ОГЭ математика 2019. Разбор варианта Алекса Ларина № 199.
Решаем ОГЭ 199 вариант Ларина. Подробное решение 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20 заданий тренировочного варианта ОГЭ Ларина №199 (alexlarin.com)
Решаем ОГЭ 199 вариант Ларина. Подробное решение 21,22,23,24,25,26 заданий тренировочного варианта ОГЭ Ларина №199 (alexlarin.com)
Задание 1
Найдите значение выражения $$\frac{8,9-10,1}{5,3-4,7}$$
$$\frac{8,9-10,1}{5,3-4,7}=\frac{-1,2}{0,6}=-2$$
Задание 2
Студент Кузнецов выезжает из Наро-Фоминска в Москву на занятия в университет. Занятия начинаются в 9:00. В таблице приведено расписание утренних электропоездов от станции Нара до Киевского вокзала в Москве. Путь от вокзала до университета занимает 40 минут.
| Отправление от ст. Нара | Прибытие на Киевский вокзал |
| 06:35 | 07:59 |
| 07:05 | 08:15 |
| 07:28 | 08:30 |
| 07:34 | 08:57 |
Укажите время отправления от станции Нара самого позднего из электропоездов, которые подходят студенту.
- 06:35
- 07:05
- 07:28
- 07:34
Чтобы успеть на занятия, прибыть на Киевский вокзал он должен не позднее 08:20, чему соответствует 2 вариант ответа
Задание 3
На координатной прямой отмечены числа a, b и c.
Какое из следующих утверждений об этих числах верно?
Варианты ответа
- $$a^{2}<b^{2}$$
- $$\frac{c}{a}>0$$
- $$a+b<c$$
- $$\frac{1}{b}<-1$$
По условию : $$a<b<c$$; $$\left | b \right |<\left | a \right |<\left | c \right |$$.
Пусть $$ a=-2; b=1;c=3$$:
- a^{2}<b^{2}\Leftrightarrow (-2)^{2}<1^{2}\Leftrightarrow 2<1 -неверно
- \frac{c}{a}>0\Leftrightarrow \frac{3}{-2}>0-неверно
- a+b<c\Leftrightarrow -2+1<3\Leftrightarrow -1<3-верно
- \frac{1}{6}<-1\Leftrightarrow \frac{1}{1}<-1-неверно
Задание 4
Найдите значение выражения $$\sqrt{8*30}*\sqrt{60}$$
$$\sqrt{8*30}*\sqrt{60}=\sqrt{42*30*2*30}=4*30=120$$
Задание 5
На рисунке изображен график движения автомобиля из пункта в пункт и автобуса из пункта в пункт . На сколько километров в час скорость автомобиля больше скорости автобуса?
Расстояние составляет 240 км. Автомобиль преодолевает их за три часа, следовательно, его скорость составляет 80 км/ч, автобус за 5 часов - 48 км/ч. Тогда разность скоростей будет: 80-48=32 км/ч
Задание 6
Решите уравнение $$\frac{9x+6}{7}+3=\frac{7x}{+6}$$
$$\frac{9x+6}{7}+3=\frac{7x}{6}\Leftrightarrow$$ $$\frac{9x+6+21}{7}=\frac{7x}{6}\Leftrightarrow$$ $$\frac{9x+27}{7}=\frac{7x}{6}\Leftrightarrow$$ $$54x+27*6=49x\Leftrightarrow$$ $$5x=-162\Leftrightarrow x=-32,4$$
Задание 7
Площадь земель крестьянского хозяйства, отведённая под посадку сельскохозяйственных культур, составляет 63 га и распределена между зерновыми культурами и картофелем в отношении 4:5. Сколько гектаров занимают зерновые культуры?
Пусть 4x - зерновые, 5x - картофель. Тогда $$9x=63\Leftrightarrow x=7$$. Следовательно, зерновые занимают: 4*7=28
Задание 8
В городе из учебных заведений имеются школы, колледжи, училища и институты. Всего в городе 45 учебных заведений. Данные представлены на круговой диаграмме. Какое из утверждений относительно количества учебных заведений разных видов верно?
- В городе более 30 школ.
- В городе более трети всех учебных заведений – институты.
- В городе школ, колледжей и училищ более 15 16 всех учебных заведений.
- В городе примерно четверть всех учебных заведений – училища.
- В городе более 30 школ - неверно, так как сегмент школ не меньше чем 2/3 окружности
- В городе более трети всех учебных заведений – институты - неверно, сегмент институтов меньше 1/3
- В городе школ, колледжей и училищ более 15/16 всех учебных заведений - неверно
- В городе примерно четверть всех учебных заведений – училища - верно
Задание 9
Игральную кость бросают дважды. Найдите вероятность того, что наибольшее из двух выпавших чисел равно 5.
Общее количество исходов: $$6^{2}=36=N$$
Исходы, где наибольшее 5 (первое число - первая кость, второе число - вторая кость): 15;25;35;45;55;54;53;52;51 - 9 исходов $$=n$$
Тогда вероятность: $$P=\frac{n}{N}=\frac{9}{36}=0,25$$
Задание 10
На рисунке изображены графики функций вида $$y=ax^{2}+c$$ . Установите соответствие между графиками и знаками коэффициентов a и c
- a>0, c>0
- a>0, c<0
- a<0, c<0
- a<0, c>0
При a>0 - ветви параболы вверх , a<0 - вниз , c>0 - ордината точки пересечения оси Oy над Ox, c<0 - под Ox. Следовательно: A-2; Б-3; B-1; Г-4
Задание 11
Дана арифметическая прогрессия (an), для которой a6 = - 30, a16= 150. Найдите разность прогрессии.
Воспользуемся формулой : $$d=\frac{a_{m}-a_{n}}{m-n}$$
Нахождение разности в арифметической прогрессии: $$d=\frac{150-(-30)}{16-6}=\frac{180}{10}=18$$
Задание 12
Найдите значение выражения: $$(\frac{x-y}{x^{2}+xy}+\frac{1}{x}):\frac{x}{x+y}$$, при $$x=-0,25$$ и $$y=\sqrt{15}-1$$
$$(\frac{x-y}{x^{2}+xy}):\frac{x}{x+y}=$$$$\frac{x-y+(x+y)}{x(x+y)}*\frac{x+y}{x}=$$$$\frac{2x}{x^{2}}=\frac{2}{x}=$$$$\frac{2}{-0,25}=-8$$
Задание 13
Закон Менделеева–Клапейрона можно записать в виде PV=νRT, где P — давление (в паскалях), V — объём (в м3 ), ν — количество вещества (в молях), T — температура (в градусах Кельвина), а R — универсальная газовая постоянная, равная 8,31 Дж/(К моль). Пользуясь этой формулой, найдите количество вещества ν (в молях), если T=700 К, P=20941,2 Па, V=9,5 м3 .
$$v=\frac{PV}{RT}\Leftrightarrow$$ $$v=\frac{20941,2*9,5}{8,31*700}=$$$$\frac{209412*95}{831*700}=$$$$\frac{252*95}{700}=\frac{36*95}{100}=$$$$\frac{3420}{100}=34,2$$
Задание 14
Укажите неравенство, решение которого изображено на рисунке
- $$x^{2}-36<0\Leftrightarrow$$ $$(x-6)(x+6)<0\Leftrightarrow$$ \left\{\begin{matrix}x>-6\\x<6\end{matrix}\right.$$
- $$x^{2}-6x>0\Leftrightarrow$$ $$x(x-6)>0\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x<0\\x>6\end{matrix}\right.$$
- $$x^{2}-6x<0\Leftrightarrow$$ $$x(x-6)<0\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x>0\\x<6\end{matrix}\right.$$
Следовательно, третий вариант ответа.
Задание 15
Лестницу длиной 2 м прислонили к дереву. На какой высоте (в метрах) находится верхний её конец, если нижний конец отстоит от ствола дерева на 1,2 м?
Пусть высота x. Тога по теореме Пифагора: $$x^{2}+1,2^{2}=2^{2}\Leftrightarrow$$ $$x=\sqrt{4-1,44}=\sqrt{2,56}=1,6$$ м
Задание 16
В треугольнике АВС углы А и С равны 32° и 68° соответственно. Найдите угол между высотой ВН и биссектрисой BD.
1) $$\angle B=180-(\angle A+\angle \angle C)=80$$
2) $$\angle DBC=\frac{1}{2}\angle B=40$$(DB - биссектриса)
3) $$\angle HBC=90-\angle C=22$$($$\Delta BHC$$ - прямоугольный)
4) $$\angle DBH=\angle DBC-\angle HBC=18$$
Задание 17
Периметр треугольника равен 56, одна из сторон равна 19, а радиус вписанной в него окружности равен 5. Найдите площадь этого треугольника.
Воспользуемся формулой площади треугольника через его полу периметр и радиус вписанной окружности: $$S=p*r$$; $$p=\frac{56}{2}=28$$. Тогда: $$S=28*5=140$$
Задание 18
Из точки А проведены две касательные к окружности с центром в точке О. Найдите радиус окружности, если угол между касательными равен 60°, а расстояние от точки А до точки О равно 10
1)$$OM\perp OA$$(свойство радиуса, проведенного в точку касания)
2) $$\Delta OAM=\Delta OAN$$(по гипотенузе и катету)$$\Rightarrow \angle OAM=30$$
3) $$OM=OA\sin\angle OAM=10*\frac{1}{2}=5$$
Задание 20
Какие из следующих утверждений верны?
- Квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов двух его смежных сторон.
- Площадь круга меньше квадрата длины его диаметра.
- Существует квадрат, который не является ромбом.
В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов
- Квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов двух его смежных сторон - верно (теорема Пифагора для полученных треугольников)
- Площадь круга меньше квадрата длины его диаметра - верно ($$S=\pi R^{2}\approx 3,14R^{2}$$ ; $$d^{2}=(2R)^{2}=4R^{2}$$)
- Существует квадрат, который не является ромбом - неверно
Задание 21
Решите уравнение $$x^{2}-2x+\sqrt{6-x}=\sqrt{6-x}+35$$
Найдем ОДЗ: $$6-x\geq 0\Leftrightarrow 6(1)$$
$$x^{2}-2x-35=0\Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{matrix}x_{1}+x_{2}=2\\x_{1}*x_{2}=-35\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x_{1}=7\notin (1)\\x_{2}=-5\end{matrix}\right.$$
Задание 22
Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 141 км/ч, проезжает мимо пешехода, идущего в том же направлении параллельно путям со скоростью 6 км/ч, за 8 секунд. Найдите длину поезда в метрах.
Пусть пешеход стоит, тогда скорость поезда относительно него : $$141-6=135$$ км\ч. Переведем секунды в часы: 6 c =$$\frac{8}{3600}$$ часа =$$\frac{1}{450}$$ часа Найдем длину по формуле расстояния: $$S=v*t=135*\frac{1}{450}=0,3$$ км = 300 метров
Задание 23
Постройте график функции $$y=\left\{\begin{matrix}x^{2}+4x,x<1\\ \frac{5}{x},x\geq 1\end{matrix}\right.$$ и определите, при каких значениях а прямая y=а будет пересекать построенный график в трех точках.
Рассмотрим $$y=x^{2}+4x$$. Найдем координаты вершины параболы: $$x_{0}=-\frac{4}{2}=-2$$; $$y_{0}=-4$$. Построим график функции с учетом ограничения по х (выделен черным)
Рассмотрим $$y=\frac{5}{x}$$ - это гипербола, расположенная в первой и третьей координатных четвертях. С учетом ограничениях по х (выделен черным):
Объединим полученные кусочные функции:
Прямая $$y=a$$ - прямая, параллелная оси Ох. Три точки пересечения будет при $$a \in (0;5)$$
Задание 24
Точка H является основанием высоты BH, проведённой из вершины прямого угла B прямоугольного треугольника ABC. Окружность с диаметром BH пересекает стороны AB и CB в точках P и K соответственно. Найдите PK, если BH=12.
Рассмотрим $$\Delta PBK$$: $$\angle B=90\Rightarrow$$ PK-диаметр описанной окружности $$\Rightarrow PK=BH=12$$
Задание 25
Основания BC и AD трапеции ABCD равны соответственно 4 и 64, BD=16. Докажите, что треугольники CBD и BDA подобны.
1) $$\angle CBD=\angle BDA$$(накрест лежащие)
2) $$\frac{BD}{AD}=\frac{BC}{BD}$$. С учетом п.1 получим, что $$\Delta BCD\sim \Delta BDA$$
Задание 26
В трапеции ABCD с боковыми сторонами АВ = 9 и CD = 5 биссектриса угла D пересекает биссектрисы углов А и С в точках М и Nсоответственно, а биссектриса угла В пересекает те же две биссектрисы в точках L и K, причём точка K лежит на основании AD. Найдите отношение МN : KL, если LM : KN = 3 : 7
1) $$\angle ABK=\angle CBK$$ (BL-биссектриса ), $$\angle CBK=\angle AKB$$ (накрест лежащие) $$\Rightarrow AB=AK=9$$; AL-биссектриса , медиана и высота равнобедренного $$\Delta ABK$$: $$AL\perp BK$$ и $$BL\perp LK(1)$$
2) Аналогично из $$\Delta CDK$$ : $$CD=DK=5$$; $$DN\perp CK$$; $$CN=NK$$. С учетом (1) - LN-средняя линия $$\Delta BKC$$ и AD=14
3) $$MK\cap LN=Q$$; $$KM\cap BC=P$$. Тогда : $$LN\left | \right |BC$$, $$BC\left | \right |AD\Rightarrow$$ $$LN\left | \right |AD$$ и : $$\Delta LMN\sim \Delta AMD\Rightarrow$$ $$QN:QL=KD:KA=5:9\Rightarrow$$ $$QL=\frac{9 QN}{5}(2)$$
4) $$\angle MLN=\angle MNK=90\Rightarrow$$ около $$MNKL$$ можно описать окружность ($$\angle MLK+\angle MNK=180$$) $$\Rightarrow \Delta LMQ\sim \Delta QNM$$: $$\frac{LM}{NK}=\frac{MQ}{QN}=\frac{3}{7}(3)$$
5) $$\Delta LQK\sim \Delta MQN\Rightarrow$$ $$\frac{MN}{LK}=\frac{MQ}{QL}$$. С учетом (2) : $$\frac{NQ}{QL}=\frac{MQ}{\frac{9QN}{5}}=$$$$\frac{5MQ}{9 QN}(3)$$. С учетом (3): $$\frac{5 MQ}{9 QN}=\frac{5}{9}*\frac{3}{7}=$$$$\frac{5}{21}=\frac{MN}{LK}$$