ОГЭ математика 2023. Разбор варианта Алекса Ларина № 330.

$$a<0, b>0$$

отрицательное$$\cdot$$ положительное$$<0$$

$$\frac{\sqrt{16a^9}\cdot\sqrt{4b^3}}{\sqrt{a^5b^3}}=\sqrt{\frac{16\cdot4a^9b^3}{a^5b^3}}=\sqrt{64a^4}=8a^2=8\cdot9^2=648$$

$$\frac{x+5}{7}-\frac{x}{2}=4\Leftrightarrow 2(x+5)-7x=4\cdot14\Leftrightarrow 2x+10-7x=56\Rightarrow -5x=46\Leftrightarrow$$

$$\Leftrightarrow x=-9,2$$

1) $$f(3t-1)=(3t-1)^2+1; f(1-2t)=(1-2t)^2+1.$$

$$f(3t-1)=f(1-2t)\Leftrightarrow (3t-1)^2+1=(1-2t)^2+1\Leftrightarrow$$

$$\Leftrightarrow\left[\begin{matrix} 3t-1=1-2t\\ 3t-1=-1+2t \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[\begin{matrix} 5t=2\\ t=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[\begin{matrix} t=0,4\\ t=0 \end{matrix}\right.$$

$$f(3\cdot0-1)=f(-1)=(-1)^2+1=2$$

2) $$f(-3t^2+5t-7)=f(-55-5t+4t^2)\Rightarrow$$

$$\Rightarrow\left[\begin{matrix} -3t^2+5t-7=-55-5t+4t^2\\ -3t^2+5t-7=55+5t-4t^2 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[\begin{matrix} 7t^2-10t-48=0\\ t^2=62 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[\begin{matrix} t=-2;\frac{24}{7}\\ t=\pm\sqrt{62} \end{matrix}\right.$$

3) $$\left[\begin{matrix} 2t-3=\frac{1}{3t-5}\\ 2t-3=\frac{1}{5-3t} \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[\begin{matrix} 6t^2-19t+15=1\\ -6t^2+19-15=1 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[\begin{matrix} 6t^2-19t+14=0\\ 6t^2-19t+16=0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[\begin{matrix} t=2\\ t=\frac{7}{6} \end{matrix}\right.$$

Получим $$1;2;3;4.$$

$$\left\{\begin{matrix} -9+3x>0\\ 2-3x>-10 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} 3x>9\\ -3x>-12 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} x>3\\ x<4 \end{matrix}\right.\Rightarrow 2.$$

Растущее количество конфет составляет арифметическую прогрессию $$5+7+9+...$$ с первым членом a₁ = 5, разностью d = 2. Сумму первых 12 членов прогрессии $$S_n=\frac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot n:$$

$$S_{12}=\frac{2\cdot5+2(12-1)}{2}\cdot12=192$$ конфеты.

$$\frac{x+5}{2}=11$$

$$х + 5 = 11\cdot 2$$

$$х + 5 = 22$$

$$х = 22 - 5$$

$$х = 17$$

$$\angle ABC$$ - угол между хордой и касательной. Он равен половине величины отсекаемой дуги, то есть $$33^{\circ}.$$

Пусть $$DH$$ - высота. Тогда $$DH = 6$$ клеток, $$AH = 6$$ клеток.

$$(6x)^2+(6x)^2=(3\sqrt{2})^2\Leftrightarrow 72x^2=18\Rightarrow x^2=\frac{1}{4}\Rightarrow x=0,5$$

Средняя линия равна $$\frac{10+18}{2}=14$$ клеток $$\Rightarrow 14\cdot0,5=7$$

Пусть $$O$$ - центр $$GH.$$ Тогда $$OH$$ - сторона шестиугольника. Он состоит из 6 равносторонних треугольников со стороной равной $$GH.$$ Пусть $$GH=a.$$

Тогда $$S_{ABCDEF}=6\cdot\frac{1}{2}\cdot a\cdot a\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3a^2\sqrt{3}}{2}=90\Rightarrow a^2\sqrt{3}=60.$$

При этом $$DG=\frac{DA}{3}=\frac{a\cdot2}{3}.$$

$$D_{DGI}=\frac{1}{2}\cdot\frac{2a}{3}\cdot\frac{2a}{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{a^2\sqrt{3}}{9}.$$

Тогда 6 таких треугольников $$6\cdot\frac{a^2\sqrt{3}}{9}=\frac{2a^2\sqrt{3}}{3}=\frac{2\cdot60}{3}=40.$$

1) верно

2) нет, против меньшей стороны меньший угол

3) верно

4) $$\angle C=180^{\circ}-(40^{\circ}+60^{\circ})=80^{\circ}$$ - больший угол, тогда большая сторона $$AB\Rightarrow$$ нет

Пусть скорость течения реки х км/ч, следовательно, у плота тоже скорость х км/ч.

Из этого следует, что скорость катера по течению $$4x + x = 5x$$ км/ч, а против течения – $$4x – x = 3х$$ км/ч. Скорость сближения катера и плота $$3x + x = 4x$$ км/ч.

Встретились они через $$\frac{AB}{4x}$$ ч. За это время плот пройдет расстояние, равное:

$$x\cdot\frac{AB}{4x}=\frac{AB}{4},$$ а катер – $$\frac{3\cdot AB}{4}.$$

А на обратный путь катер потратит $$\frac{\frac{3AB}{4}}{5x}=\frac{3AB}{20x} $$ч.

За это время плот проплывет расстояние:

$$x\cdot\frac{3AB}{20x}=\frac{3AB}{20},$$ а всего он проплывет $$\frac{AB}{4}+\frac{3AB}{20}=\frac{2AB}{5},$$ то есть $$\frac{2}{5}=0,4$$ пути.

Уравнение первой прямой 

$$\frac{x}{3}=\frac{y-4,5}{1,5}$$

$$1,5x-3y+13,5=0 $$

Уравнение второй прямой 

$$\frac{x-1}{-5}=\frac{y-2}{5}$$

$$5x+5y-15=0$$

$$\left\{\begin{matrix} 3y-1,5x=13,5\\ x+y=3 \end{matrix}\right.$$

$$x=3-y$$

$$3y-1,5(3-y)=13,5$$

$$3y-4,5+1,5y=13,5$$

$$4,5y=18$$

$$y=4$$

$$x=-1$$

$$(-1;4)$$

Треугольники AOD и COB подобны. 

Далее, очень легко построить треугольник, подобный этим треугольникам, площадь которого равна площади трапеции.

Из точки C проводится прямая CE II BD до пересечения с продолжением AD в точке E.

Треугольник ACE имеет ту же высоту, что и трапеция (собственно, у них общая высота - расстояние от точки C до AD).

Поскольку DBCE - параллелограмм, то $$AE = AD + DE = AD + BC$$

То есть площадь треугольника ACE равна площади S трапеции ABCD;

Треугольник ACE подобен AOD и COB по построению (у них, к примеру, равны все углы).

Площади подобных треугольников пропорциональны квадратам соответственных сторон.  

То есть СУЩЕСТВУЕТ такое число k, что

$$AD=k\cdot\sqrt{25};$$ $$BC=k\cdot\sqrt{16};$$ $$AD+BC=k\cdot\sqrt{S};$$

Отсюда:

$$\sqrt{S}=\sqrt{25}+\sqrt{16}=9$$

$$S=81$$

Треугольники AOE и COF равны по стороне и двум прилежащим к ней углам: AO = CO, поскольку диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, $$\angle AOE=\angle COF$$ как вертикальные, $$\angle OAE=\angle OCF$$ как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых AB и CD секущей AC. Из равенства треугольников следует равенство их сходственных сторон: AE = CF. Что и требовалось доказать.

По условию задачи BO:OH=5:4, следовательно, OH:BO=4:5. По свойству биссектрисы AH:AB=HO:BO=4:5,  но AH:AB – это косинус угла A, то есть $$\cos\angle A=\frac{4}{5}.$$ Рассмотрим прямоугольный треугольник AHB, в котором условно катет AH=4, а гипотенуза AB=5. По теореме Пифагора находим

$$BH=\sqrt{25-16}=3$$.

Тогда синус угла A равен $$\sin\angle A=\frac{3}{5}.$$ По следствию теоремы синусов имеем:

$$\frac{BC}{\sin A}=2R,$$

где R – радиус описанной окружности. Следовательно,

$$R=\frac{BC}{2\sin A}=\frac{12}{2\cdot0,6}=10.$$