ОГЭ математика 2021. Разбор варианта Алекса Ларина № 258.
Задания 1-5
На плане изображён дачный участок по адресу: п. Сосновка, ул. Зелёная, д. 19 (сторона каждой клетки на плане равна 2 м). Участок имеет прямоугольную форму. Выезд и въезд осуществляются через единственные ворота.
При входе на участок слева от ворот находится гараж. Справа от ворот находится сарай площадью 24 кв. м, а чуть подальше — жилой дом. Напротив жилого дома расположены яблоневые посадки. Также на участке есть баня, к которой ведёт дорожка, выложенная плиткой, и огород с теплицей внутри (огород отмечен на плане цифрой 6).
Все дорожки внутри участка имеют ширину 1 м и вымощены тротуарной плиткой размером 1 м × 1 м. Между гаражом и сараем находится площадка, вымощенная такой же плиткой.
К участку подведено электричество. Имеется магистральное газоснабжение.
1) Для объектов, представленных в таблице, определите, какими числами они обозначены на плане. Заполните таблицу. В ответе запишите последовательность четырёх чисел без пробелов и других разделительных символов.
| Объект | Жилой дом | Яблони | Теплица | Гараж |
| Число |
2) Тротуарная плитка продаётся в упаковках по 3 штуки. Сколько упаковок плитки понадобилось, чтобы выложить площадку между сараем и гаражом?
3) Найдите площадь, которую занимает баня. Ответ дайте в квадратных метрах.
4) На сколько процентов площадь, которую занимает гараж, больше площади, которую занимает теплица?
5) Хозяин участка решил покрасить весь забор вокруг участка (только с внешней стороны) в зелёный цвет. Площадь забора равна 232 кв. м, а купить краску можно в одном из двух ближайших магазинов. Цена и характеристика краски, а также стоимость доставки заказа даны в таблице.
| Магазин 1 | Магазин 2 | |
| Расход краски (г/м2) | 0,4 | 0,5 |
| Масса краски в одной банке (кг) | 4 | 3 |
| Стоимость одной банки краски (руб.) | 2200 | 1350 |
| Стоимость доставки заказа (руб.) | 800 | 900 |
Во сколько рублей обойдётся наиболее дешёвый вариант покупки с доставкой?
1) 2 - гараж
1 - сарай: $$S=2\cdot 3=6$$ клеток $$\to 1$$ клетка 4 м2 или сторона клетки 2 м.
4 - баня
5 - теплица, 6 - огород, 7 - дом, 3 - яблони
Тогда ответ: 7352
2) Количество плитки: $$5\cdot 2\cdot 4=40$$ шт.
Количество упаковок: $$n=\frac{40}{3}=13\frac{1}{3}\to 14$$ шт.
3) Площадь бани: $$S=3\times 3=9$$ клеток или $$9\times 4=36$$ м2
4) Площадь гаража: $$3\times 4=12$$ клеток
Площадь теплицы: $$1\times 3=3$$ клетки
Пусть $$3-100%, 12-x%\to x=400%.$$ Тогда на $$300%$$ больше.
5) Магазин 1: $$232\cdot 0,4=92,8$$ гр. $$\to 1$$ банка $$\to 2200+800=3000$$ рублей.
Магазин 2: $$1350+900=2250$$ рублей
Задание 6
Задание 7
Какое из данных ниже выражений тождественно равно выражению $$2^{\frac{6}{5}}\cdot 2^{\frac{9}{5}}?$$ $$1)\frac{25}{27};2)\ 1\frac{1}{3};3)\ 4\frac{8}{25};4)8$$
Задание 8
Задание 9
Задание 10
В лыжных гонках участвуют 11 спортсменов из России, 6 спортсменов из Норвегии и 3 спортсмена из Швеции. Порядок, в котором спортсмены стартуют, определяется жребием. Найдите вероятность того, что первым будет стартовать спортсмен из Норвегии или Швеции.
Задание 11
Установите соответствие между графиками функций и функциями, соответствующими этим графикам. В ответе укажите последовательность цифр, соответствующих А, Б, В, без пробелов и других разделительных символов.
$$1)\ y=2x^2-4x;\ 2)y=-2x^2-4x;3)\ y=-2x^2-4x$$
1) Нули функции: $$2x^2-4x=0\to x=0;2;$$ ветви вверх.
2) Нули: $$-2x^2+4x=0\to x=0;2;$$ ветви вниз $$\to 231$$
Задание 12
Задание 13
Решите неравенство $$\frac{x-5}{4-x}\ge 0.$$ В ответе укажите номер правильного ответа.
$$1)\ \left[4;5\right];2)\ \left(4;5\right];3)\ \left(-\infty ;4\right]\left[5;+\infty \right);4)\ \left(-\infty ;4\right]\left[5;+\infty \right)$$
Задание 14
Последовательность задана формулой $$c_n=n^2-1$$. Сколько членов этой последовательности больше 200 и меньше 500?
Задание 15
Задание 16
На отрезке $$AB$$ выбрана точка $$C$$ так, что $$AC=60$$, $$BC=15$$. Построена окружность с центром $$A$$, проходящая через $$C$$. Найдите длину отрезка касательной, проведённой из точки $$B$$ к этой окружности.
Задание 17
Сторона треугольника равна 14, а высота, проведённая к этой стороне, равна 23. Найдите площадь этого треугольника.
Задание 18
На клетчатой бумаге с размером клетки 1 см $$\times$$ 1 см изображён четырёхугольник. Найдите его площадь. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Задание 19
Какие из следующих утверждений верны? Если верных утверждений несколько, запишите их номера без пробелов и других разделительных символов в порядке возрастания.
- Диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника.
- Все углы ромба равны.
- Площадь квадрата равна произведению длин его двух смежных сторон.
Задание 20
Решите систему неравенств $$\left\{ \begin{array}{c} \frac{10-2x}{3+{\left(5-2x\right)}^2}\ge 0 \\ 2-7x\le 14-3x \end{array} \right.$$
Задание 21
Задание 22
Задание 23
Высота треугольника разбивает его основание на два отрезка с длинами 8 и 9. Найдите длину этой высоты, если известно, что другая высота треугольника делит её пополам.
Пусть $$BH$$ и $$CM$$ - высоты, $$CM\cap BH=P;HP=PB.$$ Пусть $$HP=PB=x.$$ $$\angle BPM=\angle HPC$$ - вертикальные. $$\triangle BMP\sim \triangle ABH$$ (прямоугольные с общим острым углом) $$\to \angle BAH=\angle MPB=\alpha .$$
Из $$\triangle ABH:{\tan \alpha \ }=\frac{2x}{8}=\frac{x}{4}$$
Из $$\triangle PHC:{\tan \alpha \ }=\frac{9}{x}$$
Получим: $$\frac{x}{4}=\frac{9}{x}=x^2=36\to x=6\to BH=12$$
Задание 24
Два равных прямоугольника $$ABCO$$ и $$KLMO$$ имеют общую вершину $$O,$$ причём $$AO=OM$$ и $$OC=OK.$$ Докажите, что площади треугольников $$AOK,\ COM$$ равны.