средняя линия)$$\Rightarrow AR=0,5*y=NA\Rightarrow AL$$-средняя линия $$\Rightarrow NL=LM\Rightarrow AL=\frac{1}{2}*RM=\frac{1}{4}*AC=\frac{1}{4}x ; LC=\frac{3}{4}x ;$$
3)$$S_{NMK}=S_{MCK}+S_{MCL}+S_{NLK}$$ $$S_{MCL}=\frac{1}{2}*\frac{3}{4}*S=\frac{3}{8}*S\Rightarrow S_{LMK}=\frac{3}{8}*S=\frac{5*S}{8};$$
4)KL-медиана$$\Rightarrow S_{MLK}=S_{KLN}=\frac{5*S}{8};$$
5) $$S_{MNK}=2*\frac{5*S}{8}=\frac{109}{8}=\frac{5S}{4};$$