ОГЭ математика 2018. Разбор варианта Алекса Ларина № 167.
Решаем ОГЭ 167 вариант Ларина. Подробное решение 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20 заданий тренировочного варианта ОГЭ Ларина №167 (alexlarin.com)
Решаем ОГЭ 167 вариант Ларина. Подробное решение 21,22,23,24,25,26 заданий тренировочного варианта ОГЭ Ларина №167 (alexlarin.com)
Задание 1
Найдите значение выражения $$0,21 : \frac{3}{8} + \frac{11}{25}$$
В данном задании необходимо посчитать стоимости покупок в каждом магазине: Машенька:(0,4*600+5*45+1,5*144)*0,9=681*0,9=612,9 Лидия:0,4*585+5*65+1,5*116=234+325+174=733 Камея:0,4*660*0.8+5*53+1,5*225*0,8=211,2+265+270=746,2
Задание 3
На координатной прямой точками отмечены числа: $$\frac{2}{9}$$, $$\frac{3}{13}$$, $$0,24$$, $$0,21$$
Какому числу соответствует точка А?
Варианты ответа:
| 1) $$\frac{2}{9}$$ | 2) $$\frac{3}{13}$$ |
| 3) $$0,24$$ | 4) $$0,21$$ |
$$\frac{2}{9}\approx 0,(2)$$
$$\frac{2}{9}\approx 0,23$$
В порядке возрастания: $$0,21$$, $$\frac{2}{9}$$, $$\frac{3}{13}$$, $$0,24$$
$$\Rightarrow$$ $$A=0,21$$
Задание 4
Найдите значение выражения: $$\sqrt{0,6}\cdot\frac{1}{\sqrt{15}}$$
Варианты ответа:
| 1) $$0,6$$ | 2) $$\sqrt{3}$$ |
| 3) $$0,2$$ | 4) $$\frac{\sqrt{3}}{5}$$ |
$$\sqrt{0,6}\cdot\frac{1}{\sqrt{15}}=\sqrt{\frac{6}{10\cdot15}}=\frac{1}{5}=0,2$$
Задание 5
На рисунке показано, как изменялась температура воздуха на протяжении одних суток. По горизонтали указано время суток, по вертикали — значение температуры в градусах Цельсия. Сколько часов температура не превышала - 6°С?
$$9+6=15$$
Задание 6
Решите уравнение: $$x^{2}-10(x-4)-4x+9=0$$
$$x^{2}-10(x-4)-4x+9=0$$ $$x^{2}-10x+40-4x+9=0$$ $$x^{2}-14x+49=0$$ $$(x-7)^{2}=0$$ $$x=7$$
Задание 7
Вишня стоит 120 рублей за килограмм, а виноград — 160 рублей за килограмм. На сколько процентов вишня дешевле винограда?
$$120-x$$ $$160-100$$ % $$x=\frac{120\cdot100}{160}=75$$ % - вишня от винограда $$100-75=25$$ % - разница в процентах
Задание 8
На диаграмме показано содержание питательных веществ в твороге. Определите по диаграмме, в каких пределах находится содержание жиров.
*К прочему относятся вода, витамины и минеральные вещества.
Варианты ответа:
| 1) $$5-15$$ % | 2) $$25-35$$ % |
| 3) $$35-45$$ % | 4) $$15-25$$ % |
Задание 9
В турнире чемпионов участвуют 6 футбольных клубов: «Барселона», «Ювентус», «Бавария», «Челси», «Порту» и «ПСЖ». Команды случайным образом распределяют на две группы по три команды. Какова вероятность того, что «Барселона» и «Бавария» окажутся в одной группе?
Пусть Барселона уже в группе, тогда мест в ней осталось 2, а команд претендует 5: $$P=\frac{2}{5}=0,4$$
Задание 10
Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.
ФОРМУЛЫ:
| 1) $$y=-x^{2}-2$$ | 2) $$y=-\frac{1}{x}$$ |
| 3) $$y=\frac{1}{x}$$ | 4) $$y=\frac{1}{2}x$$ |
А - обратная пропорциональность вида : $$y=\frac{k}{x}$$, где $$k>0\Rightarrow3$$
Б - прямая вида $$y=kx$$, где $$k>0\Rightarrow4$$
В - парабола вида $$y=ax^{2}+c$$, где $$a<0\Rightarrow1$$
Задание 11
Дана геометрическая прогрессия 17, 51, ... Какое число стоит в этой последовательности на 5-м месте?
$$a=\frac{51}{17}=3$$ $$b_{5}=b_{1}\cdot a^{5-1}=17\cdot3^{4}=17\cdot81=1377$$
Задание 12
Найдите значение выражения: $$(\frac{m-n}{m^{2}+mn}+\frac{1}{m})\div\frac{m}{m+n}$$, при $$m=-0,5$$, $$n=\sqrt{2}$$
$$(\frac{m-n}{m^{2}+mn}+\frac{1}{m})\div\frac{m}{m+n}=$$ $$=(\frac{m-n}{m(m+n)}+\frac{m+n}{m(m+n)})\cdot\frac{m+n}{m}=$$ $$=\frac{m-n+m+n}{m(m+n)}\cdot\frac{m+n}{m}=\frac{2m}{m^{2}}=$$ $$\frac{2}{m}=\frac{2}{-0,5}=-4$$
Задание 13
Расстояние s (в метрах) до места удара молнии можно приближенно вычислить по формуле $$S=330t$$, где t — количество секунд, прошедших между вспышкой молнии и ударом грома. Определите, на каком расстоянии от места удара молнии находится наблюдатель, если $$t=15$$. Ответ дайте в километрах, округлив его до целых.
Задание 15
Две трубы, диаметры которых равны 36 см и 48 см, требуется заменить одной, площадь поперечного сечения которой равна сумме площадей поперечных сечений двух данных. Каким должен быть диаметр новой трубы? Ответ дайте в сантиметрах.
$$S=\pi R^{2}$$
$$\pi R_{1}^{2}+\pi R_{2}^{2}=\pi R_{3}^{2}$$ $$\Leftrightarrow$$
$$R_{1}^{2}+R_{2}^{2}=R_{3}^{2}$$
$$R_{1}=\frac{36}{2}=18$$
$$R_{2}=\frac{48}{2}=24$$
$$R_{3}=\sqrt{18^{2}+24^{2}}=\sqrt{324+576}=\sqrt{900}=30$$ $$\Rightarrow$$
$$d_{3}=2R_{3}=2\cdot30=60$$
Задание 16
Окружность с центром в точке О описана около равнобедренного треугольника АВС, в котором АВ = ВС и $$\angle ABC=138^{\circ}$$. Найдите величину угла ВОС. Ответ дайте в градусах.
$$\angle OBC=\frac{1}{2}\angle ABC=\frac{138^{\circ}}{2}=69^{\circ}$$
$$\bigtriangleup OBC$$ - равнобедренный, т.к. $$OB=OC$$ - радиусы $$\Rightarrow$$
$$\angle OCB=\angle OBC=69^{\circ}$$
$$\Rightarrow$$ $$\angle BOC=180-\angle OBC-\angle OCB=180^{\circ}-138^{\circ}=42^{\circ}$$
Задание 17
В треугольнике ABC BM – медиана и BH – высота. Известно, что AC=97 и BC=BM. Найдите AH.
$$AM=MC=\frac{1}{2}AC=\frac{97}{2}=48,5$$ $$\bigtriangleup BMC$$ -равнобедренный $$\Rightarrow$$ $$BH$$ - высота и медиана $$\Rightarrow$$ $$MH=HC=\frac{1}{2}MC=24,25$$ $$AH=AM+MH=72,25$$
Задание 18
В треугольнике со сторонами 15 и 3 проведены высоты к этим сторонам. Высота, проведённая к первой стороне, равна 1. Чему равна высота, проведённая ко второй стороне?
$$CH=1$$, $$AB=15$$, $$AC=3$$
$$BM-?$$
$$S=\frac{1}{2}AB\cdot HC=\frac{1}{2}AC\cdot BM$$
$$\Rightarrow$$ $$BM=\frac{AB\cdot HC}{AC}=\frac{15\cdot1}{3}=5$$
Задание 20
Какие из следующих утверждений верны?
1. Если в параллелограмме диагонали равны и перпендикулярны, то этот параллелограмм — квадрат.
2. Площадь трапеции равна произведению средней линии на высоту.
3. Диагонали любого прямоугольника делят его на 4 равных треугольника..
В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Задание 21
Решите систему уравнений: $$\left\{\begin{matrix}x^{2}+7x-y+11=0\\y^{2}+3x-y+15=0\end{matrix}\right.$$
Сложим эти два уравнения: $$x^{2}+y^{2}+10x-2y+26=0$$ $$x^{2}+10x+25+y^{2}-2y+1=0$$ $$(x+5)^{2}+(y-1)^{2}=0$$ Сумма 2х квадратов равна 0 тогда, когда оба равны 0. $$\left\{\begin{matrix}x+5=0\\y-1=0\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x=-5\\y=1\end{matrix}\right.$$
Задание 22
Два бегуна одновременно стартовали в одном направлении из одного и того же места круговой трассы в беге на несколько кругов. Спустя 1час, когда одному из них оставалось 3 км до окончания первого круга, ему сообщили, что второй бегун прошёл первый круг 6 минут назад. Найдите скорость первого бегуна, если известно, что она на 5 км/ч меньше скорости второго.
Пусть х - скорость второго, тогда $$x-5$$ - скорость первого. Длина круга тогда $$\frac{54}{60}x$$, т.к. второй прошел его за 54 минуты или $$\frac{54}{60}$$ часа.
Тогда $$\frac{54}{60}x-3$$ - расстояние, которое прошел первый за час, т.е.
$$\frac{54}{60}x-3=(x-5)\cdot1$$
$$\frac{54}{60}x-3=x-5$$
$$-3+5=x-\frac{54}{60}x$$
$$2=\frac{1}{10}x$$
$$x=20$$ $$\Rightarrow$$ $$x-5=20-5=15$$
Задание 23
Постройте график функции $$y=1-\frac{2x+4}{x^{2}+2x}$$ и определите, при каких значениях а прямая $$y=а$$ не имеет с графиком ни одной общей точки.
$$y=1-\frac{2x+4}{x^{2}+2x}=1-\frac{2(x+2)}{x(x+2)}=1-\frac{2}{x}$$
$$x\neq0$$; $$x\neq2$$ $$\Rightarrow$$ $$(-2;2)$$ не входит
Тогда $$y=2$$; $$y=1$$ не имеют общих точек с $$y=1-\frac{2x+4}{x^{2}+2x}$$
Задание 24
Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD равны соответственно 18 и 30, а основание BC равно 3. Биссектриса угла ADC проходит через середину стороны AB. Найдите площадь трапеции.
1) Достроим $$DL$$ до пересечения с $$BC$$
$$DL\cap BC=M$$
2) $$\bigtriangleup MCD$$ - равнобедренный, т.к. $$\angle LDA=\angle LDC$$ ($$DL - (бисектрисса)
($$\angle BML=\angle ALD$$ - накрестлежащие)
3) $$CM=CD=30$$ $$\Rightarrow$$ $$BM=30-BC=27$$
4) $$\bigtriangleup MBL=\bigtriangleup LDA$$ ($$LB=LA$$; $$\angle MBL=\angle LAD$$; $$\angle MLB=\angle ALD$$)
$$\Rightarrow$$ $$AD=MB=27$$
5) опустим $$BH\perp CAD$$; $$CK\perp AD$$
$$BH=CK=y$$, тогда $$HK=KB=3$$
Пусть $$AH=x$$, тогда $$KD=27-x-3=24-x$$
Распишем т. Пифагора для $$\bigtriangleup ABH$$ и $$\bigtriangleup CKD$$
$$\left\{\begin{matrix}x^{2}+y^{2}=18^{2}\\(24-x)^{2}+y^{2}=30^{2}\end{matrix}\right.$$
$$(24-x)^{2}-x^{2}=30^{2}-18^{2}$$
$$576-48x+x^{2}-x^{2}=576$$
$$-48x=0$$
$$x=0$$ $$\Rightarrow$$
$$AB\perp AD$$
$$S_{ABCD}=\frac{3+27}{2}\cdot18=30\cdot9=270$$
Задание 25
В треугольнике АВС с тупым углом АСВ проведены высоты АА1 и ВВ1. Докажите, что треугольники А1СВ1 и АСВ подобны.
$$\bigtriangleup A_{1}CB_{1}\sim \bigtriangleup ACB$$
$$\angle A_{1}CA=\angle B_{1}CB$$ вертикальные
т.к. $$\bigtriangleup A_{1}AC$$ И $$\bigtriangleup BB_{1}C$$ прямоугольные, то из равенства их острых угловони подобные
$$\Rightarrow$$ $$\frac{A_{1}C}{CB_{1}}=\frac{AC}{CB}$$
$$\Rightarrow$$ $$\frac{A_{1}C}{AC}=\frac{CB_{1}}{CB}$$; $$\angle A_{1}CB_{1}=\angle ACB$$
$$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup ABC\sim \bigtriangleup A_{1}CB_{1}$$ по первому признаку
Задание 26
В трапеции ABCD основания AD и ВС равны 6см и 10см соответственно. На продолжении ВС выбрана такая точка М, что прямая АМ отсекает от площади трапеции 1/4 её часть. Найдите длину отрезка СМ.
1) Пусть $$AH=h$$ - высота
$$S_{ABCD}=\frac{BC+AD}{2}\cdot AH=\frac{6+10}{2}\cdot h=h$$
тогда $$S_{AKD}=\frac{1}{2}AD\cdot x$$, х - высота
$$S_{AKD}=KM$$
$$S_{AKD}=\frac{1}{2}\cdot6\cdot x=3x=\frac{1}{4}S_{ABCD}=2h$$
$$x=\frac{2h}{3}$$
2) $$LK+KM=h$$ $$\Rightarrow$$ $$LK=\frac{h}{3}$$ - высота $$\bigtriangleup CMK$$
3) $$\bigtriangleup AKD\sim\bigtriangleup CMK$$ по трем углам $$\Rightarrow$$
$$\frac{AD}{CM}=\frac{KM}{KL}=\frac{2h}{3}\div\frac{h}{3}=\frac{2}{1}$$
$$CM=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}\cdot6=3$$