ОГЭ математика 2018. Разбор варианта Алекса Ларина № 171.
Решаем ОГЭ 171 вариант Ларина. Подробное решение 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20 заданий тренировочного варианта ОГЭ Ларина №171 (alexlarin.com)
Решаем ОГЭ 171 вариант Ларина. Подробное решение 21,22,23,24,25,26 заданий тренировочного варианта ОГЭ Ларина №171 (alexlarin.com)
Задание 1
Найдите значение выражения $$(\frac{3}{20}-\frac{5}{8})\cdot10$$
$$(\frac{3}{20}-\frac{5}{8})\cdot10=\frac{6-25}{40}\cdot10=$$ $$=\frac{-19}{4}=-4,75$$
Задание 3
Одна из точек, отмеченных на координатной прямой, соответствует числу $$\sqrt{54}$$ . Какая это точка?
Варианты ответа:
1) Точка M;
2) Точка N;
3) Точка P;
4) Точка Q.
$$\sqrt{49}<\sqrt{54}<\sqrt{64}$$ $$\Rightarrow$$ $$7<\sqrt{54}<8$$ $$\Rightarrow$$ $$P$$
Задание 4
Найдите значение выражения: $$\sqrt{30\cdot5}\cdot\sqrt{6}$$
$$\sqrt{30\cdot5}\cdot\sqrt{6}=$$ $$\sqrt{5\cdot6\cdot5\cdot6}=30$$
Задание 5
На диаграмме показано количество SMS, присланных слушателями за каждый час четырёхчасового эфира программы по заявкам на радио. Определите, на сколько больше сообщений было прислано за первые два часа программы по сравнению с последними двумя часами этой программы.
Первые два: $$40+20=60$$; последние два: $$15+30=45$$; $$60-45=15$$ - разница
Задание 6
При каком значении x значения выражений $$-2+7x$$ и $$8x+1$$ равны?
$$-2+7x=8x+1$$; $$-2-1=8x-7x$$; $$x=-3$$
Задание 7
Поступивший в продажу в январе электрический чайник стоил 2400 рублей. В ноябре он стал стоить 1320 рублей. На сколько процентов снизилась цена на чайник в период с января по ноябрь?
$$2400-100$$ %
$$1320-x$$ %
$$x=\frac{1320\cdot100}{1400}=55$$ %; $$100-55=45$$ % - снижение цены
Задание 9
В коробке лежат 50 карточек с написанными на них числами от 1 до 50. На разных карточках числа разные. Какова вероятность того, что на наугад извлеченной карточке будет написано число, сумма цифр которого больше 10?
Число,сумма цифр, в которых больше 10: 29; 38; 39; 47; 48; 49 - всего 6. $$P=\frac{6}{50}=0,12$$
Задание 11
Дана арифметическая прогрессия: 12, 9, 6, … . Какое число стоит в этой последовательности на 6-м месте?
$$d=a_{n}-a_{n-1}=9-12=-3$$ - разность арифметич. прогрессий. $$a_{n}=a_{1}+d_{n-1}$$; $$a_{6}=12-3(6-1)=12-15=-3$$
Задание 12
Найдите значение выражения: $$\frac{a^{2}-16b^{2}}{4ab}\div(\frac{1}{4b}-\frac{1}{a})$$ при $$a=2\frac{7}{11}$$, $$b=3\frac{1}{11}$$
$$\frac{a^{2}-16b^{2}}{4ab}\div(\frac{1}{4b}-\frac{1}{a})=$$ $$\frac{(a-4b)(a+4b)}{4ab}\div\frac{a-4b}{4ab}=a+4b=$$ $$2\frac{7}{11}+4\cdot3\frac{1}{11}=2+\frac{7}{11}+12+\frac{4}{11}=14+1=15$$
Задание 13
Расстояние s (в метрах) до места удара молнии можно приближенно вычислить по формуле s = 330t, где t – количество секунд, прошедших между вспышкой молнии и ударом грома. Определите, на каком расстоянии от места удара молнии находится наблюдатель, если t = 7. Ответ дайте в километрах, округлив его до целых.
$$S=330\cdot7=2310$$ метров; $$\frac{23100}{1000}=2,31$$ км $$\approx2$$
Задание 15
Пол кухни размера 3 м x 3 м нужно застелить линолиумом, состоящим из плиток формы правильных шестиугольников. Сколько потребуется плиток, если их стороны равны 15 см?
Пусть S - площадь шестиугольника, а - его сторона: $$S=\frac{3\sqrt{3}a^{2}}{2}$$. Площадь пола: $$300\cdot300=90000$$ см2; $$S=\frac{3\sqrt{3}\cdot15\cdot15}{2}=337,5\sqrt{3}$$ см2; $$n=\frac{90000}{337,5\sqrt{3}}=\frac{266,6}{\sqrt{3}}\approx153,9=154$$
Задание 16
Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке М. Найдите периметр параллелограмма, если BМ=12, CМ=15.
$$BC=AD=12+15=27$$; $$\angle MAD=\angle AMB$$ (накрестлежащие); $$\angle BAM=\angle MAD$$ (биссектриса) $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup ABM$$ - равнобедренный $$\Rightarrow$$ $$AB=BM=12$$; $$P_{ABCD}=12\cdot2+27\cdot2=24+54=78$$
Задание 17
Найдите периметр прямоугольника, если в него вписана окружность радиуса 10.
Если в прямоугольник вписана окружность, то он квадрат. Пусть х -сторона $$\Rightarrow$$ $$x=2\cdot r=20$$; $$P=4x=4\cdot20=80$$
Задание 18
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображен параллелограмм. Найдите его площадь.
$$S=7\cdot4=28$$
Задание 19
Катеты прямоугольного треугольника равны $$\sqrt{19}$$ и 9 . Найдите косинус наименьшего угла этого треугольника.
$$AB=\sqrt{\sqrt{19}^{2}+9^{2}}=10$$; напротив меньшей стороны - меньший угол $$\Rightarrow$$ $$\angle B<\angle A$$; $$\cos\angle B=\frac{CB}{AB}=\frac{9}{10}=0,9$$
Задание 20
Какие из следующих утверждений верны?
1. Центр описанной около треугольника окружности всегда лежит внутри этого треугольника.
2. Площадь прямоугольного треугольника равна произведению длин его катетов.
3. Любые два равносторонних треугольника подобны
В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов
Задание 21
Решите неравенство $$\frac{8-4x}{x+1}>4+\frac{x+1}{x-2}$$
$$\frac{8-4x}{x+1}>4+\frac{x+1}{x-2}$$; $$\frac{(8-4x)(x-2)-4(x+1)(x+2)-(x+1)(x+1)}{(x+1)(x-2)}>0$$; $$\frac{8x-16-4x^{2}+8x-4x^{2}+8x-4x+8-x^{2}-2x-1}{(x+1)(x-2)}>0$$; $$\frac{-9x^{2}+18x-9}{(x+1)(x-2)}>0$$; $$\frac{-9(x-1)^{2}}{(x+1)(x-2)}>0$$; $$\frac{(x-1)^{2}}{(x+1)(x-2)}<0$$;
$$x\in(-1;1)\cup(1;2)$$
Задание 22
Один экскаватор может вырыть котлован на 10 ч быстрее, чем другой. После того, как первый экскаватор проработал 10 ч, его сменил второй экскаватор и закончил работу за 15 ч. За Сколько часов могли вырыть котлован оба экскаватора, работая одновременно.
Пусть х - производительность 1го в час, у - второго. Пусть 1 - объем котлована: $$\left\{\begin{matrix}\frac{1}{y}-\frac{1}{x}=10\\10x+15y=1\end{matrix}\right.$$; $$x=\frac{1-15y}{10}$$; $$\frac{1}{y}-\frac{10}{1-15y}=10$$; $$1-15y-10y=10y-150y^{2}$$; $$150y^{2}+35y+1=0$$; $$D=1225-600=625$$; $$y_{1}=\frac{35-25}{300}=\frac{1}{30}$$ $$\Rightarrow$$ $$x_{1}\frac{1-15\cdot\frac{1}{30}}{10}=\frac{1}{20}$$; $$y_{2}=\frac{35+25}{300}=\frac{1}{5}$$ $$\Rightarrow$$ $$x_{2}\frac{1-15\cdot\frac{1}{5}}{10}<0$$.
Время общее: $$\frac{1}{\frac{1}{20}+\frac{1}{30}}=\frac{1}{\frac{5}{60}}=\frac{60}{5}=12$$
Задание 23
Постройте график функции $$y=2+\frac{x+2}{x^{2}+2x}$$ и определите, при каких значениях m прямая y = m не имеет с графиком ни одной общей точки.
$$y=2+\frac{x+2}{x^{2}+2x}=2+\frac{x+2}{x(x+2)}=2+\frac{1}{x}$$; $$x^{2}\neq2x\neq0$$; $$x\neq0$$; $$x\neq-2$$.
$$m=1,5$$; $$m=2$$
Задание 24
Основание равнобедренного треугольника равно 12 см, а высота, проведенная к боковой стороне, равна 9,6 см. Найдите периметр треугольника
1) Проведем $$BM\perp AC$$ $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup BMC\sim\bigtriangleup AHC$$ (прямоугольные; $$\angle C$$ - общий)
2) $$MC=\frac{1}{2}AC=6$$; $$HC=\sqrt{12^{2}-9,6^{2}}=7,2$$;
3) $$\frac{BM}{AH}=\frac{MC}{HC}$$ $$\Rightarrow$$ $$BM=\frac{AH\cdot MC}{HC}=\frac{9,6\cdot6}{7,2}=8$$
4)$$BC=\sqrt{MC^{2}+BM^{2}}=10=AB$$
$$P_{ABC}=10+10+12=32$$
Задание 25
На стороне ВС квадрата АВСD взята точка К. Докажите, что площадь треугольника АКD равна половине площади квадрата.
1) Пусть х - сторона квадрата, S - его площадь: $$S=x^{2}$$
2) Пусть $$KH\perp AD$$ $$\Rightarrow$$ $$KH=AB=x$$ $$\Rightarrow$$ $$S_{AKD}=\frac{1}{2}\cdot AD\cdot KH=\frac{1}{2}\cdot x\cdot x=\frac{x^{2}}{2}=\frac{S}{2}$$
ч.т.д.
Задание 26
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность, его диагонали АС и BD пересекаются в точке F, причем AF : FС = 3 : 1, ВF : FD = 4 : 3, $$\cos\angle ADB=0,25$$. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ВАС, если АС = 4
1) $$AF\div FC=3\div1$$; $$AC=4$$ $$\Rightarrow$$ $$AF=3$$; $$FC=1$$
2) $$\angle CAD=\angle CBF$$; $$\angle BCA=\angle BDA$$ (опираются на одни дуги); $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup BFC\sim\bigtriangleup AFD$$: пусть $$BF=4x$$; $$FD=3x$$, тогда $$k=\frac{BF}{AF}=\frac{CF}{FD}$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{4x}{3}=\frac{1}{3x}$$ $$\Rightarrow$$ $$4x^{2}=1$$ $$\Rightarrow$$ $$x=\frac{1}{2}$$ $$\Rightarrow$$ $$BF=2$$; $$FD=1,5$$
3) $$\frac{BC}{AD}=k=\frac{2}{3}$$ $$\Rightarrow$$ пусть $$BC=a$$ $$\Rightarrow$$ $$AD=1,5a$$. По теореме косинусов для $$\bigtriangleup ABC$$ и $$\bigtriangleup ABD$$: $$\left\{\begin{matrix}AB^{2}=BC^{2}+AC^{2}-2BC\cdot AC\cdot\cos\angle BCA\\AB^{2}=BD^{2}+AD^{2}-2BD\cdot AD\cdot\cos\angle BDA\end{matrix}\right.$$ Приравниваем их: $$a^{2}+16-2\cdot4\cdot a\cdot\frac{1}{4}=2,25a^{2}+12,25-2\cdot\frac{2}{3}a\cdot3,5\cdot\frac{1}{4}$$; $$1,25a^{2}+3,75a-0,625a=0$$; $$2a^{2}-a+6=0$$; $$a=2$$ $$\Rightarrow$$ $$b=\sqrt{4+16-2\cdot2\cdot4\cdot\frac{1}{4}}=4=AB$$
4) Из $$\bigtriangleup ABC$$: $$\frac{AB}{2\sin\angle BCA}=R$$, где R - радиус описанной окружности; $$\sin\angle BCA=\sqrt{1-\cos^{2}\angle BCA}=\sqrt{1-\frac{1}{16}}=\frac{\sqrt{15}}{4}$$; $$R=\frac{4}{2\cdot\frac{\sqrt{15}}{4}}=\frac{8}{\sqrt{15}}=\frac{8\sqrt{15}}{15}$$