ОГЭ математика 2019. Разбор варианта Алекса Ларина № 204.
Решаем ОГЭ 204 вариант Ларина. Подробное решение 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20 заданий тренировочного варианта ОГЭ Ларина № 204 (alexlarin.com)
Решаем ОГЭ 204 вариант Ларина. Подробное решение 21,22,23,24,25,26 заданий тренировочного варианта ОГЭ Ларина № 204 (alexlarin.com)
Задание 1
Найдите значение выражения $$0,35:\frac{7}{9}+\frac{8}{25}$$
$$0,35*\frac{7}{9}+\frac{8}{25}=$$$$\frac{35}{100}*\frac{9}{7}+\frac{32}{100}=$$$$\frac{45+32}{100}=0,77$$
Задание 2
В таблице представлены цены (в рублях) на некоторые товары в трёх магазинах:
| Магазин | Орехи (за кг) | Шоколад (за плитку) | Зефир (за кг) |
| «Бином» | 600 | 45 | 144 |
| «Лилия» | 585 | 65 | 116 |
| «Сура» | 660 | 53 | 225 |
Валентина хочет купить 0,4 кг орехов, 5 плиток шоколада и 1,5 кг зефира.
В каком магазине стоимость такой покупки будет наименьшей, если в «Суре» проходит акция — скидка 20% на развесные продукты, а в «Биноме» скидка 10% на весь ассортимент?
- В магазине «Бином»
- B магазине «Лилия»
- B магазине «Сура»
- Во всех магазинах стоимость покупки будет одинаковой
Стоимость покупки:
В Биноме самая дешевая, что соответствует 2 варианту ответа
Задание 3
На координатной прямой точками отмечены числа 2/9; 3/13; 0,24; 0,21.
Какому числу соответствует точка А?
Варианты ответа
- 2/9
- 3/13
- 0,24
- 0,21
Рассмотрим данные числа: $$\frac{2}{9}\approx 0,22$$ , $$\frac{3}{13}\approx 0,23$$ ; Следовательно , наименьшее из представленных чисел 0,21, что соответствует числу A и 4 варианту ответа
Задание 4
Найдите значение выражения $$\sqrt{0,8}*\frac{1}{\sqrt{20}}$$
$$\sqrt{0,8}*\frac{1}{\sqrt{20}}=$$$$\sqrt{\frac{0,8}{20}}=$$$$\sqrt{\frac{4}{100}}=0,2$$
Задание 5
На рисунке показано, как изменялась температура воздуха на протяжении одних суток. По горизонтали указано время суток, по вертикали — значение температуры в градусах Цельсия. Сколько часов температура не превышала - 6 С?
Температура не превышала -6 с 0:00 до 9:00 (9 часов) с 18:00 до 0:00 (6 часов) , т.е. 15 часов в сумме
Задание 6
Решите уравнение $$x^{2}-10(x-6)=6x-4$$
$$x^{2}-10(x-6)=6x-4\Leftrightarrow$$$$x^{2}-10x+60-6x+4=0\Leftrightarrow$$$$x^{2}-16x+64=0\Leftrightarrow$$ $$(x-8)^{2}=0\Leftrightarrow x=8$$
Задание 7
Брюки стоят 1200 рублей, а пиджак — 1600 рублей за килограмм. На сколько процентов брюки дешевле пиджака?
Пусть 1600 руб -100% , тогда 1200 руб –x %. Найдем x : $$x=\frac{1200*100}{1600}=7$$5% . Следовательно, брюки дешевле на 100-75=25% .
Задание 9
В турнире чемпионов участвуют 6 футбольных клубов: «Интер», «Лион», «Ювентус», «Аякс», «Рома» и «Тоттенхем». Команды случайным образом распределяют на две группы по три команды. Какова вероятность того, что «Интер» и «Ювентус» окажутся в одной группе?
Пусть Ювентус уже находится в группе . Тогда свободных мест в ней остается 2. При этом команд 5. Следовательно, вероятность , что Интер попадет в эту же группу: $$P=\frac{2}{5}=0,4$$
Задание 10
Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.
ГРАФИКИ
ФОРМУЛЫ
- $$y=-x^{2}-2$$
- $$y=-\frac{1}{x}$$
- $$y=\frac{1}{x}$$
- $$y=\frac{1}{2}x$$
Задание 11
Дана геометрическая прогрессия 15, 45, ... Какое число стоит в этой последовательности на 6 - м месте?
Найдем знаменатель геометрической прогрессии : $$q=\frac{b_{n+1}}{b_{n}}=\frac{45}{15}=3$$ Найдем 6-ой член: $$b_{n}=b_{1}*q^{n-1}\Rightarrow$$ $$b_{6}=15*3^{6-1}=15*243=3645$$
Задание 12
Найдите значение выражения $$(\frac{a-b}{a^{2}+ab}+\frac{1}{a}):\frac{a}{a+b}$$, при $$a=\frac{1}{3}; b=\sqrt{3}$$
$$(\frac{a-b}{a^{2}+ab}+\frac{1}{a}):\frac{a}{a+b}=$$$$(\frac{a-b}{a(a+b)}+\frac{a+b}{a(a+b)})*\frac{a+b}{a}=$$$$\frac{2a}{a(a+b)}*\frac{a+b}{a}=$$$$\frac{2}{a}=\frac{2}{\frac{1}{3}}=6$$
Задание 13
Расстояние s (в метрах) до места удара молнии можно приближенно вычислить по формуле S = 330t, где t — количество секунд, прошедших между вспышкой молнии и ударом грома. Определите, на каком расстоянии от места удара молнии находится наблюдатель, если t = 15. Ответ дайте в километрах, округлив его до целых.
Найдем расстояние в метрах: S=330*15=4950 Представим в километрах: $$\frac{4950}{1000}=4,95\approx 5$$ км.
Задание 14
Решите неравенство $$x^{2}-3x \leq 0$$
Варианты ответа:
- $$(-\infty;0)\cup (3;+\infty)$$
- $$[0;3]$$
- $$(0;3)$$
- $$(-\infty;0]\cup [3;+\infty)$$
$$x^{2}-3x\leq 0\Leftrightarrow$$ $$x(x-3)\leq 0\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x\geq 0\\x\leq 3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$x \in [0;3]$$, что соответствует 2 варианту ответа.
Задание 15
Две трубы, диаметры которых равны 36 см и 48 см, требуется заменить одной, площадь поперечного сечения которой равна сумме площадей поперечных сечений двух данных. Каким должен быть диаметр новой трубы? Ответ дайте в сантиметрах.
Пусть площадь новой S ( R - ее радиус ), $$S_{1}$$ и $$S_{2}$$ – площадь старых ($$R_{1}$$ и $$R_{2}$$ их радиусы ); Тогда : $$S=S_{1}+S_{2}\Leftrightarrow$$ $$\pi R^{2}=\pi R^{2}_{1}+\pi R^{2}_{2}\Leftrightarrow$$ $$R=\sqrt{R^{2}_{1}+R^{2}_{2}}=60$$
Задание 16
Окружность с центром в точке О описана около равнобедренного треугольника АВС, в котором АВ = ВС и $$\angle ABC=138^{\circ}$$. Найдите величину угла ВОС. Ответ дайте в градусах.
1) из $$\Delta ABC$$: $$\angle BAC=\angle BCA=\frac{180-\angle ABC}{2}=21$$ 2) из $$\angle BOC=2\angle BAC=42$$ (центральный в 2 раза больше вписанного на ту же дугу опирающегося)
Задание 17
В треугольнике ABC BM – медиана и BH – высота. Известно, что AC=97 и BC=BM. Найдите AH.
1) $$AM=MC=\frac{1}{2} AC$$ ( BM - медиана )
2) $$MH=HC=\frac{1}{2}MC=\frac{1}{4}AC$$ ( BH - медиана и высота, т.к. $$\Delta MBC$$ - равнобедренный )
3) Тогда: $$AH=AM+MH=\frac{3}{4}AC=72,75$$
Задание 18
В треугольнике со сторонами 15 и 3 проведены высоты к этим сторонам. Высота, проведённая к первой стороне, равна 1. Чему равна высота, проведённая ко второй стороне?
$$S=\frac{1}{2} AH*BC=\frac{1}{2} AC*BM\Rightarrow$$ $$AH*BC=AC*BM$$
Пусть BC=15, AC=3, AH=1, тогда $$BM=\frac{AH*BC}{AC}=\frac{1*15}{3}=5$$
Задание 19
Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.
Пусть О - центр круга, тогда: $$\angle AOC=45$$(центральный) $$\Rightarrow$$ $$\angle ABC=\frac{\angle AOC}{2}=22,5$$ (вписанный)
Задание 20
Какие из следующих утверждений верны?
- Если в параллелограмме диагонали равны и перпендикулярны, то этот параллелограмм — квадрат.
- Площадь трапеции равна произведению средней линии на высоту.
- Диагонали любого прямоугольника делят его на 4 равных треугольника.
В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов
1)Да 2)Да 3)Нет, равных по площади
Задание 21
Решите систему уравнений $$\left\{\begin{matrix} x+4y=18\\x^{2}+y^{2}=20\end{matrix}\right.$$
$$\left\{\begin{matrix}x+4y=18\\x^{2}+y^{2}=20\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x=18-4y\\(18-4y)^{2}+y^{2}=20\end{matrix}\right.$$
$$324-144y+16y^{2}+y^{2}-20=0\Leftrightarrow$$$$17y^{2}-144y+304=0$$
$$D=20736-20672=64$$
$$y_{1}=\frac{144+8}{34}=\frac{76}{77}\Rightarrow$$ $$x_{1}=18-4*\frac{76}{77}=\frac{2}{17}$$
$$y_{2}=\frac{144-8}{34}=4\Rightarrow$$ $$ x_{2}=18-4*4=2$$
Задание 22
Из А в В и из В в А одновременно вышли два пешехода. Когда первый прошел половину пути, второму до конца пути осталось пройти 24 км, а когда второй прошел половину пути, первому до конца пути осталось пройти 15 км. Сколько километров остаётся пройти второму пешеходу после того, как первый закончит переход?
Пусть S –длина пути(км) , x км\ч- скорость первого , y (км\ч) –скорость второго, тогда:
$$\left\{\begin{matrix}\frac{S}{2x}=\frac{S-24}{y}\\\frac{S}{2y}=\frac{S-15}{x}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\frac{Sy}{2x}=S-24\\\frac{Sx}{2y}=S-15\end{matrix}\right.$$
Умножим первое на второе:
$$\frac{S^{2}}{4}=(S-24)(S-15)\Leftrightarrow$$ $$S^{2}-52 S+480=0\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}S_{1}+S_{2}=52\\S_{1}*S_{2}=480\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}S_{1}=40\\S_{2}=14\end{matrix}\right.$$
$$S_{2}<24\Rightarrow$$ $$S=40\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\frac{20y}{x}=16\\\frac{20x}{y}=25\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}16x=20y\\20x=25y\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$x=1,25y$$
Тогда второй пройдет :$$\frac{S}{x}*y=\frac{40}{1,25y}*y=32\Rightarrow$$ ему останется 40-32=8 км.
Задание 23
Постройте график функции $$y=1+\frac{x-3}{x^{2}-3x}$$ и определите, при каких значениях а прямая y=а не имеет с графиком ни одной общей точки.
$$y=1+\frac{x-3}{x^{2}-3x}$$$$\Leftrightarrow$$ $$y=1+\frac{x-3}{x(x-3)}$$$$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}y=1+\frac{1}{x}\\x-3\neq 0\end{matrix}\right.$$
Начертим график данной функции:
Найдем оординату точки А: $$y(3)=1+\frac{1}{3}=\frac{4}{3}$$
Т.к. $$y=a$$ – прямая, параллельная Ox, то не будет иметь общих точек при $$a=\frac{4}{3}$$ (проходит через А) и $$a=1$$ (проходит через горизонтальную асимптоту)
Задание 24
Биссектриса AD равнобедренного треугольника АВС делит его на треугольники АВD и ACD площадью 4 см2 и 2 см2 соответственно. Найдите стороны треугольника АВС, если АС – его основание.
1) Т.к. $$\Delta ABD$$ и $$\Delta ADC$$ имеют общую вершину A , то : $$\frac{S_{ABD}}{S_{ADC}}=\frac{BD}{DC}=\frac{4}{2}=\frac{2}{1}$$. Пусть $$BD=2x$$, тогда $$DC=x$$ и $$AB=BC=3x$$
2) По свойству биссектрисы: $$\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}=\frac{2}{1}$$, тогда $$AC=\frac{AB}{2}=1,5 x$$
3) $$S_{ABC}=4+2=6$$, По формуле Герона : $$p=\frac{AB+BC+AC}{2}=\frac{15x}{4}$$; $$6=\sqrt{(\frac{15x}{4}-3x)^{2}*(\frac{15x}{4}-\frac{3x}{2})*\frac{15x}{4}}$$$$\Leftrightarrow$$ $$\frac{9x^{2}}{16}\sqrt{15}=6$$$$\Leftrightarrow$$ $$x=\frac{4\sqrt{6}}{3\sqrt[4]{15}}$$. Тогда $$AB=BC=\frac{4\sqrt{16}}{\sqrt[4]{15}}$$ и $$AC=\frac{2\sqrt{6}}{\sqrt[4]{15}}$$
Задание 25
Дан равнобедренный треугольник АВС с основанием АС. Вписанная в него окружность с центром О касается боковой стороны ВС в точке Р и пересекает биссектрису угла В в точке М. Докажите, что отрезки МР и ОС параллельны.
1) Пусть $$\angle PCO=x$$, тогда $$\angle POC=90-x$$ ($$OP\perp BC$$ как радиус в точку касания )
2) $$\Delta OHC=\Delta OPC$$$$\Rightarrow$$ $$\angle OCH=x$$$$\Rightarrow$$ $$\angle HBC=90-2x$$$$\Rightarrow$$ из $$\Delta OBP$$: $$\angle BOP=2x$$
3) из $$\Delta MOP$$ ($$MO=OP$$ - радиусы): $$\angle OMP=\angle MPO=\frac{180-2x}{2}=90-x=\angle POC$$$$\Rightarrow$$ накрест лежащие углы равны и $$MP\left | \right |OC$$
Задание 26
Диагонали с длинами $$\sqrt{7}$$ и 4 делят четырехугольник на части, площади которых образуют арифметическую прогрессию. Найдите площадь четырёхугольника, зная, что угол между большей диагональю и меньшей из сторон равен 30.
1) Пусть $$S_{AOD}=a_{1}$$; $$S_{AOB}=a_{2}$$; $$S_{BOC}=a_{3}$$; $$S_{COD}=a_{4}$$; $$\angle AOB=\alpha \Rightarrow$$ $$\angle AOD=180-\alpha$$
2) $$a_{1}=\frac{1}{2}AO*OD \sin (180-\alpha )=$$$$\frac{1}{2}AO*OD \sin \alpha$$ ; $$a_{2}=\frac{1}{2}AO*OB \sin \alpha$$ , $$a_{3}=\frac{1}{2}BO*OC \sin \alpha$$ ; $$a_{4}=\frac{1}{2}CO*OD \sin \alpha$$ . Тогда : $$a_{1}*a_{3}=\frac{1}{4}AO*OD*BO*OC* \sin^{2}\alpha=a_{2}*a_{4}(1)$$
3) т.к. арифметическая прогрессия ( пусть ее разность d ) , то: $$a_{2}=a_{1}+d$$; $$a_{3}=a_{1}+2d$$; $$a_{4}=a_{1}+3d$$. С учетом (1): $$a_{1}(a_{1}+2d)=(a_{1}+d))(a_{1}+3d)\Leftrightarrow$$ $$a_{1}^{2}+2a_{1}d=a_{1}^{2}+4a_{1}d+3d^{2}\Leftrightarrow$$ $$2a_{1}d+3d^{2}=0\Leftrightarrow$$ $$d(2a_{1}+3)=0$$. $$2a_{1}+3>0$$ ,т.к. $$a_{1}$$ - площадь , тогда d=0, но тогда $$a_{1}=a_{2}=a_{3}=a_{4}(2)$$
4)С учетом (2) : $$AO *OD=AO*BO$$, $$(a_{1}=a_{2})\Rightarrow$$ $$BO=OD$$; $$AO*OB=BO*OC$$$$(a_{2}=a_{3})\Rightarrow$$$$AO=OD$$. Тогда ABCD-параллелограмм
5) $$BO=OD=\frac{\sqrt{7}}{2}$$; $$AO=OC=2$$ Из $$\Delta AOB$$ : Пусть AB=x, тогда по теореме косинусов :
$$\frac{7}{4}=x^{2}+4-2x*2\frac{\sqrt{3}}{2}\Leftrightarrow$$ $$x^{2}-2x\sqrt{3}+\frac{9}{4}=0\Leftrightarrow$$ $$D=12-9=3$$
$$x_{1}=\frac{2\sqrt{3}+\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$$
$$x_{2}=\frac{2\sqrt{3}-\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$
6) при $$AB=\frac{3\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{27}}{2}$$ из $$\Delta ABC:$$ $$BC=\sqrt{\frac{9*3}{4}+16-2*4*\frac{3\sqrt{3}}{2}*\frac{\sqrt{3}}{2}}=$$$$\sqrt{\frac{27}{4}+16-18}=$$$$\sqrt{\frac{27}{4}-2}=\frac{\sqrt{19}}{2}<AB\Rightarrow$$ не подходит по условию , что AB –меньшая.
Тогда: $$S_{ABO}=\frac{1}{2}*AB*BO\sin BAO=$$$$\frac{1}{2}*\frac{\sqrt{3}}{2}*2*\frac{1}{2}=$$$$\frac{\sqrt{3}}{4}$$ и $$S_{ABCD}=\sqrt{3}$$