ОГЭ математика 2023. Разбор варианта Алекса Ларина № 338.

$$\frac{9,5+8,9}{2,3}=\frac{18,4}{2,3}=8$$

1) $$a>b\Rightarrow a-b>0$$

2) $$a>c\Rightarrow a-c>0$$

3) $$b>c\Rightarrow b-c>0$$

4) $$b>c\Rightarrow c-b<0$$

$$(3a+5b)^2-7a(\frac{9a}{7}+5b)+5ab=9a^2-30ab+25b^2-9a^2-35ab+5ab=25b^2=$$

$$=25\cdot6=150$$

$$\frac{x}{3}+x=1\quad |\cdot3$$

$$x+3x=3$$

$$4x=3$$

$$x=\frac{3}{4}=0,75$$

$$P(A)=\frac{7}{7+13}=\frac{7}{20}=0,35$$

А) $$a-\frac{1}{a-1}\geq a+2-\frac{1}{a+1}\Leftrightarrow\frac{1}{a+1}-\frac{1}{a-1}-2\geq0\Leftrightarrow$$

$$\Leftrightarrow\frac{a-1-a-1-2a^2+2}{(a-1)(a+1)}\geq0\Leftrightarrow\frac{-2a^2}{(a-1)(a+1)}\geq0\Rightarrow$$

$$\Rightarrow\frac{a^2}{(a-1)(a+1)}\leq0\Rightarrow\left[\begin{matrix} a=0\\ (a-1)(a+1)<0 \end{matrix}\right.\left[\begin{matrix} a=0\\ a\in(-1;1) \end{matrix}\right.\Rightarrow a\in(-1;1)\Rightarrow 4$$

Б) $$\frac{a+7}{a-5}+\frac{a-2}{a+6}\geq\frac{a+9}{a-3}+\frac{a}{a+8}\Leftrightarrow$$

$$\Leftrightarrow1+\frac{12}{a-5}+1-\frac{8}{a+6}\geq1+\frac{12}{a-3}+1-\frac{8}{a+12}\Rightarrow 1$$, т.к. там есть $$-6;3;5$$

В) $$a^2+5a+7\geq(a+2)^2+5(a+2)+7\Rightarrow a^2+5a+7\geq a^2+4a+4+5a+17\Rightarrow$$

$$\Rightarrow-4a\geq14\Rightarrow a\leq-\frac{7}{2}\Rightarrow 3$$

Выразим $$b$$ из предложенной формулы. Для этого сначала выразим чему равно делимое $$a + b - c$$, а после этого выразим значение самого катета $$b$$:

$$a + b - c = 2r$$

$$b = 2r + c - a$$

Подставим известные данные в формулу и получим результат:

$$b = 2 ⋅ 1,2 + 6,8 - 6 = 3,2$$

$$\left\{\begin{matrix}6x+18\leq0\\ x+8\geq2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{matrix}6x \leq -18\quad|:6 \\ x\geq 2-8 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{matrix}x \leq -3\\ x\geq -6 \end{matrix}\right.$$ Получаем, что $$x \in [-6;-3]\Rightarrow 2$$

Эта задача решается просто, учитывая, что сумма любой пары дней, отстоящих по счёту на одинаковое расстояние от начала и конца, одинакова, получаем:

$$\frac{270}{90}$$ = 3 пары дней, или 6 дней.

$$\tg\alpha=\frac{h}{x}$$

$$x=h:\tg\alpha$$

$$h = 55$$

$$x = 55 : \frac{1}{2}=55\cdot\frac{2}{1} = 110$$

Основание $$= 55 + х = 55 + 110 = 165$$

Поскольку на окружности дуга KN определяет угол KON, равный 180°, то на угол КОМ, при вычитании из него градусной меры дуги MN, равной 124°, остаётся всего градусная мера в:

$$180° - 124° = 56°$$

Пусть $$A(0;0)\Rightarrow B(2;3); C(2;-3)$$. Пусть M - середина BC $$\Rightarrow M_x=\frac{2+2}{2}=2; M_y=\frac{3+(-3)}{2}=0\Rightarrow M(2;0)$$.

Тогда $$|AM|=\sqrt{(2-0)^2+(0-0)^2}=\sqrt{2^2}2$$.

1) То что FGED - четверть окружности с центром F и радиусом FD=FG, дает то, что FD ⟂ FG, а значит FD - высота в ∆ADB (она же медиана в равностороннем треугольнике).

2) Если площадь четверти круга равна $$9\pi$$, то площадь всего круга равна $$4\cdot9\pi = 36\pi$$

Но площадь круга $$S = πR² = 36π$$, откуда $$R² = 36$$ и $$FD = R = 6$$

3) высота в равностороннем треугольнике $$h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$$

(если не помним, то из ∆DFB - прямоугольный. По теореме Пифагора:

$$FD² = DB² - FB², FB=\frac{DB}{2}$$

$$FD² = DB² - (\frac{DB}{2})² = \frac{3DB²}{4}$$ и $$FD = \frac{DB\sqrt{3}}{2}$$)

Таким образом $$DB = \frac{2FD}{\sqrt{3}} = 2\cdot\frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{12}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{3}$$

4) Так как ∆BEC равносторонний, то ∠EBC = 60˚ => ∠ABE = 180˚ - ∠EBC = 120˚ (смежный угол)

5) Рассмотрим ∆FBE: $$FE = 6; FB = \frac{DB}{2} = 2\sqrt{3}$$ и $$∠FBE = 120˚$$

По теореме косинусов $$FE² = FB² + BE² - 2FB\cdot BE\cdot \cos(∠FBE)$$

$$36 = 12 + BE² - 2\cdot2\sqrt{3}\cdot(-0,5)\cdot BE$$

$$BE² + 2\sqrt{3}BE - 24 = 0$$

$$D = 12 + 4\cdot24 = 108 = 3\cdot36$$

$$ВЕ = \frac{-2\sqrt{3} + 6\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$$ (второй корень отрицательный и не подходит)

Получили BE = FB

6) Рассмотрим ∆DBF и ∆DBE: DB=DB (общая), FB=BE, и ∠FBD = ∠DBE = 60˚ => ∆DBF = ∆DBE и тогда DE = DF = 6

1) неверно, площадь трапеции равна половине высоты, умноженной на сумму оснований.

2) верно, это аксиома геометрии.

3) верно, это теорема планиметрии.

Учтём, что $$1-\sqrt{2}<0\Rightarrow x\leq\frac{2-2\sqrt{2}}{1-\sqrt{2}}\Rightarrow x\leq\frac{2(1-\sqrt{2})}{1-\sqrt{2}}\Rightarrow x\leq2$$

Процентная концентрация раствора (массовая доля) равна $$\omega=\frac{m_{в-ва}}{m_{р-ра}}\cdot100\%$$. Пусть масса получившегося раствора $$2m$$. Таким образом, концентрация полученного раствора равна:

$$\omega=\frac{0,18m+0,22m}{2m}\cdot100\%=\frac{0,4}{2}\cdot100\%=20\%$$

Прямоугольный треугольник KPB с гипотенузой PK вписан в окружность. Следовательно, PK является диаметром окружности. (по теореме об описанной окружности).

$$PK=BH=11$$

Точка I равноудалена от точек A и B, поэтому эта точка лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB. Аналогично, точка J лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB. Значит, прямая, содержащая точки I и J, является серединным перпендикуляром к отрезку AB. Следовательно, прямые IJ и АВ перпендикулярны.

Окружность вписана в треугольник ABC с радиусами $$OM=ON=OP$$ и перпендикулярными сторонам AB, BC, AC соответственно. По теореме об отрезках касательных, имеем:

$$MB=BN, AM=AP, CN=CP$$.

Пусть $$BM=BN=x$$, а $$CN=CP=y$$. Тогда $$BC=AD=x+y$$. Отрезок $$NN_1=AH=8+6=14$$. Рассмотрим прямоугольный треугольник AMO. По теореме Пифагора найдем сторону AM:

$$AM=\sqrt{AO^2-OM^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$$

Значит, $$AP=AM=8$$. Найдем величину $$x+y$$ из формулы площади треугольника ABC:

$$S_{ABC}=\frac{1}{2}(x+y)\cdot14$$

Эту же площадь можно вычислить как

$$S_{ABC}=p\cdot r$$,

где $$p=\frac{1}{2}\cdot(AB+BC+AC)=8+x+y$$ - полупериметр треугольника ABC; $$r=6$$ – радиус вписанной окружности. Приравниваем площади, получаем уравнение:

$$7\cdot(x+y)=(x+y+8)\cdot6$$

$$7(x+y)-6(x+y)=48$$

$$x+y=48$$

Значит, $$BC=AD=48$$ и площадь параллелограмма, равна:

$$S_{ABCD}=AD\cdot H=48\cdot14=672$$