ОГЭ математика 2021. Разбор варианта Алекса Ларина № 258.
Задания 1-5
На плане изображён дачный участок по адресу: п. Сосновка, ул. Зелёная, д. 19 (сторона каждой клетки на плане равна 2 м). Участок имеет прямоугольную форму. Выезд и въезд осуществляются через единственные ворота.
При входе на участок слева от ворот находится гараж. Справа от ворот находится сарай площадью 24 кв. м, а чуть подальше — жилой дом. Напротив жилого дома расположены яблоневые посадки. Также на участке есть баня, к которой ведёт дорожка, выложенная плиткой, и огород с теплицей внутри (огород отмечен на плане цифрой 6).
Все дорожки внутри участка имеют ширину 1 м и вымощены тротуарной плиткой размером 1 м × 1 м. Между гаражом и сараем находится площадка, вымощенная такой же плиткой.
К участку подведено электричество. Имеется магистральное газоснабжение.
1) Для объектов, представленных в таблице, определите, какими числами они обозначены на плане. Заполните таблицу. В ответе запишите последовательность четырёх чисел без пробелов и других разделительных символов.
| Объект | Жилой дом | Яблони | Теплица | Гараж |
| Число |
2) Тротуарная плитка продаётся в упаковках по 3 штуки. Сколько упаковок плитки понадобилось, чтобы выложить площадку между сараем и гаражом?
3) Найдите площадь, которую занимает баня. Ответ дайте в квадратных метрах.
4) На сколько процентов площадь, которую занимает гараж, больше площади, которую занимает теплица?
5) Хозяин участка решил покрасить весь забор вокруг участка (только с внешней стороны) в зелёный цвет. Площадь забора равна 232 кв. м, а купить краску можно в одном из двух ближайших магазинов. Цена и характеристика краски, а также стоимость доставки заказа даны в таблице.
| Магазин 1 | Магазин 2 | |
| Расход краски (г/м2) | 0,4 | 0,5 |
| Масса краски в одной банке (кг) | 4 | 3 |
| Стоимость одной банки краски (руб.) | 2200 | 1350 |
| Стоимость доставки заказа (руб.) | 800 | 900 |
Во сколько рублей обойдётся наиболее дешёвый вариант покупки с доставкой?
1) 2 - гараж
1 - сарай: $$S=2\cdot 3=6$$ клеток $$\to 1$$ клетка 4 м2 или сторона клетки 2 м.
4 - баня
5 - теплица, 6 - огород, 7 - дом, 3 - яблони
Тогда ответ: 7352
2) Количество плитки: $$5\cdot 2\cdot 4=40$$ шт.
Количество упаковок: $$n=\frac{40}{3}=13\frac{1}{3}\to 14$$ шт.
3) Площадь бани: $$S=3\times 3=9$$ клеток или $$9\times 4=36$$ м2
4) Площадь гаража: $$3\times 4=12$$ клеток
Площадь теплицы: $$1\times 3=3$$ клетки
Пусть $$3-100%, 12-x%\to x=400%.$$ Тогда на $$300%$$ больше.
5) Магазин 1: $$232\cdot 0,4=92,8$$ гр. $$\to 1$$ банка $$\to 2200+800=3000$$ рублей.
Магазин 2: $$1350+900=2250$$ рублей
Задание 6
Задание 7
Какое из данных ниже выражений тождественно равно выражению $$2^{\frac{6}{5}}\cdot 2^{\frac{9}{5}}?$$ $$1)\frac{25}{27};2)\ 1\frac{1}{3};3)\ 4\frac{8}{25};4)8$$
Задание 8
Задание 9
Задание 10
В лыжных гонках участвуют 11 спортсменов из России, 6 спортсменов из Норвегии и 3 спортсмена из Швеции. Порядок, в котором спортсмены стартуют, определяется жребием. Найдите вероятность того, что первым будет стартовать спортсмен из Норвегии или Швеции.
Задание 11
Установите соответствие между графиками функций и функциями, соответствующими этим графикам. В ответе укажите последовательность цифр, соответствующих А, Б, В, без пробелов и других разделительных символов.
$$1)\ y=2x^2-4x;\ 2)y=-2x^2-4x;3)\ y=-2x^2-4x$$
1) Нули функции: $$2x^2-4x=0\to x=0;2;$$ ветви вверх.
2) Нули: $$-2x^2+4x=0\to x=0;2;$$ ветви вниз $$\to 231$$
Задание 12
Задание 13
Решите неравенство $$\frac{x-5}{4-x}\ge 0.$$ В ответе укажите номер правильного ответа.
$$1)\ \left[4;5\right];2)\ \left(4;5\right];3)\ \left(-\infty ;4\right]\left[5;+\infty \right);4)\ \left(-\infty ;4\right]\left[5;+\infty \right)$$
Задание 14
Последовательность задана формулой $$c_n=n^2-1$$. Сколько членов этой последовательности больше 200 и меньше 500?
Задание 15
Задание 16
На отрезке $$AB$$ выбрана точка $$C$$ так, что $$AC=60$$, $$BC=15$$. Построена окружность с центром $$A$$, проходящая через $$C$$. Найдите длину отрезка касательной, проведённой из точки $$B$$ к этой окружности.
Задание 17
Сторона треугольника равна 14, а высота, проведённая к этой стороне, равна 23. Найдите площадь этого треугольника.
Задание 18
На клетчатой бумаге с размером клетки 1 см $$\times$$ 1 см изображён четырёхугольник. Найдите его площадь. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Задание 19
Какие из следующих утверждений верны? Если верных утверждений несколько, запишите их номера без пробелов и других разделительных символов в порядке возрастания.
1) Диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника.
2) Все углы ромба равны.
3) Площадь квадрата равна произведению длин его двух смежных сторон.
Задание 20
Решите систему неравенств $$\left\{ \begin{array}{c} \frac{10-2x}{3+{\left(5-2x\right)}^2}\ge 0 \\ 2-7x\le 14-3x \end{array} \right.$$
Задание 21
Задание 22
Задание 23
Высота треугольника разбивает его основание на два отрезка с длинами 8 и 9. Найдите длину этой высоты, если известно, что другая высота треугольника делит её пополам.
Пусть $$BH$$ и $$CM$$ - высоты, $$CM\cap BH=P;HP=PB.$$ Пусть $$HP=PB=x.$$ $$\angle BPM=\angle HPC$$ - вертикальные. $$\triangle BMP\sim \triangle ABH$$ (прямоугольные с общим острым углом) $$\to \angle BAH=\angle MPB=\alpha .$$
Из $$\triangle ABH:{\tan \alpha \ }=\frac{2x}{8}=\frac{x}{4}$$
Из $$\triangle PHC:{\tan \alpha \ }=\frac{9}{x}$$
Получим: $$\frac{x}{4}=\frac{9}{x}=x^2=36\to x=6\to BH=12$$
Задание 24
Два равных прямоугольника $$ABCO$$ и $$KLMO$$ имеют общую вершину $$O,$$ причём $$AO=OM$$ и $$OC=OK.$$ Докажите, что площади треугольников $$AOK,\ COM$$ равны.