ОГЭ математика 2019. Разбор варианта Алекса Ларина № 198.
Решаем ОГЭ 198 вариант Ларина. Подробное решение 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20 заданий тренировочного варианта ОГЭ Ларина №198 (alexlarin.com)
Решаем ОГЭ 198 вариант Ларина. Подробное решение 21,22,23,24,25,26 заданий тренировочного варианта ОГЭ Ларина №198 (alexlarin.com)
Задание 1
Найдите значение выражения $$\frac{8^{-4}*8^{-5}}{8^{-12}}$$
По свойству степеней: $$\frac{8^{-4}*8^{-5}}{8^{-12}}=$$$$8^{-4-5-(-12)}=8^{3}=512$$
Задание 2
В таблице даны рекомендуемые суточные нормы потребления (в г/сутки) жиров, белков и углеводов детьми от 1 года до 14 лет и взрослыми.
| Вещество | Дети от 1 года до 14 лет | Мужчины | Женщины |
| Жиры | 40–97 | 70–154 | 60–102 |
| Белки | 36–87 | 65–117 | 58–87 |
| Углеводы | 170–420 | 257–586 | 257–586 |
Какой вывод о суточном потреблении жиров, белков и углеводов женщиной можно сделать, если по подсчётам диетолога в среднем за сутки она потребляет 55 г жиров, 61 г белков и 255 г углеводов? В ответе укажите номера верных утверждений.
- Потребление жиров в норме.
- Потребление белков в норме.
- Потребление углеводов в норме.
- Потребление жиров в норме - неверно, так как 55 меньше 60
- Потребление белков в норме - верно
- Потребление углеводов в норме - неверно, так как 255 меньше 257
Задание 3
На координатной прямой точками отмечены числа $$\frac{4}{7};\frac{11}{5};2,6;0,3$$
Какому числу соответствует точка C?
Варианты ответа
- $$\frac{4}{7}$$
- $$\frac{11}{5}$$
- $$2,6 $$
- $$0,3$$
Расположим числа в порядке возрастания : $$0,3 ; \frac{4}{7}; \frac{11}{5}; 2,6\Rightarrow$$ $$C=\frac{11}{5}$$, что соответствует 2 варианту ответа
Задание 4
Найдите значение выражения $$\frac{48}{(2\sqrt{6})^{2}}$$
$$\frac{48}{(2\sqrt{6})^{2}}=\frac{48}{4*6}=2$$
Задание 5
На рисунке жирными точками показано суточное количество осадков, выпадавших в Казани с 3 по 15 февраля 1909 года. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — количество осадков, выпавших в соответствующий день, в миллиметрах. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку, какое наибольшее суточное количество осадков выпадало в Казани в данный период. Ответ дайте в миллиметрах.
Как видим по рисунку, наибольшее количество осадков было 15 числа и составляло 6 мм
Задание 6
Решите уравнение $$\frac{6}{x+8}=-\frac{3}{4}$$
$$\frac{6}{x+8}=-\frac{3}{4}\Leftrightarrow$$ $$6(-4)=(x+8)*3\Leftrightarrow$$ $$2(-4)=x+8\Leftrightarrow$$ $$-8-8=x\Leftrightarrow$$ $$x=-16$$
Задание 7
Магазин покупает бальзам для волос по 140 рублей за флакон и продаёт с наценой 25%. Какое наибольшее число флаконов можно купить в этом магазине на 3000 рублей??
Пусть 140 рублей -100%, тогда x рублей - 125%. Найдем x: $$x=\frac{140*125}{100}=175$$ рублей - стоимость одного флакона. Тогда количество флаконов: $$n=\frac{3000}{175}\approx 17,14\Rightarrow$$ 17 флаконов .
Задание 8
На диаграмме представлено распределение количества пользователей некоторой социальной сети по странам мира. Всего в этой социальной сети 12 млн пользователей. Какие из следующих утверждений неверны?
- пользователей из Аргентины меньше, чем пользователей из Казахстана - неверно (пользователи из Казахстана могут быть в сегменте Другие страны, который меньше, чем сегмент Аргентины)
- пользователей из Бразилии вдвое больше, чем пользователей из Аргентины - неверно, больше ,чем вдвое
- примерно треть пользователей — не из Бразилии - верно
- пользователей из Аргентины и Беларуси более 3 миллионов человек - неверно
Задание 9
В магазине канцтоваров продаётся 84 ручки, из них 22 красных, 9 зелёных, 41 фиолетовая, остальные синие и чёрные, их поровну. Найдите вероятность того, что случайно выбранная в этом магазине ручка будет красной или фиолетовой.
Всего красных и фиолетовых : 22+41=63
Вероятность вытащить красный или фиолетовый: $$P=\frac{63}{84}=0,75$$
Задание 10
Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.
ГРАФИКИ
ФОРМУЛЫ
- $$y=-x^{2}-7x-11$$
- $$y=-x^{2}+7x-11$$
- $$y=x^{2}+7x+11$$
- $$y=x^{2}-7x+11$$
Найдем вершину параболы
- $$y=-x^{2}-7x-11\Rightarrow$$ $$x_{0}=-\frac{-7}{-2}=-3,5$$, a<0-ветви вниз
- $$y=-x^{2}+7x-11\Rightarrow$$ $$x_{0}=-\frac{7}{-1}=3,5$$, a<0-ветви вниз
- $$y=x^{2}+7x+11\Rightarrow$$ $$x_{0}=-\frac{7}{2}=-3,5$$, a>0-ветви вверх
- $$y=x^{2}-7x+11\Rightarrow$$ $$x_{0}=-\frac{-7}{2}=3,5$$, a>0-ветви вверх
Получим :A-1, Б-3, B-4.
Задание 11
Выписано несколько последовательных членов арифметической прогрессии: …; -5; x; -11; -14; … . Найдите член прогрессии, обозначенный буквой x.
Воспользуемся формулой: $$a_{n}=\frac{a_{n+1}+a_{n-1}}{2}\Leftrightarrow$$ $$x=\frac{-11+(-5)}{2}=-8$$
Задание 12
Упростите выражение $$\frac{a^{2}-49b^{2}}{a^{2}}*\frac{a}{a+7b}=$$ и найдите его значение при $$a=\sqrt{75};b=\sqrt{243}$$
$$\frac{a^{2}-49b^{2}}{a^{2}}*\frac{a}{a+7b}=$$$$\frac{(a-7b)(a+7b)}{a(a+7b)}=$$$$\frac{a-7b}{a}=$$$$\frac{\sqrt{75}-7\sqrt{243}}{\sqrt{75}}=$$$$\frac{5\sqrt{3}-7*9\sqrt{3}}{5\sqrt{3}}=$$$$\frac{-58\sqrt{3}}{5\sqrt{3}}=-11,6$$
Задание 13
Закон Менделеева–Клапейрона можно записать в виде PV=νRT, где P — давление (в паскалях), V — объём (в м3 ), ν — количество вещества (в молях), T — температура (в градусах Кельвина), а R — универсальная газовая постоянная, равная 8,31 Дж/(К моль). Пользуясь этой формулой, найдите количество вещества ν (в молях), если T=700 К, P=20941,2 Па, V=9,5 м3 .
$$v=\frac{PV}{RT}\Leftrightarrow$$ $$v=\frac{20941,2*9,5}{8,31*700}=$$$$\frac{209412*95}{831*700}=$$$$\frac{252*95}{700}=\frac{36*95}{100}=$$$$\frac{3420}{100}=34,2$$
Задание 14
Укажите неравенство, которое не имеет решений:
- $$x^{2}-6x-15>0$$
- $$x^{2}-6x+15<0$$
- $$x^{2}-6x-15<0$$
- $$x^{2}-6x+15>0$$
- $$x^{2}-6x-15=0\Leftrightarrow$$ $$D=36+4*15=96>0\Rightarrow$$ решение есть и для $$>0$$ и для $$<0$$.
- $$x^{2}-6x+15=0\Leftrightarrow$$ $$D=36-4*15<0\Rightarrow$$ т.к. $$a>0$$, то $$x^{2}-6x+15>0$$ при всех $$x\Rightarrow$$ не имеет решения $$x^{2}-6x+15<0$$, что соответсвует 2 варианту ответа
Задание 15
На каком расстоянии (в метрах) от фонаря стоит человек ростом 2 м, если длина его тени равна 1 м, высота фонаря 9 м?
Пусть x - расстояние. Из подобия треугольников ABC и $$A_{1}B_{1}C_{1}$$: $$\frac{9}{2}=\frac{x+1}{1}\Leftrightarrow$$ $$2x+2=9\Leftrightarrow$$ $$2x=7\Leftrightarrow x=3,5$$
Задание 16
Касательные в точках A и B к окружности с центром O пересекаются под углом 96. Найдите угол ABO. Ответ дайте в градусах.
- $$\angle AOB=180-\angle C=84\Rightarrow$$ $$\angle OAB+\angle ABO=96$$
- $$OA=OB$$(радиусы)$$\Rightarrow$$ $$\angle ABO=\frac{96}{2}=48$$
Задание 17
Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке Е. Найдите периметр параллелограмма, если BЕ=5, CЕ=16.
- $$BC=5+16=21=AD $$
- $$\angle BAE=\angle EAD$$(AE-биссектриса )
- $$\angle BEA=\angle EAD$$(накрест лежащие ), тогда $$BE=AB=5=CD $$
- $$P=2(5+21)=52$$
Задание 18
В трапецию, сумма длин боковых сторон которой равна 28, вписана окружность. Найдите длину средней линии трапеции.
Пусть a,b - боковые стороны c,d - основания, m - средняя линия:
- По свойству описанного четырехугольника: $$a+b=c+d=28$$
- По свойству средней линии трапеции: $$m=\frac{c+d}{2}=14$$
Задание 19
Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.
$$\angle ABC=\frac{1}{2}\angle AOC=\frac{1}{2}*90=45$$ (свойство вписанного и центрального угла)
Задание 20
Какие из следующих утверждений верны?
- Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, то треугольники подобны.
- Сумма углов треугольника равна 180°.
- Любая высота равностороннего треугольника является его биссектрисой.
В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов
- нет(нужна еще сторона или угол м\у сторонами)
- да
- да
Задание 21
Решите систему уравнений $$\left\{\begin{matrix}xy+x-y=7\\x^{2}y-xy^{2}=6\end{matrix}\right.$$
$$\left\{\begin{matrix}xy+x-y=7\\x^{2}y-xy^{2}=6\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}xy+(x-y)=7\\xy(x-y)=6\end{matrix}\right.$$
Пусть xy=a; x-y=b.
$$\left\{\begin{matrix}a+b=7\\ab=6\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}a=1\\b=6\end{matrix}\right. (1)\\\left\{\begin{matrix}a=6\\b=1\end{matrix}\right. (2)\end{matrix}\right.$$
1) $$\left\{\begin{matrix}xy=1\\x-y=6\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}6y+y^{2}=1\\x=6+y\end{matrix}\right.$$
$$y^{2}+6y-1=0$$, $$D=36+4=40\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}y_{1}=\frac{-6+\sqrt{40}}{2}=-3+\sqrt{10}\\y_{2}=\frac{-6-\sqrt{40}}{2}=-3-\sqrt{10}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}x_{1}=3+\sqrt{10}\\x_{2}=3-\sqrt{10}\end{matrix}\right.$$
2)$$\left\{\begin{matrix}xy=6\\x-y=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}y+y^{2}-6=0\\x=1+y\end{matrix}\right.$$
$$y^{2}+y-6=0\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}y_{1}+y_{2}=-1\\y_{1}y_{2}=-6\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}y_{1}=-3\\y_{2}=2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}x_{1}=-2\\x_{2}=3\end{matrix}\right.$$
Задание 22
Из двух городов одновременно навстречу друг другу отправились два велосипедиста. Проехав некоторую часть пути, первый велосипедист сделал остановку на 48 минут, а затем продолжил движение до встречи со вторым велосипедистом. Расстояние между городами составляет 168 км, скорость первого велосипедиста равна 15 км/ч, скорость второго — 30 км/ч. Определите расстояние от города, из которого выехал второй велосипедист, до места встречи
Пусть t часов –время движения второго, тогда $$t-\frac{48}{60}$$ часов –первого . Тогда : $$15(t-\frac{4}{5})+30t=168|:3\Leftrightarrow$$ $$5t-4+10t=56\Leftrightarrow$$$$15t=60\Leftrightarrow t=4$$ часа, тогда расстояние, пройденное вторым: $$S=4*30=120$$(км)
Задание 23
Постройте график функции $$y=\left\{\begin{matrix}-x^{2}, |x|\leq 1\\-\frac{1}{\left | x \right |}, |x|>1\end{matrix}\right.$$ и определите, при каких значениях c прямая y=c будет иметь с графиком ровно две общие точки
Рассмотрим график функции $$y=-x^{2}$$ с учетом того, что $$-1 \leq x \leq 1$$: это парабола, ветви вниз, вершина в начале координат (черным отмечена часть графика, с учетом ограничений)
Рассмотрим график функции $$y=-\frac{1}{\left | x \right |}$$ с учетом, что $$x \in (-\infty; 1)\cup (1;+\infty)$$: без модуля была бы гипербола, располагающаяся во второй и четвертой координатной четвертях, с учетом модуля левая ее ветвь отобразится относительно оХ (черным выделена часть, с учетом ограничений по х):
Объеденим графики:
Как видим, две точки пересечения прямая будет иметь в том случае, когда c=1
Задание 24
Высота, основание и сумма боковых сторон треугольника равны соответственно 12 см, 14 см, и 28 см. Найдите боковые стороны треугольника
1) Пусть $$AH=y\Rightarrow HC=14-y$$, $$AB=x\Rightarrow BC=28-x$$
2) $$\Delta ABH$$: $$12^{2}+y^{2}=x^{2}(1)$$
$$\Delta BHC$$: $$12^{2}+(14-y)^{2}=(28-x)^{2}\Leftrightarrow$$$$144+196-28y+y^{2}=784-56x+x^{2}\Leftrightarrow$$$$444-56x+28y+x^{2}-y^{2}=0$$
Из (1): $$x^{2}-y^{2}=144$$, подставим во второе: $$28y-56x+444+144=0 |:28\Leftrightarrow$$$$y-2x=-21\Leftrightarrow$$ $$y=2x-21$$
Подставим в (1) : $$144+(2x-21)^{2}-x^{2}=0\Leftrightarrow$$$$144+4x^{2}-84x+441-x^{2}=0\Leftrightarrow$$$$3x^{2}-84x+585=0 |:3\Leftrightarrow$$$$x^{2}-28x+195=0$$
D=784-780=4
$$\left\{\begin{matrix}x_{1}=\frac{28+2}{2}=15=AB\\x_{2}=\frac{28-2}{2}=13=AB\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}BC=28-15=13\\BC=18-13=15\end{matrix}\right.$$
Тогда: AB=15 и BC=13 ( или наоборот)
Задание 25
Пусть Е – середина стороны АВ трапеции АВСD (ВС ॥ АD). Докажите, что площадь треугольника ЕСD равна половине площади трапеции АВСD.
- Пусть $$EH\perp AD; EH=h$$
- $$\Delta EMD=\Delta EHA$$(по гипотенузе и острому углу )$$\Rightarrow$$ $$EM=h\Rightarrow$$ $$MH=2h$$
- Пусть $$BC=x; AD=y$$: $$S_{ABCD}=\frac{x+y}{2}*2h=xh+yh$$, $$S_{EBC}=\frac{1}{2}hx$$, $$S_{EAD}=\frac{1}{2}hy\Rightarrow$$ $$S_{CED}=h(x+y)-\frac{1}{2}h(x+y)=$$$$\frac{1}{2}h(x+y)=\frac{S_{ABCD}}{2}$$
Задание 26
В равнобедренном треугольнике ABC (АВ = ВС) проведена биссектриса АМ. Известно, что ВС : МС = 5 : 2. Найдите отношение длины отрезка МС к радиусу окружности, описанной около треугольника АМС.
1) $$BC:MC =5:2\Rightarrow$$ $$BM:MC=3:2$$. Пусть $$BM=3y\Rightarrow$$ $$MC=2y, BC=5y$$
2) По свойству биссектрисы: $$\frac{AB}{AC}=\frac{BM}{MC}\Rightarrow$$ $$\frac{AB}{AC}=\frac{3}{2}$$. $$AB=BC=5y\Rightarrow$$ $$AC=\frac{5*2y}{3}=\frac{10y}{3}$$
3) $$AM=\sqrt{AB*AC-BM*MC}=$$$$\sqrt{5y*\frac{10y}{3}-3y*2y}=$$$$\sqrt{\frac{50y^{2}-12y^{2}}{3}}=$$$$\sqrt{\frac{32 y^{2}}{3}}=$$$$4y\sqrt{\frac{2}{3}}$$
4) $$S_{AMC}=S_{ABC}*\frac{MC}{BC}$$, $$p_{ABC}=5y+5y+\frac{10y}{3}=\frac{20y}{3}$$
$$S_{ABC}=\sqrt{\frac{20y}{3}*(\frac{20y}{3}-5y)^{2}(\frac{20y}{3}-\frac{10y}{3})}=$$$$\frac{50y^{2}\sqrt{2}}{9}\Rightarrow$$
$$S_{AMC}=\frac{2}{5}*\frac{50y^{2}\sqrt{2}}{9}=$$$$\frac{20y^{2}\sqrt{2}}{9}$$
5) $$R=\frac{MC*AC}{4 S_{AMC}}\Rightarrow$$ $$\frac{MC}{R}=\frac{4 S_{AMC}}{AM*AC}=$$$$\frac{4*20y^{2}\sqrt{2}}{9}:(4y\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}*\frac{10y}{3})=$$$$\frac{2\sqrt{3}}{3}$$