ОГЭ математика 2019. Разбор варианта Алекса Ларина № 196.
Решаем ОГЭ 196 вариант Ларина. Подробное решение 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20 заданий тренировочного варианта ОГЭ Ларина №196 (alexlarin.com)
Решаем ОГЭ 196 вариант Ларина. Подробное решение 21,22,23,24,25,26 заданий тренировочного варианта ОГЭ Ларина №196 (alexlarin.com)
Задание 1
Найдите значение выражения $$(\frac{1}{5})^{-2}+5^{-4}:5^{-7}$$
$$(\frac{1}{5})^{-2}+5^{-4}:5^{-7}+\frac{5^{-4}}{5^{-7}}=$$$$5^{2}+5^{-4-(-7)}=$$$$25+5^{3}=$$$$25+125=150$$
Задание 2
Студент Васильевв выезжает из Наро-Фоминска в Москву на занятия в университет. Занятия начинаются в 9:00. В таблице приведено расписание утренних электропоездов от станции Нара до Киевского вокзала в Москве.
| Отправление от ст. Нара | Прибытие на Киевский вокзал |
| 06:35 | 07:59 |
| 07:05 | 08:15 |
| 07:28 | 08:30 |
| 07:34 | 08:57 |
Путь от вокзала до университета занимает 40 минут. Укажите время отправления от станции Нара самого позднего из электропоездов, которые подходят студенту.
- 06:35
- 07:05
- 07:28
- 07:34
Т.к. путь занимает 40 минут , а начало занятий в 9:00, то самое позднее прибытие в 8:20. Подходят электропоезд с отправлением в 06:35 и 07:05. Позже в 07:05. Следовательно, ответом будет 2 вариант ответа
Задание 3
На координатной прямой отмечены числа a, b и c. Какое из следующих утверждений об этих числах верно?
Варианты ответа
- $$b^{2}>c^{2}$$
- $$\frac{c}{a}>0$$
- $$a+b<c$$
- $$\frac{1}{b}<-1$$
Пусть $$a=-2, b=1, c=3$$ (т.к. $$\left | b \right |<\left | a \right |<\left | c \right |$$ и $$a<b<c$$)
- $$b^{2}>c^{2}\Leftrightarrow$$ $$1^{2}>3^{2}$$ - неверно
- $$\frac{c}{a}>0\Leftrightarrow$$ $$\frac{3}{-2}>0$$ - неверно
- $$a+b<c\Leftrightarrow$$ $$1+(-2)<3$$ - верно
- $$\frac{1}{b}<-1\Leftrightarrow$$$$\frac{1}{1}<-1$$ - неверно
Задание 4
Расположите в порядке убывания числа: 9,5; $$3\sqrt{10}$$; $$\sqrt{95}$$
Варианты ответа:
- 9,5; $$3\sqrt{10}$$; $$\sqrt{95}$$
- 9,5; $$\sqrt{95}$$; $$3\sqrt{10}$$
- $$\sqrt{95}$$; 9,5; $$3\sqrt{10}$$
- $$3\sqrt{10}$$; 9,5; $$\sqrt{95}$$
$$9,5=\sqrt{90,25}$$, $$3\sqrt{10}=\sqrt{90}$$. Тогда в порядке убывания :$$\sqrt{95}, \sqrt{90,25}, \sqrt{90}$$ или $$\sqrt{95}; 9,5; 3\sqrt{10}$$, что соответствует 2 варианту ответа
Задание 5
На рисунке изображен график движения автомобиля из пункта A в B пункт и автобуса из пункта B в пункт A. На сколько километров в час скорость автомобиля больше скорости автобуса?
Скорость автобуса: $$\frac{240}{5}=48$$ км/ч Скорость автомобиля: $$\frac{240}{3}=80$$ км/ч Разница скоростей: 80-48=32 км/ч
Задание 6
При каком значении x значения выражений 28-8x и -3x+20 равны?
$$28-8x=-3x+20\Leftrightarrow$$$$-8x+3x=20-28\Leftrightarrow$$$$-5x=-8\Leftrightarrow t=1,6$$
Задание 7
Государству принадлежит 60% акций предприятия, остальные акции принадлежат частным лицам. Общая прибыль предприятия после уплаты налогов за год составила 80 млн. рублей. Какая сумма из этой прибыли должна пойти на выплату частным акционерам?
Частным акционерам принадлежит 100-60=40% акций (прибыль). Тогда сумма в рублях составит : $$80*10^{6}*0,4=32*10^{6}$$
Задание 8
На диаграмме показан возрастной состав населения России. Определите по диаграмме, население какого возраста преобладает.
Варианты ответа:
- 0-14 лет
- 15-50 лет
- 51-64 лет
- 65 лет и более
Наибольший сегмент по площади соответствует возрасту 15-50 лет или второму варианту ответа
Задание 9
Антон бросает одновременно две игральные кости. Найдите вероятность того, что сумма выпавших очков кратна трём.
Общее количество возможных комбинаций из 2 чисел кубиков : $$6^{2}=36=N$$
Из них тех, что в сумме кратных 3 : 1 и 2;1 и 5; 2 и 1;2 и 4; 3 и 3; 3 и 6; 4 и 2; 4 и 5; 5 и 1;5 и 4;6 и 3;6 и 6 - всего 12 комбинаций =n (можно рассуждать: каждая тройка комбинаций даёт одну , кратную 3 ; всего троек \frac{36}{3}=12, следовательно, кратных трём тоже 12)
$$P=\frac{n}{N}=\frac{12}{36}=\frac{1}{3}$$
Задание 10
На рисунке изображены графики функций вида $$y=ax^{2}+c$$. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов a и c.
КОЭФФИЦИЕНТЫ
- $$a>0, c<0$$
- $$a<0, c>0$$
- $$a>0, c>0$$
- $$a<0, c<0$$
При $$a>0$$ –ветви параболы вверх, при $$a<0$$ - вниз. При $$c>0$$ - ордината точки пересечения графика функции и оси Oy больше 0, при $$c<0$$ - меньше 0. Тогда:
A) $$a>0, c>0\Rightarrow 3$$
Б) $$a<0, c>0\Rightarrow 2$$
B) $$a>0, c<0 \Rightarrow 1$$
Задание 11
Арифметическая прогрессия задана условием $$a_{n}=-0,9+0,8n$$ . Найдите a10
Найдем десятый член (вместо n подставим 10): $$a_{10}=-0,9+0,8*10=$$$$-0,9+8=7,1$$
Задание 12
Найдите значение выражения $$\frac{4xy}{x+4y}*(\frac{x}{4y}-\frac{4y}{x})$$, если $$x=4\sqrt{3}-4$$, $$y=\sqrt{3}-3$$
$$\frac{4xy}{x+4y}*(\frac{x}{4y}-\frac{4y}{x})=$$$$\frac{4xy}{x+4y}*\frac{x^{2}-(4y)^{2}}{4xy}=$$$$\frac{(x-4y)(x+4y)}{x+4y}=$$$$x-4y=4\sqrt{3}-4-4(\sqrt{3}-3)=$$$$4\sqrt{3}-4-4\sqrt{3}+12=8$$
Задание 13
Зная длину своего шага, человек может приближенно подсчитать пройденное им расстояние s по формуле s=nl, где n — число шагов, l — длина шага. Какое расстояние прошел человек, если l=65 см, n=1800? Ответ выразите в километрах.
65 см = $$\frac{65}{100}$$ метра = $$\frac{0,65}{1000}$$ км
$$S=\frac{0,65}{1000}*1800=$$$$0,65*1,8=1,17$$км
Задание 14
При каких значениях x значение выражения 6x−2 меньше значения выражения 7x+8?
Варианты ответа
- x > − 10
- x < − 10
- x < − 6
- x > − 6
$$6x-2<7x+8\Leftrightarrow$$ $$-2-8<7x-6x\Leftrightarrow$$ $$x>-10$$, что соответствует 1 варианту ответа
Задание 17
На окружности по разные стороны от диаметра AB взяты точки M и N. Известно, что $$\angle NBA = 48^{\circ}$$. Найдите угол NMB. Ответ дайте в градусах
$$\smile AB=180=\smile AN+\smile NB$$
$$\smile AN=2\angle NBA=96$$
$$\smile NB=180-96=84$$
$$\angle NMB=\frac{\smile NB}{2}=\frac{84}{2}=42$$
Задание 19
В остроугольном треугольнике ABC высота AH равна $$19\sqrt{21}$$ , а сторона AB равна 95. Найдите cos B.
$$\Delta ABH:$$ $$BH=\sqrt{95^{2}-(19\sqrt{21})^{2}}=$$$$\sqrt{9025-7581}=$$$$\sqrt{1444}=38$$
$$\cos B=\frac{BH}{AB}=\frac{38}{95}=0,4$$
Задание 20
Какие из следующих утверждений верны?
- Если точка лежит на биссектрисе угла, то она равноудалена от сторон этого угла;
- Если в треугольнике есть один острый угол, то этот треугольник остроугольный;
- Диагонали ромба равны. В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов
- Верно
- Неверно . Все три острых необходимо
- Неверно .Взаимоперпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам.
Задание 21
Решите систему уравнений: $$\left\{\begin{matrix}(x+y)^{2}+2x=35-2y\\ (x-y)^{2}-2y=3-2x\end{matrix}\right.$$
$$\left\{\begin{matrix}(x+y)^{2}+2x=35-2y\\(x-y)^{2}-2y=3-2x\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}(x+y)^{2}=35-2(x+y)\\(x-y)^{2}=3-2(x-y)\end{matrix}\right.$$
Пусть x+y=a; x-y=6
$$\left\{\begin{matrix}a^{2}=35-2a\\b^{2}=3-2b\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}a^{2}+2a-35=0\\b^{2}+2b-3=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\left[\begin{matrix}a=-7\\a=5\end{matrix}\right.\\\left[\begin{matrix}b=-3\\b=1\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.$$
Получаем четыре пары решений: (-7;-3);(-7;1);( 5;-3); (5;1)
1) $$\left\{\begin{matrix}x+y=-7\\x-y=-3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$2x=-10\Leftrightarrow$$ $$x=-5\Leftrightarrow$$ $$y=-2$$
2) $$\left\{\begin{matrix}x+y=-1\\x-y=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$2x=-6\Leftrightarrow$$$$x=-3\Leftrightarrow$$ $$y=-4$$
3) $$\left\{\begin{matrix}x+y=5\\x-y=-3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$2x=2\Leftrightarrow$$ $$x=1\Leftrightarrow$$ $$y=4$$
4) $$\left\{\begin{matrix}x+y=5\\x=y=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$2x=6\Leftrightarrow$$ $$x=3\Rightarrow$$ $$y=2$$
Задание 22
Два велосипедиста выезжают одновременно навстречу друг другу из пунктов А и В, расстояние между которыми 27 км. Через час велосипедисты встречаются и, не останавливаясь, продолжают ехать с той же скоростью. Первый прибывает в пункт В на 27 мин позже, чем второй в пункт А. Найдите скорость каждого велосипедиста.
Пусть y - скорость первого велосипедиста (в км\ч) , x - скорость второго. Раз через час встретились , то : $$\frac{27}{x+y}=1$$. Так как время певого на 27 минут меньше, то : $$\frac{27}{y}-\frac{27}{x}=\frac{27}{60}$$. Получим систему:
$$\left\{\begin{matrix}\frac{27}{x+y}=1\\\frac{27}{y}-\frac{27}{x}=\frac{27}{60}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x+y=27\\\frac{x-y}{xy}=\frac{1}{60}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x=27-y\\\frac{27-y-y}{(27-y)y}=\frac{1}{60}\end{matrix}\right.$$
$$(27-2y)*60=y(27-y)\Leftrightarrow$$$$1620-120y-27y+y^{2}=0\Leftrightarrow$$$$y^{2}-147y+1620=0$$
$$D=21609-6480=15129=123^{2}$$
$$y_{1}=\frac{147-123}{2}=12\Rightarrow$$ $$x=27-12=15$$
$$y_{2}=\frac{147+123}{2}=135\Rightarrow$$ $$x<0$$ – не подходит
Задание 23
Постройте график функции $$y=|x|x-|x|-6x$$ и определите, при каких значениях а прямая y = а имеет с графиком ровно две общие точки.
Раскроем модули $$y=\left\{\begin{matrix}x^{2}-7x, x\geq 0(1)\\-x^{2}-5x, x<0(2)\end{matrix}\right.$$
(1) Найдем вершину : $$x_{0}=-\frac{07}{2}=3,5$$, $$y_{x_{0}}=3,5^{2}-7*3,5=12,25-24,5=-12,25$$
(2) $$x_{0}=-\frac{-5}{-2}=-2,5$$, $$y(x_{0})=-(-2,5)^{2}-5(-2,5)=6,25$$
Построим график функции.
С учетом графика видно, что две точки пересечения будут только в том случае, когда прямая пройдет через одну из вершин парабол. Тогда: a=6,25 и a=-12,25
Задание 24
Средняя линия трапеции равна 10 и делит площадь трапеции в отношении 3:5. Найти длины оснований этой трапеции.
1) Пусть BC=x , тогда , т.к. MN-средняя линия , то BC+AD=2MN $$\Rightarrow$$ AD=2MN-BC=20-x
2) Пусть BK –высота и BH=HK=y. Тогда :
$$\frac{x+10}{2}*y=S_{MBCN}$$
$$\frac{10+20-x}{2}*y=S_{AMND}$$
Получаем:
$$\frac{\frac{10+x}{2}*y}{\frac{30-x}{2}*y}=\frac{3}{5}\Leftrightarrow$$ $$\frac{10+x}{30-}=\frac{3}{5}\Leftrightarrow$$ $$50+5x=90-3x\Leftrightarrow$$ $$8x=40\Leftrightarrow x=5$$, тогда: BC=5, AD=15
Задание 25
В равнобедренном треугольнике АВС из концов основания АС проведены прямые, которые составляют с основанием равные углы и пересекаются в точке М. Докажите равенство треугольников АВМ и ВСМ
Есть два случая расположения точки M:
1) $$\angle CAM =ACM \Rightarrow$$ $$\Delta ACM$$ –равнобедренный , тогда AM=MC
2) Треугольник ABC - ранвобедренный, следовательно, AB=BC.
3) BM - общая, следовательно, треугольники равны по трем сторонам.
Задание 26
В выпуклом четырехугольнике ABCD отрезок СМ, соединяющий вершину С с точкой М, расположенной на стороне AD, пересекает диагональ BD в точке К. Известно, что СК : КМ = 2 : 1, CD : DК = 5 : 3 и $$\angle ABD+\angle ACD=180^{\circ}$$. Найдите отношение стороны АВ и диагонали АС.
1) Пусть $$\angle ADB =\alpha$$ , $$\angle ADC=\beta$$
по т. Синусов : $$\Delta ABD$$: $$\frac{AB}{\sin \alpha }=\frac{AD}{\sin \angle ABD}(1)$$
$$\sin \angle BAD=$$$$\sin(180-\angle ACD)=$$$$\sin \angle ACD(2)$$
$$\Delta ACD$$ : $$\frac{AD}{\sin \angle ACD}=$$$$\frac{AC}{\sin \beta }(3)$$
Учитывая (1) и (2) и (3) : $$\frac{AB}{\sin \alpha }=\frac{AC}{\sin \beta }\Leftrightarrow$$ $$\frac{AB}{AC}=\frac{\sin\alpha }{\sin \beta }$$
2) Пусть MK=x $$\Rightarrow$$ CK=2x CM=3x, CD=5y $$\Rightarrow$$ DK=3y, $$\angle CMD=\delta$$
Из $$\Delta MDK$$ : $$\frac{x}{\sin \alpha }=\frac{3y}{\sin \delta }\Rightarrow$$ $$\sin \alpha =\frac{x\sin \delta }{3y}$$
Из $$\Delta MDC$$ : $$\frac{3x}{\sin \beta }=\frac{5y}{\sin \delta }\Rightarrow$$ $$\sin \beta =\frac{3x \sin \delta }{5y}$$
Тогда $$\frac{AB}{AC}=\frac{\sin \alpha }{\sin \beta }=$$$$\frac{x \sin \delta }{3y}*\frac{5y}{3x \sin \delta }=$$$$\frac{5}{9}$$