ОГЭ математика 2019. Разбор варианта Алекса Ларина № 206.
Решаем ОГЭ 206 вариант Ларина. Подробное решение 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20 заданий тренировочного варианта ОГЭ Ларина № 206 (alexlarin.com)
Решаем ОГЭ 206 вариант Ларина. Подробное решение 21,22,23,24,25,26 заданий тренировочного варианта ОГЭ Ларина № 206 (alexlarin.com)
Задание 1
Найдите значение выражения $$(3,4-10^{-3})*(5-10^{2})$$
$$(3,4*10^{-3})(5*10^{2})=$$$$3,4*19 ^{-3+2}*5=$$$$17*10^{-1}=1,7$$
Задание 2
В таблице приведены расстояния от Солнца до четырёх планет Солнечной системы. Какая из этих планет ближе всех к Солнцу?
| Планета | Нептун | Юпитер | Уран | Венера |
| Расстояние (в км) | 4,497·109 | 7,781·108 | 2,871·109 | 1,082·108 |
Варианты ответа
Видим, что показатель степени у 10 больше у Нептуна и Урала ($$10^{9}$$) , при этом $$1,082<7,781\Rightarrow$$ Венера ближе всех, что соответствует 4 варианту ответа
Задание 3
На координатной прямой отмечено число a. Найдите наименьшее из чисел a, a2, a3,
Варианты ответа
- a
- a2
- a3
- 4) не хватает данных для ответа
Видим, что $$a<-1$$ . Пусть $$ a=-2$$. Тогда: $$a^{2}=4$$; $$a^{3}=-8\Rightarrow$$ наименьшее -8, что соответствует 3 варианту ответа.
Задание 4
Найдите значение выражения $$\sqrt{(3-\sqrt{10})^{2}}$$
Варианты ответа:
- 1
- $$\sqrt{9-\sqrt{10}}$$
- $$\sqrt{10}-3$$
- $$3-\sqrt{10}$$
$$\sqrt{(3-\sqrt{10})^{2}}=$$$$\left | 3-\sqrt{10} \right |=$$$$\left | \sqrt{9}-\sqrt{10} \right |=\sqrt{10}-3$$, что соответствует 3 варианту .
Задание 5
На рисунке изображена зависимость температуры (в градусах Цельсия) от высоты (в метрах) над уровнем моря. Определите по графику, на сколько градусов Цельсия температура на высоте 250 метров выше, чем на высоте 650 метров.
На высоте 250 м - 9 градусов, на 650 м - 7 градусов. Разница составила 9-7=2.
Задание 6
При каком значении x значения выражений x–2 и 4(3–x) равны?
$$3x-2=4(3-x)\Leftrightarrow$$ $$3x-2=12-4x\Leftrightarrow$$ $$3x+4x=12+2\Leftrightarrow$$ $$7x=14\Leftrightarrow x=2$$
Задание 7
Число дорожно-транспортных происшествий в летний период составило 0,86 числа ДТП в зимний период. На сколько процентов уменьшилось число дорожнотранспортных происшествий летом по сравнению с зимой?
0,86 составляет 86 % следовательно , уменьшилось на 14 % (100-86)
Задание 8
В таблице даны рекомендуемые суточные нормы потребления (в г/сутки) жиров, белков и углеводов детьми от 1 года до 14 лет и взрослыми.
| Вещество | Дети от 1 года до 14 лет | Мужчины | Женщины |
| Жиры | 40–97 | 70–154 | 60–102 |
| Белки | 36–87 | 65–117 | 58–87 |
| Углеводы | 170–420 | 257–586 | |
Какой вывод о суточном потреблении жиров, белков и углеводов 13-летним мальчиком можно сделать, если по подсчётам диетолога в среднем за сутки он потребляет 90 г жиров, 90 г белков и 359 г углеводов? В ответе укажите номера верных утверждений.
- Потребление жиров в норме.
- Потребление белков в норме.
- Потребление углеводов в норме.
1)верно , т.к. $$90 \in [40;97]$$
2) нет, т.к. $$90 \notin [36;87]$$
3) верно, т.к. $$359 \in [170;420]$$
Задание 9
На экзамене по геометрии школьнику достаётся одна задача из сборника. Вероятность того, что эта задача по теме «Площадь», равна 0,24. Вероятность того, что это окажется задача по теме «Окружность», равна 0,36. В сборнике нет задач, которые одновременно относятся к этим двум темам. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется задача по одной из этих двух тем.
Вероятность того, что покупается одна из этих тем: 0,24+0,36=0,6
Задание 10
На рисунке изображён график функции $$y=ax^{2}+bx+c$$ . Установите соответствие между утверждениями и промежутками, на которых эти утверждения удовлетворяются.
УТВЕРЖДЕНИЯ
ПРОМЕЖУТКИ
- [-3; 3]
- [0; 3]
- [− 3; −1]
- [− 3; 0]
На данном графике функция убывает $$(-\infty ;-0,5)$$, возрастает на $$(-0,5; +\infty )$$. Тогда :
Задание 11
Выписаны первые несколько членов арифметической прогрессии: -3; -6; -9; …Найдите сумму первых тринадцати её членов.
Найдем разность арифметической прогрессии: $$d=a_{n+1}-a_{n}\Rightarrow$$ $$d=-6-(-3)=-3$$
Найдем сумму первых тринадцати: $$S_{n}=\frac{2a_{1}+d(n-1)}{2}*n\Rightarrow$$ $$S_{13}=\frac{2*(-3)-3(13-1)}{2}*13=-273$$
Задание 12
Найдите значение выражения $$24xy-(3x+4y)^{2}$$, при $$x=\sqrt{3}, y=\sqrt{2}$$
$$24xy-(3x+4y)^{2}=$$$$24xy-(9x^{2}+24xy+16y^{2})=$$$$24xy-9x^{2}-24xy-16y^{2}=$$$$-9x^{2}-16y^{2}=$$$$-9*(\sqrt{3})^{2}-16(\sqrt{2})^{2}=$$$$-9*3-16*2=-59$$
Задание 13
Зная длину своего шага, человек может приближенно подсчитать пройденное им расстояние s по формуле s=nl, где n — число шагов, l — длина шага. Какое расстояние прошел человек, если l=70 см, n=1400? Ответ выразите в километрах.
Найдем расстояние в сантиметрах : $$S=70*1400=98*10^{3}$$ см. Переведем в км: $$\frac{98*10^{3}}{10^{2}*10^{3}}=0,98$$ км.
Задание 14
На каком рисунке изображено множество решений неравенства $$4x+5\geq 6x-2$$
$$4x+5\geq 6x-2\Leftrightarrow$$ $$4x-6x\geq -2-5\Leftrightarrow$$ $$-2x\geq -7\Leftrightarrow$$ $$x\leq 3,5$$, что соответствует 2 варианту ответа.
Задание 15
На какой угол (в градусах) поворачивается минутная стрелка, пока часовая поворачивается на 11°?
Найдем время в часах за которое часовая повернется на 11 градусов:
Тогда: $$x=\frac{12*11}{360}=\frac{11}{30}$$ часа или 22 минуты.
Найдем на сколько градусов повернется минутное за это время
Тогда: $$x=\frac{22*360}{60}=132$$
Задание 16
Точка D на стороне AB треугольника ABC выбрана так, что AD=AC. Известно, что ∠CAB=70° и ∠ACB=72°. Найдите угол DCB. Ответ дайте в градусах.
1) из $$\Delta ACD$$: $$\angle ACD=\angle ADC=$$$$\frac{180-\angle CAD}{2}=55$$ 2) $$\angle DCB=\angle ACB-\angle ACD=$$$$72-55=17$$
Задание 17
Основания трапеции равны 8 и 17. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из её диагоналей.
Больший составляет половину от большого основания $$\Rightarrow \frac{17}{2}=8,5$$
Задание 18
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён треугольник. Найдите длину наименьшей средней линии треугольника.
Меньшая средняя линия равна половине меньшей стороны, т.е. $$\frac{3}{2}=1,5$$
Задание 19
В остроугольном треугольнике ABC высота AH равна $$4\sqrt{51}$$ , а сторона AB равна 40. Найдите cos B
1) из $$\Delta ABH$$: $$BH=\sqrt{AB^{2}-AH^{2}}=$$$$\sqrt{40^{2}-(4\sqrt{51})^{2}}=$$$$\sqrt{1600-816}=\sqrt{784}=28$$ 2) $$\cos \beta=\frac{BH}{AB}=$$$$\frac{28}{40}=0,7$$
Задание 20
Какие из следующих утверждений верны?
- В любой треугольник можно вписать окружность.
- Центр окружности, описанной около тупоугольного треугольника, находится вне этого треугольника.
- Средняя линия трапеции равна сумме её оснований.
В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов
1) верно 2) верно 3) нет, т.к. равна полусумме оснований.
Задание 21
Решите уравнение $$\frac{(x^{4}-9x^{2}+20)}{\left | x-2 \right |}=0$$
ОДЗ: $$\left | x-2 \right |\neq 0\Leftrightarrow x\neq 2$$
Решение: $$x^{4}-9x^{2}+20=0$$
Пусть : $$x^{2}=y\geq 0$$, тогда получим:
$$y^{2}-9y+20=0\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}y_{1}+y_{2}=9\\y_{1}*y_{2}=20\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}y_{1}=4\\y_{2}=5\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}x^{2}=4 \\x^{2}=5\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}x=\pm 2\\x=\pm \sqrt{5}\end{matrix}\right.$$
С учетом ОЗД: $$x=\pm \sqrt{5}; -2$$
Задание 22
Две машинистки вместе напечатали 65 страниц, причем первая работала на 1 час больше второй. Вторая машинистка печатает в час на 2 страницы больше первой; напечатала она на 5 страниц больше. Сколько страниц в час печатает каждая машинистка?
Пусть x стр\ч –скорость первой машинистки . Тогда x+2 стр\ч –второй . Пусть y ч-работала первая, тогда y-1 ч- работала вторая . Получим :
$$\left\{\begin{matrix}x*y+(x+2)(y-1)=65(1)\\(x+2)(y-1)-xy=5(2)\end{matrix}\right.$$
Из (2): $$xy-x+2y-2-xy=5\Leftrightarrow$$ $$x=2y-7$$
Подставим (1): $$(2y-7)y+(2y-7+2)(y-1)=65\Leftrightarrow$$ $$2y^{2}-7y+2y^{2}-2y-5y+5-65=0\Leftrightarrow$$$$4y^{2}-14y-60=0\Leftrightarrow$$ $$2y^{2}-7y-30=0$$
$$D=49+240=289=17^{2}$$ ; $$y_{1}=\frac{7+17}{4}=6$$ ; $$y_{2}<0$$
Тогда $$x=2*6-7=5$$ стр\ч -первая и 5+2=7-вторая
Задание 23
Постройте график функции $$y=\left | x^{2}-6\left | x \right |+4 \right |-2$$ и определите, при каких значениях m прямая у=m имеет с графиком наибольшее число общих точек..
Расскроем первый модуль:
1) При $$x\geq 0$$ : $$y=\left | x^{2}-6x+4 \right |-2$$
Рассмотрим подмодульное выражение: $$x^{2}-6x+4=0$$: $$D=36-16=20\Rightarrow$$ $$x_{1}, x_{2}=\frac{6 \pm \sqrt{20}}{2}=3 \pm \sqrt{5}$$
- тогда при $$x \in [0;3-\sqrt{5}]\cup [3+\sqrt{5}; +\infty )$$: $$y=x^{2}-6x+4-2=x^{2}-6x+2(1)$$
- при $$x \in (3-\sqrt{5}; 3+\sqrt{5})$$: $$y=-x^{2}+6x-6(2)$$
2) При $$x<0$$ имеем $$y=\left | x^{2}+6x+4\right |-2$$
Рассмотрим подмодульное выражение : $$x^{2}+6x+4=0\Leftrightarrow$$ $$x_{1,2}=-3\pm \sqrt{5}$$
- тогда при $$x \in (-\infty ; -3-\sqrt{5}]\cup [-3+\sqrt{5};0)$$ имеем: $$y=x^{2}+6x+4+2=x^{2}+6x-2(3)$$
- при $$x \in (-3-\sqrt{5}; -3+\sqrt{5}):$$ $$y=-x^{2}-6x-6(4)$$
Построим график функции
Видим, что наибольшее количество пересечений (8) будет при $$m \in (-2;2)$$
Задание 24
Медиана АМ треугольника АВС равна половине стороны ВС. Угол между АМ и высотой АН равен 40. Найдите углы треугольника АВС.
1) т.к. медиана равна половине стороны, то $$\Delta ABC$$ – прямоугольный, при этом $$\angle A=90$$ и $$AM=CM=MB$$
2) из $$\Delta AMH$$: $$\angle AMH=90-\angle MAH=50$$
3) из $$\Delta AMC$$: $$\angle CAM +\angle ACM =\angle AMH$$ (как внешний угол при третьей вершине ),при этом $$\angle CAM=\angle ACM\Rightarrow$$ $$\angle ACM =\frac{50}{2}=25$$
4) $$\angle B=90-\angle C=90-25=65$$
Задание 25
Четырехугольник ABCD таков, что около него можно описать окружность и в него можно вписать окружность. Разность длин сторон AD и BC равна разности сторон АВ и СD. Докажите, что диагональ АС – диаметр описанной окружности.
1) Т.к. можно вписать в него окружность , то $$AB+CD=BC+AD (1)$$. По условию $$AD-BC=AB-CD (2)$$
2) Пусть $$\angle A=\alpha$$ , тогда $$\angle C=180-\alpha$$ (т.к. можно выслать окружность)
Тогда $$\angle B=90-\frac{\alpha }{2}+\frac{\alpha }{2}=90\Rightarrow$$ AC-диаметр
Задание 26
В треугольнике АВС площадью 90 см2 биссектриса AD делит сторону ВС на отрезки BD и CD, причём BD : CD = 2 : 3. Отрезок BL пересекает биссектрису AD в точке Е и делит сторону АС на отрезки AL и CL такие, что AL : CL = 1 : 2. Найдите площадь четырёхугольника EDCL.
Пусть $$AL=y\Rightarrow$$ $$LC=2y; AC=3y$$
1) $$S)_{ABC}=90$$; $$\frac{S_{ABD}}{S_{ADC}}=\frac{BD}{DC}=\frac{2}{3}\Rightarrow$$ $$S_{ABD}=\frac{2}{5}S_{ABC}=36$$. $$S_{ADC}=\frac{3}{5}S_{ABC}=54$$
2) Пусть $$DK\left | \right |EL \Rightarrow$$ по т. Фалеса : $$\frac{CK}{KL}=\frac{CD}{DB}=\frac{3}{2}\Rightarrow$$$$CK=\frac{3}{5}CL=\frac{6}{5}y$$. $$KL=\frac{2}{5}CL=\frac{4}{5}y$$
3) По т. Фалеса для $$\angle DAC$$: $$\frac{AE}{ED}=\frac{AL}{LK}=$$$$\frac{y}{0,8 y}=\frac{5}{4}\Rightarrow$$ $$AE=\frac{5}{9}AD$$
4) $$\frac{S_{AEL}}{S_{ADC}}=\frac{AE*AL}{AD*AC}=\frac{5}{27}\Rightarrow$$ $$S_{DELC}=\frac{22}{27}S_{ADC}=44$$