ОГЭ математика 2023. Разбор варианта Алекса Ларина № 333.
Больше разборов на моем ютуб-канале
Задания 1-5
Объекты | спальня | санузел | кухня | гостиная | прихожая |
Цифры |
По ходу прочтения задачи выясняется, что
4 - прихожая;
5 - санузел;
6 - лоджия;
1 - кухня;
2 - гостиная;
3 - спальня.
Заполним таблицу.
Объекты | спальня | санузел | кухня | гостиная | прихожая |
Цифры | 3 | 5 | 1 | 2 | 4 |
Окно в спальне занимает 3 клетки. Сторона клетки равна 0,5 м или 50 см.
Значит, ширина окна равна $$3\cdot50=150$$ см.
Лоджия занимает 18 клеток.
Т.к. сторона клетки равна 50 см, а размер плитки 25 х 25 см, то в одну клетку помещается 4 плитки.
Следовательно для лоджии потребуется $$18\cdot4=72$$ плитки.
Т.к. в упаковке 10 плиток, то упаковок потребуется $$\frac{72}{10}=7,2\approx8$$ упаковок.
Санузел занимает 54 клетки.
Площадь одной клетки $$0,5\cdot0,5=0,25$$ м2.
Найдем площадь санузла: $$54\cdot0,25=13,5$$ м2.
Гостиная занимает 90 клеток.
Спальная занимает 60 клеток.
Пусть спальня занимает 100%, а гостиная х%. Составим и решим пропорцию.
$$\frac{90}{60}=\frac{x}{100}$$
$$x=\frac{90\cdot100}{60}=150\%$$
Теперь посчитаем на сколько процентов гостиная больше спальни:
$$150\% - 100\%= 50\%.$$
Задание 6
Задание 7
Пусть $$a=-2; b=-1; c=1.$$
$$a+b>0\Leftrightarrow -2-1>0$$ - неверно
$$\frac{1}{b}>\frac{1}{c}\Leftrightarrow \frac{1}{-1}>\frac{1}{1}$$ - неверно
$$ab<0\Leftrightarrow (-2)\cdot(-1)<0$$ - неверно
$$(a-b)\cdot c<0\Leftrightarrow (-2-(-1))\cdot1<0$$ - верно
Задание 8
Задание 9
$$\left\{\begin{matrix} 3x+2y=8\\ 4x-y=7\quad |\cdot2 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} 3x+2y=8\quad (1)\\ 8x-2y=14\quad (2) \end{matrix}\right.$$
$$(1) + (2):$$
$$11x=22$$
$$x=2,$$ тогда $$y=1$$
$$x+y=1+2=3$$
Задание 10
Среди жетонов с номерами от 5 до 54 включительно присутствуют жетоны с однозначными и двузначными номерами. Жетонов с однозначными номерами 5 штук (5, 6, 7, 8, 9), жетонов с двузначными номерами 45 штук (10, 11, 12, ... 53, 54). Всего жетонов в мешке $$5 + 45 = 50.$$
Вероятность того, что извлеченный наугад жетон имеет двузначный номер равна отношению числа жетонов с двузначным номером к общему число жетонов в мешке:
$$\frac{45}{50}=0,9.$$
Задание 11

Утверждения | Верность |
---|---|
А) Функция непрерывна на отрезке [-5;5] | 1) верно |
Б) f(-1)>f(2) | 2) неверно |
В) На отрезке $$2\leq x\leq 2,2$$ функция возрастает | |
Г) Функция имеет ровно 2 нуля функции |
А) нет, есть разрывы $$\Rightarrow 2$$
Б) $$f(-1)\approx-3,2; f(2)=0\Rightarrow f(-1)>f(2)$$ - нет $$\Rightarrow 2$$
В) да $$\Rightarrow 1$$
Г) да $$\Rightarrow 1$$
Задание 12
$$a=\frac{2S}{h}=\frac{2\cdot28}{14}=4$$
Задание 13
$$\left\{\begin{matrix} x^2\leq4\\ x+3\geq0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} x^2-4\leq0\\ x\geq-3 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} x\in[-2;2]\\ x\geq-3 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x\in[-2;2]=3$$
Задание 14
Пусть за изготовление и установку всех колец заплатили Sn. Тогда
$$S_n=\frac{2a_1+(n-1)d}{2}n=\frac{2\cdot234-(n-1)\cdot18}{2}n=(243-9n)n.$$
Средняя стоимость установки одного кольца с учетом премии равна 202 рубля, а значит, $$\frac{360+S_n}{n}=202.$$ Получаем:
$$360+(243-9n)n=202n\Leftrightarrow 360+243n-9n^2=202n\Leftrightarrow$$
$$\Leftrightarrow 9n^2-41n-360=0\Leftrightarrow n=9$$
Следовательно, было установлено 9 колец.
Задание 15
По сумме углов треугольника:
$$\angle А=180^{\circ}-61^{\circ}-89^{\circ}=30^{\circ}$$
По теореме синусов:
$$2R=\frac{BC}{\sin A}$$
$$BC=2R\cdot\sin A=2\cdot10\cdot\sin 30^{\circ}=2\cdot10\cdot0.5=10$$
Задание 16
Построим радиусы ОН и ОМ.
Так как радиус ОВ перпендикулярен хорде МН, то треугольники ОКМ и ОКН прямоугольные.
В треугольниках ОКМ и ОКН катет ОК общий, а гипотенузы $$ОМ = ОН = R = 13$$ см.
Тогда прямоугольные треугольники ОКМ и ОКН равны по катету и гипотенузе, а значит $$КМ = КН.$$
Радиус $$ОВ = 13 = ВК + ОК = 1 + ОК.$$
$$ОК = 13 – 1 = 12$$ см.
По теореме Пифагора, из прямоугольного треугольника ОКН определим длину катета КН.
$$КН^2=ОН^2-ОК^2=169-144=25.$$
$$КН=5$$ см.
Тогда хорда $$МН=5+5=10$$ см.
Задание 17
Площадь параллелограмма вычисляется по формуле:
$$S=a\cdot b\cdot\sin\alpha,$$ где а, b - стороны, $$\alpha$$ - угол между ними.
$$S=12\cdot5\cdot\sin45^{\circ}=60\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=30\sqrt{2}$$
$$\frac{S}{\sqrt{2}}=\frac{30\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=30$$
Задание 18
Пусть O - середина EF, Q - середина CD, $$EO=OF=R, AC=CD=DB=r=\frac{4}{\sqrt{\pi}}.$$ В треугольнике EOQ по теореме Пифагора:
$$(\frac{3r}{2})^2=R^2+OQ^2 \Leftrightarrow OQ^2=\frac{9r^2}{4}-R^2. \quad \quad(1)$$
В треугольнике DQO по теореме Пифагора:
$$OQ^2+(\frac{r}{2})^2=R^2 \quad \quad(2)$$
Подставляя (1) в (2), получим:
$$\frac{9r^2}{4}-R^2+(\frac{r}{2})^2=R^2 \Leftrightarrow R^2= \frac {5r^2}{4} \quad \quad(3)$$
С учётом (3) искомая площадь S:
$$S=\frac {\pi R^2}{2} = \frac{\pi}{2} \cdot \frac {5r^2}{4} = \frac{5\pi}{8} \cdot \frac{16}{\pi} =10.$$
Задание 19
1) верно
2) неверно, т. к. для того, чтобы утверждать, пересекаются окружности или нет, нужно ещё знать взаимное положение их центров.
3) неверно, диагонали ромба пересекаются и делятся точкой пересечения пополам.
Задание 20
$$\frac{2n-3}{n+1}=\frac{2n+2-2-3}{n+1}=\frac{2n+2}{n+1}-\frac{5}{n+1}\Leftrightarrow 2-\frac{5}{n+1}$$
Так как $$n\in Z,$$ то $$\frac{5}{n+1}$$ должно тоже быть целым, чтобы $$\frac{2n-3}{n+1}\in Z.$$
Тогда $$n+1$$ делит нацело 5:
$$\left[\begin{matrix} n+1=\pm1\\ n+1=\pm5 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[\begin{matrix} n=0;-2\\ n=-6;4 \end{matrix}\right.$$
Задание 21
1 сплав $$x$$ кг меди $$50\% = 0,5x$$
2 сплав $$y$$ кг меди $$80\% = 0,8y$$
$$1+2$$ сплав $$(x+y)$$ кг меди $$0,5x + 0,8y$$ или $$55\% = 0,55(x+y)$$
$$0,5x + 0,8y = 0,55(x+y)$$
$$0,5x + 0,8y = 0,55x + 0,55y$$
$$0,5x - 0,55x = 0,55y - 0,8y$$
$$-0,05x =-0,25y$$
$$5x = 25y$$
$$x = 5y$$
$$x = 5$$ (1 сплав)
$$y=1$$ (2 сплав)
$$\frac{x}{y}=\frac{5}{1}$$
Задание 22
Область определения функции: функция существует, если знаменатель дроби не обращается в нуль, т.е. $$x^2-6x-27\neq0$$
$$(x-3)^2-36\neq0$$
$$(x-3-6)(x-3+6)\neq0$$
$$(x-9)(x+3)\neq0$$
$$x_1\neq9$$
$$x_2\neq-3$$
Упростим функцию: $$y=\frac{(x-9)(x-3)(x+3)}{(x+3)(x-9)}=x-3$$
Получили линейную функцию; графиком линейной функции является прямая, проходящая через точки $$(0;-3), (3;0).$$
Графики функций не имеют общих точек, если $$y=kx$$ проходит через выколотые точки, т.е. через точки $$(9;6), (-3;-6)$$
Подставляя координаты, получим:
$$6=9k\Rightarrow k=\frac{2}{3}$$
$$-6=-3k\Rightarrow k=2$$
Решим теперь уравнение $$kx=x-3\Rightarrow x=\frac{3}{1-k}$$
Очевидно, что при $$k=1$$ уравнение решений не имеет, а следовательно, графики функций при k=1 не имеют общих точек.
Ответ: $$\frac{2}{3}; 1; 2.$$
Задание 23
На продолжении AD за точку D отложим DE=AD, тогда ABEC - параллелограмм (по признаку) $$\Rightarrow BE||AC;$$
$$BE=AC$$ и $$\angle EAC=\angle BEA=90^{\circ}$$ (как накрест лежащие), $$\angle BAE=30^{\circ}\Rightarrow$$
$$\Rightarrow BE=\frac{1}{2}AB\Rightarrow AC=\frac{1}{2}AB\Rightarrow \frac{AC}{AB}=\frac{1}{2}$$
Задание 24
$$\Delta ABE=\Delta CDF$$ (AB = DC - т.к ABCD параллелограмм, BE=DF - высоты в равных треугольниках АВС и ADC) ⇒ AE = CF
$$\Delta BFC = \Delta DEA$$ (по двум сторонам и углу между ними) ⇒ BF = ED
В четырехугольнике BFDE противолежащие стороны равны ⇒ BFDE параллелограмм
Задание 25
Из условия касания окружностей находим стороны треугольника $$O_1O_2O_3$$:
$$O_1O_2=3, O_2O_3=5, O_1O_3=7.$$
По теореме косинусов:
$$O_1O_3^2=O_1O_2^2+O_2O_3^2-2O_1O_2\cdot O_2O_3\cdot\cos\angle O_1O_2O_3$$
$$49=9+25-30\cos\angle O_1O_2O_3$$
Откуда $$\cos\angle O_1O_2O_3=-\frac{1}{2}; \angle O_1O_2O_3=120^{\circ}$$