ОГЭ математика 2018. Разбор варианта Алекса Ларина № 170.
Решаем ОГЭ 170 вариант Ларина. Подробное решение 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20 заданий тренировочного варианта ОГЭ Ларина №170 (alexlarin.com)
Решаем ОГЭ 170 вариант Ларина. Подробное решение 21,22,23,24,25,26 заданий тренировочного варианта ОГЭ Ларина №170 (alexlarin.com)
Задание 1
Найдите значение выражения $$\frac{9,9}{6,2-7,7}$$
$$\frac{9,9}{6,2-7,7}=\frac{9,9}{-1,5}=-6,6$$
Задание 2
Студент Петров выезжает из Наро-Фоминска в Москву на занятия в университет. Занятия начинаются в 9:00. В таблице приведено расписание утренних электропоездов от станции Нара до Киевского вокзала в Москве.
| Отправление от ст. Нара | Прибытие на Киевский вокзал |
| 06:35 | 07:59 |
| 07:05 | 08:15 |
| 07:28 | 08:30 |
| 07:34 | 08:57 |
Путь от вокзала до университета занимает 40 минут. Укажите время отправления от станции Нара самого позднего из электропоездов, которые подходят студенту.
1) 06:35; 2) 07:05; 3) 07:28; 4) 07:34.
Задание 3
На координатной прямой отмечены числа a , b и c.
Какое из следующих утверждений об этих числах верно?
Варианты ответа:
1) $$b^{2}>c^{2}$$;
2) $$\frac{c}{a}>0$$;
3) $$a+b<c$$;
4) $$\frac{1}{b}<-1$$
$$a=-1$$, $$b=0,5$$, $$c=1,5$$;
1) $$0,5^{2}>1,5^{2}$$ - неверно;
2) $$\frac{1,5}{-1}>0$$ - неверно;
3) $$-1+0,5<1,5$$ - верно;
4) $$\frac{1}{0,5}<-1$$ - неверно
Задание 4
Найдите значение выражения $$\sqrt{6\cdot40}\cdot\sqrt{90}$$
Варианты ответа
1) $$60\sqrt{6}$$
2) $$120\sqrt{3}$$
3) $$60\sqrt{30}$$
4) $$180\sqrt{2}$$
$$\sqrt{6\cdot40}\cdot\sqrt{90}=\sqrt{6\cdot4\cdot10\cdot9\cdot10}=$$ $$2\cdot3\cdot10\sqrt{6}=60\sqrt{6}$$
Задание 5
На рисунке изображен график движения автомобиля из пункта A в пункт B и автобуса из пункта B в пункт A. На сколько километров в час скорость автомобиля больше скорости автобуса?
Пусть $$v_{1}$$ - скорость автомобиля, $$v_{2}$$ - скорость автобуса: $$v_{1}=\frac{240}{3}=80$$; $$v_{2}=\frac{240}{5}=48$$; $$80-48=32$$ - разница
Задание 6
Решите уравнение $$-4+\frac{x}{5}=\frac{x+4}{2}$$
$$-40+2x=5x+20$$; $$-60=3x$$; $$x=-20$$
Задание 7
Число хвойных деревьев в парке относится к числу лиственных как 19 : 6. Сколько процентов деревьев в парке составляют хвойные?
Пусть хвойных 19х, лиственных 6х. Тогда всегшо деревьев: 25х.
$$\frac{19x}{25x}\cdot100=76$$ %
Задание 9
Девятиклассники Иван, Кира, Виктор, Дима и Надя бросили жребий, кому начинать игру. Найдите вероятность того, что начинать игру должна будет мальчик.
Всего мальчиков - 3, всего девятиклассников - 5. $$P=\frac{3}{5}=0,6$$
Задание 10
На рисунке изображены графики функций вида y=kx+b. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов k и b.
Функции:
1) $$k<0,b<0$$
2) $$k<0,b>0$$
3) $$k>0,b>0$$
4) $$k>0,b<0$$
Если $$k>0$$, то рожение прямой в 1ой и 3ей координатных четвертях, если $$k<0$$, то во 2ой и 4ой. Если $$b>0$$, то ордината пересечения Оу больше 0, если $$b<0$$, то меньше. $$\Rightarrow$$ А3, Б4, В1.
Задание 11
Дана арифметическая прогрессия (an), для которой $$a_{5}=-140$$, $$a_{15}=-250$$. Найдите разность прогрессии.
$$d=\frac{a_{m}-a_{n}}{m-n}=$$ $$\frac{-250-(-140)}{15-5}=\frac{-110}{10}=-11$$
Задание 12
Найдите значение выражения $$\frac{x}{x^{2}-y^{2}}\div\frac{x}{xy-y^{2}}$$ при $$x=1,7$$ и $$y=0,8$$.
$$\frac{x}{x^{2}-y^{2}}\div\frac{x}{xy-y^{2}}=\frac{x}{(x-y)(x+y)}\cdot\frac{y(x-y)}{x}=$$ $$\frac{y}{x+y}=\frac{0,8}{2,5}=0,32$$
Задание 13
Закон Менделеева–Клапейрона можно записать в виде $$PV=vRT$$, где P — давление (в паскалях), V — объём (в м3), ν — количество вещества (в молях), T — температура (в градусах Кельвина), а R — универсальная газовая постоянная, равная 8,31 Дж/(К моль). Пользуясь этой формулой, найдите количество вещества ν (в молях), если T=700 К, P=20941,2 Па, V=9,5 м3.
$$v=\frac{PV}{RT}=\frac{20941,2\cdot9,5}{700\cdot8,31}=$$ $$\frac{209412\cdot95}{700\cdot831}=\frac{3420}{100}=34,2$$
Задание 15
Лестницу длиной 2 м прислонили к дереву. На какой высоте (в метрах) находится верхний её конец, если нижний конец отстоит от ствола дерева на 1,2 м?
По т. Пифагора: $$h=\sqrt{2^{2}-1,2^{2}}=\sqrt{4-1,44}=1,6$$
Задание 16
В треугольнике АВС углы А и С равны 44° и 56° соответственно. Найдите угол между высотой ВН и биссектрисой BD.
$$\angle B=180^{\circ}-\angle A-\angle C=80^{\circ}$$; $$\angle DBC=\frac{80}{2}=40$$ (BD - биссекриса); $$\angle HBC=90-\angle C=90-56=34^{\circ}$$; $$\angle DBH=\angle DBC-\angle HBC=40-34=6^{\circ}$$
Задание 17
Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его катет и гипотенуза равны соответственно 15 и 39.
Пусть а - второй катет по т. Пифагоора: $$a=\sqrt{39^{2}-15^{2}}=\sqrt{(39-15)(39+15)}=\sqrt{24\cdot54}=$$ $$\sqrt{8\cdot3\cdot27\cdot2}=\sqrt{2^{4}\cdot3^{4}}=4\cdot9=36$$; $$S=\frac{1}{2}\cdot36\cdot15=270$$
Задание 18
На окружности с центром O отмечены точки A и B так, что ∠AOB=18°. Длина меньшей дуги AB равна 36. Найдите длину большей дуги.
Вся окружность $$360^{\circ}$$ $$\Rightarrow$$ большая дуга $$342^{\circ}$$. Пусть ее длина х:
$$x-342^{\circ}$$
$$36-18^{\circ}$$
$$x=\frac{36\cdot342}{18}=684$$
Задание 19
В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC=8, tg A=0,75. Найдите BC.
$$\tan A=0,75=\frac{BC}{AC}=\frac{x}{8}$$; $$x=8\cdot0,75=6$$
Задание 20
Какие из следующих утверждений верны?
1. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов этого треугольника
2. Диагонали любого прямоугольника равны..
3. Длина гипотенузы прямоугольного треугольника меньше суммы длин его катетов..
В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Задание 21
Решите уравнение $$x^{2}(x-2)^{3}=x^{4}(x-2)$$
$$x^{2}(x-2)^{3}-x^{4}(x-2)=0$$; $$x^{2}(x-2)((x-2)^{2}-x^{2})=0$$; $$x^{2}(x-2)(x-2-x)(x-2+x)=0$$;
$$\left\{\begin{matrix}x=0\\x=2\\x=1\end{matrix}\right.$$
Задание 22
Имеются два сплава золота и серебра. В одном сплаве количество этих металлов находится в отношении 3 : 5, а в другом – в отношении 1 : 3. Сколько нужно взять каждого сплава, чтобы получить 20 кг нового сплава, в котором золото и серебро находились бы в отношении 3 : 7?
Пусть х - масса 1го $$\Rightarrow$$ $$\frac{3}{8}x$$ - золота, $$\frac{5}{8}x$$ - серебро. Пусть $$20-x$$ масса 2го $$\Rightarrow$$ $$\frac{1}{4}(20-x)$$ - золота, $$\frac{3}{4}(20-x)$$ - серебро.
Всего золота: $$\frac{3}{8}x+\frac{1}{4}(20-x)=$$ $$\frac{3}{8}x+5-\frac{7}{8}x=\frac{1}{8}x+5$$
Всего серебра: $$\frac{5}{8}x+\frac{3}{4}(20-x)=$$ $$\frac{5}{8}x+15-\frac{6}{8}x=15-\frac{1}{8}x$$
$$\frac{\frac{1}{8}x+5}{15-\frac{1}{8}x}=\frac{3}{7}$$; $$\frac{7}{8}x+35=45-\frac{3}{8}x$$; $$\frac{10x}{8}=10$$; $$x=8$$ - первый
$$20-8=12$$ - второй
Задание 24
В треугольнике АВС АС=АВ, медианы АМ и ВF пересекаются в точке О, АМ:ВF=8:5.Найдите BF, если площадь треугольника AOF равна 24.
1) Пусть $$S_{ABC}=S$$, тогда $$S=2\cdot\frac{1}{2}\cdot AC\cdot AM\sin\alpha=AC\cdot AM\sin\alpha$$; $$S_{AFO}=\frac{1}{2}\cdot AF\cdot AO\sin\alpha=$$ $$\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}AC\cdot\frac{2}{3}AM\sin\alpha=\frac{1}{6}AC\cdot AM\sin\alpha=24$$ $$\Rightarrow$$ $$AC\cdot AM\sin\alpha=144=S$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{1}{2}AM\cdot CB=144$$
2) Пусть $$AM=8x$$ $$\Rightarrow$$ $$BF=5x$$, по свойству медиан: $$OB=\frac{2}{3}BF=\frac{10x}{3}$$; $$OM=\frac{1}{3}AM=\frac{8x}{3}$$; $$MB=\sqrt{OB^{2}-OM^{2}}=\sqrt{(\frac{10x}{3})^{2}-(\frac{8x}{3})^{2}}=\frac{6x}{3}=2x$$ $$\Rightarrow$$ $$CB=4x$$
3) $$\frac{1}{2}AM\cdot CB=144$$; $$\frac{1}{2}\cdot8x\cdot4x=144$$; $$32x^{2}=288$$; $$x^{2}=9$$ $$x=3$$
4) $$BF=5x=5\cdot3=15$$
Задание 26
Через центр О вписанной в треугольник АВС полуокружности проведена прямая, параллельная стороне ВС и пересекающая стороны АВ и АС соответственно в точках М и N. Периметр треугольника АМN равен 3, ВС = 1, а отрезок АО в 3 раза больше радиуса вписанной в треугольник АВС окружности. Найдите площадь треугольника АВС.
$$S_{ABC}=p\cdot r=\frac{AB+BC+AC}{2}\cdot r$$; $$P_{AMN}=AM+MN+AN$$; BO - биссетриса $$\Rightarrow$$ $$MO\parallel BO$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle MOB=\angle OBH=\angle OBM$$ $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup MBO$$ - равнобедренный $$\Rightarrow$$ $$MB=MO$$. Аналогично: $$ON=NC$$ $$\Rightarrow$$ $$MN=MO+ON=MN+NC$$; $$AB=AM+MB$$; $$AC=AN+NC$$; $$P_{AMN}=AM+AN+NO+OM=AM+AN+NC+MB=AB+AC=3$$
Из $$\bigtriangleup AOP$$: $$AP=\sqrt{AO^{2}-OP^{2}}=\sqrt{(3r)^{2}-r^{2}}=\sqrt{8}r$$; $$S_{ABC}=\frac{AB+BC+AC}{2}\cdot r=\frac{3+1}{2}\cdot r=2r$$; $$AP=\frac{AB+AC-BC}{2}=\frac{3-1}{2}=1$$ $$\Rightarrow$$ $$AP=1=\sqrt{8}r$$ $$\Rightarrow$$ $$r=\frac{1}{\sqrt{8}}$$; $$S_{ABC}=2\cdot\frac{1}{\sqrt{8}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$$