ОГЭ математика 2023. Разбор варианта Алекса Ларина № 331.

$$-0,7\cdot(-10)^2+90=90-70=20.$$

Отрезок $$[8; 9]$$ можно представить в виде дробей со знаменателем $$7,$$ следующим образом:

$$[\frac{8\cdot7}{7};\frac{9\cdot7}{7}]=[\frac{56}{7};\frac{63}{7}]$$

Отсюда хорошо видно, что дробь $$\frac{61}{7}$$ принадлежит этому интервалу.

$$30a-5(a+3)^2=30a-5(a^2+6a+9)=30a-5a^2-30a-45=-5a^2-45$$

$$-5\cdot(\sqrt{3})^2-45=-5\cdot3-45=-15-45=-60$$

$$x^2+4x-45=0$$

$$D=b^2-4ac=4^2-4\cdot1\cdot(-45)=16-(-180)=16+180=196=14^2$$

$$x_1=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{-4+14}{2\cdot1}=\frac{10}{2}=5$$

$$x_2=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{-4-14}{2\cdot1}=\frac{-18}{2}=-9$$

$$x_1>x_2$$

$$x_2=-9$$ - меньший корень

А) неверно, есть разрывы на графике

Б) $$f(-1)>0;f(4)<0;f(-1)>f(4)$$ - верно

В) неверно, там она убывает

Г) верно, имеет 10 пересечений с Ox

$$\sin\alpha=\frac{a}{2R}$$

$$\sin\alpha=\frac{0,6}{1,5}=0,4$$

$$8x-3(x+9)<-9\Leftrightarrow 8x-3x-27+9<0\Leftrightarrow 5x-18<0\Leftrightarrow 5x<18\Leftrightarrow$$

$$\Leftrightarrow x<3,6\Rightarrow 3$$

Растущее количество задач составляет арифметическую прогрессию с первым членом a₁ = 11, суммой прогрессии S_n = 315 и количеством членов n = 9. Из формулы суммы арифметической прогрессии $$S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n$$ найдем a_n:

$$315=\frac{11+a_n}{2}\cdot9$$

$$9(11+a_n)=630$$

$$11+a_n=70$$

$$a_n=59$$ задач

$$OA=50;OM\perp AB;OB=50\Rightarrow AM=MB=48\Rightarrow OM=\sqrt{50^2-48^2}=14$$

$$\Rightarrow MN=50-14=36$$

$$LM=50+14=64$$

$$LM\cdot MN=2304$$

Можно по свойству хорд: $$LM\cdot MN=AM\cdot MB=48\cdot48=2304$$

Радиус описанной окружности равен половине диагонали квадрата (половина синей линии), то есть, диагональ, равна:

$$d=2\cdot28\sqrt{2}=56\sqrt{2}$$

В свою очередь диагональ квадрата – это величина

$$d=\sqrt{a^2+a^2}=\sqrt{2a^2}=a\sqrt{2}$$

где a – сторона квадрата. То есть,

$$a=\frac{d}{\sqrt{2}}=\frac{56\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=56$$

Радиус вписанной окружности равен половине стороны квадрата (половина красной линии на рисунке). Получаем:

$$r=\frac{a}{2}=\frac{56}{2}=28$$

Построим данный многоугольник, где $$A_1(0;0).$$

При этом точка $$A_2(0;1),A_3(-2;1),...,A_{10}(3;0).$$

Получим 16 квадратов 1x1$$\Rightarrow S_{A_1A_2...A_{10}}=16$$

Пусть $$S_{ABCD}=S.$$ Тогда:

$$S_{ADB}=\frac{S}{2};S_{AGB}=\frac{GB}{DB}S_{ADB}=\frac{1}{4}\cdot\frac{S}{2}=\frac{S}{8};\frac{HD}{CB}=\frac{DE}{EB}=\frac{1}{3}\Rightarrow AH=\frac{2}{3}AD$$

$$S_{AHI}=\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{2}\cdot S=\frac{1}{3}S.$$ Тогда $$S_{FGI}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4}\cdot S_{AHI}=\frac{1}{8}\cdot\frac{1}{3}S=\frac{1}{24}S$$

Итого сумма: $$(\frac{S}{8}+\frac{S}{24})\cdot2=\frac{4S}{12}=\frac{4\cdot12^2}{12}=48$$

$$AB^2+AD^2=(12\sqrt{2})^2\Rightarrow AB^2=12^2=S$$

1) верно, по теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

2) неверно, так как углы, заключенные между пропорциональными сторонами, не равны.

3) неверно, так как нет второго равного угла.

4) неверно, треугольник с такими сторонами является прямоугольным.

$$а⁴-а²-2а-1=а⁴-(а²+2а+1)=а⁴-(а+1)²=(а²)²-(а+1)²=$$

$$=(а²-(а+1))(а²+а+1)=(а²-а-1)(а²+а+1)$$

$$x$$ дет. в час - ученик

$$(x + 4)$$ дет. в час - мастер.

$$\frac{231}{x}-\frac{462}{x+4}=11$$

$$231(x+4)-462x=11x(x+4)$$

$$231x+924-462x=11x^2+44$$

$$-231x+924=11x^2+44x$$

$$231x+44x+11x^2-924=0$$

$$11x^2+275x-924=0$$ $$|:11$$

$$x^2+25x-84=0$$

$$D=25^2-4\cdot(-84)=625+336=961=31^2$$

$$x_1=\frac{-25+31}{2}=3$$

$$x_2=\frac{-25-31}{2}=-4$$

Второй корень не подходит, значит, ученик изготавливает $$3$$ детали в час.

Координата $$x$$ вершины параболы определяется по формуле $$x_n=-\frac{b}{2a}.$$ Координата $$y_в$$ вершины находится подстановкой $$x_в$$ в уравнение параболы. Вершины парабол будут находится по разные стороны от оси $$x,$$ если координаты их вершин имеют разные знаки. Вспомнив, что два сомножителя имеют разный знак тогда и только тогда, когда их произведение отрицательно, составим и решим неравенство:

$$(4p^2-8p^2-1)(-9p^2+18p^2-p)<0\Leftrightarrow(-4p^2-1)(9p^2-p)<0$$

Заметим, что первый множитель всегда меньше нуля, поэтому на него можно разделить.

$$9p(p-\frac{1}{9})>0\Leftrightarrow p(p-\frac{1}{9})>0$$

Произведение двух сомножителей будет больше нуля, если сомножители имеют одинаковый знак (см. рис.). Таким образом, получаем ответ:

$$\left[\begin{matrix} p<0\\ p>\frac{1}{9} \end{matrix}\right.$$

$$\Delta ABM\sim\Delta CDM$$

$$\frac{CM}{AM}=\frac{DC}{AB}$$

$$\frac{x}{56-x}=\frac{25}{10}$$

$$\frac{x}{56-x}=\frac{5}{2}$$

$$2x=5(56-x)$$

$$2x=280-5x$$

$$7x=280$$

$$x=40$$

Последовательно соединенные через одну вершины восьмиугольника образуют треугольники, стороны которых образованы сторонами восьмиугольника и проведенными отрезками. В правильном восьмиугольнике все стороны и углы равны. Получается, что все получившиеся треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. Значит, все стороны у получившейся фигуры равны.

Углы у этих треугольников равны $$135; 22,5; 22,5.$$

Тогда угол фигуры можно рассчитать как: $$\frac{360 - 135 - 22,5 - 22,5}{2}=90.$$

Итак, у нас получилась фигура с углами в $$90$$ градусов и равными сторонами. То есть квадрат.

$$S_{∆KPCM}=5S$$

$$S_{∆ABC}=12S$$

$$\frac{S_{∆ABC}}{S_{∆KPCM}}=\frac{12S}{5S}=\frac{12}{5}=2,4$$