Перейти к основному содержанию

ОГЭ математика 2021. Разбор варианта Алекса Ларина № 258.

Решаем 258 вариант Ларина ОГЭ 2021 обычная версия. Подробное решение 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25 заданий обычного тренировочного варианта ОГЭ Ларина № 258 (alexlarin.com)
Аналоги к этому заданию:

Задания 1-5

На плане изображён дачный участок по адресу: п. Сосновка, ул. Зелёная, д. 19 (сторона каждой клетки на плане равна 2 м). Участок имеет прямоугольную форму. Выезд и въезд осуществляются через единственные ворота.

При входе на участок слева от ворот находится гараж. Справа от ворот находится сарай площадью 24 кв. м, а чуть подальше — жилой дом. Напротив жилого дома расположены яблоневые посадки. Также на участке есть баня, к которой ведёт дорожка, выложенная плиткой, и огород с теплицей внутри (огород отмечен на плане цифрой 6).

Все дорожки внутри участка имеют ширину 1 м и вымощены тротуарной плиткой размером 1  м × 1  м. Между гаражом и сараем находится площадка, вымощенная такой же плиткой.

К участку подведено электричество. Имеется магистральное газоснабжение.

1) Для объектов, представленных в таблице, определите, какими числами они обозначены на плане. Заполните таблицу. В ответе запишите последовательность четырёх чисел без пробелов и других разделительных символов.

Объект Жилой дом Яблони Теплица Гараж
Число        

2) Тротуарная плитка продаётся в упаковках по 3 штуки. Сколько упаковок плитки понадобилось, чтобы выложить площадку между сараем и гаражом?

3) Найдите площадь, которую занимает баня. Ответ дайте в квадратных метрах.

4) На сколько процентов площадь, которую занимает гараж, больше площади, которую занимает теплица?

5) Хозяин участка решил покрасить весь забор вокруг участка (только с внешней стороны) в зелёный цвет. Площадь забора равна 232 кв. м, а купить краску можно в одном из двух ближайших магазинов. Цена и характеристика краски, а также стоимость доставки заказа даны в таблице.

  Магазин 1 Магазин 2
Расход краски (г/м2) 0,4 0,5
Масса краски в одной банке (кг) 4 3
Стоимость одной банки краски (руб.) 2200 1350
Стоимость доставки заказа (руб.) 800 900

Во сколько рублей обойдётся наиболее дешёвый вариант покупки с доставкой?

Ответ: 1) 7352; 2) 14; 3) 36; 4) 300; 5) 2250
Скрыть

1) 2 - гараж

1 - сарай: $$S=2\cdot 3=6$$ клеток $$\to 1$$ клетка 4 мили сторона клетки 2 м.

4 - баня

5 - теплица, 6 - огород, 7 - дом, 3 - яблони

Тогда ответ: 7352

2) Количество плитки: $$5\cdot 2\cdot 4=40$$ шт.

Количество упаковок: $$n=\frac{40}{3}=13\frac{1}{3}\to 14$$ шт. 

3) Площадь бани: $$S=3\times 3=9$$ клеток или $$9\times 4=36$$ м2

4) Площадь гаража: $$3\times 4=12$$ клеток

Площадь теплицы: $$1\times 3=3$$ клетки

Пусть $$3-100%, 12-x%\to x=400%.$$ Тогда на $$300%$$ больше.

5) Магазин 1: $$232\cdot 0,4=92,8$$ гр. $$\to 1$$ банка $$\to 2200+800=3000$$ рублей.

Магазин 2: $$1350+900=2250$$ рублей

Аналоги к этому заданию:

Задание 6

Найдите значение выражения $$\left(\frac{11}{13}-\frac{13}{11}\right):\left(\frac{11}{13}+\frac{13}{11}\right)\cdot \frac{{453}^2-{424}^2}{877}$$
Ответ: -4,8
Скрыть $$\left(\frac{11}{13}-\frac{13}{11}\right):\left(\frac{11}{13}+\frac{13}{11}\right)\cdot \frac{{453}^2-{424}^2}{877}=$$ $$=\frac{121-169}{11\cdot 13}\cdot \frac{11\cdot 13}{121+169}\cdot \frac{\left(453-424\right)\left(453+424\right)}{877}=-\frac{48}{290}\cdot \frac{29\cdot 877}{877}=-4,8.$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 7

Какое из данных ниже выражений тождественно равно выражению $$2^{\frac{6}{5}}\cdot 2^{\frac{9}{5}}?$$ $$1)\frac{25}{27};2)\ 1\frac{1}{3};3)\ 4\frac{8}{25};4)8$$

Ответ: 4
Скрыть $$2^{\frac{6}{5}}\cdot 2^{\frac{9}{5}}=2^{\frac{6}{5}+\frac{9}{5}}=2^3=8\to $$ 4 вариант ответа.
Аналоги к этому заданию:

Задание 8

Найдите значение выражения $$\sqrt{17-12\sqrt{6-2\sqrt{5}}}-2\sqrt{5}$$
Ответ: -3
Скрыть $$6-2\sqrt{5}=5-2\cdot 1\cdot \sqrt{5}+1={\left(\sqrt{5}-1\right)}^2.$$ Тогда: $$\sqrt{6-2\sqrt{5}}=\left|\sqrt{5}-1\right|=\sqrt{5}-1.$$ Получим: $$17-12\left(\sqrt{5}-1\right)=29-12\sqrt{5}.$$ При этом $$29-12\sqrt{5}=9-2\cdot 3\cdot 2\sqrt{5}+20={\left(3-2\sqrt{5}\right)}^2\to 29-12\sqrt{5}=$$ $$=\left|3-2\sqrt{5}\right|=2\sqrt{5}-3.$$ В итоге: $$2\sqrt{5}-3-2\sqrt{5}=-3$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 9

Решите уравнение $$\frac{x-3}{x+2}+\frac{x+2}{x-3}=\frac{53}{14}$$. Если в уравнении более двух корней, запишите их без пробелов и других разделительных символов в порядке возрастания.
Ответ: -45
Скрыть $$\frac{x-3}{x+2}+\frac{x+2}{x-3}=\frac{53}{14}.$$ Пусть $$\frac{x-3}{x+2}=y,$$ тогда: $$t+\frac{1}{t}=\frac{53}{14}\to 14t^2-53t+14=0:D=2025\to $$ $$\to \left[ \begin{array}{c} t_1=\frac{53+45}{28} \\ t_2=\frac{53-45}{28} \end{array} \leftrightarrow \left[ \begin{array}{c} t_1=3,5 \\ t_2=\frac{2}{7} \end{array} \right.\right.\leftrightarrow \left[ \begin{array}{c} \frac{x-3}{x+2}=\frac{7}{2} \\ \frac{x-3}{x+2}=\frac{2}{7} \end{array} \right.\leftrightarrow \left[ \begin{array}{c} 2x-6=7x+14 \\ 7x-21=2x+4 \end{array} \right.\leftrightarrow$$ $$\leftrightarrow \left[ \begin{array}{c} x=-4 \\ x=5 \end{array} \right.$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 10

В лыжных гонках участвуют 11 спортсменов из России, 6 спортсменов из Норвегии и 3 спортсмена из Швеции. Порядок, в котором спортсмены стартуют, определяется жребием. Найдите вероятность того, что первым будет стартовать спортсмен из Норвегии или Швеции.

Ответ: 0,45
Скрыть Для этого количество спортсменов из Норвегии и Швеции поделим на общее количество: $$P\left(A\right)=\frac{6+3}{20}=0,45.$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 11

Установите соответствие между графиками функций и функциями, соответствующими этим графикам. В ответе укажите последовательность цифр, соответствующих А, Б, В, без пробелов и других разделительных символов.

$$1)\ y=2x^2-4x;\ 2)y=-2x^2-4x;3)\ y=-2x^2-4x$$

Ответ: 231
Скрыть

1) Нули функции: $$2x^2-4x=0\to x=0;2;$$ ветви вверх.

2) Нули: $$-2x^2+4x=0\to x=0;2;$$ ветви вниз $$\to 231$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 12

Площадь параллелограмма S (в м$${}^{2}$$) можно вычислить по формуле $$S=ab{\sin \alpha \ }$$, где $$a$$ и $$b$$ - стороны параллелограмма (в метрах). Пользуясь этой формулой, найдите площадь параллелограмма (в м$${}^{2}$$), если его стороны равны 10 м и 12 м, а $${\sin \alpha \ }=0,5.$$
Ответ: 60
Скрыть $$S=10\cdot 12\cdot 0,5=60$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 13

Решите неравенство $$\frac{x-5}{4-x}\ge 0.$$ В ответе укажите номер правильного ответа.

$$1)\ \left[4;5\right];2)\ \left(4;5\right];3)\ \left(-\infty ;4\right]\left[5;+\infty \right);4)\ \left(-\infty ;4\right]\left[5;+\infty \right)$$

Ответ: 2
Скрыть $$\frac{x-5}{4-x}\ge 0\to \frac{x-5}{x-4}\le 0\leftrightarrow x\in (4;5]\to 2$$ вариант.
Аналоги к этому заданию:

Задание 14

Последовательность задана формулой $$c_n=n^2-1$$. Сколько членов этой последовательности больше 200 и меньше 500?

Ответ: 8
Скрыть $$\left\{ \begin{array}{c} n^2-1>200 \\ n^2-1<500 \\ n\in N \end{array} \right.\leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c} n^2>201 \\ n^2<501 \\ n\in N \end{array} \right.\leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c} n>\sqrt{201} \\ n<\sqrt{501} \\ n\in N \end{array} \right.\leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c} n\ge 15 \\ n\le 22 \\ n\in N \end{array} \right.\to 22-14=8.$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 15

Один из острых углов прямоугольного треугольника равен $$43{}^\circ $$. Найдите его другой острый угол. Ответ дайте в градусах.
Ответ: 47
Скрыть $$\alpha +\beta =90{}^\circ \to \alpha =90-\beta =90-43=47{}^\circ $$
Аналоги к этому заданию:

Задание 16

На отрезке $$AB$$ выбрана точка $$C$$ так, что $$AC=60$$, $$BC=15$$. Построена окружность с центром $$A$$, проходящая через $$C$$. Найдите длину отрезка касательной, проведённой из точки $$B$$ к этой окружности.

Ответ: 30
Скрыть Пусть M - точка касания, тогда: $$BM^2=BC\cdot BA\to BM=\sqrt{15\cdot 60}=15\cdot 2=30.$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 17

Сторона треугольника равна 14, а высота, проведённая к этой стороне, равна 23. Найдите площадь этого треугольника.

Ответ: 161
Скрыть $$S=\frac{1}{2}ah=\frac{1}{2}\cdot 14\cdot 23=161$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 18

На клетчатой бумаге с размером клетки 1 см $$\times$$ 1 см изображён четырёхугольник. Найдите его площадь. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Ответ: 9,5
Скрыть $$S=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 9-\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 5-5\cdot 1=27-12,5-5=9,5$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 19

Какие из следующих утверждений верны? Если верных утверждений несколько, запишите их номера без пробелов и других разделительных символов в порядке возрастания.

1) Диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника.

2) Все углы ромба равны.

3) Площадь квадрата равна произведению длин его двух смежных сторон.

Ответ: 13
Скрыть $$13$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 20

Решите систему неравенств $$\left\{ \begin{array}{c} \frac{10-2x}{3+{\left(5-2x\right)}^2}\ge 0 \\ 2-7x\le 14-3x \end{array} \right.$$

Ответ: $$x\in [-3;-5]$$
Скрыть $$\left\{ \begin{array}{c} \frac{10-2x}{3+{\left(5-2x\right)}^2}\ge 0 \\ 2-7x\le 14-3x \end{array} \right.\leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c} 10-2x\ge 0 \\ -7x+3x\le 14-2 \end{array} \right.\leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c} x\le 5 \\ -4x\le 12 \end{array} \right.\leftrightarrow$$ $$\leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c} x\le 5 \\ x\ge -3 \end{array} \right.\leftrightarrow x\in [-3;-5]$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 21

Даша и Саша выполняют одинаковый тест. Дима отвечает за час на 12 вопросов теста, а Саша - на 22. Они одновременно начали отвечать на вопросы теста, и Дима закончил свой тест позже Саши на 75 минут. Сколько вопросов содержит тест?
Ответ: 33
Скрыть Пусть $$x$$ вопросов в тесте, тогда время Даши: $$\frac{x}{12}$$ часов, Саши: $$\frac{x}{22}$$ часов. Получим: $$\frac{x}{12}-\frac{x}{22}=\frac{75}{60}\leftrightarrow \frac{11x-6x}{2\cdot 6\cdot 11}=\frac{5}{4}\leftrightarrow x=33.$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 22

Постройте график функции $$y=\frac{x-2}{2x-x^2}$$ и определите, при каких $$k$$ значениях прямая $$y=kx$$ имеет с графиком ровно одну общую точку.
Ответ: -0,25
Скрыть $$y=\frac{x-2}{2x-x^2}\leftrightarrow y=\frac{x-2}{x(2-x)}\leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c} y=-\frac{1}{x} \\ x\ne 2 \end{array} \right.$$ $$y\left(2\right)=-\frac{1}{2}.$$ Одну точку будет иметь, если пройдет через $$\left(2;-\frac{1}{2}\right):$$ $$-\frac{1}{2}=k\cdot 2\to k=-0,25$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 23

Высота треугольника разбивает его основание на два отрезка с длинами 8 и 9. Найдите длину этой высоты, если известно, что другая высота треугольника делит её пополам.

Ответ: 12
Скрыть

Пусть $$BH$$ и $$CM$$ - высоты, $$CM\cap BH=P;HP=PB.$$ Пусть $$HP=PB=x.$$ $$\angle BPM=\angle HPC$$ - вертикальные. $$\triangle BMP\sim \triangle ABH$$ (прямоугольные с общим острым углом) $$\to \angle BAH=\angle MPB=\alpha .$$

Из $$\triangle ABH:{\tan \alpha \ }=\frac{2x}{8}=\frac{x}{4}$$

Из $$\triangle PHC:{\tan \alpha \ }=\frac{9}{x}$$

Получим: $$\frac{x}{4}=\frac{9}{x}=x^2=36\to x=6\to BH=12$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 24

Два равных прямоугольника $$ABCO$$ и $$KLMO$$ имеют общую вершину $$O,$$ причём $$AO=OM$$ и $$OC=OK.$$ Докажите, что площади треугольников $$AOK,\ COM$$ равны.

Ответ:
Скрыть $$\angle AOK=\alpha \to \angle COM=360-2\cdot 90-\alpha =180-\alpha \to {\sin AOK\ }={\sin COM\ }.$$ $$S_{\triangle AOK}=\frac{AO\cdot OK\cdot {\sin AOK\ }}{2};\ S_{\triangle COM}=\frac{OC\cdot OM\cdot {\sin COM\ }}{2},$$ но $$AO=OM;OC=OK\to S_{AOK}=S_{COM}$$
Аналоги к этому заданию:

Задание 25

Вершины ромба расположены на сторонах параллелограмма, а стороны ромба параллельны диагоналям параллелограмма. Найдите отношение площадей ромба и параллелограмма, если отношение для диагоналей параллелограмма равно 54.

Ответ: