ОГЭ математика 2023. Разбор варианта Алекса Ларина № 333.

Пусть $$a=-2; b=-1; c=1.$$

$$a+b>0\Leftrightarrow -2-1>0$$ - неверно

$$\frac{1}{b}>\frac{1}{c}\Leftrightarrow \frac{1}{-1}>\frac{1}{1}$$ - неверно

$$ab<0\Leftrightarrow (-2)\cdot(-1)<0$$ - неверно

$$(a-b)\cdot c<0\Leftrightarrow (-2-(-1))\cdot1<0$$ - верно

$$\left\{\begin{matrix} 3x+2y=8\\ 4x-y=7\quad |\cdot2 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} 3x+2y=8\quad (1)\\ 8x-2y=14\quad (2) \end{matrix}\right.$$

$$(1) + (2):$$

$$11x=22$$

$$x=2,$$ тогда $$y=1$$

$$x+y=1+2=3$$

Среди жетонов с номерами от 5 до 54 включительно присутствуют жетоны с однозначными и двузначными номерами. Жетонов с однозначными номерами 5 штук (5, 6, 7, 8, 9), жетонов с двузначными номерами 45 штук (10, 11, 12, ... 53, 54). Всего жетонов в мешке $$5 + 45 = 50.$$

Вероятность того, что извлеченный наугад жетон имеет двузначный номер равна отношению числа жетонов с двузначным номером к общему число жетонов в мешке:

$$\frac{45}{50}=0,9.$$

А) нет, есть разрывы $$\Rightarrow 2$$

Б) $$f(-1)\approx-3,2; f(2)=0\Rightarrow f(-1)>f(2)$$ - нет $$\Rightarrow 2$$

В) да $$\Rightarrow 1$$

Г) да $$\Rightarrow 1$$

$$a=\frac{2S}{h}=\frac{2\cdot28}{14}=4$$

$$\left\{\begin{matrix} x^2\leq4\\ x+3\geq0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} x^2-4\leq0\\ x\geq-3 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} x\in[-2;2]\\ x\geq-3 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x\in[-2;2]=3$$

Пусть за изготовление и установку всех колец заплатили S_n. Тогда

Средняя стоимость установки одного кольца с учетом премии равна 202 рубля, а значит, $$\frac{360+S_n}{n}=202.$$ Получаем:

Следовательно, было установлено 9 колец.

По сумме углов треугольника:

$$\angle А=180^{\circ}-61^{\circ}-89^{\circ}=30^{\circ}$$

По теореме синусов:

$$2R=\frac{BC}{\sin A}$$

$$BC=2R\cdot\sin A=2\cdot10\cdot\sin 30^{\circ}=2\cdot10\cdot0.5=10$$

​

Построим радиусы ОН и ОМ.

Так как радиус ОВ перпендикулярен хорде МН, то треугольники ОКМ и ОКН прямоугольные.

В треугольниках ОКМ и ОКН катет ОК общий, а гипотенузы $$ОМ = ОН = R = 13$$ см.

Тогда прямоугольные треугольники ОКМ и ОКН равны по катету и гипотенузе, а значит $$КМ = КН.$$

Радиус $$ОВ = 13 = ВК + ОК = 1 + ОК.$$

$$ОК = 13 – 1 = 12$$ см.

По теореме Пифагора, из прямоугольного треугольника ОКН определим длину катета КН.

$$КН^2=ОН^2-ОК^2=169-144=25.$$

$$КН=5$$ см.

Тогда хорда $$МН=5+5=10$$ см.

Площадь параллелограмма вычисляется по формуле:

$$S=a\cdot b\cdot\sin\alpha,$$ где а, b - стороны, $$\alpha$$ - угол между ними.

$$S=12\cdot5\cdot\sin45^{\circ}=60\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=30\sqrt{2}$$

$$\frac{S}{\sqrt{2}}=\frac{30\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=30$$

Пусть O - середина EF, Q - середина CD, $$EO=OF=R, AC=CD=DB=r=\frac{4}{\sqrt{\pi}}.$$ В треугольнике EOQ по теореме Пифагора:

$$(\frac{3r}{2})^2=R^2+OQ^2 \Leftrightarrow OQ^2=\frac{9r^2}{4}-R^2. \quad \quad(1)$$

В треугольнике DQO по теореме Пифагора:

$$OQ^2+(\frac{r}{2})^2=R^2 \quad \quad(2)$$

Подставляя (1) в (2), получим:

$$\frac{9r^2}{4}-R^2+(\frac{r}{2})^2=R^2 \Leftrightarrow R^2= \frac {5r^2}{4} \quad \quad(3)$$

С учётом (3) искомая площадь S:

$$S=\frac {\pi R^2}{2} = \frac{\pi}{2} \cdot \frac {5r^2}{4} = \frac{5\pi}{8} \cdot \frac{16}{\pi} =10.$$

1) верно

2) неверно, т. к. для того, чтобы утверждать, пересекаются окружности или нет, нужно ещё знать взаимное положение их центров.

3) неверно, диагонали ромба пересекаются и делятся точкой пересечения пополам.

$$\frac{2n-3}{n+1}=\frac{2n+2-2-3}{n+1}=\frac{2n+2}{n+1}-\frac{5}{n+1}\Leftrightarrow 2-\frac{5}{n+1}$$

Так как $$n\in Z,$$ то $$\frac{5}{n+1}$$ должно тоже быть целым, чтобы $$\frac{2n-3}{n+1}\in Z.$$

Тогда $$n+1$$ делит нацело 5:

$$\left[\begin{matrix} n+1=\pm1\\ n+1=\pm5 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[\begin{matrix} n=0;-2\\ n=-6;4 \end{matrix}\right.$$

1 сплав $$x$$ кг меди $$50\% = 0,5x$$

2 сплав $$y$$ кг меди $$80\% = 0,8y$$

$$1+2$$ сплав $$(x+y)$$ кг меди $$0,5x + 0,8y$$ или $$55\% = 0,55(x+y)$$

$$0,5x + 0,8y = 0,55(x+y)$$

$$0,5x + 0,8y = 0,55x + 0,55y$$

$$0,5x - 0,55x = 0,55y - 0,8y$$

$$-0,05x =-0,25y$$

$$5x = 25y$$

$$x = 5y$$

$$x = 5$$ (1 сплав)

$$y=1$$ (2 сплав)

$$\frac{x}{y}=\frac{5}{1}$$

Область определения функции: функция существует, если знаменатель дроби не обращается в нуль, т.е. $$x^2-6x-27\neq0$$

$$(x-3)^2-36\neq0$$

$$(x-3-6)(x-3+6)\neq0$$

$$(x-9)(x+3)\neq0$$

$$x_1\neq9$$

$$x_2\neq-3$$

Упростим функцию: $$y=\frac{(x-9)(x-3)(x+3)}{(x+3)(x-9)}=x-3$$

Получили линейную функцию; графиком линейной функции является прямая, проходящая через точки $$(0;-3), (3;0).$$

Графики функций не имеют общих точек, если $$y=kx$$ проходит через выколотые точки, т.е. через точки $$(9;6), (-3;-6)$$

Подставляя координаты, получим:

$$6=9k\Rightarrow k=\frac{2}{3}$$

$$-6=-3k\Rightarrow k=2$$

Решим теперь уравнение $$kx=x-3\Rightarrow x=\frac{3}{1-k}$$

Очевидно, что при $$k=1$$ уравнение решений не имеет, а следовательно, графики функций при k=1 не имеют общих точек.

Ответ: $$\frac{2}{3}; 1; 2.$$

На продолжении AD за точку D отложим DE=AD, тогда ABEC - параллелограмм (по признаку) $$\Rightarrow BE||AC;$$

$$BE=AC$$ и $$\angle EAC=\angle BEA=90^{\circ}$$ (как накрест лежащие), $$\angle BAE=30^{\circ}\Rightarrow$$

$$\Rightarrow BE=\frac{1}{2}AB\Rightarrow AC=\frac{1}{2}AB\Rightarrow \frac{AC}{AB}=\frac{1}{2}$$

$$\Delta ABE=\Delta CDF$$ (AB = DC - т.к ABCD параллелограмм, BE=DF - высоты в равных треугольниках АВС и ADC) ⇒ AE = CF

$$\Delta BFC = \Delta DEA$$ (по двум сторонам и углу между ними) ⇒ BF = ED

В четырехугольнике BFDE противолежащие стороны равны ⇒ BFDE параллелограмм

Из условия касания окружностей находим стороны треугольника $$O_1O_2O_3$$:

$$O_1O_2=3, O_2O_3=5, O_1O_3=7.$$

По теореме косинусов:

$$O_1O_3^2=O_1O_2^2+O_2O_3^2-2O_1O_2\cdot O_2O_3\cdot\cos\angle O_1O_2O_3$$

$$49=9+25-30\cos\angle O_1O_2O_3$$

Откуда $$\cos\angle O_1O_2O_3=-\frac{1}{2}; \angle O_1O_2O_3=120^{\circ}$$