ОГЭ математика 2019. Разбор варианта Алекса Ларина № 215.
Решаем ОГЭ 215 вариант Ларина. Подробное решение 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20 заданий тренировочного варианта ОГЭ Ларина № 215 (alexlarin.com)
Решаем ОГЭ 215 вариант Ларина. Подробное решение 21,22,23,24,25,26 заданий тренировочного варианта ОГЭ Ларина № 215 (alexlarin.com)
Задание 1
Найдите значение выражения $$18\cdot (\frac{1}{3})^{2}-5\frac{1}{3}$$
$$18\cdot (\frac{1}{3})^{2}-5\frac{1}{3}=$$$$18\cdot \frac{1}{9}-5,2=$$$$2-5,2=-3,2$$
Задание 2
В таблице даны рекомендуемые суточные нормы потребления (в г/сутки) жиров, белков и углеводов детьми от 1 года до 14 лет и взрослыми.
| Вещество | Дети от 1 года до 14 лет | Мужчины | Женщины |
| Жиры | 40–97 | 70–154 | 60–102 |
| Белки | 36–87 | 65–117 | 58–87 |
| Углеводы | 170–420 | 257–586 | |
Какой вывод о суточном потреблении жиров, белков и углеводов 13-летней девочкой можно сделать, если по подсчётам диетолога в среднем за сутки она потребляет 45 г жиров, 60 г белков и 150 г углеводов? В ответе укажите номера верных утверждений.
- Потребление жиров в норме.
- Потребление белков в норме.
- Потребление углеводов в норме
- Потребление жиров в норме - верно, так как $$45\in [40;97]$$
- Потребление белков в норме - верно, так как $$60\in [36;87]$$
- Потребление углеводов в норме - неверно, так как $$150\in [170;420]$$
Задание 3
Одно из чисел, $$\sqrt{5}$$, $$\sqrt{8}$$, $$\sqrt{11}$$, $$\sqrt{14}$$ отмечено на прямой, точкой А. Какое это число?
Варианты ответа:
- $$\sqrt{5}$$
- $$\sqrt{8}$$
- $$\sqrt{11}$$
- $$\sqrt{14}$$
$$A\in (2;3)$$, то есть $$A\in (\sqrt{4};\sqrt{9})$$. То есть это либо $$\sqrt{5}$$, либо $$\sqrt{8}$$. Так как А ближе к 2, то, следовательно, это $$\sqrt{5}$$, что соответствует 1 варианту ответа
Задание 4
Сколько целых чисел расположено между числами $$-\sqrt{50}$$ и $$-\sqrt{8}$$
$$-\sqrt{50}\in (-8;-7)$$ и $$-\sqrt{8}\in (-3;-2)$$. Следовательно, целые числа между ними: -7;-6;-5;-4;-3 - всего 5 чисел
Задание 5
При резком торможении расстояние, пройденное автомобилем до полной остановки (тормозной путь), зависит от скорости, с которой автомобиль двигался. На рисунке показан график этой зависимости. По горизонтальной оси откладывается скорость в километрах в час, по вертикальной — тормозной путь в метрах. Определите по графику, каким будет тормозной путь автомобиля, который двигается со скоростью 70 км/ч. Ответ дайте в метрах.
Значению скорости в 70 км/ч соответствует значение тормозного пути в 50 метров
Задание 6
Решите уравнение $$\frac{x+7}{5}-\frac{x-2}{3}=1$$
$$\frac{x+7}{5}-\frac{x-2}{3}=1\Leftrightarrow$$$$3x+21-5(x-2)=1*5*3\Leftrightarrow$$$$3x+21-5x+10=15\Leftrightarrow$$$$-2x=-16\Leftrightarrow$$$$x=8$$
Задание 7
Средний вес мальчиков того же возраста, что и Гоша, равен 66 кг. Вес Гоши составляет 120% среднего веса. Сколько килограммов весит Гоша?
Примем средний вес мальчиков за 100%, вес Гоши х кг. Составим пропорцию:
Тогда $$x=\frac{66*120}{100}=79,2$$ кг
Задание 8
Завуч подвёл итоги контрольной работы по математике в 9-х классах. Результаты представлены на диаграмме. Какие из утверждений относительно результатов контрольной работы верны, если всего в школе 120 девятиклассников?
- Более половины девятиклассников получили отметку «3».
- Около половины девятиклассников отсутствовали на контрольной работе.
- Отметку «4» или «5» получила примерно треть девятиклассников.
- Отметку «3», «4» или «5» получили менее 100 учащихся.
- Более половины девятиклассников получили отметку «3» - верно
- Около половины девятиклассников отсутствовали на контрольной работе - неверно
- Отметку «4» или «5» получила примерно треть девятиклассников - неверно
- Отметку «3», «4» или «5» получили менее 100 учащихся - верно
Задание 9
За круглый стол на 9 стульев в случайном порядке рассаживаются 7 мальчиков и 2 девочки. Найдите вероятность того, что девочки окажутся на соседних местах.
Пусть одна из девочек заняла какой-либо стул. Рядом с ним находятся два стула. При этом осталась одна девочка и семь мальчиков следовательно, вероятность того, что девочка займет один из стульев рядом : $$P=\frac{1}{8}=0,125$$ (1 девочка из 8 детей). Но так как стульев два, то вероятность того, что девочки будут сидеть рядом: $$0,125*2=0,25$$
Задание 10
График какой из приведенных ниже функций изображен на рисунке?
Варианты ответа
- $$y=x^{2}+4x-5$$
- $$y=-x^{2}-4x-5$$
- $$y=x^{2}-4x-5$$
- $$y=-x^{2}+4x-5$$
Ветви параболы направлены вверх, следовательно, коэффициент $$a$$ при $$x^{2}$$ положительный, то есть или 1 или 3 вариант ответа. При этом вершина параболы находится справа от 0, то есть абсцисса ее положительная $$x_{0}>0$$. Найдем абсциссу вершины для 1 и 3 варианта: $$x_{0}=-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{2}=-2$$ $$x_{0}=-\frac{-4}{2}=2$$ - абсцисса положительная, следовательно, это и является ответом.
Задание 11
Найдите сумму десяти первых членов арифметической прогрессии, заданной формулой $$a_{n}=0,3n+5$$
Найдем первый член прогрессии: $$a_{1}=0,3*1+5=5,3$$ Найдем десятый член прогрессии: $$a_{10}=0,3*10+5=8$$ Найдем сумму первых десяти членов: $$S_{10}=\frac{5,3+8}{2}*10=66,5$$
Задание 12
Найдите значение выражения $$(a+\frac{1}{a}+2)\cdot \frac{1}{a+1}$$, при $$a=-5$$
$$(a+\frac{1}{a}+2)\cdot \frac{1}{a+1}=$$$$\frac{a^{2}+2a+1}{a}\cdot \frac{1}{a+1}=$$$$\frac{(a+1)^{2}}{a}\cdot \frac{1}{a+1}=$$$$\frac{a+1}{a}=$$$$\frac{-5+1}{-5}=0,8$$
Задание 13
Центростремительное ускорение при движении по окружности (в м/с2) можно вычислить по формуле $$a=\omega ^{2}R$$, где $$\omega$$ — угловая скорость (в с-1), а R — радиус окружности. Пользуясь этой формулой, найдите расстояние R (в метрах), если угловая скорость равна 5 с-1, а центростремительное ускорение равно 100 м/с2 .
Выразим из формулы расстояние: $$R=\frac{a}{\omega^{2}}$$ Найдем значение расстояния: $$R=\frac{100}{5^{2}}=4$$
Задание 14
Найдите сумму наибольшего целого и наименьшего целого решения системы $$\left\{\begin{matrix}2x+5<3x+7\\ 5x-3\leq 4x+3\end{matrix}\right.$$
$$\left\{\begin{matrix}2x+5<3x+7\\ 5x-3\leq 4x+3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{matrix}5-7<3x-2x\\ 5x-4x\leq 3+3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{matrix}x>-2\\ x\leq 6\end{matrix}\right.$$ Так как первое неравенство строгое, то -2 в ответ не входит, следовательно, наименьшее целое будет -1. Наибольше же целое составляет 6. Тогда их сумма : $$-1+6=5$$
Задание 15
Лестница соединяет точки A и B. Высота каждой ступени равна 30 см, а длина — 40 см.Расстояние между точками A и B составляет 7,5 м. Найдите высоту, на которую поднимается лестница (в метрах).
Найдем диагональ одной ступеньки: $$\sqrt{30^{2}+40^{2}}=50$$ см, что составляет 0,5 метра. Тогда количество ступенек составляет : $$\frac{7,5}{0,5}=15$$ штук. Следовательно, высота лестницы составит: $$15*30=450$$ см, что равно 4,5 метров
Задание 16
В треугольнике ABC известно, что AB=BC, ∠ABC=104°. Найдите ∠BCA. Ответ дайте в градусах
Так как дан равнобедренный треугольник, то $$\angle A=\angle C$$. Тогда $$\angle C=\frac{180-\angle B}{2}=\frac{180-104}{2}=38$$
Задание 17
Основания равнобедренной трапеции равны 62 и 92, боковая сторона равна 39. Найдите длину диагонали трапеции.
- Опустим высоты BH и CM. Тогда AH=MD, BC=HM ($$\Delta ABH=\Delta CMD$$ по катету и гипотенузе)
- $$AH=MD=\frac{AD-BC}{2}=15$$, тогда $$AM=15+62=77$$
- Из $$\Delta CMD$$: $$CM=\sqrt{CD^{2}-MD^{2}}=36$$
- Из $$\Delta ACM$$: $$AC=\sqrt{AM^{2}+CM^{2}}=85$$
Задание 18
Площадь ромба равна 15, а периметр равен 20. Найдите высоту ромба.
Найдем сторону ромба: $$a=\frac{P}{4}=5$$ Найдем высоту ромба: $$h=\frac{S}{a}=3$$
Задание 19
Найдите тангенс угла AOB, изображённого на рисунке.
$$tg AOB=\frac{3}{5}=0,6$$
Задание 20
Какие из следующих утверждений верны?
- Площадь трапеции равна произведению основания трапеции на высоту.
- Площадь треугольника меньше произведения двух его сторон.
- В любой четырёхугольник можно вписать окружность.
В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов
- Площадь трапеции равна произведению основания трапеции на высоту - неверно, так как равна половине произведения суммы оснований на высоту
- Площадь треугольника меньше произведения двух его сторон - верно, так как по формуле идет половина произведения сторон, на синус угла между ними, а максимальное значение синуса равно 1, следовательно, площадь треугольника минимум в два раза меньше произведения его сторон
- В любой четырёхугольник можно вписать окружность - неверно, только тот, у которого сумма противоположных сторон равна
Задание 21
Решите уравнение $$(x^{2}-16)^{2}+(x^{2}+3x-4)^{2}=0$$
Так как дана сумма двух квадратов, и каждый из них число неотрицательное, то ноль в сумме будет лишь в том случае, когда оба слагаемых одновременно равны 0: $$\left\{\begin{matrix}x^{2}-16=0\\x^{2}+3x-4=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x=\pm 4\\x_{1}=-4; x_{2}=1\end{matrix}\right.$$ Как видим, -4 является корнем в обоих случаях, следовательно, это и будет корнем начального уравнения
Задание 22
Бассейн наполняется из двух труб за 7,5 часов. Если открыть только первую трубу, то бассейн наполнится на 8 часов быстрее, чем если открыть только вторую трубу. Сколько времени будет наполнятся бассейн второй трубой?
Пусть х (частей бассейна в час) - производительность первой трубы, y - второй, 1 - весь объем бассейна. Тогда, время совместного наполнения бассейна находится как: $$\frac{1}{x+y}=7,5$$. Время наполнения только второй $$\frac{1}{y}$$, первой $$\frac{1}{x}$$.
Тогда: $$\left\{\begin{matrix}\frac{1}{x+y}=7,5\\\frac{1}{y}-\frac{1}{x}=8 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}15(x+y)=2\\\frac{1}{y}-\frac{1}{x}=8 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x=\frac{2-15y}{15}\\\frac{1}{y}-\frac{1}{x}=8\end{matrix}\right.$$ Подставим во второе уравнение: $$\frac{1}{y}-\frac{15}{2-15y}=8\Leftrightarrow$$$$2-15y-15y=16y-120y^{2}\Leftrightarrow$$$$60y^{2}-23y+1=0$$
Задание 23
Постройте график функции $$y=x^{2}-5x+10-3|x-2|$$ и определите, при каких значениях а прямая y=а+3 будет иметь с графиком три общие точки.
Расскароем модуль:
$$\left\{\begin{matrix}x-2\geq 0\Rightarrow y=x^{2}+5x+10-3x+6\\x-2< 0\Rightarrow y=x^{2}+5x+10+3x-6\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{matrix}y=x^{2}-8x+16=(x-4)^{2},x\geq 0(1)\\y=x^{2}-2x+4, x<0(2)\end{matrix}\right.$$
В случае (1) дана парабола, ветви которой направлены вниз, получается она путем сдвига параболы вида $$y=x^{2}$$ на 4 единицы вправо по Ох.
В случае (2): найдем вершину: $$x_{0}=-\frac{-2}{2}=1$$, тогда $$y_{0}=1^{2}-2*1+4=3$$
Начертим оба графика:
Видим, что прямая $$y=a+3$$ будет иметь с графиком три общие точки в том случае, когда $$a+3=4\Leftrightarrow a=1$$ и $$a+3=3\Leftrightarrow a=0$$
Задание 24
Найдите площадь равнобедренного треугольника, если высота, опущенная на основание равна 10 см, а высота, опущенная на боковую сторону равна 12 см.
1) Опустим высоту BH и высоту AM=12. Так как треугольник равнобедренный, то AH=HC=x. Пусть BC=y. Тогда из треугольника BHC: $$BH^{2}+HC^{2}=BC^{2}$$.
2) другой стороны из площади треугольника через его сторону и проведенную к ней высоту получим : $$BH*AC=AM*BC$$. Тогда: $$\left\{\begin{matrix}10^{2}+x^{2}=y^{2}\\10*2x=12*y\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}10^{2}+x^{2}=(\frac{5x}{3})^{2}\\ y=\frac{5x}{3}\end{matrix}\right.\Rightarrow$$ $$900+9x^{2}=25x^{2}\Rightarrow$$ $$x=7,5$$
3) Площадь треугольника в таком случае: $$S=\frac{1}{2}AC*BH=\frac{1}{2}*2*7,5*10=75$$
Задание 25
Биссектрисы углов B и C трапеции ABCD пересекаются в точке О, лежащей на стороне AD. Докажите, что точка О равноудалена от прямых АВ, ВС и CD
1) Пусть OH, OM и OK - расстояния до AB, BC и CD соответственно.
2) Для угла ABC: OH=OM по свойству биссектрисы. Аналогично для угла DCB: OK=OM. Следовательно, OH=OK=OM
Задание 26
Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник АВС касается катетов АС и ВС в точках L и K соответственно. АL = 12 см, ВК = 8 см. Найдите площадь треугольника ВОМ, где О – центр вписанной в треугольник окружности, М – точка пересечения медиан треугольника АВС.
1) Пусть окружжность окружность касается AB в точке H. По свойству касательных: CL=CK=x, KB=BH=8, AL=AH=12. Тогда AC=12+x, BC=8+x, AB=20. Тогда по теореме Пифагора: $$(12+x)^{2}+(8+x)^{2}=20^{2}\Leftrightarrow$$$$x=4$$
2) Так как $$OK\perp BC, OL\perp AC$$ (радиус проведенный в точку касания) и $$OK=OL$$, то CLOK - квадрат, следовательно, OK=4
3) Пусть OB пересекает AC в точке R, тогда треугольники RCB и OKB подобны (прямоугольные с общим острым углом) и $$\frac{RC}{OK}=\frac{CB}{KB}=\frac{3}{2}$$. Тогда RC=6
4) $$S_{RCB}=\frac{1}{2}RC*CB=36$$, $$S_{DCB}=\frac{1}{2}DC*CB=48$$, тогда $$S_{DRB}=48-36=12$$
5) $$\frac{DM}{MB}=\frac{1}{2}$$ (по свойству медианы), но из подобия RCB и OKB: $$\frac{RO}{OB}=\frac{1}{2}$$, а так как угол DBR - общий, то треугольники MOB и DRB - подобны, и $$S_{MOB}=(\frac{MB}{DB})^{2}S_{DRB}=(\frac{2}{3})^{2}*12=\frac{16}{3}$$