ОГЭ математика 2019. Разбор варианта Алекса Ларина № 190.
Решаем ОГЭ 190 вариант Ларина. Подробное решение 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20 заданий тренировочного варианта ОГЭ Ларина №190 (alexlarin.com)
Решаем ОГЭ 190 вариант Ларина. Подробное решение 21,22,23,24,25,26 заданий тренировочного варианта ОГЭ Ларина №190 (alexlarin.com)
Задание 1
Найдите значение выражения: $$\frac{6,9}{3,9-6,2}$$
$$\frac{6,9}{3,9*6,2}=-\frac{6,9}{2,3}=-\frac{69}{23}=-3$$
Задание 2
Куриные яйца в зависимости от их массы подразделяют на пять категорий: высшая, отборная, первая, вторая и третья. Используя данные, представленные в таблице, определите, к какой категории относится яйцо, массой 63,5 г.
| Категория | Масса одного яйца, не менее, г |
| Высшая | 75,0 |
| Отборная | 65,0 |
| Первая | 55,0 |
| Вторая | 45,0 |
| Третья | 35,0 |
Варианты ответа
- Высшая
- Отборная
- Первая
- Вторая
$$63,5 \in (55; 65)$$ следовательно, попадает в первую категорию.
Задание 3
Одно из чисел $$\sqrt{5}, \sqrt{7}, \sqrt{11}, \sqrt{14}$$ отмечено на прямой точкой A. Какое это число?
Варианты ответа
- $$\sqrt{5}$$
- $$\sqrt{7}$$
- $$\sqrt{11}$$
- $$\sqrt{14}$$
$$2=\sqrt{4}; 3=\sqrt{9}$$ . Тогда $$A=\sqrt{5}$$ или $$A=\sqrt{7}$$. Так как число А ближе к 2, то оно равно $$\sqrt{5}$$, что соответствует 1 варианту ответа
Задание 4
Представьте выражение $$(m^{-3})^{-5}:m^{-3}$$ в виде степени с основанием m
Варианты ответа
- $$m^{12}$$
- $$m^{-12}$$
- $$m^{18}$$
- $$m^{-4}$$
$$(m^{-3})^{-5}:m^{-3}=m^{(-3)(-5)-(-3)}=m^{15+3}=m^{18}$$, что соответствует 3 варианту ответа
Задание 5
При резком торможении расстояние, пройденное автомобилем до полной остановки (тормозной путь), зависит от скорости, с которой автомобиль двигался. На рисунке показан график этой зависимости. По горизонтальной оси откладывается скорость (в км/ч), по вертикальной – тормозной путь (в метрах). Определите по графику, каким будет тормозной путь автомобиля, который двигается со скоростью 30 км/ч. Ответ дайте в метрах.
Задание 6
Решите уравнение $$\frac{x}{5}+\frac{x}{15}+x=-3\frac{4}{5}$$
$$\frac{x}{5}+\frac{x}{15}+x=-3\frac{4}{5}$$ $$\frac{3x+x+15x}{15}=\frac{-19}{5}$$ $$\frac{19x}{15}=\frac{-19*3}{15}$$ $$x=-3$$
Задание 7
В поселке в настоящее время 40824 жителя. Известно, что население этого поселка увеличивалось ежегодно на 8%. Сколько жителей было в поселке два года назад?
Пусть x –два года назад, тогда x*1,08 –год назад и (x*1,08)*1,08 –в этом году $$x*1,08^{2}=40824$$ $$x=\frac{40824}{1,08}=3500$$
Задание 8
На диаграмме показан религиозный состав населения Германии. Определите по диаграмме, в каких пределах находится доля католиков.
Варианты ответа:
- 0-10%
- 10-15%
- 15-25%
- 25-45%
Сегмент католиков составляет третью часть круга, то есть около 33%, что попадает в четвертый вариант ответа
Задание 9
На олимпиаде по математике 250 участников разместили в трёх аудиториях. В первых двух удалось разместить по 95 человек, оставшихся перевели в запасную аудиторию в другом корпусе. Найдите вероятность того, что случайно выбранный участник писал олимпиаду в запасной аудитории.
В запасной аудитории 250-2*95=60 человек. Тогда вероятность туда попасть: $$P=\frac{60}{250}=0,24.$$
Задание 10
График какой из приведенных ниже функций изображён на рисунке?
- $$y=x^{2}+2$$
- $$y=-x^{2}+2$$
- $$y=x^{2}+4$$
- $$y=-x^{2}+4$$
Ветви вниз, значит a<0. Вершина смещена на 4 вверх, значит b=4(рассматриваем квадратичную функцию $$y=ax^2+b$$), следовательно, ответ 4.
Задание 11
Арифметическая прогрессия задана условием $$a_{n}=-29+5,8*n$$ . Найдите $$a_{10}$$
$$a_{10}=-29+5,8*10=-29+58=29$$
Задание 12
Найдите значение выражения $$\frac{35}{7a-a^{2}}-\frac{5}{a}$$, при $$a=-18$$
$$\frac{35}{7a-a^{2}}-\frac{5}{a}=\frac{35-5(7-a)}{a(7-a)}=$$$$\frac{35-35+5a}{a(7-a)}=\frac{5}{7-a}=$$$$\frac{5}{7-(-8)}=\frac{5}{25}=0,2$$
Задание 13
Период колебания математического маятника (в секундах) приближённо можно вычислить по формуле $$T=2\sqrt{l}$$ , где l — длина нити в метрах. Пользуясь этой формулой, найдите длину нити маятника (в метрах), период колебаний которого составляет 4 секунды.
$$T=2\sqrt{l}\Leftrightarrow$$ $$\sqrt{l}=\frac{T}{2}\Leftrightarrow$$ $$l=(\frac{T}{2})^{2}$$ $$l=(\frac{4}{2})^{2}=2^{2}=4$$
Задание 14
Решите неравенство $$3x-59(x+2)>-2$$
Варианты ответа:
- $$(-4;+\infty )$$
- $$(-12;+\infty)$$
- $$(-\infty;-4)$$
- $$(\infty;-12)$$
$$3x-5(x+2)>-2$$
$$3x-5x-10+2>0$$
$$-2x-8>0$$
$$-2x>8$$
$$x<4$$, что соответствует 3 варианту ответа
Задание 15
Человек ростом 1,6 м стоит на расстоянии 6 шагов от столба, на котором висит фонарь. Тень человека равна четырём шагам. На какой высоте (в метрах) расположен фонарь?
Пусть x –высота фонаря, тогда $$\frac{1,6}{x}=\frac{4}{10}\Leftrightarrow$$ $$x=\frac{1,6*10}{4}=\frac{16}{4}=4$$
Задание 16
На окружности по разные стороны от диаметра AB взяты точки M и N. Известно, что ∠NBA=44°. Найдите угол NMB. Ответ дайте в градусах.
- $$\angle NBA=\frac{1}{2}\cup AN\Rightarrow \cup AN=44*2=88$$
- $$\cup NB=180-\cup NA=180-88=92$$
- $$\angle NMB=\frac{1}{2}\cup NB=\frac{92}{2}=46$$
Задание 17
Длина хорды окружности равна 24, а расстояние от центра окружности до этой хорды равно 5. Найдите диаметр окружности.
- $$CB=\frac{1}{2}CD=\frac{24}{2}=12$$
- $$AB\perp CD$$, тогда из $$\Delta ABC:$$ $$AC=\sqrt{AB^{2}+CB^{2}}=\sqrt{2^{2}+5^{2}}=13=r$$
- Тогда $$d=2r=2*13=26$$
Задание 19
В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC=9, sin A=0,6. Найдите AB
$$\sin A=\frac{CB}{AB}$$, тогда $$AB=\frac{CB}{\sin A}=\frac{9}{0,6}=15$$
Задание 20
Какие из следующих утверждений верны?
В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов
- нет - так как половине гипотенузы равна медиана, к ней проведенная
- нет - только в прямоугольнике и квадрате
- верно
Задание 21
Решите уравнение: $$x^{2}(x-2)^{3}=x^{4}(x-2)$$
$$x^{2}(x-2)^{3}=x^{4}(x-2)$$ $$x^{4}(x-2)-x^{2}(x-2)^{3}=0$$ $$x^{2}(x-2)((x-2)^{2}-x^{2})=0$$ $$x^{2}(x-2)(x-2-x)(x-2+x)=0$$ $$\left\{\begin{matrix}x=0 \\x-2=0 \\2x-2=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{matrix}x=0 \\x=2 \\x=1\end{matrix}\right.$$
Задание 22
В первую поездку автомобиль израсходовал 10% бензина, имеющегося в баке, затем во вторую поездку – 25% остатка. После этого в баке осталось на 13 л меньше, чем было первоначально. Сколько литров бензина находилось в баке первоначально?
Пусть изначально было литров. Израсходовал 0,1x , осталось 0,9x . Затем израсходовал 25% от $$0,9x=0,25*0,9x=0,225x$$. Тогда всего израсходовали: $$0,1x+0,25x=13$$ $$0,325x=13\Leftrightarrow x=40$$ (литров) было в баке.
Задание 23
Постройте график функции $$y=\left\{\begin{matrix}-x^{2},|x|\leq 2\\ \frac{8}{x},|x|>2\end{matrix}\right.$$
и определите, при каких значениях а прямая y=аx будет иметь с графиком единственную общую точку
Начертим график данной функции $$y=\left\{\begin{matrix} -x^{2}, \left | x \right |\leq 2\\ \frac{8}{x}, \left | x \right |>0\end{matrix}\right.$$
Учтем, что график $$y=-x^{2}$$ при $$x\in [-2;2]$$ (на концах закрашенные точки, так как неравенство нестрогое), на остальной части область определения $$y=\frac{8}{x}$$.
$$y=a$$ - прямая, параллельная оси Ox, тогда одну точку будет иметь при $$a\in [0;4)$$
Задание 24
Около круга радиуса 2 см описана равнобедренная трапеция с острым углом 30. Найдите длину средней линии трапеции.
- Пусть BH-высота, тогда BH=2ч=4
- из $$\Delta ABH$$: $$AB=BH \sin A=\frac{4}{\frac{1}{2}}=8=CD$$
- т.к. $$AB+CD=BC+AD$$(свойство описанного выпуклого четырехугольника) , то $$BC+AD=16$$, тогда средняя линия $$\frac{16}{2}=8$$
Задание 25
Точка М лежит на окружности радиуса R, описанной около прямоугольника ABCD. Докажите, что МА2 + МВ2 + МС2 + МD2 = 8R2
- $$\angle CMA=90$$, AC-диаметр окружности . Тогда из $$\Delta ACM$$
- $$AC^{2}=MC^{2}+MA^{2}\Leftrightarrow (2R)^{2}=MC^{2}+MA^{2}(1)$$
- Аналогично , из $$\Delta BMD: (2R)^{2}=MB^{2}+MD^{2}(2)$$
- Сложим (1)и(2): $$MA^{2}+MB^{2}+MC^{2}+MD^{2}=8R^{2}$$
Задание 26
Внутри параллелограмма ABCD взята точка K так, что треугольник CKD равносторонний. Известно, что расстояния от точки K до прямых AD, AB и BC равны соответственно 3, 6 и 5. Найдите периметр параллелограмма.
1) Пусть KN=3, KP=5, KM=6,$$KQ\perp DC$$
KD=KC=DC=Q, тогда:
$$\Delta KDC ND=\sqrt{a^{2}-3^{2}}$$
$$\Delta KPC PC=\sqrt{a^{2}-5^{2}}$$
2) Опустим $$DH\perp BC$$, тогда DH=NP=8,
$$CH=ND-PC=\sqrt{a^{2}-3^{2}}-\sqrt{a^{2}-5^{2}}$$
Тогда из $$\Delta DHC:$$
$$a^{2}=8^{2}+(\sqrt{a^{2}-3^{2}}-\sqrt{a^{2}-5^{2}})^{2}$$
$$a^{2}-8^{2}=a^{2}-9+a^{2}-25-2\sqrt{a^{4}-34a^{2}+225}$$
$$2\sqrt{a^{4}-34a^{2}+225}=a^{2}+30$$
$$4a^{4}-136a^{2}+900=a^{4}+60a^{2}+900$$
$$3a^{4}-196a^{2}=0$$
$$3a^{2}(a^{2}-\frac{96}{3})=0$$
a=0-не может быть
$$a=\pm \sqrt{\frac{196}{3}}=\pm \frac{14}{\sqrt{3}}$$ отрицательным не может быть
3) Из $$\Delta KDC KQ=KC*\sin C=\frac{14}{\sqrt{3}}*\frac{\sqrt{3}}{2}=7\Rightarrow MQ=13$$
4) $$S_{ABCD}=MP*BC=MQ*DC$$
$$BC=\frac{MQ*DC}{NP}=\frac{13*14}{\sqrt{3}}{8}=\frac{91}{4\sqrt{3}}$$
5) $$P_{ABCD}=2(\frac{14}{\sqrt{3}}+\frac{91}{4\sqrt{3}})=\frac{147}{2\sqrt{3}}=\frac{49\sqrt{3}}{2}$$