ОГЭ математика 2018. Разбор варианта Алекса Ларина № 147
Подробное решение 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20 заданий тренировочного варианта ОГЭ Ларина № 147 (alexlarin.com)
Подробное решение 21,22,23,24,25,26 заданий тренировочного варианта ОГЭ Ларина № 147
Задание 1
Найдите значение выражения: $$\frac{1}{\frac{1}{30}+\frac{1}{42}}$$.
$$\frac{1}{\frac{1}{30}+\frac{1}{42}}=\frac{1}{\frac{5+7}{2\cdot3\cdot5\cdot7}}=$$ $$=\frac{2\cdot3\cdot5\cdot7}{12}=17,5$$
Задание 2
| Одно из чисел, $$\sqrt{5}$$, $$\sqrt{8}$$, $$\sqrt{11}$$, $$\sqrt{14}$$ отмечено на прямой, точкой А. Какое это число? |
Варианты ответа:
1) $$\sqrt{5}$$;
2) $$\sqrt{8}$$;
3) $$\sqrt{11}$$;
4) $$\sqrt{14}$$.
$$2=\sqrt{4}$$ $$3=\sqrt{9}$$ $$\sqrt{5}$$ ближе к 2, чем $$\sqrt{8}$$ $$\Rightarrow $$ правильный ответ 1.
Задание 3
Найдите значение выражения: $$(\sqrt{75}+5)^{2}$$.
Варианты ответа:
1) 80;
2) 100;
3) $$100+50\sqrt{3}$$;
4) $$100+10\sqrt{75}$$.
$$(\sqrt{75}+5)^{2}=75+10\sqrt{75}+25=100+10\sqrt{75}=$$ $$=100+10\sqrt{25\cdot3}=100+50\sqrt{3}$$
Задание 4
Решите уравнение: $$\frac{3(x-3)+2x-1}{x-2}=4x+1$$
$$\frac{3(x-3)+2x-1}{x-2}=4x+1$$ $$x\neq 2$$ $$\frac{3x-9+2x-1}{x-2}=4x+1$$ $$\frac{5x-10}{x-2}=4x+1$$ $$\Leftrightarrow \frac{5(x-2)}{x-2}=4x+1$$ $$\Leftrightarrow 5=4x+1\Leftrightarrow x=1$$
Задание 5
На рисунке изображены графики функций вида $$y=kx+b$$ . Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов k и b.
Коэффициенты:
1) $$k>0, b<0$$;
2) $$k<0, b<0$$;
3) $$k<0, b>0$$;
4) $$k>0, b>0$$
|
A: $$k>0, b>0$$; Б: $$k>0, b<0$$; В: $$k<0, b>0$$ |
k отвечает за наклон; $$k>0$$ в первой и третьей; $$k<0$$ во второй и четвертой; b отвечает за пересечение оси 0y; $$b>0$$ над осью 0х, $$b<0$$ под осью 0х. |
Задание 6
Последовательность задана формулой $$a_{n}=\frac{15}{n+2}$$. Сколько членов этой последовательности больше 3?
$$a_{n}=\frac{15}{n+2}>3$$ $$15>3n+6$$ $$9>3n$$ $$n<3$$ С учетом $$n\in N$$ имеет 2 члена.
Задание 7
Найдите значение выражения: $$(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})\cdot((a+b)^{2}-\frac{a^{3}-b^{3}}{a-b})$$ при $$a=2-\sqrt{5}$$, $$b=\sqrt{5}-1$$
$$(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})\cdot((a+b)^{2}-\frac{a^{3}-b^{3}}{a-b})=$$ $$=\frac{b+a}{ab}\cdot(\frac{(a+b)^{2}(a-b)-a^{3}+b^{3}}{a-b})=$$ $$=\frac{a+b}{ab}\cdot(\frac{(a^{2}+2ab+b^{2})(a-b)-a^{3}+b^{3}}{a-b})=$$ $$=\frac{a+b}{ab}\cdot(\frac{a^{3}-a^{2}b+2a^{2}b-2ab^{2}+b^{2}a-b^{3}+b^{3}-a^{3}}{a-b})=$$ $$=\frac{a+b}{ab}\cdot \frac{a^{2}b-ab^{2}}{a-b}=$$ $$=\frac{(a+b)\cdot ab(a-b)}{ab(a-b)}=a+b=$$ $$=2-\sqrt{5}+\sqrt{5}-1=1$$
Другое решение:
$$(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})\cdot((a+b)^{2}-\frac{a^{3}-b^{3}}{a-b})=$$
$$\frac{a+b}{ab}\cdot(a^{2}+2ab+b^{2}-\frac{(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})}{a-b})=$$
$$=\frac{a+b}{ab}\cdot(a^{2}+2ab+b^{2}-a^{2}-ab-b^{2})=$$
$$=\frac{a+b}{ab}\cdot ab=a+b=2-\sqrt{5}+\sqrt{5}-1=1$$
Задание 8
Укажите наименьшее целое решение равенства: $$-3<\frac{5x+7}{4}<2$$
| $$-3<\frac{5x+7}{4}<2$$ | |$$\cdot 4$$ |
| $$-12<5x+7<8$$ | |-7 |
| $$-19<5x<1$$ | |$$\div 5$$ |
| $$-3,8<x<0,2$$ |
Задание 9
| В окружности с центром O отрезки AC и BD — диаметры. Центральный угол AOD равен 116°. Найдите вписанный угол ACB. Ответ дайте в градусах. |  |
$$\smile AB=180^{\circ}-116^{\circ}=64^{\circ}$$ $$\Rightarrow \angle ACB=64^{\circ}\div 2=32^{\circ}$$ (вписанный)
Задание 10
| Основания трапеции равны 7 и 14. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из её диагоналей. |  |
$$OM=\frac{1}{2}BC=3,5$$ $$OK=\frac{1}{2}AD=7$$
Задание 11
| Высота BH ромба ABCD делит его сторону AD на отрезки AH=5 и HD=8. Найдите площадь ромба. |  |
|
$$AD=5+8=13\Rightarrow AB=13$$ $$BH=\sqrt{13^{2}-5^{2}}=12$$ (по т. Пифагора) $$S=13\cdot 12=156$$ |
 |
Задание 12
В треугольнике ABC: $$AB=BC=10$$, $$AC=16$$. Найдите $$\tan A$$.
|
$$\tan A=\frac{BH}{AH}$$ BH - высота, медиана, биссектриса. $$\Rightarrow AH=\frac{1}{2}AC=8$$ $$BH=\sqrt{10^{2}-8^{2}}=6$$ ( по т. Пифагора) $$\tan A=\frac{6}{8}=0,75$$ |
 |
Задание 13
Какие из следующих утверждений верны?
1. Если радиус окружности равен 7, а расстояние от центра окружности до прямой
равно 5, то эти прямая и окружность не имеют общих точек.
2. Сумма двух противоположных углов четырёхугольника равна $$180^{\circ}$$.
3. Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит на
стороне этого треугольника.
1. Нет. Они пересекаются, прямая - секущая. 2. Нет. Только если вписан в окружность. 3. Да, на середине гипотенузы.
Задание 14
Площадь территории России составляет $$1,7\cdot 10^{7}$$ км2, а Норвегии — $$3,2\cdot 10^{5}$$ км2. Во сколько раз площадь территории России больше площади территории Норвегии?
Варианты ответа:
1) примерно в 1,9 раза
2) примерно в 5,3 раза
3) примерно в 53 раза
4) примерно в 530 раз
$$\frac{1,7\cdot 10^{7}}{3,2\cdot 10^{5}}=$$ $$=\frac{1,7\cdot 10^{2}}{3,2}=\frac{17\cdot 10}{3,2}\approx 53$$
Задание 15
| Мощность отопителя в автомобиле регулируется дополнительным сопротивлением, которое можно менять, поворачивая рукоятку в салоне машины. При этом меняется сила тока в электрической цепи электродвигателя – чем меньше сопротивление, тем больше сила тока и тем быстрее вращается мотор отопителя. На рисунке показана зависимость силы тока от величины сопротивления. На оси абсцисс откладывается сопротивление (в омах), на оси ординат – сила тока в амперах. Ток в цепи электродвигателя уменьшился с 8 до 6 А. На сколько омов при этом увеличилось сопротивление цепи? |
 |
Задание 16
Средний вес мальчиков того же возраста, что и Витя, равен 56 кг. Вес Вити составляет 70% среднего веса. Сколько килограммов весит Витя?
56 - 100% х - 70% $$x=\frac{56\cdot 10}{100}=39,2$$
Задание 17
Короткое плечо колодца с журавлём имеет длину 0,8 м, а длинное плечо — 8 м. На сколько метров поднимется конец короткого плеча, когда конец длинного опустится на 5 м?
|
$$\bigtriangleup ABC\sim \bigtriangleup CDE$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{AC}{CE}=\frac{AB}{DE}=\frac{CB}{CD}$$ $$\frac{x}{5}=\frac{0,8}{8}=\frac{1}{10}$$ $$\Rightarrow x=0,5$$ |
 |
Задание 18
В таблице представлены результаты четырех стрелков, показанные ими на тренировке.
| Номер стрелка | Число выстрелов | Число попаданий |
| 1 | 49 | 8 |
| 2 | 37 | 35 |
| 3 | 70 | 22 |
| 4 | 64 | 19 |
Тренер решил послать на соревнования того стрелка, у которого относительная частота
попаданий выше. Кого из стрелков выберет тренер? Укажите в ответе его номер.
| Частота | Номер |
| $$\frac{8}{49}$$ | 1 |
| $$\frac{35}{37}$$ | 2 |
| $$\frac{22}{70}$$ | 3 |
| $$\frac{19}{64}$$ | 4 |
Наибольшая $$\frac{35}{37}$$ у второго
Задание 19
В классе 21 учащийся, среди них два друга — Павел и Андрей. Класс случайным образом разбивают на 3 равные группы. Найдите вероятность того, что Павел и Андрей окажутся в одной группе.
Вероятность, что Павел в первую группу $$\frac{7}{21}$$, вероятность, что туда же Андрей $$\frac{6}{20}$$ (мест осталось 6, а человек 20) $$\Rightarrow$$ $$\frac{7}{21}\cdot \frac{6}{20}=0,3\cdot \frac{7}{21}$$ А таких групп 3 $$\Rightarrow$$ $$3\cdot \frac{7}{21}\cdot 0,3=0,3$$
Задание 20
Период колебания математического маятника (в секундах) приближённо можно вычислить по формуле $$T=2\sqrt{l}$$, где l — длина нити в метрах. Пользуясь этой формулой, найдите длину нити маятника (в метрах), период колебаний которого составляет 11 секунд.
$$T=2\sqrt{l}\Leftrightarrow 11=2\sqrt{l}$$ $$\Leftrightarrow$$ $$5,5=\sqrt{l}\Leftrightarrow l=30,25$$
Задание 21
Решите неравенство: $$x^{3}+2x^{2}-4x-8\geq 0$$
$$x^{3}+2x^{2}-4x-8\geq 0$$ $$x^{2}(x+2)-4(x+2)\geq 0$$ $$(x^{2}-4)(x+2)\geq 0\Leftrightarrow$$ $$(x-2)(x+2)(x+2)\geq 0$$
| $$\Leftrightarrow$$ $$(x-2)(x+2)^{2}\geq 0$$ |
Задание 22
В одном из двух сплавов серебра процент содержания серебра был на 25% выше, чем во втором. После их совместной переплавки был получен сплав, содержащий 30 % серебра. Найдите вес сплава до переплавки, если известно, что серебра в первом сплаве было 4 кг, а во втором – 8 кг.
Пусть х - масса первого сплава, а у - масса второго сплава, тогда $$\frac{4}{x}\cdot 100$$ - % первого сплава, $$\frac{8}{y}\cdot 100$$ - % второго. $$\left\{\begin{matrix}(\frac{4}{x}-\frac{8}{y})\cdot 100=25\\\frac{12}{x+y}\cdot 100=30\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\frac{4}{x}-\frac{8}{y}=\frac{1}{4}\\\frac{12}{x+y}=\frac{3}{10}\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\frac{4}{40-y}-\frac{8}{y}=\frac{1}{4}\\x=40-y\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\frac{4y-320+8y}{40y-y^{2}}=\frac{1}{4}\Leftrightarrow$$ $$48y-1280=40y-y^{2}$$ $$y^{2}+8y-1280=0$$ $$D=64+5120=72^{2}$$ $$y_{1}=\frac{-8+72}{2}=32$$ $$y_{2}< 0$$ $$x_{1}=40-32=8$$.
Задание 23
Постройте график функции $$y=x^{2}+3x-4\left|x+2\right|+2$$ и определите, при каких значениях m прямая $$y=m$$ имеет с графиком ровно три общие точки.
$$y=x^{2}+3x-4\left|x+2\right|+2$$
| $$\left\{\begin{matrix}x\geq -2\\y=x^{2}+3x-4x-8+2=x^{2}-x-6\end{matrix}\right.$$ |
$$x_{0}=-\frac{-1}{2}=0,5$$ $$y_{0}=0,25-0,5-6=-6,25$$ |
| $$\left\{\begin{matrix}x\leq -2\\y=x^{2}+3x+4x+8+2=x^{2}+7x+10\end{matrix}\right.$$ |
$$x_{0}=\frac{-7}{2}=-3,5$$ $$y_{0}=12,25-24,5+10=-2,25$$ |
Задание 24
Хорда, перпендикулярная диаметру окружности, делит этот диаметр на части длиной 8 см и 18 см. Найдите длину хорды.
|
1) Пос войству хорд: $$AM\cdot MB=CM\cdot MD$$; 2) $$OC=OD$$ - радиусы, $$OM$$ - общая, $$\angle OMC=\angle OMD=90^{\circ}$$ $$\Rightarrow$$ $$CM=MD=x$$; 3) $$x\cdot x=18\cdot 8$$ $$\Leftrightarrow$$ $$x^{2}=144$$ $$\Leftrightarrow$$ $$x=12\Leftrightarrow CD=24$$ см |
Задание 25
В выпуклом четырёхугольнике ABCD угол ABD равен углу ACD. Докажите, что угол АСВ равен углу ADB.
|
$$\angle ABD=\angle ACD$$ (по условию) $$\angle AOB=\angle COD$$ (вертикальные) $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup AOB\sim \bigtriangleup COD$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{AO}{OC}=\frac{BO}{OD}$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\frac{AO}{BO}=\frac{OC}{OD}$$ $$\angle BOC=\angle AOD$$ (вертикальные) $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup BOC=\bigtriangleup AOD$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle BDA=\angle OCB$$ ч.т.д. |
Задание 26
На боковых сторонах АВ и СD трапеции АВСD взяты точки М и N так, что отрезок MN параллелен основаниям и делит площадь трапеции пополам. Найдите длину MN, если $$BC=3\sqrt{2}$$, $$AD=4\sqrt{2}$$
|
Пусть $$BK=h_{1}$$; $$KC=h_{2}$$; $$MN=x$$. |
Тогда $$S_{ABCD}=\frac{AD+BC}{2}\cdot BL=\frac{7\sqrt{2}}{2}\cdot (h_{1}+h_{2})$$ $$S_{AMND}=\frac{MN+AD}{2}\cdot KL=\frac{x+4\sqrt{2}}{2}\cdot h_{2}$$ $$S_{MBCN}=\frac{MN+BC}{2}\cdot BK=\frac{3\sqrt{2}+x}{2}\cdot h_{1}$$ $$h_{2}\cdot\frac{x+4\sqrt{2}}{2} =h_{1}\cdot \frac{3\sqrt{2}+x}{2}$$ $$h_{1} = \frac{h_{2}\cdot(x+4\sqrt{2})}{x+3\sqrt{2}}$$ $$\frac{x+4\sqrt{2}}{2}\cdot h_{2} =\frac{1}{2}\cdot\frac{7\sqrt{2}}{2}(h_{1}+h_{2})$$
| $$\frac{x+4\sqrt{2}}{2}\cdot h_{2} =\frac{7\sqrt{2}}{4}(\frac{h_{2}(x+\sqrt{2}\cdot 4)}{x+3\sqrt{2}}+h_{2})$$ | |$$\div h_{2}\cdot 4$$ |
| $$2x+8\sqrt{2}=\frac{7\sqrt{2}(x+4\sqrt{2}+x+3\sqrt{2})}{x+3\sqrt{2}}$$ | |$$\cdot x+3\sqrt{2}$$ |
$$2x^{2}+6\sqrt{2}x+8\sqrt{2}x+48=14\sqrt{2}x+98$$
$$2x^{2}=50$$
$$x^{2}=25$$
$$x=5$$