ОГЭ математика 2019. Разбор варианта Алекса Ларина № 210.
Решаем ОГЭ 210 вариант Ларина. Подробное решение 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20 заданий тренировочного варианта ОГЭ Ларина № 210 (alexlarin.com)
Решаем ОГЭ 210 вариант Ларина. Подробное решение 21,22,23,24,25,26 заданий тренировочного варианта ОГЭ Ларина № 210 (alexlarin.com)
Задание 1
Найдите значение выражения $$(\frac{9}{16}+\frac{5}{18}):(2\frac{3}{4})^{2}-3\frac{1}{9}$$
$$(\frac{9}{16}+\frac{5}{18}):(2\frac{3}{4})^{2}-3\frac{1}{9}=$$$$\frac{81+40}{2*8*9}*(\frac{4}{11})^{2}-\frac{28}{9}=$$$$\frac{121}{16*9}*\frac{16}{121}-\frac{28}{9}=$$$$\frac{1}{9}-\frac{28}{9}=-3$$
Задание 2
Для квартиры площадью 65 кв. м заказан натяжной потолок белого цвета. Стоимость материалов с учётом работ по установке натяжных потолков приведена в таблице.
| Цвет потолка | Цена (в руб.) за 1 кв. м (в зависимости от площади помещения) | |||
| до 10 кв. м | от 11 до 30 кв. м | от 31 до 60 кв. м | свыше 60 кв. м | |
| Белый | 1200 | 1000 | 800 | 600 |
| Цветной | 1350 | 1150 | 950 | 750 |
Какова стоимость заказа, если действует сезонная скидка в 5%?
Варианты ответа
С учетом площади 65 м2 стоимость 1 кв.м составляет 600. Тогда общая стоимость без скидок 65*600=39000. С учетом скидки 5% оплатит 95% от суммы: 39000*0,95=37050, что соотвуетсвует 3 варианту ответа.
Задание 3
Между какими числами заключено число $$5\sqrt{3}$$
Варианты ответа
Преобразуем число в радикал: $$5\sqrt{3}=\sqrt{5^{2}*3}=\sqrt{75}$$
При этом $$\sqrt{64}<\sqrt{75}<\sqrt{81}\Rightarrow$$ $$8<5\sqrt{3}<9$$, что соответствует 2 варианту ответа
Задание 4
Представьте выражение $$\frac{(a^{-6})^{5}}{a^{-12}}$$ в виде степени с основанием a
Варианты ответа
- a-42
- a42
- a18
- a-18
$$\frac{(a^{-6})^{5}}{a^{-12}}=$$$$\frac{a^{-30}}{a^{-12}}=$$$$a^{-30-(-12)}=a^{-18}$$, что соответствует 4 варианту ответа.
Задание 5
На графике изображена зависимость атмосферного давления (в миллиметрах ртутного столба) от высоты над уровнем моря (в километрах). На какой высоте (в км) летит воздушный шар, если барометр, находящийся в корзине шара, показывает давление 340 миллиметров ртутного столба?
Давление 340 мм.рт.ст. будет на высоте 6 км.
Задание 6
Решите уравнение, если уравнение имеет более одного корня, укажите меньший из них $$\frac{3(x-2)+3x}{x-1}=x$$
$$\frac{3(x-2)+3x}{x-1}=x\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\frac{3(x-2+x)}{x-1}=x(1)\\x\neq 1\end{matrix}\right.$$
$$(1) :\frac{3(2x-2)}{x-1}-x=0\Leftrightarrow$$ $$\frac{6(x-1)}{x-1}-x=0\Leftrightarrow$$ $$6-x=0\Leftrightarrow$$ $$x=6$$
Задание 7
Чайник, который стоил 3800 рублей, продаётся с 15-процентной скидкой. При покупке чайника Аня отдала кассиру 5000 рублей. Сколько рублей сдачи она должна получить?
Стоимость чайника с учетом скидки составит 85% от начальной цены:
$$x=\frac{3800*85}{100}=3230$$ рублей
Тогда сдача составит: 5000-3230=1770 рублей.
Задание 9
В среднем на 96 карманных фонариков, поступивших в продажу, приходится четыре неисправных. Найдите вероятность того, что выбранный наудачу в магазине фонарик окажется исправен.
Количество исправных составит (96-4)=92 фонарика на 96 поступивших, следовательно, вероятность составит: $$P=\frac{92}{96}=\frac{23}{24}$$
Задание 10
Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.
ГРАФИКИ
ФОРМУЛЫ
- $$y=-\frac{2}{x}$$
- $$y=x^{2}-4$$
- $$y=-\frac{1}{2}-x$$
A – парабола вида $$y=a^{2}+b\Rightarrow$$ 2
Б - линейная функция вида $$y=kx+b\Rightarrow$$ 3
B –обратная пропорциональность вида $$y=\frac{k}{x}\Rightarrow$$ 1
Задание 11
Дана арифметическая прогрессия: 23; 17; 11; … . Найдите первый отрицательный член этой прогрессии.
Найдем разность арифметической прогрессии : $$d=a_{n+1}-a_{n}=17-23=-6$$. Тогда формула n-го члена выглядит: $$a_{n}=23-6(n-1)=29-6n$$. Необходимо найти первый отрицательный $$\Rightarrow$$ $$29-6n<0\Rightarrow$$ $$-6n-29\Rightarrow$$ $$n>\frac{29}{6}\Rightarrow$$ $$n=5$$
Задание 12
Найдите значение выражения $$(x-6)^{2}-x(x+12)$$ при $$x=-\frac{1}{6}$$
$$(x-6)^{2}-x(x+12)=$$$$x^{2}-12x+36-x^{2}-12x=$$$$-24x+36=-24*(-\frac{1}{6})+36=$$$$4+36=40$$
Задание 13
Период колебания математического маятника (в секундах) приближённо можно вычислить по формуле $$T=2\sqrt{l}$$ , где l — длина нити в метрах. Пользуясь этой формулой, найдите длину нити маятника (в метрах), период колебаний которого составляет 15 секунд.
Выразим из формулы длину нити маятника: $$T=2\sqrt{L}\Rightarrow$$ $$\sqrt{L}=\frac{T}{2}\Rightarrow$$ $$L=\frac{T^{2}}{4}$$
Найдем длину: $$L=\frac{15^{2}}{4}=56,25$$
Задание 14
На каком рисунке изображено множество решений неравенства $$x^{2}-2x-3\leq 0$$. Укажите неравенство, которое не имеет решений.
Рещим данное неравенство : $$x^{2}-2x-3\leq 0\Leftrightarrow$$ $$(x-3)(x+1)\leq 0\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x\geq -1\\x\leq 3\end{matrix}\right.$$ , что соответствует 1 варианту ответа.
Задание 15
Лестница соединяет точки A и B и состоит из 20 ступеней. Высота каждой ступени равна 10 см, а длина – 24 см. Найдите расстояние между точками A и B (в метрах).
Найдем диагональ одной ступени: $$\sqrt{10^{2}+24^{2}}=26$$ см. Тогда $$AB=20*26=520$$ см=5,2 м
Задание 16
Диагональ BD параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные 30° и 85°. Найдите меньший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
$$\angle B=30+85=115\Rightarrow$$ $$\angle A+\angle B=180$$ $$\angle A=180-\angle B=180-115=65$$
Задание 17
Сторона ромба равна 15, а диагональ равна 18. Найдите площадь ромба
Пусть $$BD\cap AC=H\Rightarrow$$ $$BH=HD=\frac{18}{2}=9$$ Из $$\Delta ABH$$: $$AH=\sqrt{AB^{2}-BH^{2}}=12$$$$\Rightarrow$$ $$AC=24$$
Задание 18
В треугольнике ABC угол C равен 90, AC=16, $$tg A=\frac{3}{4}$$ . Найдите AB.
1) $$tg A=\frac{BC}{AC}\Rightarrow$$ $$BC=AC tgA=16*\frac{3}{4}=12$$ 2) по т. Пифагора : $$AB=\sqrt{BC^{2}+AC^{2}}=20$$
Задание 19
Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.
$$\angle ABC=\frac{\angle AOC}{2}$$ (вписанный половине центрального, опирающегося на ту же дугу) $$\Rightarrow$$ $$\angle ABC=\frac{135}{2}=67,5$$
Задание 20
Какие из следующих утверждений верны?
В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов
Задание 21
Решите неравенство $$\frac{1}{x+1}-\frac{2}{x^{2}-x+1}\leq \frac{1-2x}{x^{3}+1}$$
$$\frac{1}{x+1}-\frac{2}{x^{2}-x+1}\leq \frac{1-2x}{x^{3}+1}$$
ОДЗ: $$x^{3}+1\neq 0\Rightarrow x\neq -1$$
Решение: $$\frac{1}{x+1}-\frac{2}{x^{2}-x+1}-\frac{1-2x}{(x+1)(x^{2}-x+1)}\leq 0\Leftrightarrow$$$$\frac{x^{2}-x+1-2x-2-1+2x}{x^{3}+1}\leq 0\Leftrightarrow$$ $$\frac{x^{2}-x-2}{x^{3}+1}\leq 0\Leftrightarrow$$ $$\frac{(x-2)(x+1)}{x^{3}+1}\leq 0\Leftrightarrow$$ $$\frac{x-2}{x^{2}-x+1}\leq 0\Leftrightarrow$$ $$x-2\leq 0\Rightarrow$$ $$x\leq 2$$
С учетом ОДЗ: $$x \in (-\infty ; -1)\cup (-1; 2]$$
Задание 22
Мастеру на выполнение заказа потребуется на 5 дней меньше, чем его ученику, но при совместной работе они выполнят заказ на 4 дня быстрее, чем мастер, работающий в одиночку. За сколько дней выполнит заказ мастер, работая в одиночку?
Пусть х (частей захода) –производительность мастера в день, у - ученика, 1 - весь заказ, тогда : $$\frac{1}{y}-\frac{1}{x}=5$$ (разница в 5 дней на весь заказ) и $$\frac{1}{x}-\frac{1}{x+y}=4$$ (на 4 дня вместе быстрее, чем один мастер)
$$\left\{\begin{matrix}\frac{1}{y}-\frac{1}{x}=5\\\frac{1}{x}-\frac{1}{x+y}=4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x-y=5xy\\x+y-x=4x(x+y)\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$
Сложим первое и второе: $$x=5xy+4x^{2}+4xy\Leftrightarrow$$ $$9xy+4x^{2}-x=0\Leftrightarrow$$ $$x(9y+4x-1)=0$$. Т.е. x-производительность, то $$x\neq 0$$ , следовательно, $$9y+4x-1=0\Rightarrow$$ $$y=\frac{1-4x}{9}$$. Подставим в первое:
$$\frac{9}{1-4x}-\frac{1}{x}=5\Leftrightarrow$$ $$\frac{9x-1+4x}{x-4x^{2}}=5\Leftrightarrow$$ $$13x-1=5x-20x^{2}\Leftrightarrow$$ $$20x^{2}+8x-1=0$$
$$D=64+80=144\Rightarrow$$ $$x_{1}=\frac{-8+12}{2*20}=\frac{1}{10}$$; $$x_{2}<0\Rightarrow$$ мастер выполнит заказ за $$\frac{1}{\frac{1}{10}}=10$$ дней.
Задание 23
Постройте график функции $$y=|x^{2}-4|x|+3|$$ и определите, какое наибольшее число общих точек график данной функции может иметь с прямой, параллельной оси абсцисс.
Рассмотрим модули: $$\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}x\geq 0\\y=\left | x^{2}-4x+3 \right |(1)\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}x<0\\y=\left | x^{2}+4x+3 \right |(2)\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.$$
Учтем, что парабола $$y=\left | ax^{2}+bx+c \right |$$ строится аналогично $$y=ax^{2}+bx+c$$ с учетом, что та часть параболы, которая была под Ox отображается симметрично относительно Ox. Найдем вершины параболы для (1) и (2)
(1) : $$x_{0}=-\frac{b}{2a}=-\frac{-4}{2}=2\Rightarrow$$ $$y_{0}=\left | 2^{2}-4*2+3 \right |=\left | -1 \right |=1$$
(2) : $$x_{0}=-\frac{4}{2}=-2\Rightarrow$$ $$y_{0}=\left | (-2)^{2}+4(-2)+3 \right |=1$$
Построим график:
Наибольшее количество точек равно 8 при $$a \in (0 ;1)$$ (для прямой y=a)
Задание 24
Основания трапеции равны 4 см и 16 см. Найдите ее площадь, если известно, что в трапецию можно вписать и вокруг нее можно описать окружность
1) Если около нее можно описать окружность , то это равнобедренная трапеция.
2) Если в нее можно вписать окружность, то сумма боковых сторон равна сумме оснований.
3) С учетом (1) и (2): $$AB=CD=\frac{4+16}{2}=10$$
4) Пусть $$CH\perp AD\Rightarrow$$ $$HD=\frac{AD-BC}{2}=\frac{16-4}{2}=6$$
5) по т . Пифагора из $$\Delta CHD$$: $$CH=\sqrt{CD^{2}-HD^{2}}=8$$
6) $$S_{ABCD}=\frac{BC+AD}{2}*CH=10*8=80$$
Задание 25
Две окружности с радиусами R и r касаются друг друга внешним образом в точке А. Общие касательные AD и BC к окружностям пересекаются в точке D. Докажите, что AD2=Rr.
1) По свойству касательных : CD=DA и DA=DB $$\Rightarrow$$ $$CD=DB\Rightarrow$$ AD-медиана $$\Rightarrow$$$$\angle CAB=90$$
2) Пусть $$\angle ACD=\alpha \Rightarrow$$ из $$\Delta ABC$$: $$\angle ABC=90-\alpha$$. Из $$\Delta O_{1}CD$$: $$\angle CO_{1}D=\angle ACD=\alpha$$ и $$\angle AO_{1}D=\angle CO_{1}D=\alpha$$. Аналогично , $$\angle ABC=\angle DO_{2}B=\angle DO_{2}A=90-\alpha$$. Тогда $$\angle O_{1}DO_{2}$$( из $$\Delta O_{1}D0_{2}$$) равен 90 ($$180-(\alpha +90-\alpha)$$)
3) из $$\Delta O_{1}CD$$: $$O_{1}D^{2}=O_{1}C^{2}+CD^{2}=R^{2}+AD^{2}$$. Из $$\Delta O_{2}DB$$: $$O_{2}D=DB^{2}+O_{2}B^{2}=r^{2}+AD^{2}$$. При этом $$O_{1}D^{2}+O_{2}D^{2}=O_{1}O_{2}^{2}=(R+r)^{2}$$. Тогда: $$R^{2}+r^{2}+2AD^{2}=$$$$R^{2}+2Rr+r^{2}\Rightarrow$$ $$AD^{2}=Rr$$
Задание 26
В треугольнике ABC биссектрисы AD и BE пересекаются в точке О. Найдите отношение площади четырехугольника DOEC к площади треугольника ABC, если AC:AB:BC = 4:3:2.
1) Пусть $$AC=4x; AB=3x;BC=2x$$.
2) По свойству биссектрисы $$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{DC}=\frac{3}{4}\Rightarrow$$ $$BD=\frac{3}{7}BC=\frac{6x}{7}$$; $$DC=\frac{4}{7}BC=\frac{8x}{7}$$. Аналогично, $$\frac{AB}{BC}=\frac{AE}{EC}=\frac{3}{2}\Rightarrow$$ $$AE=\frac{3}{5}AC=\frac{12x}{5}$$; $$EC=\frac{2}{5}AC=\frac{8x}{5}$$
3) Пусть $$EH\left | \right |OD\Rightarrow$$ по т. Фалеса : $$\frac{AE}{EC}=\frac{DH}{HC}=\frac{3}{2}\Rightarrow$$ $$DH=\frac{3}{5} DC=\frac{24x}{35}$$$$\Rightarrow$$ $$BH=\frac{54x}{35}$$
4)Пусть $$S_{ABCD}=S$$ $$\Rightarrow$$ при этом $$S_{BEC}=\frac{EC}{AC}S=\frac{2}{5}S$$; $$S_{BEH}=\frac{BH}{BC}S_{BEC}=$$$$\frac{54}{70}*\frac{2}{5}S=\frac{54S}{175}$$
5) т.к. $$OD\left | \right |EH$$, то $$\frac{S_{OBD}}{S_{BEH}}=(\frac{BD}{BH})^{2}=\frac{25}{81}$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{2 S}{3*7}=\frac{2S}{21}\Rightarrow$$ $$S_{DOEC}=S_{BEC}-S_{OBD}=$$$$\frac{2}{5}S-\frac{2S}{21}=\frac{32 S}{105}\Rightarrow$$$$ \frac{S_{DOEC}}{S_{ABC}}=\frac{32}{105}$$