Перейти к основному содержанию

ОГЭ математика 2023. Разбор варианта Алекса Ларина № 337.



Решаем 337 вариант Ларина ОГЭ 2023 обычная версия. Подробное решение 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25 заданий обычного тренировочного варианта ОГЭ Ларина № 337(alexlarin.com)

Больше разборов на моем ютуб-канале

Аналоги к этому заданию:

Задания 1-5

На рисунке (см. выше) изображён план трёхкомнатной квартиры в многоэтажном доме. Сторона каждой клетки на плане равна 0,5 м. Вход в квартиру находится в прихожей. Напротив входа располагается санузел. Справа от входа - гостиная и спальня, а слева - кухня и детская. В квартире есть две застеклённые лоджии. Площадь кухни равна 18 м2. Вход в детскую расположен напротив входа в гостиную.

1. Для объектов, указанных в таблице, определите, какими цифрами они обозначены на плане. Заполните таблицу. В ответе запишите последовательность пяти цифр без пробелов, запятых и других разделительных символов.

Объекты санузел гостиная детская спальня кухня
Цифры          

2. Найдите длину (в метрах) остекления лоджии в спальне.

3. Плитка для пола размером 50 см х 25 см продаётся в упаковках по 10 штук. Сколько упаковок плитки понадобится, чтобы выложить пол в прихожей.

4. Найдите площадь (в м2), которую занимает детская.

5. На сколько процентов площадь спальни (без лоджии) меньше площади кухни?

Ответ: 1) 43586 2) 3 3) 20 4) 21 5) 25
Скрыть

Вход в квартиру находится в прихожей (7). Напротив входа располагается санузел (4). В квартире есть две застеклённые лоджии (1 и 2).

Площадь кухни равна 18 квадратных метров ((6) $$S = 6\cdot0,5\cdot18\cdot0,5 = 18$$ м2), вход в детскую (5) расположен напротив входа в гостиную (3). Справа от входа — гостиная и спальня (8), а слева — кухня и детская.

Заполняем таблицу и записываем ответ.

Скрыть

Так как одна клетка равна 0,5 метра, а ширина лоджии = 6 клеток, следовательно остекление лоджии в спальне будет 3 метра.

Скрыть

Так как плитка 50 на 25 см, то есть 0,5 на 0,25 метров, значит, в одной клетке по 2 плитки.

Найдём площадь прихожей, она равна 99 клеток, или умножая на 2, 198 плиточек.

И, зная, что в одной упаковке 10 штук, мы $$\frac{198}{10}=19,8$$ упаковок, округляем, и получаем 20 упаковок.

Скрыть

$$S=ab$$

Считаем клетки:

$$12\cdot7=84$$

$$\frac{84}{4}=21$$ м2

Скрыть

Площадь спальни $$= 9\cdot6=54$$

Площадь кухни $$=12\cdot6=72$$

Пусть

72 - 100%

54 - x%

Тогда 54 = 75%

$$100\%-75\%=25\%$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 6

Найдите значение выражения $$10\cdot(\frac{1}{5})^2-12\cdot\frac{1}{5}.$$
Ответ: -2
Скрыть

$$10\cdot\frac{1}{25}-12\cdot\frac{1}{5}=\frac{2}{5}-\frac{12}{5}=-2$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 7

Известно, что $$2,6 < a < 2,8$$. Какому из нижеперечисленных чисел равно число $$а$$?

1) $$\sqrt{3}\quad$$ 2) $$\sqrt{7}\quad$$ 3) $$\sqrt{8}\quad$$ 3) $$\sqrt{12}$$

В ответе запишите номер правильного варианта ответа.

Ответ: 2
Скрыть

Учтём, что $$2,6=\sqrt{2,6^2}=\sqrt{5,76}$$; $$2,8=\sqrt{2,8^2}=\sqrt{7,24}\Rightarrow a=\sqrt{7}\Rightarrow 2$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 8

Найдите значение выражения $$3\sqrt{15}\cdot2\sqrt{3}\cdot\sqrt{45}.$$
Ответ: 270
Скрыть

$$6\cdot45=270$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 9

Решите уравнение $$x^2 = 4x + 32$$. В ответе запишите значение выражения $$-3x_1 + 3x_2$$, где $$x_i$$ - корень уравнения, причём $$x_i < x_{i+1}$$.
Ответ: 36
Скрыть

$$x^2 = 4x + 32$$

$$x^2-4x-32=0$$

$$x_1=-4$$

$$x_2=8$$

$$-3\cdot(-4)+3\cdot8=36$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 10

В группе из 20 российских туристов несколько человек владеют иностранными языками. Из них пятеро говорят только по-английски, трое только по-французски, двое по-французски и по-английски. Какова вероятность того, что случайно выбранный турист говорит по-французски?
Ответ: 0,25
Скрыть

В группе из 20 российских туристов французским языком владеют 3 (говорят только по-французски) + 2 (говорят по-французски и по-английски) = 5 человек.

Ве­ро­ят­ность того, что слу­чай­но вы­бран­ный ту­рист го­во­рит по-фран­цуз­ски = количество туристов, которые владеют французским языком : общее количество туристов:

$$P(A)=\frac{5}{20}=0,25$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 11

Даны четыре графика различных функций $$y=f(x)$$. Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают. В ответе запишите последовательность цифр, соответствующих А, Б, В, Г, без пробелов, запятых и других разделительных символов.

А)

Б)

В)

Г)

1) $$y = \frac{1}{2}x-6\quad$$ 2) $$y = x^2 - 8x + 11\quad$$ 3) $$y = -\frac{9}{x}\quad$$ 4) $$y = 2\sqrt{x}$$

Ответ: 3124
Скрыть

А) гипербола $$\Rightarrow y=-\frac{9}{x}\Rightarrow 3$$

Б) линейная функция $$\Rightarrow y=\frac{1}{2}x-6\Rightarrow 1$$

В) парабола $$\Rightarrow y=x^2-8x+11\Rightarrow 2$$

Г) ветвь параболы $$\Rightarrow y=2\sqrt{x}\Rightarrow 4$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 12

Из формулы центростремительного ускорения $$a_n = \omega^2R$$ найдите $$R$$ (в метрах), если $$\omega = 4$$ с-1 и $$a_n = 64$$ м/с2.

Ответ: 4
Скрыть

$$R=\frac{a_n}{\omega^2}=\frac{64}{16}=4$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 13

Решите неравенство $$-x^2+x\geq0$$.

1) $$(-\infty, 0)\cup(1, +\infty)\quad$$ 2) $$[0, 1]\quad$$ 3) $$(-\infty, 1)\quad$$ 4) $$(-\infty, 0]\cup[1, +\infty)$$

В ответе запишите номер правильного варианта ответа.

Ответ: 2
Скрыть

$$-x^2+x\geq0\Rightarrow -x(x-1)\geq0\Rightarrow x(x-1)\leq0$$

$$x(x-1)=0\Rightarrow\left[\begin{matrix} x=0\\ x=1 \end{matrix}\right.$$

Пусть $$x(x-1)=f(x)$$:

$$f(-1)=-1\cdot(-2)>0$$

$$x\in[0;1]$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 14

В амфитеатре 12 рядов. В первом ряду 20 мест, а в каждом следующем на 2 места больше, чем в предыдущем. Сколько всего мест в амфитеатре?
Ответ: 372
Скрыть

Воспользуемся формулой арифметической прогрессии.

$$a_1=20$$ мест, $$d = 2$$ места.

$$S_n=\frac{2a_1+d(n-1)}{2}n=\frac{2\cdot20+2(12-1)}{2}\cdot12=372$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 15

Сторона ромба ABCD равна 54, а один из углов этого ромба равен 150o. Найдите высоту ромба ABCD.

Ответ: 27
Скрыть

Высоту h ромба можно найти из прямоугольного треугольника с гипотенузой $$c=54$$ (длина стороны ромба) и острым углом $$\alpha=180^{\circ}-150^{\circ}=30^{\circ}$$. Высота лежит против острого угла в 30°, значит, она будет в 2 раза меньше гипотенузы:

$$h=c\cdot\sin30^{\circ}=54\cdot\frac{1}{2}=27$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 16

В окружность вписан равносторонний восьмиугольник ABCDEFGH. Найдите градусную меру угла ACE.
Ответ: 90
Скрыть

Равные хорды отсекают равные дуги. Т.е. каждая сторона отсекает дугу $$\frac{360^{\circ}}{8}=45^{\circ}.$$

$$\angle ACE$$ опирается на дугу, отсекаемую 4 сторонами, т.е. $$180^{\circ},$$ но угол вписанный $$\Rightarrow\angle ACE=\frac{180^{\circ}}{2}=90^{\circ}$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 17

Дана окружность с центром в точке O. На этой окружности отмечены точки A, B и C так, как показано на рисунке. Найдите градусную меру угла ABC.

Ответ: 112,5
Скрыть

Согласно рисунку градусная мера центрального угла АОС равна $$45°+90° = 135°$$. Следовательно, дуга, на которую опирается вписанный в окружность угол АВС имеет градусную меру:

$$360°-135° = 225°$$.

По теореме о величине угла, вписанного в окружность, получаем, что градусная мера угла АВС:

$$\frac{225°}{2} = 112,5°$$.

Аналоги к этому заданию:

Задание 18

Даны три равных друг другу треугольника ABC, DBE и FBE. Точки A, B и D лежат на одной прямой. Точки B, C и F тоже лежат на одной прямой (см. рис.). Найдите градусную меру угла FDB.

Ответ: 30
Скрыть

Из равенства треугольников ABC, DBE и FBE следует, что равны углы ABC, DBE и FBE, образующие развёрнутый угол, равный $$180°$$. Следовательно, каждый из этих углов равен

$$\frac{180°}{3} = 60°$$.

Угол DBF при вершине равнобедренного треугольника с основанием FD равен $$120°$$, так как составлен из двух углов DBE и FBE, каждый из которых равен $$60°$$. Значит, угол FDB при основании равнобедренного треугольника DBF:

$$\frac{180°-120°}{2} = 30°$$.

Аналоги к этому заданию:

Задание 19

Какие из следующих утверждений верны? Если верных утверждений несколько, запишите их номера в порядке возрастания без пробелов, запятых и других разделительных символов.

1) Площадь трапеции равна половине высоты, умноженной на разность оснований.

2) Через любые две точки можно провести прямую.

3) Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести единственную прямую, перпендикулярную данной прямой.

Ответ: 23
Скрыть

1) неверно, площадь трапеции равна половине высоты, умноженной на сумму оснований.

2) верно, это аксиома геометрии.

3) верно, это теорема планиметрии.

Аналоги к этому заданию:

Задание 20

Решите систему уравнений:

$$\left\{\begin{matrix} \frac{x+5}{y-3}=0\\ 2y^2+x^2-y=40 \end{matrix}\right.$$

Ответ: $$(-5;-2,5)$$
Скрыть

$$\left\{\begin{matrix} \frac{x+5}{y-3}=0\\ 2y^2+x^2-y=40 \end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{\begin{matrix} x+5=0\\ y-3\neq0\\ 2y^2+x^2-y=40 \end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{\begin{matrix} x=-5\\ 2y^2+25-y=40\\ y\neq3 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$

$$\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix} x=-5\\ 2y^2-y-15=0\\ y\neq3 \end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{\begin{matrix} x=-5\\ y=-2,5 \end{matrix}\right.$$

$$2y^2-y-15=0$$

$$D=1+120=121$$

$$y_1=\frac{1+11}{4}=3$$ - не подходит

$$y_2=\frac{1-11}{4}=-2,5$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 21

Кро­лик утвер­жда­ет, что вчера Винни-Пух съел не менее 9 ба­но­чек мёда, Пя­та­чок — что не менее 8 ба­но­чек, ослик Иа — что не менее 7. Сколь­ко ба­но­чек мёда съел вчера Винни-Пух, если из трех этих утвер­жде­ний ис­тин­но толь­ко одно?

Ответ: 7
Скрыть

Пусть верно утверждение, что не менее 9, но тогда выполняется утверждения и не менее 8 и 7, но нарушается утверждения истинности одного. Пусть верно утверждения, что не менее 8, тогда так же выполняется, что не менее 7, и нарушается истинность только одного из трех. Получаем, что истинно третье утверждение, и не должно выполняться второе и первое, то есть должно быть не менее 7, но менее 8 баночек. Получаем 7 штук.

Аналоги к этому заданию:

Задание 22

Постройте график функции $$y=\frac{3,5|x|-1}{|x|-3,5x^2}$$. Определите, при каких значениях $$a$$ прямая $$y=ax$$ не имеет с графиком этой функции общих точек.
Ответ: $$-\frac{49}{4};0;\frac{49}{4}$$
Скрыть

$$x = 0$$ – критическая точка, в ней подмодульное выражение меняет знак. Поэтому будем рассматривать два случая: когда $$x > 0$$ и $$x < 0$$.

1) При $$x > 0$$ функция примет такой вид

$$y=\frac{3,5x-1}{x-3,5x^2}=\frac{3,5x-1}{-x(-1+3,5x)}=-\frac{1}{x}$$

Графиком данной функции будет гипербола, к тому же, сразу определимся с ОДЗ. Т.к. у нас дана дробь, то ее знаменатель не может равняться нулю. Поэтому, икс не должен равняться 0 и 2/7 (х ≠ 0 и х ≠ 2/7).

Сразу найдем координаты точек, по которым будем чертить график.

х 0,5 1 2
у -2 -1 -0,5

Найдем координаты выколотой точки: если x ≠ 2/7, то y ≠ -3,5.

2) При $$х < 0$$ функция примет вид

$$y=\frac{-3,5x-1}{-x-3,5x^2}=\frac{-3,5x-1}{x(-1-3,5x)}=\frac{1}{x}$$

ОДЗ: х ≠ 0 и х ≠ -2/7.

Найдем координаты точек.

х -0,5 -1 -2
у -2 -1 -0,5

Найдем координаты выколотой точки: если x ≠ -2/7, то y ≠ -3,5.

3) Теперь можно чертить график (синие кусочки гипербол).

$$y = kx$$ – прямая, проходящая под наклоном через начало координат (k – угловой коэффициент). И есть две потенциальные прямые, которые с нашим графиком не имеют общих точек (на координатной плоскости они отмечены красным цветом). Осталось лишь найти чему равен коэффициент k. 

Обе прямые непременно должны проходить через выколотые точки. И логично предположить, что чтобы найти k надо в уравнение $$y = kx$$ подставить координаты этих выколотых точек. Это мы сейчас и сделаем.

Для точки (-2/7; -3,5)

$$-\frac{7}{2}=-\frac{2}{7}k;\; k=\frac{49}{4}=12,25$$

Для точки (2/7; -3,5)

$$-\frac{7}{2}=\frac{2}{7}k;\; k=-\frac{49}{4}=-12,25$$

И не стоит забывать, что при $$k = 0$$ прямая $$y = kx$$ превращается в прямую $$y = 0$$, которая совпадает с осью Ох. А, как известно, гипербола ее никогда не пересечет.

Таким образом, при $$k = ±12,25$$ и $$k = 0$$ прямая $$y = kx$$ не имеет с графиком общих точек.

Аналоги к этому заданию:

Задание 23

Отрезки AB и DC лежат на параллельных прямых, а отрезки AC и BD пересекаются в точке M. Найдите MC, если AB = 18, DC = 54, AC = 48.
Ответ: 36
Скрыть

$$\Delta ABM\sim\Delta CDM$$

$$\frac{CM}{AM}=\frac{DC}{AB}$$

$$\frac{x}{48-x}=\frac{54}{18}$$

$$\frac{x}{48-x}=3$$

$$x=3(48-x)$$

$$x=144-3x$$

$$4x=144$$

$$x=36$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 24

В треугольнике $$ABC$$ с тупым углом $$ACB$$ проведены высоты $$AA_1$$ и $$BB_1$$. Докажите, что треугольники $$A_1CB_1$$ и $$ACB$$ подобны.
Ответ: -
Скрыть

$$∆AA_1C\sim ∆BB_1C$$ (по трем углам)

Пусть коэффициент подобия $$k$$

$$CB_1=c, A_1C = kc$$

$$BB_1 = b, AA_1 = kb$$

$$CB = a, CA = ka$$

В $$∆A_1CB_1$$ и $$∆ACB$$ две стороны подобны и углы между ними равны ⇒

$$∆A_1CB_1\sim ∆ACB$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 25

Две окружности с центрами $$O_1$$ и $$O_3$$ и радиусами 4,5 и 2,5 касаются друг с другом внешним образом и внутренним образом касаются окружности с центром $$O_2$$ радиусом 7,5. Найдите градусную меру угла $$O_1O_2O_3$$.
Ответ: 120
Скрыть

Из условия касания окружностей находим стороны треугольника $$O_1O_2O_3$$

$$O_1O_2=3, O_2O_3=5, O_1O_3=7$$

По теореме косинусов

$$O_1O_3^2=O_1O_2^2+O_2O_3^2-2O_1O_2\cdot O_2O_3\cdot\cos\angle O_1O_2O_3$$

$$49=9+25-30\cos\angle O_1O_2O_3$$

Откуда $$\cos\angle O_1O_2O_3=-\frac{1}{2}; \angle O_1O_2O_3=120^{\circ}$$.