ОГЭ математика 2023. Разбор варианта Алекса Ларина № 337.

$$10\cdot\frac{1}{25}-12\cdot\frac{1}{5}=\frac{2}{5}-\frac{12}{5}=-2$$

Учтём, что $$2,6=\sqrt{2,6^2}=\sqrt{5,76}$$; $$2,8=\sqrt{2,8^2}=\sqrt{7,24}\Rightarrow a=\sqrt{7}\Rightarrow 2$$

$$6\cdot45=270$$

$$x^2 = 4x + 32$$

$$x^2-4x-32=0$$

$$x_1=-4$$

$$x_2=8$$

$$-3\cdot(-4)+3\cdot8=36$$

В группе из 20 российских туристов французским языком владеют 3 (говорят только по-французски) + 2 (говорят по-французски и по-английски) = 5 человек.

Ве­ро­ят­ность того, что слу­чай­но вы­бран­ный ту­рист го­во­рит по-фран­цуз­ски = количество туристов, которые владеют французским языком : общее количество туристов:

$$P(A)=\frac{5}{20}=0,25$$

А) гипербола $$\Rightarrow y=-\frac{9}{x}\Rightarrow 3$$

Б) линейная функция $$\Rightarrow y=\frac{1}{2}x-6\Rightarrow 1$$

В) парабола $$\Rightarrow y=x^2-8x+11\Rightarrow 2$$

Г) ветвь параболы $$\Rightarrow y=2\sqrt{x}\Rightarrow 4$$

$$R=\frac{a_n}{\omega^2}=\frac{64}{16}=4$$

$$-x^2+x\geq0\Rightarrow -x(x-1)\geq0\Rightarrow x(x-1)\leq0$$

$$x(x-1)=0\Rightarrow\left[\begin{matrix} x=0\\ x=1 \end{matrix}\right.$$

Пусть $$x(x-1)=f(x)$$:

$$f(-1)=-1\cdot(-2)>0$$

$$x\in[0;1]$$

Воспользуемся формулой арифметической прогрессии.

$$a_1=20$$ мест, $$d = 2$$ места.

$$S_n=\frac{2a_1+d(n-1)}{2}n=\frac{2\cdot20+2(12-1)}{2}\cdot12=372$$

Высоту h ромба можно найти из прямоугольного треугольника с гипотенузой $$c=54$$ (длина стороны ромба) и острым углом $$\alpha=180^{\circ}-150^{\circ}=30^{\circ}$$. Высота лежит против острого угла в 30°, значит, она будет в 2 раза меньше гипотенузы:

$$h=c\cdot\sin30^{\circ}=54\cdot\frac{1}{2}=27$$

Равные хорды отсекают равные дуги. Т.е. каждая сторона отсекает дугу $$\frac{360^{\circ}}{8}=45^{\circ}.$$

$$\angle ACE$$ опирается на дугу, отсекаемую 4 сторонами, т.е. $$180^{\circ},$$ но угол вписанный $$\Rightarrow\angle ACE=\frac{180^{\circ}}{2}=90^{\circ}$$

Согласно рисунку градусная мера центрального угла АОС равна $$45°+90° = 135°$$. Следовательно, дуга, на которую опирается вписанный в окружность угол АВС имеет градусную меру:

$$360°-135° = 225°$$.

По теореме о величине угла, вписанного в окружность, получаем, что градусная мера угла АВС:

$$\frac{225°}{2} = 112,5°$$.

Из равенства треугольников ABC, DBE и FBE следует, что равны углы ABC, DBE и FBE, образующие развёрнутый угол, равный $$180°$$. Следовательно, каждый из этих углов равен

$$\frac{180°}{3} = 60°$$.

Угол DBF при вершине равнобедренного треугольника с основанием FD равен $$120°$$, так как составлен из двух углов DBE и FBE, каждый из которых равен $$60°$$. Значит, угол FDB при основании равнобедренного треугольника DBF:

$$\frac{180°-120°}{2} = 30°$$.

1) неверно, площадь трапеции равна половине высоты, умноженной на сумму оснований.

2) верно, это аксиома геометрии.

3) верно, это теорема планиметрии.

$$\left\{\begin{matrix} \frac{x+5}{y-3}=0\\ 2y^2+x^2-y=40 \end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{\begin{matrix} x+5=0\\ y-3\neq0\\ 2y^2+x^2-y=40 \end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{\begin{matrix} x=-5\\ 2y^2+25-y=40\\ y\neq3 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$

$$\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} x=-5\\ 2y^2-y-15=0\\ y\neq3 \end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{\begin{matrix} x=-5\\ y=-2,5 \end{matrix}\right.$$

$$2y^2-y-15=0$$

$$D=1+120=121$$

$$y_1=\frac{1+11}{4}=3$$ - не подходит

$$y_2=\frac{1-11}{4}=-2,5$$

$$x = 0$$ – критическая точка, в ней подмодульное выражение меняет знак. Поэтому будем рассматривать два случая: когда $$x > 0$$ и $$x < 0$$.

1) При $$x > 0$$ функция примет такой вид

$$y=\frac{3,5x-1}{x-3,5x^2}=\frac{3,5x-1}{-x(-1+3,5x)}=-\frac{1}{x}$$

Графиком данной функции будет гипербола, к тому же, сразу определимся с ОДЗ. Т.к. у нас дана дробь, то ее знаменатель не может равняться нулю. Поэтому, икс не должен равняться 0 и 2/7 (х ≠ 0 и х ≠ 2/7).

Сразу найдем координаты точек, по которым будем чертить график.

Найдем координаты выколотой точки: если x ≠ 2/7, то y ≠ -3,5.

2) При $$х < 0$$ функция примет вид

$$y=\frac{-3,5x-1}{-x-3,5x^2}=\frac{-3,5x-1}{x(-1-3,5x)}=\frac{1}{x}$$

ОДЗ: х ≠ 0 и х ≠ -2/7.

Найдем координаты точек.

Найдем координаты выколотой точки: если x ≠ -2/7, то y ≠ -3,5.

3) Теперь можно чертить график (синие кусочки гипербол).

$$y = kx$$ – прямая, проходящая под наклоном через начало координат (k – угловой коэффициент). И есть две потенциальные прямые, которые с нашим графиком не имеют общих точек (на координатной плоскости они отмечены красным цветом). Осталось лишь найти чему равен коэффициент k. 

Обе прямые непременно должны проходить через выколотые точки. И логично предположить, что чтобы найти k надо в уравнение $$y = kx$$ подставить координаты этих выколотых точек. Это мы сейчас и сделаем.

Для точки (-2/7; -3,5)

$$-\frac{7}{2}=-\frac{2}{7}k;\; k=\frac{49}{4}=12,25$$

Для точки (2/7; -3,5)

$$-\frac{7}{2}=\frac{2}{7}k;\; k=-\frac{49}{4}=-12,25$$

И не стоит забывать, что при $$k = 0$$ прямая $$y = kx$$ превращается в прямую $$y = 0$$, которая совпадает с осью Ох. А, как известно, гипербола ее никогда не пересечет.

Таким образом, при $$k = ±12,25$$ и $$k = 0$$ прямая $$y = kx$$ не имеет с графиком общих точек.

$$\Delta ABM\sim\Delta CDM$$

$$\frac{CM}{AM}=\frac{DC}{AB}$$

$$\frac{x}{48-x}=\frac{54}{18}$$

$$\frac{x}{48-x}=3$$

$$x=3(48-x)$$

$$x=144-3x$$

$$4x=144$$

$$x=36$$

$$∆AA_1C\sim ∆BB_1C$$ (по трем углам)

Пусть коэффициент подобия $$k$$

$$CB_1=c, A_1C = kc$$

$$BB_1 = b, AA_1 = kb$$

$$CB = a, CA = ka$$

В $$∆A_1CB_1$$ и $$∆ACB$$ две стороны подобны и углы между ними равны ⇒

$$∆A_1CB_1\sim ∆ACB$$

Из условия касания окружностей находим стороны треугольника $$O_1O_2O_3$$

$$O_1O_2=3, O_2O_3=5, O_1O_3=7$$

По теореме косинусов

$$O_1O_3^2=O_1O_2^2+O_2O_3^2-2O_1O_2\cdot O_2O_3\cdot\cos\angle O_1O_2O_3$$

$$49=9+25-30\cos\angle O_1O_2O_3$$

Откуда $$\cos\angle O_1O_2O_3=-\frac{1}{2}; \angle O_1O_2O_3=120^{\circ}$$.