ОГЭ математика 2018. Разбор варианта Алекса Ларина № 169.
Решаем ОГЭ 169 вариант Ларина. Подробное решение 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20 заданий тренировочного варианта ОГЭ Ларина №169 (alexlarin.com)
Решаем ОГЭ 169 вариант Ларина. Подробное решение 21,22,23,24,25,26 заданий тренировочного варианта ОГЭ Ларина №169 (alexlarin.com)
Задание 1
Найдите значение выражения $$\frac{3,6}{0,48}+\frac{3\frac{2}{3}}{2\frac{4}{9}}$$
$$\frac{3,6}{0,48}+\frac{3\frac{2}{3}}{2\frac{4}{9}}=$$
$$=\frac{360}{48}+\frac{11}{8}\cdot\frac{9}{22}=7,5+1,5=9$$
Задание 2
В таблице приведены расстояния от Солнца до четырёх планет Солнечной системы. Какая из этих планет ближе всех к Солнцу?
| Планета | Нептун | Юпитер | Уран | Венера |
| Расстояние (в км) | $$4,497\cdot10^{9}$$ | $$7,781\cdot10^{8}$$ | $$2,871\cdot10^{9}$$ | $$1,082\cdot10^{8}$$ |
Варианты ответа
1) Нептун
2) Юпитер
3) Уран
4) Венера
Задание 3
На координатной прямой отмечено число a. Найдите наименьшее из чисел $$a,a^{2},a^{3}$$
Варианты ответа:
1) $$a$$
2) $$a^{2}$$
3) $$a^{3}$$
4) не хватает данных для ответа
$$a\approx-1,2\Rightarrow$$
$$a^{2}=1,44$$;
$$a^{3}=-1,2^{3}\Rightarrow$$
$$a^{3}$$ - наименьший
Задание 7
Число дорожно-транспортных происшествий в летний период составило 0,92 числа ДТП в зимний период. На сколько процентов уменьшилось число дорожнотранспортных происшествий летом по сравнению с зимой?
1 % это 0,01 часть чего-то. Если ДТП за зиму 100%, то это 1.
Тогда 0,92-92% $$\Rightarrow$$ на 8 % меньше
Задание 8
В таблице даны рекомендуемые суточные нормы потребления (в г/сутки) жиров, белков и углеводов детьми от 1 года до 14 лет и взрослыми.
| Вещество | Дети от 1 года до 14 лет | Мужчины | Женщины |
| Жиры | 40-97 | 70-154 | 60-102 |
| Белки | 36-87 | 65-117 | 58-87 |
| Углеводы | 170-420 | 257-586 | |
Какой вывод о суточном потреблении жиров, белков и углеводов 13-летним мальчиком можно сделать, если по подсчётам диетолога в среднем за сутки он потребляет 90 г жиров, 90 г белков и 359 г углеводов? В ответе укажите номера верных утверждений.
1. Потребление жиров в норме.
2. Потребление белков в норме.
3. Потребление углеводов в норме.
Задание 9
На экзамене по геометрии школьнику достаётся одна задача из сборника. Вероятность того, что эта задача по теме «Площадь», равна 0,15. Вероятность того, что это окажется задача по теме «Окружность», равна 0,32. В сборнике нет задач, которые одновременно относятся к этим двум темам. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется задача по одной из этих двух тем.
$$P=P_{1}+P_{2}=0,15+0,32=0,47$$
Задание 10
На рисунке изображён график функции $$y=ax^{2}+bx+c$$ . Установите соответствие между утверждениями и промежутками, на которых эти утверждения удовлетворяются.
УТВЕРЖДЕНИЯ
А)Функция возрастает на промежутке
Б) Функция убывает на промежутке
ПРОМЕЖУТКИ
1) $$[-3;3]$$
2) $$[0;3]$$
3) $$[-3;-1]$$
4) $$[-3;0]$$
Задание 11
Выписаны первые несколько членов арифметической прогрессии: 2; 6; 10; … Найдите сумму первых тринадцати её членов.
$$a_{1}=2$$; $$a_{2}=6$$; $$n=13$$
$$d=a_{2}-a_{1}=6-2=4$$
$$S_{n}=\frac{2a_{1}+d(n-1)}{2}\cdot n$$
$$S_{13}=\frac{2\cdot2+4(13-1)}{2}\cdot13=338$$
Задание 12
Найдите значение выражения $$-24ab-(4a-3b)^{2}$$ при $$a=\sqrt{5}$$, $$b=\sqrt{2}$$
$$-24ab-(4a-3b)^{2}=-24ab-16a^{2}+24ab-9b^{2}=$$
$$=-16a^{2}-9b^{2}=-16(\sqrt{5})^{2}-9(\sqrt{2})^{2}=$$
$$=-16\cdot5-9\cdot2=-80-18=-98$$
Задание 13
Зная длину своего шага, человек может приближенно подсчитать пройденное им расстояние s по формуле s=nl, где n — число шагов, l — длина шага. Какое расстояние прошел человек, если l=70 см, n=1400? Ответ выразите в километрах.
$$S=\frac{1400\cdot70}{100\cdot1000}=0,98$$
Задание 15
На какой угол (в градусах) поворачивается минутная стрелка, пока часовая поворачивается на 11°?
1 час - $$\frac{1}{12}$$ окружности, т.е.
$$\frac{1}{12}\cdot360^{\circ}=30^{\circ}$$, тогда:
х часов - 11
1 час - 30
$$x=\frac{11}{30}$$ $$\Rightarrow\frac{11}{30}\cdot60=22$$ минуты
60 минут - $$360^{\circ}$$
22 минуты - $$x^{\circ}$$
$$x=\frac{22\cdot360^{\circ}}{60}=132^{\circ}$$
Задание 16
Точка D на стороне AB треугольника ABC выбрана так, что AD=AC. Известно, что ∠CAB=70° и ∠ACB=72°. Найдите угол DCB. Ответ дайте в градусах.
$$\angle DCB=\angle ACB-\angle ACD$$
$$\angle ACD=\angle ADC=\frac{180-\angle CAD}{2}=55^{\circ}$$
$$\angle DCB=72^{\circ}-55^{\circ}=17^{\circ}$$
Задание 19
В остроугольном треугольнике ABC высота AH равна $$4\sqrt{51}$$, а сторона AB равна 40. Найдите cosB.
$$\cos\angle B=\frac{BH}{AB}$$
$$BH=\sqrt{AB^{2}-AH^{2}}=\sqrt{1600-816}=\sqrt{784}=28$$
$$\cos\angle B=\frac{28}{40}=0,7$$
Задание 20
Какие из следующих утверждений верны?
1. В любой четырёхугольник можно вписать окружность.
2. Центр окружности, описанной около тупоугольного треугольника, находится вне этого треугольника.
3. Средняя линия трапеции равна сумме её оснований.
В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов
Задание 21
Найдите значение выражения: $$\frac{\sqrt{47+12\sqrt{11}}}{\sqrt{6+\sqrt{11}}}\cdot\sqrt{6-\sqrt{11}}$$
Рассмотрим $$47+12\sqrt{11}$$ и выделим полный квадрат:
$$(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$$
$$\left\{\begin{matrix}a^{2}+b^{2}=47\\2ab=12\sqrt{11}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$
$$\left\{\begin{matrix}a^{2}+b^{2}=47(1)\\ab=6\sqrt{11}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$
Пусть $$a=6$$, $$b=\sqrt{11}$$ проверим, подставляя в (1):
$$6^{2}+\sqrt{11}^{2}=36+11=47\Rightarrow$$
$$47+12\sqrt{11}=(6+\sqrt{11})^{2}$$
$$\frac{\sqrt{47+12\sqrt{11}}}{\sqrt{6+\sqrt{11}}}\cdot\sqrt{6-\sqrt{11}}=$$
$$=\frac{\sqrt{(6+\sqrt{11})^{2}\cdot(6-\sqrt{11})}}{\sqrt{6+\sqrt{11}}}=$$
$$=\sqrt{(6+\sqrt{11})(6-\sqrt{11})}=\sqrt{36-11}=\sqrt{25}=5$$
Задание 22
Два пешехода выходят навстречу друг другу и встречаются через 7 часов, причем скорость второго пешехода в два раза больше скорости первого. Через какое время произошла бы встреча, если бы первый пешеход увеличил свою скорость в 1,5 раза?
Пусть х - скорость первого, тогда 2х -скорость второго, пусть расстояние $$S=1$$, тогда время 7 часов равно:
$$\frac{1}{x+2x}=7\Leftrightarrow$$
$$\frac{1}{3x}=7\Leftrightarrow$$ $$x=\frac{1}{21}$$
Если бы первый увеличил в 1,5 раза, то его скорость:
$$v_{1}=\frac{1}{21}\cdot1,5=\frac{1}{14}$$ и время встречи
$$\frac{1}{\frac{1}{14}+2\cdot\frac{1}{21}}=\frac{1}{\frac{3+4}{2\cdot3\cdot7}}=\frac{2\cdot3\cdot7}{7}=6$$
$$7-6=1$$ - разница во времени
Задание 23
Постройте график функции $$y=x^{2}-4|x|-x$$ и определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком не менее одной, но не более трёх общих точек.
Если $$x\geq0\Rightarrow y=x^{2}-4x-x=x^{2}-5x$$
Если $$x<0\Rightarrow y=x^{2}+4x-x=x^{2}+3x$$
1) $$y=x^{2}-5x$$
$$x_{0}=-\frac{-5}{2}=2,5$$
$$y_{0}=2,5^{2}-5\cdot2,5=-6,25$$
2) $$y=x^{2}+3x$$
$$x_{0}=-\frac{3}{2}=-1,5$$
$$y_{0}=(-1,5)^{2}+3(-1,5)=-2,25$$
$$m=-6,25$$ - 1точка
$$m\in(-6,25;-2,25)$$ - 2 точки
$$m=-2,25$$ - 3 точки
$$m=0$$ -3 точки
$$m\in(0;+\infty)$$ - 2 точки $$\Rightarrow$$
$$m\in[-6,25;-2,25]\cup[0;+\infty)$$
Задание 24
В равнобедренной трапеции диагональ длиной 3 см образует угол $$45^{\circ}$$ с основанием. Найдите площадь трапеции.
1) Построим BH и CM $$\perp AD\Rightarrow$$
$$\bigtriangleup BHD$$ - прямоугольный
$$\angle HDB=45^{\circ}\Rightarrow$$ ; $$\angle HBD=45^{\circ}\Rightarrow$$
$$BH=HD=x$$
$$BH^{2}+HD^{2}=BD^{2}$$
$$2x^{2}=9\Rightarrow x^{2}=\frac{9}{2}$$ $$\Rightarrow$$
$$x=\frac{3\sqrt{2}}{2}$$
2) $$BH=CM;AB=CD\Rightarrow$$
$$\bigtriangleup AHB=\bigtriangleup CMD$$ $$\Rightarrow$$
$$AH=MD=y$$ $$\Rightarrow$$
$$HM=\frac{3\sqrt{2}}{2}-y=BC$$
3) $$S_{ABCD}=\frac{AD+BC}{2}\cdot BH=$$
$$=\frac{y+\frac{3\sqrt{2}}{2}+\frac{3\sqrt{2}}{2}-y}{2}\cdot\frac{3\sqrt{2}}{2}=$$
$$=\frac{3\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{3\sqrt{2}}{2}=\frac{9}{2}=4,5$$
Задание 25
В четырехугольнике две стороны параллельны друг другу, а две другие перпендикулярны диагоналям. Докажите, что перпендикулярные диагоналям стороны равны между собой.
1) $$BC\parallel AD\Rightarrow ABCD$$ - трапеция
2) Пусть М - середина AD $$\Rightarrow$$
$$AM=MD=BM$$ ($$\bigtriangleup ABD$$ - прямоуг.)
$$AM=MD=MC$$ (аналогично) $$\Rightarrow$$
$$BM=MC\Rightarrow$$ $$\angle MBC=\angle MCB$$
3) $$\angle CMD=\angle BCM$$ (накрестлежащие)
$$\angle AMB=\angle MBC$$ (накрестлежащие) $$\Rightarrow$$
$$\angle AMB=\angle DCM$$ $$\Rightarrow$$
$$\bigtriangleup AMB=\bigtriangleup CMD$$ (по двум сторонам и углу)
$$\Rightarrow$$ $$AB=CD$$
ч.т.д.
Задание 26
В прямоугольном треугольнике АВС с гипотенузой АВ, равной 10, на высоте СD как на диаметре построена окружность. Касательные к этой окружности, проходящие через точки А и В, пересекаются при продолжении в точке К. чему равны касательные к окружности, выходящие из точки К?
1) Пусть $$HB=x\Rightarrow AH=10-x$$
по свойству касательных $$MB=HB=x$$
$$AH=AN=10-x$$; пусть $$OH=OC=r$$;
$$KN=KM=z$$
2) По свойству высоты прямоугольного треугольинка:
$$CH=\sqrt{AH\cdot HB}\Leftrightarrow(2r)^{2}=x(10-x)$$
$$\Leftrightarrow r^{2}=\frac{x(10-x)}{4}$$
3) $$S_{AKB}=p\cdot r$$, где
$$p=\frac{AK+KB+AB}{2}$$
$$S=\sqrt{p(p-AK)(P-KB)(p-AB)}$$
$$p=\frac{10+10-x+x+2z}{2}=10+z$$
$$S=\sqrt{(10+z)(10+z-10+x-x)(10+z-x-z)(10+z-10}=$$
$$=\sqrt{(10+z)\cdot x\cdot(10-x)\cdot z}$$
Тогда:
$$r=\frac{S}{p}=\frac{xz(10+z)(10-x)}{10+z}=\sqrt{\frac{xz(10-x)}{10+z}}$$
4) 2 из 3:
$$\sqrt{\frac{x(10-x)}{4}}=\sqrt{\frac{xz(10-x)}{10+z}}$$
$$\frac{1}{4}=\frac{z}{10+z}$$
$$10+z=4z\Leftrightarrow z=\frac{10}{3}$$